第6讲 数列中的最值、范围问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word（提升版）

第6讲　数列中的最值、范围问题 【考情分析】　近几年高考试题中，与数列有关的最值、范围问题既有解答题，也有选择、填空题，难度中等或偏上. 考点一　求数列和式的最值、范围问题 【例1】　（2025·福建厦门二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＋an＝n＋3. （1）证明：数列{an－1}是等比数列； （2）记数列{}的前n项和为Tn，求Tn的取值范围. 【规律方法】　求数列和式最值、范围的基本方法 （1）利用不等式组（n≥2）确定和式的最大值； 利用不等式组（n≥2）确定和式的最小值； （2）把数列的和式看作函数，利用函数的性质求其最值、值域. 【训练1】　（2025·山东枣庄二模）在数列{an}中，a1＝20，an＋1＝an＋2n－2. （1）求{an}的通项公式； （2）若bn＝an－2n，求数列{bn}的前n项和Sn的最大值. 考点二　求数列项数的最值、范围问题 【例2】　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，Sn＝2an＋1－3. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若cn＝，求使cn取得最大值的n的值. 【规律方法】　求n的值或最值，一般涉及数列的项或和的最值与范围，通常化归为解关于n的不等式，或根据数列的单调性求解. 【训练2】　已知数列{an}是递增的等比数列，公比为q，且满足a1＋a5＝34，8是a2与a4的等比中项. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn＝n·an，Tn是{bn}的前n项和，求使Tn－n·2n＋1＞－100成立的最大正整数n的值. 突破点　求数列不等式中参数的取值范围 【例3】　（2025·浙江嘉兴三模）记Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，4Sn＝＋2an－3，数列{bn}满足bn＝ （1）求数列{an}的通项公式； （2）记数列{bn}的前n项和为Tn，若对任意n∈N*，Tn≥10n＋λ，求实数λ的取值范围. 【规律方法】　此类问题以数列为载体，一般涉及数列的求和，考查不等式的恒成立问题，可转化为函数的最值问题.若f（n）≥M恒成立，则f（n）min≥M；若f（n）≥M有解，则f（n）max≥M. 【训练3】　（2025·辽宁葫芦岛一模）设数列{an}是公差大于1的等差数列，{an}，{bn}满足＝－，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，且2a1＝a2，S2＋T2＝16. （1）求{an}的通项公式； （2）若存在n∈N*，使得10Tn－9n＋t＋t2＜3，求实数t的取值范围. 真题体验 1.（2022·全国甲卷理17题）记Sn为数列{an}的前n项和.已知＋n＝2an＋1. （1）证明：{an}是等差数列； （2）若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值. 2.（2021·浙江高考20题）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且4Sn＋1＝3Sn－9（n∈N*）. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{bn}满足3bn＋（n－4）an＝0（n∈N*），记{bn}的前n项和为Tn.若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围. 提示：完成课后作业　专题二　第6讲 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第6讲数列中的最值、范围问题 【例1】解：(1)证明：由Sm十am=n+3,① 当n=1时，a1+a1=1+3,即a1=2; 当n≥2时，Sm-1+am-1=n+2,② 则①-②得，2an-an-1=1, 则2(a-1)=a-1-1,即号=， 所以数列{a一1}是等比数列，首项为l,公比为 2)由(1)得，a,-1=1·(支)-1，即a,=(支)n-1+1, 号)1+1 则导==1+2” 则，=1+20+1+21+十1+2-1=n+号=2+n-1, 因为y=2x,y=x一1在[1，十∞)为增函数， 则数列{2n十n一1}为递增数列， 所以Tm≥2， 所以Tm的取值范围为[2，十∞). 【训练1】解：(1)依题意，当n≥2时，a一a,-1=2"-1-2,则an=a十(a2-a)+(a3- a2）+..+(an-an-1) =20+(21-2)+(22-2)+(23-2)+.+(2m-1-2)=(2+22+23+..+2n-1)-2(n- 1)+20 =21-21】-2n十22=2m-2n+20, 1-2 a1=20满足上式， 所以{a,}的通项公式为am=2n一2n十20. (2)由(1)得bm=4,一2n=一2n十20，数列{bm}是递减等差数列， 由bm≥0，得n≤10，则数列{b}的前10项均为非负数，从第11项起为负数， 而b1o=0,因此数列{bm}的前10项和与前9项和相等，都最大， 所以数列{b}的前n项和S,的最大值为S0=S,=×10=90. 【例2】解：(1)因为S1=2a2-3且S=a=号，所以a=呈， 由Sm=2an+1-3,可得Sn-1=2an-3(n≥2）， 1/6 ·独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 两式相减得an=Sn一Sm-1=2an+1一2an, 因为a≠0，所以器=， 又器=是，所以对任意的nEN,赞=， 所以{a}是首项和公比均为号的等比数列，所以a,=4×g”1=(是)” (2)由(1)可得c=（号)n(2+n), n≥2时，由品-=别>1，可得n<5， 故当n<5时，c1<c2<c3<c4,当n>5时，c5>c6>c7>.., 当n=4时，4=（号）4(4+4)=， 当n=5时，c%=(号)5(52+5)=， 所以c4=c5,所以C1<c2<c3<c4=cs>c6>c7>., 综上，n=4或n=5时，c,取得最大值. 【训练2】解：(1)因为8是42与a4的等比中项，所以a2a4=82=64, a+as=34,【a+a5=34, 则由题意得{4=64， 即1d=64, ∫a=2,a=32, 解得{5=32或{6=2， (a=2, 因为数列{a是递增的等比数列，所以{5=1g=32,即a=2,g=2, 所以an=a1g”-1=2×2n-1=2m (2)由(1)得bm=n·an=nX2”, 则Tm=1×21+2×22+3×23+..+n×2m①， 2Tm=1×22+2×23+3X24+.…十n×2n+1②， ①-②得-Tm=21+22+23+..十2n-n×2n+1, 即1，=X2+1-2签=(n-1)2+12, 所以Tm-n·2n+1=(n-1)2n+1+2-n·2n+1=2-2n+1. 由Tm-n·2+1>-100,得2-2n+1>-100, 即2n<51,由于25=32<51,26=64>51， 所以n≤5，即使Tm一n·2m+1>一100成立的最大正整数n的值为5. 2/6 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2Zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 【例3】解：1)n=1时，41=S=2,解得a1=-1或a1=3,因为a>0,所以a=3, 4 当n≥2时，am=8-Sm1=卧2r3-t2ar3,得(a十am-1）(a,-am-1-2)=0, 4 4 因为a,十an-1>0,所以a,-a,-1=2,又a1=3, 故数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列， 所以数列{an}的通项公式为4n=2n十1. 如-a+1n为奇数， (2)法-由bm= (+a+1n为偶数， -2,n为奇数， 所以bm= 4n+4,n为偶数， 当n为偶数时， Tm=b1十b2十b3十.+bm-1十bn=(b1+b3+..+bm-3+bm-1)+(b2+b4+..十bm-2十bn)=[-2+ (-2)+.+(-2)+(-2)]+[12+20+..+(4n-4)+(4n+4)] =(-2）X号+24a4避=m2+3m, 2 当n为奇数时， Tm=Tm+1-bm+1=(n+1)2+3(n+1)-[4(n+1)+4]=n2+n-4, 2+n-4,n为奇数， 所以Tm=气+3n,n为偶数， 因为对任意的n∈N*,Tn≥10n十成立， 当n为奇数时，即n2+n一4≥10n+,所以≤n2-9n一4， 不等号的右边可看作关于n的二次函数，对称轴为n=一号=4.5， 因为n为奇数，所以n=5时，(n2-9n-4)min=-24,则入≤-24； 当n为偶数时，n2+3n≥10n十，所以1≤n2-7n, 同理可得，因为n为偶数，所以n=4时，(n2-7n)min=一12，则1≤一12， 综上，1≤-24. a-a+1n为奇数， 法二由bm= (a+a+1n为偶数， 当n为偶数时， Tn=b1+62+63+...+on-1+om =(a1-a2)+(a2+a3）+(a3-a4)+.+(an-1-an）+(an十a+1) 3/6 ·独家授权侵权必究。 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 =[a+(a+a3)+.+(a+a+1)]+[(-a)+(as-a4)+.+(a-1-a)] =S+1十(-5)+(-2)×号=n2+3n. 当n为奇数时， Tm=Tm+1-bm+1=(n+1)2+3(n+1)-[4(n+1)+4]=n2+n-4, 2+n-4,n为奇数， 所以T,-(+3,n为偶数.（下同法-) 法三因为对任意的n∈N*,Tm≥10n十元恒成立， 则≤Tm-10n,即求T#-10n的最小值，令Cm=Tm-10n, 当n为奇数时，Cm+1-Cm=Tm+1-Tm一10=bm+1-10=4n-2>0, 则Cm+1>Cm,所以Cm的最小值一定在n为奇数时取到， 当n为奇数时，Cn+2-Cn=Tm+2-Tm-20=bn+2十bm+1-20=4n-14, 当n≥5时，Cm+2>Cm,当n≤3时，Cn+2<C 所以当n为奇数时，C1>C3>C5,C5<C?<C9<., 则Cm的最小值为C5=T5一50=b1十b2十.+b5-50=-24, 所以1≤-24. 【训练3】解：（1)，2a1=a2,.2a=a1十d,解得a4=d,a2=2d, ∴.S2=a41十a2=3d, 由动。=合一市，可知站=克， b1=号=子， 动=吉，b2=备=品=， ∴I2=b+b2=2+号=8， 十T2=3d+音=16， 即32-16d什5=0，解得d=5或d=青（舍去）， ∴.a=a41+(n-1)d=5n. (2)由(1)知a=5m,由动。=合-本可知，燕。=n,解得6w=吉n+信， ·(b}为等差数列，故T,=n层壁)=n+3=43」 2 10 10 存在n∈N*,有10Tm-9n十t+2<3,即(10Tn-9n)mim+t+2<3, 又10Tm-9n=n2-6n=(n-3)2-9, 4/6 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 '(10Tn-9n min=-9, 故-9+t+t2<3,整理2+t-12<0解得-4<t<3. ∴t的取值范围是（一4,3）. 真题体验 1.解：(1)证明：由2登十n=2an十1，得2Sn十n2=2awn十n ① 所以2Sm+1+(n+1)2=2am+1(n+1)+(n+1)，② ②-①，得2am+1+2n+1=2a+1（n+1)-2ann+1, 化简得a+1一an=1, 所以数列{a}是公差为1的等差数列. (2)由(1)知数列{am}的公差为1. 由=a4ag,得(a十6)2=(a+3)·(a十8)， 解得a1=一12. 所以8=-12n+=正==(n-空)2-g, 2 所以当n=12或13时，Sm取得最小值，最小值为-78. 2.解：(1)因为4Sm+1=3Sn-9, 所以当n≥2时，4Sm=3Sm-1-9, 两式相减可得4an+1=3a,即娑=是. 当n=1时，42=4(-景+a)=-￥-9， 解得a=-名， 所以贵=是 所以数列{a}是首项为一呈，公比为的等比数列， 所以a,=一是×（程）产1=一器 (2)因为3bn十(n-4)an=0, 所以b=(n-4)×(得)”. 所以T,=-3×星-2×（得）2-1×（得）3+0×（得）+.+(n-4)×(是)”，① 且。=-3×（星）2-2×()3-1×（星）+0×()°++(n-5)×()”+(n-4)× (), ② 5/6 ,独家授权侵权必究· 。学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2Zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 0-®含7，-3×星+（保）+（得）++()”-4×（星）+自 1- 一(n 4×(得)1=-n×()1, 所以I,-4nx()1, 因为Tn≤b,对任意n∈N*恒成立， 所以-4n×(年)*1≤元(n-4)×()”恒成立， 即-3n≤1(n-4)恒成立， 当n<4时，≤器=-3-品，此时≤1： 当n=4时，一12≤0恒成立； 当n>4时，≥器=-3-品，此时≥-3. 所以-3≤λ≤1. 6/6 ·独家授权侵权必究·