微突破1 “爪形”三角形问题(专题跟踪检测)-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word（提升版）

微突破1　“爪形”三角形问题 （时间：40分钟，满分：54分） 1.（5分）（2025·湖南郴州三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，a＝4，BC边上的高AD＝，则b＋c＝（　　） A.2　 　 B.4　 　 C.8　 　　 D.4 2.（5分）（2025·江西九江模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是BC的中点，·＝2c2，则＝（　　） A. B. C.2 D. 3.（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，AD是△ABC的角平分线，点D在BC上，CD＝3BD，AD＝，则△ABC的面积为（　　） A. B. C. D. 4.（6分）〔多选〕（2025·福建漳州一模）在△ABC中，AC＝2，tan A＝2，向量在向量上的投影向量为，则（　　） A.边BC上的高为3 B.sin C＝ C.·＝－8 D.边AB上的中线为 5.（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin Btan A＝asin Bcos C＋bsin C·cos A.若点D在边BC上，且BD＝2DC，b＝3，AD＝2，A＝，则△ABC的周长为　　　　. 6.（13分）在△ABC中，D是边BC上的点，∠BAC＝120°，AD＝1，AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ACD的面积的两倍. （1）求△ACD的面积； （2）求△ABC的边BC上的中线AE的长. 7.（15分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，bsin 2A＝4sin B. （1）若b＝1，证明：C＝A＋； （2）若BC边上的高为，求△ABC的周长. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 微突破1　“爪形”三角形问题 1.A　由已知得×4×＝bcsin，解得bc＝8　①，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得16＝b2＋c2－bc　②，由①②可得b＋c＝＝2. 故选A. 2.D　在△ABC中，D是BC的中点，·＝（－）·（＋）＝2c2，则－＝4c2，即b2－c2＝4c2，因此b2＝5c2，所以＝＝.故选D. 3.D　在△ABC中，由角平分线定理得＝＝3，所以b＝3c，又S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，即bcsin A＝c×AD×sin＋b×AD×sin，解得c＝，b＝4，所以S△ABC＝bcsin A＝××4×＝. 4.ABD　如图，过点C作CD⊥AB于点D，则向量在向量上的投影向量为，由已知＝，所以AD＝AB，设AD＝x，则BD＝2x，又tan A＝2，所以CD＝2x，所以B＝45°，在Rt△ACD中，AC＝x，又AC＝2，所以x＝2，所以AD＝2，BD＝4，CD＝4，所以AB＝6，在Rt△BCD中，易得BC＝＝4，所以在△ABC中，边BC的高为AB·sin B＝3，故A正确；在△ABC中，由余弦定理的推论得cos C＝＝，又因为C∈（0，π），所以sin C＝＝，故B正确；·＝｜｜·｜｜cos C＝2×4×＝8，故C错误；设AB的中点为M，则＝（＋），所以＝（＋＋2·）＝×（20＋32＋2×8）＝17，则｜｜＝，故D正确.故选A、B、D. 5.3＋9　解析：设CD＝x，则在△ABC中，cos∠BAC＝＝　①.在△ACD中，cos∠ADC＝＝.在△ADB中，cos∠ADB＝.因为cos∠ADC＋cos∠ADB＝0，所以6x2＋18－c2＝0　②.由①②可解得c＝6，x＝，所以△ABC的周长为3＋9. 6.解：（1）由已知及正弦定理可得： S△ABD＝AD·AB·sin 60°＝2S△ACD＝2×AD·AC·sin 60°， 化简得AB＝2AC. 又因为S△ABC＝3S△ACD＝3·AD·AC·sin 60°＝AC＝AB·AC·sin 120°＝AC2，所以AC＝， 所以S△ACD＝AC·AD·sin 60°＝×＝， 所以△ACD的面积为. （2）由（1）可知AB＝2AC＝3，因为AE是△ABC的边BC上的中线， 所以＝（＋）， 所以｜｜＝ ＝＝×＝， 所以△ABC的边BC上的中线AE的长为. 7.解：（1）证明：由已知可得＝＝， 由正弦定理＝可得，＝＝， 所以有＝. 又sin A＞0，所以cos A＝，sin A＝＝. 又b＝1，所以sin B＝＝＝. 因为a＞b，所以cos B＝＝， 所以cos C＝－cos（A＋B）＝ －cos Acos B＋sin Asin B＝－， 所以cos C＝－sin A＝cos（A＋）. 又C∈（0，π），A＋∈（0，π），函数y＝cos x在（0，π）上单调递减， 则C＝A＋. （2）由题意得△ABC的面积S＝×6×＝8. 又S＝bc·sin A＝bc，则bc＝24. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A＝（b＋c）2－2bc（cos A＋1）， 得（b＋c）2＝2bc（1＋cos A）＋a2＝48×（ 1＋）＋62＝（6＋4）2， 所以b＋c＝6＋4. 所以△ABC的周长为12＋4. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $