创新交汇 三角函数、解三角形与其他知识的综合问题(专题跟踪检测)-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word（提升版）

创新交汇　三角函数、解三角形与其他知识的综合问题 （时间：45分钟，满分：58分） 1.（13分）对平面向量m，n，定义运算：｜m×n｜＝｜m｜｜n｜sin θ，其中｜m｜，｜n｜分别表示m，n的模，θ是m与n的夹角.在△ABC中，已知｜×｜＝4，·＝4. （1）是否存在满足条件的△ABC，使得2｜｜＋｜｜＝6？若存在，求｜｜的值；若不存在，请说明理由； （2）若2｜｜＋｜｜＝8，D是线段AC上一点，且BD＝AD，求. 2.（15分）（2025·山东齐鲁名校联考）已知复数z，，z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，其中点A在第一象限，且原点O是△ABC的外心. （1）求｜z｜； （2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（b＋c）2＝a2＋4bcsin2. ①证明：△ABC是直角三角形； ②求△ABC的面积. 3.（15分）如果存在实数对（m，n）使函数f（x）＝msin ωx＋ncos ωx（x∈R），那么我们就称函数f（x）为实数对（m，n）的“ω型正余弦生成函数”，实数对（m，n）为函数f（x）的“ω型正余弦生成数对”. （1）若函数y＝g（x）的“4型正余弦生成数对”为（1，－），求方程g（x）＝在区间［，］上的所有实根之和； （2）若实数对（k，－1）的“2型正余弦生成函数”y＝h（x）在x＝x0处取得最大值，其中2＜k＜3，求tan 4x0的取值范围. 4.（15分）（2025·江苏连云港期中）在非直角三角形ABC中，边长a，b，c满足a＋c＝λb（λ∈R，且λ＞1）. （1）若λ＝2，且3csin A＝4bsin C，求cos B的值； （2）求证：tantan＝； （3）是否存在函数f（λ），使得对于一切满足条件的λ，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的f（λ），并证明，若不存在，请给出一个理由. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 创新交汇　三角函数、解三角形与其他知识的综合问题 1.解：（1）不存在满足条件的△ABC.理由如下： ∵｜×｜＝4，·＝4， ∴｜｜｜｜sin A＝4　①， ｜｜｜｜cos A＝4　②，由①②解得tan A＝. ∵A∈（0，π），∴A＝，∴｜｜｜｜＝8. 设｜｜＝c，｜｜＝b，｜｜＝a，∴bc＝8，由2｜｜＋｜｜＝6得2c＋b＝6， 联立无解，∴不存在满足条件的△ABC. （2）由（1）知，A＝，bc＝8　③，由2｜｜＋｜｜＝8，得2c＋b＝8　④，由③④解得 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝16＋4－2×4×2×＝12，∴a＝2. ∵a2＋c2＝b2，∴∠ABC＝，C＝. 由BD＝AD，设BD＝x，AD＝x，其中x＞0，则CD＝4－x. 在△ABD中，由余弦定理得（x）2＝4＋（x）2－2×2×x×，即x2＋2x－4＝0，得x＝－（舍负），∴AD＝2－2，CD＝6－2， ∴＝＝＝＝＝. 2.解：（1）∵O是△ABC的外心，即｜OA｜＝｜OB｜＝｜OC｜，∴｜z｜＝｜｜＝｜z2｜. 只需考虑｜z｜＝｜z2｜，即｜z｜＝｜z｜2，又点A在第一象限，∴｜z｜≠0，∴｜z｜＝1. （2）①证明：∵（b＋c）2＝a2＋4bcsin2，∴b2＋c2＋2bc＝a2＋2bc（1－cos A）. ∴a2＝b2＋c2＋2bccos A. 由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A，两式相加可得a2＝b2＋c2，∴A＝， ∴△ABC是直角三角形. ②设z＝m＋ni，m，n∈R，则＝m－ni，z2＝m2－n2＋2mni， 可知A（m，n），B（m，－n），C（m2－n2，2mn）. 易知AB与复平面的实轴垂直，又A＝，∴AC与复平面的虚轴垂直， ∴n＝2mn，又点A在第一象限，∴n＞0，∴m＝，又｜z｜＝＝1， ∴n＝， ∴A（，），B（，－），C（－，）， ∴AB＝，AC＝1， ∴△ABC的面积为AB·AC＝××1＝. 3.解：（1）由函数y＝g（x）的“4型正余弦生成数对”为（1，－），可得g（x）＝sin 4x－cos 4x＝2sin（4x－）， 方程g（x）＝，即2sin（4x－）＝， 即sin（4x－）＝， 由x∈［，］，可得4x－∈［，］， 设θ＝4x－，即sin θ＝， 结合正弦函数y＝sin θ的图象，可得方程sin θ＝在区间［，］上有两个根， 设其为θ1，θ2，且θ1＝4x1－，θ2＝4x2－，由对称性可知θ1＋θ2＝3π，解得x1＋x2＝， 则方程g（x）＝在区间［，］上的所有实根之和为.（2）由题意得h（x）＝ksin 2x－cos 2x＝·sin（2x－φ），其中tan φ＝， 由h（x）在x＝x0处取得最大值，可得2x0－φ＝2nπ＋（n∈Z），所以2x0＝2nπ＋＋φ（n∈Z）， 即tan 2x0＝tan（2nπ＋＋φ）＝tan（＋φ）＝－＝－k（n∈Z）， 可得tan 4x0＝＝＝， 又2＜k＜3，且y＝x－在（0，＋∞）上单调递增，所以＜＜，即tan 4x0的取值范围为（，）. 4.解：（1）由正弦定理可得3ca＝4bc，即3a＝4b，即a＝b， 又a＋c＝2b，即c＝b， 由余弦定理可得cos B＝＝＝. （2）证明：因为a＋c＝λb，所以sin A＋sin C＝λsin B， 即2sin·cos＝2λsin·cos. 则cos＝λcos. 故cos·cos＋sin·sin ＝λcos·cos－λsin·sin， 即（1＋λ）sin·sin＝（λ－1）cos·cos. 故tan·tan＝. （3）存在f（λ）＝－.证明如下： 因为（tan·tan）2＝，所以·＝. 展开整理可得4λ－2（λ2＋1）（cos A＋cos C）＝－4λcos Acos C， 即＝－4λ， 故＝. 因此＝－1. 所以存在函数f（λ）＝－. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $