3.2函数的基本性质（讲义）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学函数的基本性质，系统梳理单调性（定义、证明步骤、单调区间）、最值（定义、单调性法求最值）、奇偶性（定义、判定步骤、对称性）等核心知识点，构建从基础定义到性质应用再到抽象函数综合拓展的学习支架。 资料以课标要点为纲，突出学习重难点，通过“解题贴士”规范思维路径，设计随学随练、题型分类（如分段函数单调性、二次函数最值）及分层练习（基础通关、素养提升）。借助定义法证明单调性培养数学思维，通过奇偶性与单调性综合应用强化数学语言表达，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升问题解决能力。

第三章 函数的概念与性质 3.2 函数的基本性质 课标要点 1.函数的单调性（增减性）：单调递增、单调递减定义，定义法证明单调性步骤（课本标准步骤），单调性常用运算性质。 2.函数的最值：最大值定义，最小值定义，核心结论。 3.函数的奇偶性：前提条件（必考关键点），奇偶性定义，特殊性质，奇偶性运算规律。 学习重难点 重点： 1.熟练掌握定义法证明单调性的标准格式，能够判断一次函数、二次函数、分式函数、简单复合函数的单调区间，是解答函数值域、最值、不等式问题的基础。 2.结合函数单调区间，求解闭区间、开区间上的最大值、最小值，是高一月考、期中期末核心题型，常结合二次函数考查。 3.掌握奇偶性的判定步骤（先看定义域，再代公式），利用奇偶性求函数解析式、求函数值、化简函数、解决对称性问题。 难点： 1.无具体解析式的抽象函数，无法画图判断，只能严格用定义推导，学生容易思路混乱、步骤缺失，是高频难点。 2.二次函数含参数、区间含参数时，需要分类讨论对称轴与区间的位置关系，判断单调区间，进而求最值，逻辑复杂度高，极易漏解。 3.核心逻辑：利用奇偶性将不等式转化为形式，再利用单调性脱去，同时必须优先考虑定义域，学生常遗漏定义域限制导致错题。 知识点 函数的单调性（重点） 函数的单调性 （1）函数的单调性的定义 条件 一般地，设函数的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，，当时 都有________ 都有________ 结论 那么就说函数在区间上是________ 那么就说函数在区间上是减函数 图示 【答案】 增函数 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. 特别提醒 (1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示. (2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域. (3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接. (4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. 随学随练 1.（2026·广西崇左·二模）已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递增，，所以，解得，故B正确. 知识点 函数的最值 函数的最大（小）值： 设是函数的定义域，是的一个非空子集． （1）如果有，使得不等式对一切成立，就说在处取到最大值，称M为的________，a为的________． （2）如果有，使得不等式对一切成立，就说在处取到最小值，称M为的最小值，a为的最小值点． 【答案】 最大值 最大值点 特别提醒 单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域. 随学随练 1.函数y=-1+x(x≥3)的最小值为　　　　　.  【答案】 【解析】设t=x-1，t≥2， 则y=-1+x=t+(t≥2)， 又函数y=t+在[2，+∞)上单调递增， 所以当t=2，即x=3时， 函数有最小值2+=. 知识点 函数的奇偶性 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 奇函数 一般地，设函数的定义域是，如果对任意的，有______，且______，那么称函数为奇函数． 关于原点对称 偶函数 一般地，设函数的定义域是，如果对任意的，有______，且______，那么称函数为偶函数． 关于轴对称 当函数是奇函数或偶函数时，称具有______．奇函数和偶函数的定义域关于______对称． 【答案】 奇偶性 原点 随学随练 1.（25-26高一下·四川泸州·期末）已知为奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 当时，，∴ . ∵ 是奇函数，满足，∴ . 拓展 抽象函数的单调性与奇偶性 1. 判断抽象函数的单调性,一般根据定义来判断,即在所给区间上,然后利用题中条件确定的大小,抽象函数的奇偶性的判断一般通过赋值确定与的关系,有些抽象函数需要先通过赋值确定的值 2.奇函数、偶函数的对称性 （1）若函数满足，则函数的图象关于直线对称； （2）若函数满足，则函数的图象关于点______对称． （3）若是偶函数，则函数图象的对称轴为______；若是奇函数，则函数图象的对称中心为______． 【答案】 活学活用 1.（2026·北京西城·二模）已知函数在上单调递增，设，则函数是（   ） A．奇函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递增 C．奇函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递减 【答案】C 【分析】先根据奇函数和偶函数的定义判断函数的奇偶性，再根据函数单调性的性质判断函数的单调性即可. 【详解】因为，其定义域为，关于原点对称, 所以, 所以 是奇函数，排除选项B和D; 因为在上单调递增，则在上单调递减, 那么在上单调递减, 因为两个减函数的和是减函数，所以在上单调递减， 综上，函数是奇函数，且在上单调递减，所以C正确. 题型 函数的单调性解题贴士 1.利用定义判断或证明函数单调性的步骤 2.单调性的性质 ▌例1．（2025-2026贵州六盘水期中）设函数,且. (1)求的值； (2)用定义证明在上单调递增. 【解析】（1）由题意得,解得. （2）由（1）知, 任取,,且,有 因为,所以,,, 所以,即, 所以在上单调递增. ▌对点练1-1．（25-26高一上·上海·期末）若函数在区间上是严格递减函数，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】由，可得二次函数的对称轴为， 又因为在区间上是严格递减函数，所以，解得. ▌对点练1-2．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）定义在上的函数，满足对任意，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得在上单调递增，故 ▌对点练1-3．（25-26高一上·广东深圳·期中）（多选）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】通过分离常数+反比例函数平移的方法，结合初中已学的反比例函数单调性规律来分析. 【详解】将整理得： ， 该函数的定义域为， 其图象是由反比例函数的图象向左平移1个单位、再向下平移1个单位得到的. 当时，随增大而递增且恒为正，随增大而递减， 因此在上单调递减，A正确、B错误. 当时，随增大而递增且恒为负，随增大而递减， 因此在上单调递减，C正确、D错误. ▌对点练1-4．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数满足，. (1)求 (2)用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上的值域为 【分析】（1）利用换元法求解函数的解析式； （2）利用定义法证明的单调性，并求解值域. 【详解】（1）令，则，将其代入得 ，将替换为，得； （2）任取，且，则 因为，所以，因为，所以，即 分母恒成立， 因此，即，所以在上单调递减。 由单调性可知，在上单调递减，最大值在左端点处取得： 最小值在右端点处取得： 所以在上的值域为. 题型 分段函数的单调性 ▌例1．（25-26高一下·福建福州·阶段检测）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据函数在上单调递增求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断即可. 【详解】因为，所以函数在上为增函数， 若函数在上单调递增，所以函数在上为增函数， 任取、且，则 ， 因为、且，则，， 故只需，故， 且有，即，解得， 故当在上单调递增时，， 因为是的真子集， 故“”是“在上单调递增”的充分不必要条件. ▌对点练1-1．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. ▌对点练1-2．（2026高三·全国·专题练习）如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据函数f(x)是R上的增函数，由求解. 【详解】因为函数满足对任意x1≠x2，都有>0成立， 所以函数f(x)是R上的增函数， 所以，解得. 故的取值范围是. ▌对点练1-3．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别求和时的取值范围，结合反比例函数和一次函数，比较两段的最值，结合最大值为4建立关于的方程求解； （2）根据分段函数在上单调递增，可得各段函数分别单调递增，且左段函数在处的函数值不大于右段函数在处的函数值，再根据单调性条件建立关于的不等式求解； （3）判断和与0的大小关系，分情况讨论，分别利用单调性、函数值大小建立不等式求解. 【详解】（1）当时，，取不到4， 所以时，的最大值为4，                 因为在上单调递增， 所以，则. （2）当时，单调递增；                 当时，单调递增，                 因为在上单调递增，只需，则，                 所以实数a的取值范围为. （3）易知， 当，即， 因为在上单调递增，所以成立；                 当，即， 因为在上单调递增，所以成立；                 当时，，， 所以，， 所以，不符合题意. 综上所述，实数a的取值范围为. 题型 函数的最值 解题贴士 (1)若函数y＝f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f(x)的最大值为f(b),最小值为f(a)．(2)若函数y＝f(x)在区间[a,b]上单调递减,则f(x)的最大值为f(a),最小值为f(b)．(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间,那就先求出各区间上的最值,再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．(4)如果函数定义域为开区间,则不但要考虑函数在该区间上的单调性,还要考虑端点处的函数值或者发展趋势． ▌例1．（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】画出，，的图像，观察图像可知， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的最大值在时取得为，故B正确． ▌对点练1-1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先判断在区间上的单调性，进而即可求在区间上的最大值． 【详解】由在上单调递增， 所以． ▌对点练1-2．（25-26高一上·河北唐山·期中）（多选）已知函数，则（   ） A． B． C．在区间上单调递减 D．在区间上的最小值为1 【答案】ABD 【分析】利用代入法，结合函数单调性的性质、偶函数的定义和性质、最值的定义逐一判断即可. 【详解】，定义域为， 选项A：因为，所以A正确。 选项B：因为，所以B正确。 选项C：， 因为函数在上单调递减，且此时， 所以函数在上单调递增，所以C错误。 选项D：由A知是偶函数，的图象关于纵轴对称， 由上可知：在上单调递增， 所以当时，， 又因为，的图象关于纵轴对称， 所以在区间上的最小值为1，所以D正确. ▌对点练1-3．（25-26高一上·福建泉州·期中）函数的值域为，则的取值范围是_______. 【答案】 【详解】解：由题意得：因为当时，，开口向下，对称轴为， 当时，函数在上递减，此时， 要使函数的值域为，则有 ，解得： 当时，函数在上递增，上递减，此时， 要使函数的值域为，则有，解得： 综上，的取值范围是，即. ▌对点练1-4．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的值域为________________． 【答案】 【详解】当时，；当时，， 因为在为减函数，上为增函数，且时，， 故的值域为，故的值域为， 综上，的值域为. 题型 二次函数最值 ▌例1．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数． (1)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围； (2)若函数在上的最大值为1，求实数a的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据二次函数的对称轴范围求解； （2）对实数a的取值范围进行分类讨论，分析二次函数在上的单调性，结合已知条件可得出实数a的等式，即可解得实数a的值. 【详解】（1）因为图象的对称轴为． 又因为在上不单调，所以，解得． 即实数a的取值范围为． （2）由于区间的中点为， ①当，即时，， 所以，即，满足题意； ②当，即时，， 所以，即，满足题意． 综上可知，或． ▌对点练1-1．（25-26高二下·山西晋中·阶段检测）若函数在区间上的值域为，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】函数，当时，取得最小值，， ，解得或， 已知函数在区间上的值域为，则 区间必包含，且区间端点值不超过， 取最大值时，取最小值，取最大值，此时 ▌对点练1-2．（25-26高一下·山西太原·开学考试）已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且． (1)求二次函数的表达式； (2)若，求函数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意设出二次函数顶点式，代入即可求解； （2）分类讨论与对称轴的关系，结合二次函数单调性即可求解. 【详解】（1）由二次函数，满足当时，取得最大值5， 可设二次函数， 又因为，所以， 即二次函数； （2）由（1）知二次函数， 当，有，此时的最大值， 当时，则，此时在上单调递增， 即的最大值， 当时，则，此时在上单调递减， 即的最大值， 综上可得：． ▌对点练1-3．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知函数在区间上是单调函数． (1)求实数的所有取值组成的集合； (2)试写出在区间上的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质列出不等式，进而求解即可； （2）结合（1），根据二次函数的对称轴讨论在上的单调性，分别求出其最大值，再写成分段函数的形式即可． 【详解】（1）由函数为开口向上的二次函数，且其对称轴为， 又在区间上是单调函数，所以或，解得或， 所以实数的所有取值组成的集合． （2）结合（1）， 当时，则函数在上单调递增， 所以； 当时，则函数在上单调递减， 所以． 综上所述，． 题型 函数的奇偶性 解题贴士 1.函数的奇偶性质 2.奇偶的运算规律 奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇 ▌例1．（25-26高二下·江苏徐州·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：，而，显然，不为奇函数， B：，而，显然，不为奇函数， C：，而，显然，不为奇函数， D：，，显然且定义域为，即为奇函数. ▌对点练1-1．（2026·河北·三模）已知函数是奇函数，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】已知是奇函数，根据奇函数定义有， 当时，，则， 所以. ▌对点练1-2．（25-26高一下·浙江杭州·期末）（多选）已知函数为奇函数，则（     ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减 【答案】ACD 【详解】对于A，函数的定义域为， 因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称， 所以，此时，，是奇函数，A正确； 对于B，，当时，， 因为函数为奇函数，所以当时，， 所以或，B错误； 对于C，奇函数图像关于原点对称，故C正确； 对于D，任取，则， 所以, 所以在区间上单调递减，故D正确. ▌对点练1-3．（25-26高一下·贵州铜仁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________． 【答案】 【分析】根据奇函数性质求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以. ▌对点练1-4．若函数是上的偶函数，则的值为______． 【答案】 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即． ， ， ， ． ▌对点练1-5．（2026高一·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用函数的奇偶性，结合已知条件求出函数在上的解析式； （2）利用函数单调性分情况讨论求出相应最小值，进而求出的解析式. 【详解】（1）已知是定义在上的奇函数，则， 若，则，则， 又因为为奇函数，则， 综上可得，． （2）当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间单调递增， 故当时，函数取得最小值，最小值是， ②当时，函数在单调递减，在单调递增， 故当时，函数取最小值，最小值是， ③当时，函数在区间单调递减， 故当时，函数取得最小值，最小值是， 所以函数的最小值． 题型 函数的单调性与奇偶性综合应用 ▌例1．（25-26高一下·广东汕头·期末）已知函数． (1)若为奇函数，求a的值； (2)试判断在内的单调性，并用定义证明． 【答案】(1) (2)增函数，证明见解析 【分析】（1）由已知得，先确定函数定义域，再根据奇偶性定义，由求参数. （2）令，应用作差法比较、的大小即可证. 【详解】（1）由已知，得，定义域为 因为是奇函数，所以， 即， 解得． （2）函数在内为增函数． 证明如下：任取，则． 因为，所以，， 所以，即． 所以函数在内是增函数． ▌对点练1-1．（25-26高二下·辽宁·期末）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式转化为，再结合单调性即可得解. 【详解】因为是定义在R上的偶函数，故可转化为， 又因为在上单调递增，故，解得或，即解集为. ▌对点练1-2．（25-26高一下·广东·期末）已知奇函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知奇函数在上单调递减， 对于A，，，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，，C错误； 对于D，，，，D错误． ▌对点练1-3．（25-26高一下·内蒙古乌兰察布·期末）设偶函数在区间上单调递增，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质得到，再根据函数的单调性判断即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 又在区间上单调递增，， 所以， 则. ▌对点练1-4．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【答案】(1) (2)在上单调递增.              证明如下：任取且， ， ，且，，， 所以，即，   所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，则，                           又，则.                         . （2）略 （3）在上是奇函数且单调递增， 由得  ，          ，解得：  ，         不等式的解集为. 题型抽象函数的单调性和奇偶性 ▌例1．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，判断的正负，并给出证明； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) 令，则， 因为当时，，所以； 令，则， 若，则，，则， 故对于，为正； (2) 在上单调递增，证明如下： 任取，且，则，则， 则， 因为，所以，即， 故在上单调递增； (3) 【分析】（1）令，求出，再令，结合时的正负性判断； （2）利用定义判断单调性； （3）利用单调性结合一元二次函数的性质判断. 【详解】（1）令，则， 因为当时，，所以； 令，则， 若，则，，则， 故对于，为正； （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且，则，则， 则， 因为，所以，即， 故在上单调递增； （3）因为关于x的不等式有解，且在上单调递增， 所以有解，即在上有解， 故，得或， 故实数a的取值范围为. ▌对点练1-1．（25-26高一下·广西贺州·期末）已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，求出的周期，再利用奇函数的性质和条件，即可求解. 【详解】因为是奇函数，所以， 又因为是偶函数，所以，即， 所以，即， 则，所以的周期为8， 则，， 所以． ▌对点练1-2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）（多选）已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，．则（    ） A．的最小正周期为4 B．的图象关于点对称 C．为奇函数 D．的解集为 【答案】ACD 【分析】根据已知得到的图象关于直线、对称，进而得到的最小正周期为4，利用奇偶性和周期性依次判断各项的正误即可. 【详解】因为 是定义在上的偶函数，所以， 即，函数的图象关于直线对称， 因为，所以，函数的图象关于点中心对称， 由，令，则， 因为，即， 所以，即， 进一步得，所以是函数的一个周期， 若存在更小的正周期，则，而上， 结合其对称性，在上的唯一解是， 故不存在小于的正周期，最小正周期为，A 正确， 由，则， 由于，显然不恒为，因此图象不关于对称，B 错误， 令，则，且， 由得， 由得， 因为， 所以，即为奇函数，C 正确， 当时，，结合函数的对称性， 当时，函数表达式为， 此时， 即，解得， 结合最小正周期为，解集为，D 正确. ▌对点练1-3．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）（多选）设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．当时， 【答案】ACD 【分析】令可得判断A，令可得，再令得判断C，结合单调性结合特例判断B，根据函数单调递增即可比较大小判断D. 【详解】在等式中， 对于A，令，可得，则，故A正确； 对于C，令可得，则， 因为函数的定义域为， 令可得，则， 故函数为奇函数，故C正确； 对于B，是定义域为的单调函数，因为， 所以是上的增函数，故B错误； 对于D，由上分析可知是上的增函数， 当时，，即， 因此，故D正确. ▌对点练1-4．（25-26高一下·陕西安康·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) 由题可知，所以， 因为，则，又， 所以， 所以当时，； (2)单调递增 (3) 【分析】（1）利用已知条件，对自变量赋值可证且当时； （2）根据函数单调性的定义判断； （3）利用（2）的单调性和函数的定义域建立不等式组，求解； 【详解】（1）略 （2）任取，则，则， 又， 所以， 所以在上的单调递增； （3）由题意，需满足定义域条件 ，解得，且， 由（2）知 单调递增，原不等式等价于 ， 要使该不等式有解，只需 小于 在其定义域 上的最大值， 令，则， 所以，解得， 所以的取值范围为 基础通关 1.（2025-2026山东枣庄期中）函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 【答案】C 【解析】由题可知,,解得.令,则, 因为在上单调递减,而在上单调递增,根据复合函数单调性“同增异减”, 所以在上单调递减.故选C. 2.（25-26高一上·河北唐山·期中）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数即可求解. 【详解】由题意得：， 又在上是增函数，所以，即. 3.（2026高三·全国·专题练习）设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】B 【分析】利用函数的定义域可对选项，，作出判断；根据与在定义域内的某个区间上单调性相反，可判断选项. 【详解】选项，由图象可知，，，， 所以当，，时，函数无意义，错误； 选项，由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，正确； 选项，由函数在处无意义，错误； 选项，由函数在处无意义，错误. 4.（2025-2026江苏盐城期中）函数,若是R上的单调递减函数,则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得,解得.故选B 5.（2025-2026广东广州期中）若函数在上单调递增,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若,则在上单调递增,符合题意；若,则,因为在上单调递增,在上单调递增,所以在上单调递增,符合题意；当,则,则,由对勾函数的性质可知,函数在上单调递减,在上单调递增,要使函数在上单调递增,则,解得；综上可得实数的取值范围是. 故选B 6.（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 【答案】C 【分析】由偶函数定义可得，再通过偶函数的性质，对称区间上单调性相反，可得到函数在定义域上的单调性情况，通过单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以． 又函数在上单调递减，所以函数在上单调递增． 所以等价于,即，解得． 7.已知函数，若，则（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先证得为奇函数，所以，再由奇函数的性质可求出. 【详解】令，函数定义域为R， ，所以为奇函数， 所以，所以， 所以，所以． 8.（多选）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分情况讨论，当时，；当时，，再在直角坐标系中分别画出对应图象即可求解. 【详解】由题意可知：函数 当时，； 当时，. 画出函数图象： 所以函数的单调递减区间为、. 9．（2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. 10.设 是定义在上的奇函数，则______ 【答案】2 【分析】由题设得，进而求出a，再检验即可. 【详解】因为 是定义在上的奇函数， 所以，即， 故， 此时 ，所以， 满足 是定义在上的奇函数， 所以. 素养提升 11.（25-26高一下·四川乐山·期末）（多选）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在定义域内单调递减 C．当时，的最小值为 D．的图象关于点中心对称 【答案】AD 【分析】A选项，根据分母不为零可求得函数定义域；B选项，根据反比例函数的单调性判断的单调性；C选项，由函数的单调性知的最小值不存在；D选项，根据反比例函数的对称性及函数图像的变换可求出的对称中心. 【详解】令，解得，所以的定义域为，A正确； ，在上单调递减，在上单调递减，B错误； 在上单调递减，最小值不存在，C错误； 因为的图象是由的图象先向右平移6个单位再向上平移1个单位得到的，且的对称中心为，所以的图象关于点中心对称，D正确. 12.（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）（多选）已知函数是定义域为的奇函数，且在区间上单调递增，则下列结论中正确的是（   ） A． B．函数是上的增函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】ABC 【详解】对于A，由于函数是定义域为的奇函数，有，令，则，解得，故A正确； 对于B，由于函数是定义域为的奇函数，且在区间上单调递增， 由于奇函数的图象关于原点对称，说明在区间上也单调递增， 又因为，所以函数是上的增函数，故B正确. 对于C，设，，因此是偶函数，故C正确. 对于D，设，则，因此是偶函数，故D错误. 13.（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出函数的图象，写出函数的单调减区间并求函数的最大值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)；单调减区间为，最大值为4 (2)或 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求单调递减区间和最值； （2）分段求解不等式，再求并集即可得. 【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象（在答案处） 则函数的单调减区间为， 当时，取得最大值4； （2）当时，，所以恒成立； 当时，，所以； 当时，，所以； 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 14.（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数 (1)请写出函数的单调递增区间； (2)求，（其中）的值； (3)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)，， (2)， (3)或， 【分析】（1）分段考虑，结合二次函数以及一次函数的单调性即可求解， （2）根据自变量的取值，代入即可求解， （3）分情况考虑，解不等式即可得解. 【详解】（1）当时，，此时在单调递增， 当时，在 单调递增， 故的单调递增区间为，， （2）由于，故, 由于，故， （3）当时，，由得，解得， 当时，，由得，解得， 当时，，也符合，故， 综上可得当时，求x的取值范围为或， 15．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：． 【答案】(1)，； (2)函数在R上单调递增，理由如下：                                       任取，，且，                                                     则，   由，得， ，                                   则，即， 所以函数在R上单调递增. (3)． 【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数定义求出解析式. （2）确定函数的单调性，再利用单调函数的定义推理得证. （3）利用奇函数的性质及单调性求出不等式的解集. 【详解】（1）由是定义在R上的奇函数，得，                         当时，，则                           所以函数在R上的解析式为，.   （2）略 （3）由是奇函数，得，   又在R上单调递增，则，解得，                         所以原不等式的解集为． 16.（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数． (1)用定义法证明：函数 在区间上单调递增； (2)若，且存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)任取 ，且， 则 由于，，，所以， 因此，即， 故在上单调递增. (2) 【分析】（1）利用定义法证明即可； （2）根据条件得出，再利用参变分离求函数最值即可. 【详解】（1）略 （2）因为，所以，得， 则． 于是． 令，由题可知． 由（1）易得函数 在上单调递增，故，即， 所以实数的取值范围是． 17.（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，．，用表示，中的最大者，记为函数． (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)若函数的定义域为时，值域为，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）利用函数的新定义来确定新函数值即可； （2）利用比较两个函数的大小，再得到分段的新函数； （3）利用二次函数性质，结合分类讨论思想，来求最小值即可. 【详解】（1）因为，，                          所以． （2）令， 若，则，，             当，即时，或；            当，即时，． 所以． （3）因为的图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 又因为的图象开口向下，对称轴为直线，又， 所以当时，函数单调递增； 当时，函数单调递增．                 又， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增． 即函数的最小值为．                  令，可解得或． 则函数的定义域为时，值域为， 当时，，此时．                       当时，，此时． 当或时，不符题意． 所以的最小值为1． 18.（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）设，，其中，记． (1)若，求的值域； (2)若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数t的取值范围； 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）作出函数的图象，即可根据图象求解， （2）只需根据在上的值域为的子集即可，求解的范围即可. 【详解】（1），， ，， 即， 作图可知， 函数的最大值为，值域为； （2）由题意，只需在上的值域为的子集即可， 因为，所以， 对称轴为，由得， ①当，即时，， 所以，解得，故； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时最小值为，最大值为， 所以，解得，所以； 综上，所求的范围为. 迁移创新 19.（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）（多选）定义在上的奇函数在上为增函数，且为偶函数，则（    ） A．函数的图象关于对称 B． C．当时， D．若，且，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用函数的奇偶性，结合函数对称性判断选项A；利用函数单调性和周期性，判断选项B；利用函数单调性和奇偶性，判断选项C；利用函数单调性及对称性，结合基本不等式判断选项D． 【详解】为偶函数，则，由函数对称性定义， 函数的图象关于直线对称，故A正确； 已知是上的奇函数，故，且， 由对称性知，代入奇函数性质得， 故，则函数周期为， ， 由对称性， 又在上为增函数，故， 故，故B错误； 当时，在上单调递增，； 在上单调递减，， 故在区间内； 当时，由奇函数性质，时， 故，故内，且，故， 综上，时，，故C正确； 由且，结合在递增，递减， 且关于对称，可得， 将代入目标式，则 ， 当且仅当，即时取等号， 结合得，满足，故D正确． 20.（25-26高一下·湖南·期末）对定义域为的函数，定义阶稳区间如下：若区间，满足：函数在上单调，且对任意，，恒有，则称区间为函数的一个阶稳区间．现已知分段函数（其中为常数）． (1)当时，判断区间是否为的阶稳区间，并说明理由； (2)若，求所有长度最大的有限阶稳区间； (3)若存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，求实数的取值范围． 【答案】(1)区间是的阶稳区间，理由如下： 当时，，故， 二次函数开口向上，对称轴为，因此在上单调递增， 因为，，所以， 所以，所以， 综上，是的阶稳区间； (2) (3) 【分析】（1）当时，函数单调递增，且，则是的阶稳区间； （2）对区间，分别讨论，可得时，的所有有限长度的阶稳区间； （3）先证明内不存在任何长度大于 0 的阶稳区间，再对，对作分类讨论. 【详解】（1）略 （2）当，，在上单调递减，在上单调递增， 对于区间，在上单调递减，且 因为，，所以，所以， 所以，所以， 所以是的阶稳区间； 对于区间，在上单调递增， ， 所以，不是的阶稳区间； 综上，若，所有长度最大的有限阶稳区间； （3）（其中为常数）， 当，， 所以内不存在任何长度大于 0 的阶稳区间； 当，，二次函数开口向上，对称轴为， 所以上单调递减，上单调递增， ， 当时，在上单调递减， 因为，，所以， 所以，所以， 所以区间符合； 当时，在上单调递增， 因为，，所以， 所以，所以， 所以区间符合； 当时，对任意包含的区间， 取，足够接近（如，极小），则， 由知， 当足够小时，，即， 对应，不满足阶稳条件，因此不存在包含的阶稳区间， 所以存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，则 ， 所以实数的取值范围是. 21.（25-26高一下·上海闵行·期中）已知定义域为的函数为偶函数，它的图像是连续的曲线．任取，定义． (1)已知，求； (2)若任取，都有，求证：函数，为周期函数； (3)若任取，只要存在、且，都有．试判断函数在上的单调性（填写“增函数”“严格增函数”“减函数”“严格减函数”“既存在严格增区间也存在严格减区间”之一），并证明你的结论． 【答案】(1). (2)证明见解析 (3)增函数；证明见解析 【分析】（1）根据题意列不等式求解即可； （2）取，得， 取，得，结合偶函数性质和不等式性质推出，从而证明函数为周期函数； （3）采用反证法结合定义证明即可. 【详解】（1）已知，，则，， 解得或， 故. （2）已知是偶函数，故对任意，， 由题知任取，都有，故对任意，， 取，得 ①； 取，得，即， 整理得，令，则，代入得 ②， 结合①②可得对任意，，故是以为周期的周期函数，得证. （3）假设在上不是增函数，则存在， 取，而，由定义知， 而为偶函数，故，故，可知， 而，故，根据题干定义可知，故，与假设矛盾，因此假设不成立， 故在上是增函数. 22.（25-26高一下·广东广州·期中）为研究函数“平缓变化”的特性，现定义如下概念：设区间为函数定义域的子集，若存在非负常数，对任意的，都有成立，则称是区间上的平缓函数.已知函数 (1)当时，判断并证明在区间上是否为平缓函数； (2)若在区间上为平缓函数，求实数的取值范围； (3)设在区间上的最大值为，且为平缓函数，满足，求实数的取值范围. 【答案】(1) 在区间上为平缓函数，证明： 当时，， 对任意， ， 因为，所以，得， 所以，满足平缓函数定义， 所以时，在区间上为平缓函数. (2) (3) 【分析】（1）直接根据平缓函数定义即可判断； （2）由平缓函数定义将题意转化为恒成立问题即可； （3）根据对称轴与区间的关系求出，依据定义求，最后再利用分类讨论思想解即可. 【详解】（1）略 （2）由定义得， 令，，则恒成立 即，需，解得， 所以的取值范围为. （3）由于， 当时，； 当时，； 当时，； 由定义可得， 令，，则恒成立， 即对恒成立， 比较与的大小， 当时，；当时，； 由题意得， 当时，无解； 当时，若，有，得； 若，有恒成立； 即； 当时，恒成立， 综上所述，的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质 3.2 函数的基本性质 课标要点 1.函数的单调性（增减性）：单调递增、单调递减定义，定义法证明单调性步骤（课本标准步骤），单调性常用运算性质。 2.函数的最值：最大值定义，最小值定义，核心结论。 3.函数的奇偶性：前提条件（必考关键点），奇偶性定义，特殊性质，奇偶性运算规律。 学习重难点 重点： 1.熟练掌握定义法证明单调性的标准格式，能够判断一次函数、二次函数、分式函数、简单复合函数的单调区间，是解答函数值域、最值、不等式问题的基础。 2.结合函数单调区间，求解闭区间、开区间上的最大值、最小值，是高一月考、期中期末核心题型，常结合二次函数考查。 3.掌握奇偶性的判定步骤（先看定义域，再代公式），利用奇偶性求函数解析式、求函数值、化简函数、解决对称性问题。 难点： 1.无具体解析式的抽象函数，无法画图判断，只能严格用定义推导，学生容易思路混乱、步骤缺失，是高频难点。 2.二次函数含参数、区间含参数时，需要分类讨论对称轴与区间的位置关系，判断单调区间，进而求最值，逻辑复杂度高，极易漏解。 3.核心逻辑：利用奇偶性将不等式转化为形式，再利用单调性脱去，同时必须优先考虑定义域，学生常遗漏定义域限制导致错题。 知识点 函数的单调性（重点） 函数的单调性 （1）函数的单调性的定义 条件 一般地，设函数的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，，当时 都有________ 都有________ 结论 那么就说函数在区间上是________ 那么就说函数在区间上是减函数 图示 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. 特别提醒 (1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示. (2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域. (3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接. (4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. 随学随练 1.（2026·广西崇左·二模）已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 知识点 函数的最值 函数的最大（小）值： 设是函数的定义域，是的一个非空子集． （1）如果有，使得不等式对一切成立，就说在处取到最大值，称M为的________，a为的________． （2）如果有，使得不等式对一切成立，就说在处取到最小值，称M为的最小值，a为的最小值点． 特别提醒 单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域. 随学随练 1.函数y=-1+x(x≥3)的最小值为　　　　　.  知识点 函数的奇偶性 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 奇函数 一般地，设函数的定义域是，如果对任意的，有______，且______，那么称函数为奇函数． 关于原点对称 偶函数 一般地，设函数的定义域是，如果对任意的，有______，且______，那么称函数为偶函数． 关于轴对称 当函数是奇函数或偶函数时，称具有______．奇函数和偶函数的定义域关于______对称． 随学随练 1.（25-26高一下·四川泸州·期末）已知为奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 拓展 抽象函数的单调性与奇偶性 1. 判断抽象函数的单调性,一般根据定义来判断,即在所给区间上,然后利用题中条件确定的大小,抽象函数的奇偶性的判断一般通过赋值确定与的关系,有些抽象函数需要先通过赋值确定的值 2.奇函数、偶函数的对称性 （1）若函数满足，则函数的图象关于直线对称； （2）若函数满足，则函数的图象关于点______对称． （3）若是偶函数，则函数图象的对称轴为______；若是奇函数，则函数图象的对称中心为______． 活学活用 1.（2026·北京西城·二模）已知函数在上单调递增，设，则函数是（   ） A．奇函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递增 C．奇函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递减 题型 函数的单调性解题贴士 1.利用定义判断或证明函数单调性的步骤 2.单调性的性质 ▌例1．（2025-2026贵州六盘水期中）设函数,且. (1)求的值； (2)用定义证明在上单调递增. ▌对点练1-1．（25-26高一上·上海·期末）若函数在区间上是严格递减函数，则实数的取值范围为______. ▌对点练1-2．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）定义在上的函数，满足对任意，都有，则（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（25-26高一上·广东深圳·期中）（多选）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 ▌对点练1-4．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数满足，. (1)求 (2)用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 题型 分段函数的单调性 ▌例1．（25-26高一下·福建福州·阶段检测）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ▌对点练1-1．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（2026高三·全国·专题练习）如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围是______． ▌对点练1-3．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 题型 函数的最值 解题贴士 (1)若函数y＝f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f(x)的最大值为f(b),最小值为f(a)．(2)若函数y＝f(x)在区间[a,b]上单调递减,则f(x)的最大值为f(a),最小值为f(b)．(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间,那就先求出各区间上的最值,再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．(4)如果函数定义域为开区间,则不但要考虑函数在该区间上的单调性,还要考虑端点处的函数值或者发展趋势． ▌例1．（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 ▌对点练1-1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． ▌对点练1-2．（25-26高一上·河北唐山·期中）（多选）已知函数，则（   ） A． B． C．在区间上单调递减 D．在区间上的最小值为1 ▌对点练1-3．（25-26高一上·福建泉州·期中）函数的值域为，则的取值范围是_______. ▌对点练1-4．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的值域为________________． 题型 二次函数最值 ▌例1．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数． (1)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围； (2)若函数在上的最大值为1，求实数a的值． ▌对点练1-1．（25-26高二下·山西晋中·阶段检测）若函数在区间上的值域为，则的最大值为_____． ▌对点练1-2．（25-26高一下·山西太原·开学考试）已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且． (1)求二次函数的表达式； (2)若，求函数的最大值． ▌对点练1-3．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知函数在区间上是单调函数． (1)求实数的所有取值组成的集合； (2)试写出在区间上的最大值． 题型 函数的奇偶性 解题贴士 1.函数的奇偶性质 2.奇偶的运算规律 奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇 ▌例1．（25-26高二下·江苏徐州·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（2026·河北·三模）已知函数是奇函数，则（    ） A．3 B． C．1 D． ▌对点练1-2．（25-26高一下·浙江杭州·期末）（多选）已知函数为奇函数，则（     ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减 ▌对点练1-3．（25-26高一下·贵州铜仁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________． ▌对点练1-4．若函数是上的偶函数，则的值为______． ▌对点练1-5．（2026高一·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； 题型 函数的单调性与奇偶性综合应用 ▌例1．（25-26高一下·广东汕头·期末）已知函数． (1)若为奇函数，求a的值； (2)试判断在内的单调性，并用定义证明． ▌对点练1-1．（25-26高二下·辽宁·期末）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26高一下·广东·期末）已知奇函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（25-26高一下·内蒙古乌兰察布·期末）设偶函数在区间上单调递增，则（ ） A． B． C． D． ▌对点练1-4．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 题型抽象函数的单调性和奇偶性 ▌例1．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，判断的正负，并给出证明； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． ▌对点练1-1．（25-26高一下·广西贺州·期末）已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）（多选）已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，．则（    ） A．的最小正周期为4 B．的图象关于点对称 C．为奇函数 D．的解集为 ▌对点练1-3．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）（多选）设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．当时， ▌对点练1-4．（25-26高一下·陕西安康·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. 基础通关 1.（2025-2026山东枣庄期中）函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 2.（25-26高一上·河北唐山·期中）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（2026高三·全国·专题练习）设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 4.（2025-2026江苏盐城期中）函数,若是R上的单调递减函数,则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5.（2025-2026广东广州期中）若函数在上单调递增,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 7.已知函数，若，则（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 8.（多选）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 10.设 是定义在上的奇函数，则______ 素养提升 11.（25-26高一下·四川乐山·期末）（多选）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在定义域内单调递减 C．当时，的最小值为 D．的图象关于点中心对称 12.（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）（多选）已知函数是定义域为的奇函数，且在区间上单调递增，则下列结论中正确的是（   ） A． B．函数是上的增函数 C．是偶函数 D．是奇函数 13.（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出函数的图象，写出函数的单调减区间并求函数的最大值； (2) 解关于的不等式. 14.（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数 (1)请写出函数的单调递增区间； (2)求，（其中）的值； (3)当时，求x的取值范围． 15．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：． 16.（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数． (1)用定义法证明：函数 在区间上单调递增； (2)若，且存在，使得，求实数的取值范围． 17.（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，．，用表示，中的最大者，记为函数． (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)若函数的定义域为时，值域为，求的最小值． 18.（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）设，，其中，记． (1)若，求的值域； (2)若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数t的取值范围； 迁移创新 19.（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）（多选）定义在上的奇函数在上为增函数，且为偶函数，则（    ） A．函数的图象关于对称 B． C．当时， D．若，且，则的最小值为 20.（25-26高一下·湖南·期末）对定义域为的函数，定义阶稳区间如下：若区间，满足：函数在上单调，且对任意，，恒有，则称区间为函数的一个阶稳区间．现已知分段函数（其中为常数）． (1)当时，判断区间是否为的阶稳区间，并说明理由； (2)若，求所有长度最大的有限阶稳区间； (3)若存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，求实数的取值范围． 21.（25-26高一下·上海闵行·期中）已知定义域为的函数为偶函数，它的图像是连续的曲线．任取，定义． (1)已知，求； (2)若任取，都有，求证：函数，为周期函数； (3)若任取，只要存在、且，都有．试判断函数在上的单调性（填写“增函数”“严格增函数”“减函数”“严格减函数”“既存在严格增区间也存在严格减区间”之一），并证明你的结论． 22.（25-26高一下·广东广州·期中）为研究函数“平缓变化”的特性，现定义如下概念：设区间为函数定义域的子集，若存在非负常数，对任意的，都有成立，则称是区间上的平缓函数.已知函数 (1)当时，判断并证明在区间上是否为平缓函数； (2)若在区间上为平缓函数，求实数的取值范围； (3)设在区间上的最大值为，且为平缓函数，满足，求实数的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $