微突破1 “爪形”三角形问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word（提升版）

微突破1　“爪形”三角形问题 【例】　2　解析：如图所示，记AB＝c，AC＝b，BC＝a，由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，因为b＞0，解得b＝1＋， 【技巧】 若是给出两边及一边的对角，可以 利用余弦定理求出第三边 法一（常规解法）　由正弦定理可得，＝＝，解得sin B＝，sin C＝，因为1＋＞＞，所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°，又∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°，即AD＝AB＝2. 法二（等面积法）　由角平分线可得S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，即×2×b×sin 60°＝×2×AD×sin 30°＋×AD×b×sin 30°，解得AD＝＝＝2. 【技巧】 利用等面积法建立角平分线的关系 式，使得问题更简单 【变式1】　　解析：法一（常规解法）　在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC，则5＝b2＋2－2b，解得b＝3或b＝－1（舍去），因为D为BC的中点，则＝（＋），两边同时平方得＝（＋＋2·）＝×（ 2＋9＋2××3×）＝，所以｜｜＝，即AD＝. 【技巧】 平面向量是解决几何问题的一种 重要方法，将其与余弦定理结合到一起， 可使问题快速解决 法二（中线法）　在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC，则5＝b2＋2－2b，解得b＝3或b＝－1（舍去），因为D为BC的中点，AD2＝（AB2＋AC2）－BC2，所以AD2＝×[（）2＋32]－×（）2＝，即AD＝. 【技巧】 若三边已知，可运用中线长定理快速 得出结果 【变式2】　－　解析：因为△ABC的面积S＝acsin B＝ac＝，所以a＝c. 【技巧】 建立关于三角形面积的关系式，得到 a，c的关系 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝（ c）2＋c2－2×c×c×＝c2，所以b＝c，所以cos C＝＝＝－. 【技巧】 已知两边的关系及两边的夹角，利用 余弦定理求出三边的关系，再次运用余弦 定理即可求解 【训练】　（1）　解析：在三角形ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝7，即BC＝，所以S△ABC＝AB·ACsin 120°＝BC·AH，所以AH＝＝，由向量数量积的几何意义得 ·＝｜｜2＝（ ）2＝. （2）解：①由tan C＋＝tan B·（tan C－1）， 得tan B＋tan C＝－（1－tan Btan C）， 即＝－， 即tan（B＋C）＝－，所以tan（π－A）＝－，即tan A＝， 又A∈（0，π），所以A＝. ②设∠ABC＝∠CBD＝x， 在△BCD中，∠BDC＝，故x∈（0，）， 则∠ACD＝2π－－－2x＝π－2x. 由正弦定理有＝，＝， 则AC＝CD＝2sin x， 故S△ACD＝（2sin x）2sin（π－2x）＝4sin3xcos x. 令φ（x）＝4sin3xcos x，x∈（0，）， 则φ'（x）＝12sin2xcos2x－4sin4x ＝4sin2x（cos x＋sin x）（cos x－sin x）， 易知φ'（x）＞0，则函数φ（x）＝4sin3xcos x在（0，）上单调递增， 又φ（0）＝0，φ（）＝， 所以△ACD面积的取值范围为（0，）. 真题体验 解：（1）∵A＋B＝3C，A＋B＋C＝π， ∴4C＝π，则C＝. ∵2sin（A－C）＝sin B＝sin（π－A－C）＝sin（A＋C）， ∴2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C， 则sin Acos C＝3cos Asin C， ∴sin A＝3cos A＞0. 又sin2A＋cos2A＝1， ∴sin A＝. （2）法一　设AB边上的高为h， 由（1）易得cos A＝，则sin B＝sin（A＋C）＝sin（＋A）＝cos A＋sin A＝. 在△ABC中，由正弦定理＝，得AC＝＝＝2. 又S△ABC＝·AC·AB·sin A＝·AB·h， ∴h＝ACsin A＝2×＝6. 即AB边上的高为6. 法二　由（1）得sin A＝3cos A，则A是锐角，cos A＝， sin B＝sin（A＋C）＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝. 由正弦定理＝，得AC＝＝＝2，故AB边上的高为ACsin A＝2×＝6. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 微突破1　“爪形”三角形问题 【考情分析】　与三角形的特征线（中线、角平分线、高线）有关的解三角形问题是高考的热点，命题形式灵活新颖，实质为在两个三角形中应用正、余弦定理解三角形，难度中等. 　　 【例】　（2023·全国甲卷16题）在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【变式1】　△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，若c＝，a＝，D为BC的中点，则AD＝　　　　. 【变式2】　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝，若边AB上的高为，则cos C的值为　　　　. 【规律方法】　三角形中“特征线”问题的解题策略 特征线 角平分线 中线 高线 破题 策略 （1）利用角平分线定理，找边之间的关系； （2）角平分线把三角形分成两个三角形，利用等面积法求解 （1）利用角互补及余弦定理求解； （2）利用中线长定理求解； （3）利用向量法求解 （1）求高一般采用等面积法，即求某底边上的高，需要求出面积和底边长度； （2）高线的两个作用：①产生直角三角形；②与三角形的面积相关 【训练】　（1）在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AH为△ABC的高线，则·＝　　　　； （2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan C＋＝tan B（tan C－1）. ①求角A； ②若a＝，△ABC所在平面内有一点D满足∠BDC＝，且BC平分∠ABD，求△ACD面积的取值范围. 真题体验 （2023·新高考Ⅰ卷17题）已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin（A－C）＝sin B. （1）求sin A； （2）设AB＝5，求AB边上的高. 提示：完成课后作业　专题一　微突破1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $