导数的概念与运算讲义-2026届高三数学一轮复习

解锁 “高考数学学科素养”专题系列——16阐述变化过程的精确刻画与分析：导数的概念与运算 导数的定义不仅是导数的原始基本概念 ,而且它在求极限、求导数的计算及证明中都有着重要的、甚至是不可替代的作用.如在分段函数求导计算中的情形对分段函数分段点的导数的计算 ,必须按定义求 ,不能套公式. 导数是研究事物变化快慢，研究函数单调性、极值、最值和解决生活中优化问题的有力工具. 解锁一：导数的本质属性 1.导数的定义 (1)平均变化率及瞬时变化率 ①从到的平均变化率是; ②在处的瞬时变化率是. (2)函数在一点处的导数的概念 函数在一点处的导数：函数在处的瞬时变化率是 ，我们称它为函数在处的导数，记作或.即 . (3)导（函）数的概念 函数在处的导数，当看作变量时，便是的一个函数，我们称之为的导函数（简称导数）. 的导函数有时也记作，即. 2. 解锁定义 (1)导数的本质是瞬时变化率.因此，凡是求瞬时变化率就是求导数问题; 探点.球的半径是时间的函数，且球的体积增长速度为，则球面积的增长速度与球 的半径关系为 . 探究:瞬时变化率即为导数问题.,将前式对求导得，两式相除得，又，所以 (2)极限重在趋势值，而与表示形式无关. ；另外，的本质是且.因此，一个函数在一点处可导的必要条件是该函数在该点处必连续；其次函数在闭区间的端点不能谈论导数. 探点.若，则 . 探究: . 3.常用的基本初等函数的导数公式 (1); (2); (3); (4); (5); (6) ; (7);(8). 说明:其它函数的导数以及合成或复合函数的导数要利用导数运算法则和以上公式求解. 探点.； 探究.. 解锁二：导数的四则运算 若函数均可导，则有： (1) (2) (3) 说明: 1.注意导数四则运算法则的前提.如：函数在处均不可导，但 在处可导. 2.特例： 3.注意导数的逆向问题： 探点.在上的导数为，且，下面的不等式在上恒成立的是 探究：若，将已知不等式乘以得，所以；所以 ，所以，即；若，同理可得，若，由已知可知，综上总有.故选. 悟惑：已知导数的运算式就要想到这是已知某一个函数的导数的性质！ 4.导数的复合运算：若函数均可导，则的导数为. 解锁三：导数的几个常见性质 1.单调性:； 探点.在平面直角坐标系中，已知是函数的图象上的动点，该图象在点处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于.设线段的中点的纵坐标为，则的最大值是________． 探究:设点的坐标为，则切线的方程为，则过点作的垂线的方程为，令，得,所以，得，令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，取最大值为. 2.奇偶性:可导的奇函数的导数是偶函数（利用积分可证反之不一定成立.因为若 ）；可导的偶函数的导数是奇函数(反之也成立); 探点1.已知函数的定义域为，其导数为，且，则满足的实数的取值范围为 . 探究：因为，函数的定义域为所以是奇函数且单调递增，所以可变为，所以 解得，故所求实数的取值范围为. 探点2.定义在的可导奇函数的导数在单调递增，则满足 的的取值范围为 探究:因是奇函数，所以是偶函数，所以可变为，又在单调递增，所以，解得，故所求的取值范围为. 3.可导的对称函数的导数仍是对称函数，但关于点对称的函数的导数图象关于直线对称，反之也成立. 4.可导的周期函数的导数仍是周期函数，且周期不变. 探点.已知，记， 则______. 探究: 由知， ，, ,所以周期函数，且周期而 ，所以所求为. 5.的函数图象上凸，的函数图象下凸. 6.函数的零点是函数极值点的可能点.如. 7.导数数中的基本不等式 ①； ②. 探点.已知函数 . (I)若函数无零点，求实数的取值范围； (Ⅱ)若是函数的两个不同的零点，求证： 探究: (I)由函数无零点知，关于的方程无正根.由得，，则此函数的定义域为，且，所以当时，，此时在单调递增，当时，，此时在单调递减.所以当时，最大，最大值为.可证，所以，所以得取值范围为，故实数的取值范围为； (Ⅱ)因为是函数的两个不同的两点，所以且，不妨设.则两 式相加减得相除得，即，设，则，且，要证，只需证，即证需证，设，可证当时最小，所以，即成立，故成立. 解锁四：求解导数题的原则 1.求瞬时变化率或函数在一点的导数的解题（步骤与方法）原则 第一步:定域（确定研究对象）； 第二步：明参（参数的取值条件）； 第三步：求导（公式法（先变形，后用导数运算法则，最后用导数公式）、定义法、方程法）； 第四步: 运算、整理； 第五步:回答问题. 说明: (1)导数就是导函数的简称；是指，函数在一点处的导数，因此，求有两种途径， 其一：导函数值法，其二是定义法.原则 (2)导数运算要灵活. 探点1.设函数对任意实数均满足，且，则 . 探究:求导的方法为定义法,需先求.在已知中,令,则,解得，所以 ，即. 探点2.若，则 . 探究1（导数法，两项之积） ，所以. 探究2（导数法，和式）：当时，，所以 ，再对求导.或方程两边求导. 探究3（定义法）:，所以. 2.求导数的原则： 第一步:搞清变量； 第二步：求函数的定义域; 第三步：先化简，后选择恰当的求导方法. 第四步：整理成最简式； 第五步：回答问题. 说明: (1)公式法的步骤为 ①化简或表示为导数公式中的基本函数的代数式； 探点.求下列函数的导数： ❶；❷. 探究：❶因为，所以； ❷因为，所以 ，即. ②先用导数运算法则，后用导数公式求导； ③整理成最简式并回答问题. (2)定义法的步骤为 ①求平均变化率，并消去分母中的或造出已知导数的平均变化率； ②求平均变化率的极限； ③整理成最简式并回答问题. 探点.设是定义在上的函数，且对任何都有，若 ,,证明对任何 ，都有. 探究. . *(3)方程法的步骤为 ①对函数方程两边求导； ②解导数方程. 如：在上一题❷中，求导数也可以用“方程法”. ,即，两边对求导得，所以 (4)选择方法的对象 ①公式法的对象:已知简单的解析式； ②定义法的对象:复杂函数或抽象函数； ③方程法的对象：函数方程. (5)求有两种方法 是一个常数，是的一个函数值，因此求函数在一点的导数有两种方法：其一是导数法，其二是定义法;另外； (6)导数是指导函数的简称.其功能： 代数，每一（连续）瞬时变化率问题；几何，函数图象的走向.但我们先学习的是，因此在一点的导数是导函数的一个函数值，所以求在一点的导数有两种方法：其一定义法；其二导函数值法. 探点.已知，则 . 探究1：由已知知，所以当时，所以，所以，所以. 探究2:对两边求导得，，即，令，则，所以，取得. 悟惑:复合函数的导数，一般先求原函数再求导，也可以求复合函数的导数；本题是两次求导函数值. 解锁五：函数在一点出的导数的几何意义 函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即,且过点的切线方程为. 探点1.若可导函数，则在处的切线方程为 探究:求出切点坐标，和曲线在该点的切线斜率.在已知中令得， 探点2.点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为 探究:隐形切线问题. 说明: (1)曲线“在一点”处的切线与“过一点”引曲线的切线的意义不同.前者“点”在曲线上；后者“点”可以不在曲线上. 探点.设，又过原点存在两条互相垂直的直线与曲线均相切，则曲线的方程为 . 探究:求曲线方程即求出参数的值，需要两个方程已知已有一个关于的等式,故只需在找到一个的等式即可，利用“两条互相垂直”.由三次函数的性质知，过原点的两条切线一条切与原点，一条切与异于原点的一点.曲线方程可变为，所以，所以两条切线方程为：和 ，由切线过原点知，再由两条切线互相垂直知，解得，又，故曲线的方程为. (2)过一非切点的函数曲线的切线方程的求法： 第一步:设出切点坐标；并求出导数； 第二步:写出切线方程：； 第三步:将所过点代入切线方程，求出； 第四步:将代入切线方程整理后即为所求的切线方程. (3)研究曲线在一点的切线问题有两种途径：其一是解析法；其二是函数导数法.要灵活选择. 探点1.函数的图象如图所示，则的大小关系为 . 探究：利用几何法（解析法）通过倾斜角以及解三角形即可得出 . 探点2.双曲线与抛物线在第一象限的交点的处的切线相互垂直，则 . 探究:由得从而，由得，因为切线互相垂直，所以，解得或，代入得切点坐标为或 代入得或. 说明：切线方程有三种类型：“在点（此点一点是切点）”、“过点（此点可以在曲线上，也可以不在曲线上）”、“已知斜率”.这三种情况的解题公共点是用切点. (4) 两条函数曲线的公切线 分别设出切点坐标和，再分别写出切线方程、、，然后利用切线重合求出或，最后得出切线方程. (5) 平均变化率的几何意义（拉格朗日中值定理） 设是可导函数曲线上的两点，则在区间内必存在一个数，使得. 说明:此命题仅适用于选择、填空题.解答题不能用. 探点1.设，若.对，则与的大小关系为 . 探究：先求出的解析式，后比较大小.由题意知，因为 ，所以解得.即. 探究1(放缩法)：时 取等号.所以当时；当时， 探究2(代数转化法):设,研究函数的单调性（略）. 探究3(几何转化法)：若，则；设，则,表示两点的斜率只需比较与的大小，即与的大小.故当时；当时，. 探究4:由题意的对称性知，可取特例，. 悟惑:法三仅适用于客观命题. 探点2.已知函数. (Ⅰ)讨论函数的单调性； (Ⅱ)设，证明：对任意，. 探究：(Ⅰ) 的定义域为，.当时， ，故在单调增加；当时，, 故在单调减少；当 时，令,解得.当时, ；时，, 故在单调递增，在单调递减. (Ⅱ)不妨假设.由于,故在单调减少.所以等价于,即.令,则.于是.从而在单调减少，故，即，故对任意 ，.　 悟惑:本题不易放缩，所以必须构造函数求解. (6)切线是割线的极限位置，因此无导数也可以有切线. 如：过点可做的两条切线. 解锁六：函数在一点处的导数应用 1.利用在一点的导数研究瞬时变化率问题. 瞬时变化率即为瞬时增长率或降低率等. 探点.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变， 假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足函数关系：，其中为时铯的含量，已知时，铯量的变化率是（太贝克/年），则 5太贝克太贝克太贝克太贝克 探究(瞬时问题):因为，则,解得,所以，那么（太贝克）,所以选D. 2.利用在一点的导数研究函数曲线在切点处的切线问题. 切线的三类问题：(1)“在点”（点在曲线上即为切点）；(2)过点（点可以是曲线上的点，也可以不是曲线上的点.即使是曲线上的点，可以是切点也可以不是切点）；(3)已知斜率. 探点.直线是曲线在处的切线，，若 则的取值范围为 . 探究:可求，从而，由得，因为，所以不等式可变为，即，解得,故的取值范围为. 3.利用在一点的导数研究瞬时速度、瞬时加速度等物理概念 探点1.设球的半径为时间t的函数.若球的体积以定速c增长，则球的表面积的增长速度与球半径 成正比,比例系数为成正比,比例系数为成反比,比例系数为成反比,比例系数为 探究:球的体积，则，所以球的表面积为，所以，从而，故选. 题思:速度不拘于位移的速度，任何问题都存在变化速度，只要是瞬时变化速度都在一点的导数问题. 探点2.往棱长为的倒立的正四棱锥注水，每秒钟体积增加个单位，则水面高度 在时的变化率为 . 探究:设时刻时水面正方形的边长为，高为，则，解得.由题意知 ，解得.所以，所以当，故水面 高度在时的变化率为. 4.与切线有关的综合运算 探点.已知函数和直线 （I）求的值； （II）是否存在的值，使直线既是曲线的切线又是的切线，如果存在，求出 的值；如果不存在，请说明理由； (III)如果对于所有满足的都有成立，求的取值范围. (IV)若直线不是曲线的切线，求的取值范围. 探究( I),由知; (II)因为直线恒过定点,先求直线是的切线.设切点为,因为 ,所以,切线方程为,将点(0,9)代入得,若,则的切线方程为;若,则的切线方程为.①由解得.当,则的切线方程为;当,则切线方程为,所以是公切线；②由解得.当,则的切线方程为;当,则切线方程为,所以不是公切线.综上所述当时, 是公切线; (III) ①由得,当时,不等式恒成立,;当时,不等 式为:,所以;当时,不等式为: .而,所以.所以当时, 恒成立,则; ②由得.当时,不等式变为恒成立,;当时,不等式为:,设 ,则单调递增，所以.要使在上恒成立,则.由上过程只需考虑. 则当时, ,可推得而当时,所以一定成立,综上所述的取值范围为; (IV). 2 学科网（北京）股份有限公司 $