微突破2 三角形中的最值（范围）问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word（提升版）

微突破2　三角形中的最值（范围）问题 【考情分析】　三角形中的最值（范围）问题主要考查角的三角函数值、边长、周长及面积的最值（范围）问题，常与三角函数、基本不等式等结合，题型多为解答题，难度中等. 　　 【例】　已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，b－2acos C＝a. （1）证明：C＝2A； （2）求的取值范围. 【变式】　〔创新交汇〕在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan A＋tan B＝. （1）求角A的大小； （2）若BC＝2，求·的最大值. 【规律方法】　三角形中常见最值（范围）问题的解题策略 （1）利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b与ab相互转化求最值（范围）； （2）利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简，利用三角函数的性质求最值（范围）. 【训练】　（1）（2025·山东济南二模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝，则c＝　　　；若a∶b＝∶1，则△ABC面积的最大值为　　　； （2）（2025·重庆二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csin A＋acos C＝b. ①求角 A的值； ②若△ABC为锐角三角形，且 c＝1，求△ABC面积的取值范围. 真题体验 1.（2022·全国甲卷理16题）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝　　　　. 2.（2022·新高考Ⅰ卷18题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. （1）若C＝，求B； （2）求的最小值. 提示：完成课后作业　专题一　微突破2 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 微突破2　三角形中的最值（范围）问题 【例】　解：（1）证明：因为b－2a cos C＝a. 所以sin B＝sin A＋2sin Acos C＝sin Acos C＋cos Asin C， 所以sin A＝cos Asin C－sin Acos C＝sin（C－A）， 因为A，C为锐角三角形的内角，所以0＜A＜，0＜C＜， 所以－＜C－A＜， 所以A＝C－A，即C＝2A. （2）由题意得解得＜A＜， 所以＜sin A＜， 由（1）得＝＝＝， 因为函数y＝－2x在（ ，）上单调递减， 所以当＜x＜时，0＜－2x＜1， 所以当＜sin A＜时，0＜－2sin A＜1， 所以＝＞1， 所以的取值范围为（1，＋∞）. 【变式】　解：（1）因为tan A＋tan B＝，所以由余弦定理得tan A＋tan B＝＝， 由正弦定理得tan A＋tan B＝， 又＋ ＝ ＝＝，所以＝， 显然cos B≠0， 又在△ABC中，sin C＞0， 所以sin A＝cos A，所以tan A＝1，所以A＝. （2）法一　由余弦定理可得a2＝c2＋b2－2cbcos A＝c2＋b2－cb＝4， 又b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时等号成立， 所以4＋bc≥2bc，则bc≤， ·＝cbcos A≤×＝2＋2，所以·的最大值为2＋2. 法二　·＝bccos A＝bc＝×·sin Bsin C＝4sin Bsin C＝2[cos（B－C）－cos（B＋C）]＝2［cos（B－C）＋］， 因为0＜B＜，0＜C＜，所以－＜B－C＜，则·≤2（1＋）＝2＋2，当且仅当B＝C时等号成立. 故·的最大值为2＋2. 【训练】　（1）2　　解析：法一　因为＝，可得bsin C＝2cos Asin C＋2sin Acos C＝2sin（A＋C）＝2sin B，由正弦定理可得bc＝2b，所以c＝2.由a∶b＝∶1可得a＝b，由余弦定理可得cos C＝＝＝，且△ABC的面积S＝absin C＝sin C，所以S2＝·sin2C＝（1－cos2C）＝［1－］＝－＋2b2－1，所以b2＝4，即b＝2时，S2的最大值为3，所以△ABC面积的最大值为. 法二　因为＝，由正弦定理可得＝，由余弦定理得＝，化简得bc－＝，即bc＝2b，所以c＝2.以AB边所在直线为x轴，以边AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图略），则A（－1，0），B（1，0），设C（x，y），因为a∶b＝∶1，所以＝，化简得（x＋2）2＋y2＝3（y≠0），即顶点C在以（－2，0）为圆心，以为半径的圆（除去与x轴的交点）上，所以△ABC的AB边上的高最大值为，所以△ABC面积的最大值为Smax＝·AB＝. （2）解：①由csin A＋acos C＝b及正弦定理可得sin Csin A＋sin Acos C＝sin B， 得sin Csin A＋sin Acos C＝sin（A＋C）， 得sin Csin A＋sin Acos C＝sin Acos C＋cos Asin C， 得sin Csin A＝cos Asin C， 因C∈（0，π），故sin C≠0，故sin A＝cos A，即tan A＝， 又A∈（0，π），故A＝. ②由A＝得B＋C＝， 由△ABC为锐角三角形可得得＜C＜， 由正弦定理可得＝，故b＝＝， 即b＝＝＋， 因为＜C＜，故tan C＞，故0＜＜， 故＜b＜2， 因为S△ABC＝bcsin A＝×b×sin＝b，故＜S△ABC＜， 故△ABC面积的取值范围为（ ，）. 真题体验 1.－1　解析：设BD＝k（k＞0），则CD＝2k.根据题意作出大致图形，如图.在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k×＝k2＋2k＋4.在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋（2k）2－2×2×2k×＝4k2－4k＋4，则＝＝＝4－＝4－＝4－，∵k＋1＋≥2（ 当且仅当k＋1＝，即k＝－1时等号成立），∴≥4－＝4－2＝（－1）2，∴当取得最小值－1时，BD＝k＝－1. 2.解：（1）因为＝， 所以＝， 所以＝， 所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B， 所以cos（A＋B）＝sin B， 所以sin B＝－cos C＝－cos ＝， 因为B∈，所以B＝. （2）由（1）知，sin B＝－cos C＞0， 所以＜C＜π，0＜B＜，而sin B＝－cos C＝sin（ C－）， 所以C＝＋B，即有A＝－2B，所以B∈（ 0，），C∈（ ，） 所以＝＝ ＝ ＝4cos2B＋－5≥2－5＝4－5，当且仅当cos2B＝时取等号， 所以的最小值为4－5. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $