第2讲 三角恒等变换与解三角形(专题跟踪检测)-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word（提升版）

第2讲　三角恒等变换与解三角形 1.A　法一（通解）　cos A＝＝＝，因为0°＜A＜180°，所以A＝45°. 法二（优解）　因为BC＜AC，BC＜AB，所以A为最小角，所以A＜60°，排除B、C、D，故选A. 2.B　因为sin（ α＋）＝＋cos α，则sin α＋cos α＝＋cos α，即sin α－cos α＝，所以sin（ α－）＝，则cos（ 2α－）＝cos 2（ α－）＝1－2sin2（ α－）＝1－2×（ ）2＝.故选B. 3.B　由正弦定理＝可得，b＝＝＝2sin B.要使△ABC有两解，即B有两解，则应有A＜B，且sin B＜1，所以＝sin A＜sin B＜1，所以＜b＜2.故选B. 4.D　因为cos2A＋sin2A＝1，且2sin Acos A＝，又A＜，所以sin A＝，cos A＝，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，即4×17＝50＋c2－2×5c×即c2－8c－18＝0，即（c－9）（c＋）＝0，所以c＝9， 所以△ABC的面积为bcsin A＝×5×9×＝27.故选D. 5.A　因为0＜α＜，sin α＝，所以cos α＝＝，因为0＜α＜，＜β＜π，所以＜α＋β＜，因为cos（α＋β）＝－，所以sin（α＋β）＝±＝±.当sin（α＋β）＝时，sin β＝sin[（α＋β）－α]＝sin（α＋β）cos α－cos（α＋β）sin α＝×＋×＝，因为＜β＜π，所以sin β＞0，故sin β＝满足题意；当sin（α＋β）＝－时，sin β＝sin[（α＋β）－α]＝sin（α＋β）cos α－cos（α＋β）sin α＝－×＋×＝0，因为＜β＜π，故sin β＝0不合题意，舍去.故选A. 6.B　如图，梯形ABCD内接于圆O，则∠ADC＋∠ABC＝π，因∠ADC＝，则∠DAB＝∠ABC＝，故梯形ABCD为等腰梯形，则AD＝BC＝2，所求即为△ACD的外接圆的半径.在△ACD中，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC＝4＋1－2×2×1×（ －）＝7，则AC＝，又由正弦定理得2R＝＝＝，即R＝.故选B. 7.C　令直线CD，AB的延长线交于点E，则AE⊥CE.依题意，CE＝＝AE，DE＝＝AE，而CD＝36（＋1），所以AE＝36（＋1），解得AE＝18（3＋），又AE＝DEtan 60°＝DE，所以DE＝18（＋1），而BE＝DEtan 15°＝DEtan（60°－45°）＝DE·＝18（－1），所以AB＝AE－BE＝72（m）.故选C. 8.BC　由cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝，且cos αcos β＝，则sin αsin β＝－，故A错误；由cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝－＝，故B正确；由tan αtan β＝＝＝－，故C正确；由sin 2αsin 2β＝2sin αcos α·2sin βcos β＝4sin αsin βcos αcos β＝4×（ －）×＝－，故D错误.故选B、C. 9.ABC　A.cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝1－2sin2A＋1－2sin2B＋2sin C＝2，所以sin2A＋sin2B＝sin C，故A正确；令a＝BC，b＝AC，c＝AB，则＝＝＝2R（R为△ABC的外接圆半径），由sin2A＋sin2B＝sin C，得a2＋b2＝c·2R≥c2.由cos Acos Bsin C＝，易知A，B为锐角，若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形，则A＋B＞，即A＞－B，则sin A＞sin（－B）＝cos B，所以sin C＝sin2A＋sin2B＞cos2B＋sin2B＝1，矛盾.故a2＋b2＝c2，即C＝A＋B＝；B.由cos Acos Bsin C＝cos Acos B＝，所以sin Asin B＝.因为S△ABC＝ab＝，所以ab＝，所以＝（2R）2＝＝2，所以2R＝，所以c＝2R·sin C＝，故B正确；C.（sin A＋sin B）2＝sin2A＋sin2B＋2sin Asin B＝sin C＋2sin Asin B＝1＋2×＝，所以sin A＋sin B＝，故C正确；D.AC2＋BC2＝AB2＝c2＝2，故D错误.故选A、B、C. 10.　解析：a2＋（1－2cos C）ac－2c2cos C＝（a＋c）·（a－2ccos C）＝0，因为a＋c≠0，所以a－2ccos C＝0，即a＝2ccos C，由正弦定理，可得sin A＝2sin Ccos C＝sin 2C，又因为A＝，所以sin 2C＝，因为0＜C＜，则0＜2C＜，所以2C＝，解得C＝. 11.　解析：∠BMN＝α，∠AMN＝β，由题意可得MB＝cos α，NB＝sin α，MA＝cos β，NA＝sin β，因为则两式平方相加可得2－2cos αcos β－2sin αsin β＝，即2－2cos（β－α）＝，所以cos（β－α）＝. 12.解：（1）因为f（0）＝cos φ＝，且0≤φ＜π，所以φ＝. （2）g（x）＝f（x）＋f（x－）＝cos（2x＋）＋cos 2x＝cos 2xcos －sin 2xsin ＋cos 2x＝cos 2x－sin 2x＝（cos 2x－sin 2x）＝cos（2x＋）， 故函数g（x）的值域为[－，]. 令2kπ－π≤2x＋≤2kπ（k∈Z），得kπ－≤x≤kπ－（k∈Z）， 所以g（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ－］（k∈Z）. 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π（k∈Z），得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）， 所以g（x）的单调递减区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）. 13.解：（1）因为∠BAD＝∠CAE，且AB＝5，AC＝3， 所以＝＝，可得＝， 即5AD·CE＝3BD·AE，所以＝. （2）因为AB＝5，AC＝3，BC＝7， 所以cos∠BAC＝＝＝－， 又因为∠BAC∈（0，π），所以∠BAC＝， 因为AB⊥AE，所以∠BAD＝∠CAE＝－＝，所以∠DAE＝， 又因为cos B＝＝＝，所以sin∠AED＝cos B＝， 所以＝＝＝. 14.D　因为a2，b2，2c2成等差数列，所以a2＋2c2＝2b2，则cos B＝＝，cos C＝＝，所以＝＝＝，即tan B＝3tan C，且tan C＞0，所以tan（C－B）＝＝－＝－≥－，当且仅当tan C＝时，等号成立.所以tan（C－B）的最小值为－.故选D. 15.B　由已知得tan β＝3，易得cos 2α＝＝，sin 2α＝＝，所以cos 2α＋sin 2α＝＝－，解得tan α＝4或tan α＝－（舍去），故tan（α－β）＝＝.故选B. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲　三角恒等变换与解三角形 （时间：60分钟，满分：95分） 一、单项选择题（每小题5分，共35分） 1.（2025·全国Ⅱ卷5题）在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝（　　） A.45° B.60° C.120° D.135° 2.已知sin（ α＋）＝＋cos α，则cos（ 2α－）＝（　　） A.－ B. C.－ D. 3.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，A＝60°，a＝.若这个三角形有两解，则b的取值范围是（　　） A.＜b≤2 B.＜b＜2 C.1＜b＜2 D.1＜b≤2 4.（2025·湖南长沙模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＜，a＝2，b＝5，sin 2A＝，则△ABC的面积为（　　） A.36 B.18 C.36 D.27 5.已知0＜α＜，＜β＜π，sin α＝，cos（α＋β）＝－，则sin β＝（　　） A. B. C.或 D.0或 6.在圆内接梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝，BC＝2，CD＝1，则其外接圆的半径为（　　） A. B. C. D. 7.雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔.某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为30°，在点D处测得点A，B的仰角分别为60°，15°，测得CD＝36（＋1）m，则按此法测得的雷峰塔塔高为（　　） A.68 m B.70 m C.72 m D.74 m 二、多项选择题（每小题6分，共12分） 8.（2025·江苏南京一模）已知cos αcos β＝，cos（α＋β）＝，则（　　） A.sin αsin β＝ B.cos（α－β）＝ C.tan αtan β＝－ D.sin 2αsin 2β＝ 9.（2025·全国Ⅰ卷11题）已知△ABC的面积为，cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝2，cos Acos Bsin C＝，则（　　） A.sin C＝sin2A＋sin2B B.AB＝ C.sin A＋sin B＝ D.AC2＋BC2＝3 三、填空题（每小题5分，共10分） 10.（2025·陕西咸阳二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，a2＋（1－2cos C）ac－2c2cos C＝0，则C＝　　　. 11.如图所示，两个直角三角形共斜边MN，且MN＝1，MB－MA＝，NA－NB＝，设∠AMN＝β，∠BMN＝α，则cos（β－α）＝　 　　. 四、解答题（共2小题，共28分） 12.（13分）（2025·全国Ⅱ卷15题）已知函数f（x）＝cos（2x＋φ）（0≤φ＜π），f（0）＝. （1）求φ； （2）设函数g（x）＝f（x）＋f（x－），求g（x）的值域和单调区间. 13.（15分）（2025·山东齐鲁名校联考）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点D，E是BC边上的两点，点D在B，E之间，∠BAD＝∠CAE. （1）求的值； （2）若BC＝7，AB⊥AE，求的值. 高考新风向 14.（5分）〔创新交汇〕在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2，b2，2c2成等差数列，则tan（C－B）的最小值为（　　） A.　　　　　　　　　B.　　　　　　　C.－　　　　　　D.－ 15.（5分）〔创新考法〕（2025·黑龙江双鸭山模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ（0°≤θ≤80°）的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htan θ.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，第二次的“晷影长”是“表高”的3倍，且cos 2α＋sin 2α＝－，则tan（α－β）的值为（　　） A.－ B. C.4 D.13 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $