第3讲 数列的递推关系-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word（提升版）

第3讲　数列的递推关系 【考情分析】　数列的递推关系是高考考查的重点内容，此类问题常利用累加法、累乘法或构造等差、等比数列求数列的通项公式，题型既有小题也有解答题，难度中等. 考点一　an与Sn的关系 【例1】　（1）已知数列{an}的前n项和为Sn，若满足Sn＝4an－3，则Sn＝（　　） A.4［（ ）n－1］ B.4［（ ）n－1］ C.3［（ ）n－1］ D.4（3n－1） （2）（2025·天津高考6题）已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋8n，则{｜an｜}的前12项和为（　　） A.48 B.112 C.80 D.144 听课记录　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【规律方法】　在处理Sn，an的式子时，一般情况下，如果要证明f（an）为等差（等比）数列，就消去Sn，如果要证明f（Sn）为等差（等比）数列，就消去an.但有些题目要求{an}的通项公式，表面上看应该消去Sn，但这会导致解题陷入困境，此时需要先消去an，求出Sn，然后利用an＝Sn－（n≥2）求出an（n≥2）. 【训练1】　（1）（2025·湖南常德一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且an＋1＝a1＋a2＋…＋an（n∈N*），则（　　） A.a2＝2 B.a4＝8 C.S2＝3 D.S5＝16 （2）（2025·四川绵阳模拟预测）数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝＋n，an＞0，则S100＝　　　　. 考点二　构造辅助数列 【例2】　（1）已知数列{an}满足a1＝4，且an＋1＝2an－3，则a211＝（　　） A.2210－3 B.2211－1 C.2210＋3 D.2211＋1 （2）（2025·福建宁德期末）已知数列{an}的首项a1＝，且满足an＋1＝（n∈N*），则a20的值为（　　） A. B. C. D. （3）记数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，2an＋1－3an＝2n，则＝　　　　　 . 听课记录　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【规律方法】　（1）形如an＋1＝（p，q≠0）的数列，取倒数构造等差数列求通项； （2）若数列{an}满足an＋1＝pan＋q（p≠0，1；q≠0），构造an＋1＋λ＝p（an＋λ）； （3）若数列{an}满足an＋1＝pan＋f（n）（p≠0，1），构造an＋1＋g（n＋1）＝p[an＋g（n）]. 【训练2】　（1）已知数列{an}满足an＋1＋2an＝3且a1＝2，其前n项和为Sn，则满足不等式｜Sn－n－｜≥100的最小整数n为　　　　； （2）数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＋1－2Sn＝1－n，且S1＝3，则{an}的通项公式是　　　　. 突破点　“不动点法”求数列通项 【例3】　（1）数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3 （n≥1），则该数列的通项an＝　　　　； （2）已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则an＝　　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【规律方法】　不动点法求通项公式的解题策略 （1）常见模型：an＋1＝Aan＋B型和an＋1＝型； （2）利用不动点求通项公式的步骤 第一步，令f（x）＝x，求出f（x）的不动点x0； 第二步，原等式两端同时减去x0，化简使得左右两侧结构一致； 第三步，构造数列求通项. 【训练3】　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝－，则an＝　　　. 真题体验 1.（2021·浙江高考10题）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝（n∈N*），记数列{an}的前n项和为Sn，则（　　） A.＜S100＜3 B.3＜S100＜4 C.4＜S100＜ D.＜S100＜5 2.（2019·上海高考8题）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋an＝2，则S5＝　　　　. 3.（2022·北京高考15题）已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足an·Sn＝9（n＝1，2，…）.给出下列四个结论： ①{an}的第2项小于3； ②{an}为等比数列； ③{an}为递减数列； ④{an}中存在小于的项. 其中所有正确结论的序号是　　　　. 提示：完成课后作业　专题二　第3讲 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲　数列的递推关系 【例1】　（1）C　（2）C　解析：（1）当n＝1时，S1＝4a1－3，S1＝4S1－3，得S1＝1，当n≥2时，Sn＝4（Sn－Sn－1）－3，3Sn＝4Sn－1＋3，Sn＝Sn－1＋1，Sn＋3＝（Sn－1＋3），又S1＋3＝4，所以{Sn＋3}是首项为4，公比为的等比数列，所以Sn＋3＝4×（ ）n－1，Sn＝4×（ ）n－1－3＝3［（ ）n－1］.故选C. （2）当n＝1时，a1＝S1＝－1＋8＝7，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋8n－[－（n－1）2＋8（n－1）]＝－2n＋9，显然a1＝7也符合该式，所以an＝－2n＋9，所以｜an｜＝所以{｜an｜}的前12项和为＋＝80.故选C. 【训练1】　（1）D　（2）10 100　 解析：（1）由an＋1＝a1＋a2＋…＋an＝Sn，当n＝1时，a2＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an＋1－an，所以an＋1＝2an，所以数列{an}从第二项开始是以a2＝1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝Sn＝所以a2＝1，a4＝4，S2＝2，S5＝16，故A、B、C错误，D正确.故选D. （2）当n＝1时，a1＝S1＝＋1，解得a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝＋n－［＋（n－1）］，即－4an＋4－＝0，则（an－2）2－＝0，即（an－an－1－2）（an＋an－1－2）＝0，所以an＋an－1＝2或an－an－1＝2，当an＋an－1＝2时，a1＝2，则a2＝0与an＞0矛盾，舍去，所以an－an－1＝2，即数列{an}是首项a1＝2，公差d＝2的等差数列，即an＝a1＋（n－1）d＝2n，所以数列{an}的前n项和Sn＝＝n（n＋1），即S100＝100×101＝10 100. 【例2】　（1）C　（2）A　（3）　 解析：（1）因为an＋1＝2an－3，所以an＋1－3＝2（an－3）.因为a1－3＝1，所以数列{an－3}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an－3＝2n－1，所以an＝2n－1＋3，故a211＝2210＋3.故选C. （2）因为a1＝，an＋1＝（n∈N*），易知an≠0，所以＝＝4＋，即－＝4，又a1＝，所以＝3，故{}是以3为首项，4为公差的等差数列，则＝3＋4（n－1）＝4n－1，故an＝，所以a20＝＝.故选A. （3）由2an＋1－3an＝2n，得＝×＋1，则－4＝（ －4），又－4＝0，所以＝4，则an＝2n，故a8＝28，S8＝＝29－2，＝＝. 【训练2】　（1）9　（2）an＝　解析：（1）因为an＋1＋2an＝3，所以an＋1－1＝－2（an－1），且a1－1＝1，所以数列{an－1}是首项为1，公比为－2的等比数列，则an－1＝（－2）n－1，所以an＝1＋（－2）n－1，所以Sn＝n＋＝n＋－（－2）n，因此不等式｜Sn－n－｜≥100，即｜－（－2）n｜≥100，即2n≥300，因为28＝256＜300＜29＝512，故满足不等式｜Sn－n－｜≥100的最小整数n为9. （2）∵Sn＋1－2Sn＝1－n，∴Sn＋1－（n＋1）＝2（Sn－n），且S1－1＝2≠0，∴＝2，∴{Sn－n}是以2为首项，2为公比的等比数列.∴Sn－n＝2·2n－1＝2n，Sn＝n＋2n.∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n＋2n－（n－1＋2n－1）＝2n－1＋1，又a1＝3不满足上式，∴an＝ 【例3】　（1）2n＋1－3　（2）　 解析：（1）法一（待定系数）　因为an＋1＝2an＋3，所以an＋1＋3＝2（an＋3），即{an＋3}是等比数列，公比为2，首项为a1＋3＝4，所以an＋3＝4·2n－1，即an＝2n＋1－3. 法二（不动点）　设f（x）＝2x＋3，令f（x）＝x得2x＋3＝x，所以x＝－3，an＋1－（－3）＝2an＋3－（－3），所以an＋1＋3＝2（an＋3），因为a1＋3＝4，所以{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，从而an＋3＝4×2n－1，故an＝2n＋1－3. （2）设f（x）＝，令f（x）＝x得＝x，解得x＝±1，则an＋1－1＝－1，化简得an＋1－1＝　①，an＋1－（－1）＝－（－1），化简得an＋1＋1＝　②，得＝＝·，又＝，所以数列{}是首项为，公比为的等比数列，所以＝×（ ）n－1＝（ ）n，故an＝. 【训练3】　　解析：设f（x）＝－，令f（x）＝x得：－＝x，解得x＝－1，an＋1－（－1）＝－－（－1），化简得an＋1＋1＝，所以＝＝＝1＋，从而－＝1，又＝，所以{}是首项为，公差为1的等差数列，故＝＋（n－1）×1＝n－，所以an＝. 真题体验 1.A　因为a1＝1，an＋1＝，所以an＞0，a2＝，所以S100＞.＝＝＋＝－.所以＜，两边同时开方可得＜＋，则＜＋，…，＜＋，由累加法可得＜＋＝1＋，所以＜1＋＝，所以＞，所以an＋1＝＜＝an，即＜，则＜，…，＜，由累乘法可得当n≥2时，an＝＜×××…××＝＝6（ －），所以S100＜1＋6（ －＋－＋…＋－）＝1＋6（ －）＜1＋2＝3，故选A. 2.　解析：n＝1时，S1＋a1＝2，∴a1＝1.n≥2时，由Sn＋an＝2得Sn－1＋an－1＝2，两式相减得an＝an－1（n≥2），∴{an}是以1为首项，为公比的等比数列，∴S5＝＝. 3.①③④　解析：因为an·Sn＝9，所以a1·S1＝9，又an＞0，所以a1＝3，a2·S2＝a2（a1＋a2）＝9，即＋3a2－9＝0，得a2＝＝＜3，所以①正确；当n≥2时，由Sn＝，得Sn－1＝，两式作差可得an＝－（n≥2），即an＝（n≥2），整理得＝（n≥2），若数列{an}为等比数列，则当n≥2时，为常数，即数列{an}从第2项起各项均为同一个常数，易知当n＝3时不成立，所以②不正确；因为an·Sn＝an＋1·Sn＋1＝9，所以＝，由数列{an}的各项均为正数，得＞1，所以an＞an＋1＞0，所以③正确；对于④，若数列{an}的所有项均大于等于，取n＞90 000，由an≥且an＞an＋1＞0，得Sn＞nan＞900，所以an·Sn＞9，与已知矛盾，所以④正确.综上，所有正确结论的序号是①③④. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $