第6讲 数列中的最值、范围问题(专题跟踪检测)-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word（提升版）

第6讲　数列中的最值、范围问题 （时间：45分钟，满分：60分） 1.（13分）已知数列{an}是首项为的等比数列，公比q∈N*，Sn是它的前n项和，满足S4＝5S2. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝logaan（a＞0且a≠1），求数列{bn}的前n项和Tn的最值. 2.（15分）（2025·黑龙江齐齐哈尔一模）已知公差d不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝6，＝. （1）求{an}的通项公式； （2）令bn＝＋12，Tn为数列{bn}的前n项和，求使Tn≥2 025成立的n的最小值. 3.（15分）（2025·青海西宁二模）设Sn为数列{an}的前n项和，n≥2时，Sn＋2＝5Sn＋1－8Sn＋4Sn－1，已知a1＝1，a2＝4，a3＝12. （1）证明：数列{an＋1－2an}为等比数列； （2）求数列{an}的通项公式； （3）若不等式λ（Sn－1）－n＋1≥0对任意正整数n都成立，求实数λ的最小值. 4.（17分）（2025·河北秦皇岛一模）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝4，{}是公比为2的等比数列. （1）证明：{an}是等比数列； （2）求{an}的通项公式以及Sn； （3）设bn＝（n－5）an，若∃n∈N*，4m＋2m－2≤bn，求m的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲　数列中的最值、范围问题 1.解：（1）公比q∈N*，∵S4＝5S2，q≠1. ∴＝，解得q＝2. ∴an＝×2n－1＝2n－5. （2）bn＝logaan＝（n－5）loga2，∴数列{bn}的前n项和Tn＝·loga2＝［（ n－）2－］loga2， 当a＞1时，＝T4＝T5＝－10loga2，无最大值； 当0＜a＜1时，＝T4＝T5＝－10loga2，无最小值. 2.解：（1）由题设＝＝，即3a1＋10a6＝7a9， 所以13a1＋50d＝7a1＋56d，即a1＝d，而a3＝a1＋2d＝6，所以a1＝d＝2， 所以an＝2n. （2）由题设bn＝＋12＝4n＋12， 则Tn＝（4＋42＋43＋…＋4n）＋12n＝＋12n＝＋12n－， 所以Tn＝＋12n－≥2 025， 又Tn＝＋12n－在n∈N*上单调递增， 当n＝5时，T5＝＋12×5－＝1 424＜2 025， 当n＝6时，T6＝＋12×6－＝5 532＞2 025， 所以使Tn≥2 025成立的n的最小值为6. 3.解：（1）证明：当n≥2时，Sn＋2＝5Sn＋1－8Sn＋4Sn－1，即Sn＋2－Sn＋1＝4（Sn＋1－Sn）－4（Sn－Sn－1）， 则an＋2＝4an＋1－4an，而a1＝1，a2＝4，a3＝12，则a3＝4a2－4a1， 于是∀n∈N*时，an＋2＝4an＋1－4an，整理得an＋2－2an＋1＝2（an＋1－2an），又a2－2a1＝2≠0， 所以数列{an＋1－2an}是首项和公比都是2的等比数列. （2）由（1）知，数列{an＋1－2an}是首项和公比都是2的等比数列，则an＋1－2an＝2n， 因此－＝，数列{}是首项为，公差为的等差数列，＝＋（n－1）＝n， 所以数列{an}的通项公式an＝n×2n－1. （3）由（2）知，Sn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1， 2Sn＝1×21＋2×22＋…＋（n－1）×2n－1＋n×2n， 两式相减得，－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n×2n＝－n×2n＝－1＋（1－n）×2n， 则Sn＝2n（n－1）＋1. 不等式λ（Sn－1）－n＋1≥0，即λ·2n（n－1）－（n－1）≥0， 当n＝1时，λ为任意实数； 当n≥2时，λ≥恒成立，而≤，因此λ≥， 所以实数λ的取值范围是λ≥，λ的最小值为. 4.解：（1）证明：依题意，数列{}是首项为1，公比为2的等比数列，故＝2n－1， 则Sn＝（2n－1）an，Sn＋1＝（2n＋1－1）an＋1，两式相减得an＋1＝（2n＋1－1）an＋1－（2n－1）an， 即（2n＋1－2）an＋1＝（2n－1）an，因此an＋1＝an，而a1＝4， 所以{an}是等比数列. （2）由（1）知an＝a1（ ）n－1＝（ ）n－3，Sn＝（2n－1）·＝8－. （3）由（2）知，bn＝，当n≤5时，bn≤0，当n≥6时，bn＞0， ＝＝·＝（ 1＋），若n＝6，则b7＝b6＝， 若n≥7，＝（ 1＋）≤＜1，bn＋1＜bn， 因此数列{bn}的最大项为b7＝b6＝，由∃n∈N*，4m＋2m－2≤bn，得4m＋2m－2≤， 即8·＋2·2m－1≤0，整理得（4·2m－1）·（2·2m＋1）≤0，因为2m＞0，所以2m≤，解得m≤－2， 所以m的取值范围是（－∞，－2]. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $