第2讲 三角恒等变换与解三角形-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word（提升版）

第2讲　三角恒等变换与解三角形 【考情分析】　（1）三角函数的化简与求值是高考的考查重点，其中关键是运用二倍角公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行恒等变换，主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下；（2）解三角形问题主要涉及三角形的边、角、周长及面积的计算问题，大小题均有涉及，难度中等偏下. 考点一　三角恒等变换 【例1】　（1）（2025·全国Ⅱ卷8题）已知0＜α＜π，cos＝，则sin（α－）＝（　　） A. B. C. D. （2）（2024·新高考Ⅱ卷13题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin（α＋β）＝　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【规律方法】　三角恒等变换的策略 （1）常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan等； （2）项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝（sin2α＋cos2α）＋cos2α，α＝（α－β）＋β等； （3）降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； （4）弦、切互化：一般是切化弦. 【训练1】　（1）（2025·江西萍乡模拟）已知0＜α＜＜β＜π且sin α＝，cos（β－α）＝，则β＝（　　） A. B. C. D. （2）（2025·江西景德镇模拟）已知cos（x＋y）＝2sin（x－y），tan（x－y）＝，则tan xtan y＝（　　） A.　　　B. C.　　　D.－ 考点二　正、余弦定理 【例2】　（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. （1）求B； （2）若△ABC的面积为3＋，求c. 【规律方法】　应用正、余弦定理解题的技巧 （1）求边：利用公式a＝，b＝，c＝或其他相应变形公式求解； （2）求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝或其他相应变形公式求解； （3）已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解，有时已知两边和其中一边对角可用余弦定理求第三边，这种方法可避免对解个数的讨论； （4）灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理. 【训练2】　（2025·天津高考16题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin B＝bcos A，c－2b＝1，a＝. （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求sin（A＋2B）的值. 突破点　多个三角形组合问题 【例3】　如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，cos B＝，cos∠ACB＝，BC＝. （1）求AC； （2）若△ACD的面积为，求CD. 【规律方法】　求解多个三角形组合问题的解题思路 （1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，将数据化归到多个三角形中； （2）在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形； （3）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件； （4）结合面积公式或三角恒等变换公式进行化简. 【训练3】　（2025·湖北武汉二模）如图，△AOD与△BOC存在对顶角∠AOD＝∠BOC＝，AC＝2，BD＝2，且BC＝AD. （1）证明：O为BD中点； （2）若sin 2A＋cos B＝，求OC的长. 真题体验 1.（2024·新高考Ⅰ卷4题）已知cos（α＋β）＝m，tan αtan β＝2，则cos（α－β）＝（　　） A.－3m B.－ C. D.3m 2.（2024·全国甲卷理11题）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝60°，b2＝ac，则sin A＋sin C＝（　　） A. B. C. D. 3.（2024·新高考Ⅱ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. （1）求A； （2）若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长. 提示：完成课后作业　专题一　第2讲 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲　三角恒等变换与解三角形 【例1】　（1）D　（2）－　 解析：（1）cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－，因为0＜α＜π，所以sin α＝，所以sin（α－）＝（sin α－cos α）＝×＝. （2）法一　由题意得tan（α＋β）＝＝＝－2，因为α∈（2kπ，2kπ＋），β∈（2mπ＋π，2mπ＋），k，m∈Z，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋π，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，又因为tan（α＋β）＝－2＜0，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，则sin（α＋β）＜0，则＝－2，联立sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）＝1，解得sin（α＋β）＝－. 法二　由法一得tan（α＋β）＜0，sin（α＋β）＜0，故α＋β为第四象限角.不妨在角α＋β的终边上选取一点P（1，－2），则r＝｜OP｜＝＝3，所以sin（α＋β）＝－. 法三　易得tan（α＋β）＝＝＝－2.又tan α＋tan β＝＋＝＝4，所以sin（α＋β）＝4cos αcos β.由α为第一象限角，β为第三象限角，得cos α＞0，cos β＜0，所以sin（α＋β）＝4cos αcos β＜0.由tan（α＋β）＝－2，结合sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）＝1，得sin（α＋β）＝－. 【训练1】　（1）D　（2）C　解析：（1）因为sin α＝，且0＜α＜＜β＜π，所以0＜β－α＜π，所以cos α＝＝，因为cos（β－α）＝，所以0＜β－α＜，sin（β－α）＝＝，所以cos β＝cos[（β－α）＋α]＝cos（β－α）cos α－sin（β－α）sin α＝×－×＝－，所以β＝. （2）因为cos（x＋y）＝2sin （x－y），所以cos xcos y－sin xsin y＝2sin xcos y－2cos xsin y，两边同时除以cos xcos y，所以1－tan xtan y＝2tan x－2tan y，因为tan（x－y）＝＝，所以tan x－tan y＝，所以1－tan xtan y＝2×，解得tan xtan y＝.故选C. 【例2】　解：（1）由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C， 对比已知a2＋b2－c2＝ab， 可得cos C＝＝＝， 因为C∈（0，π），所以C＝， 又sin C＝cos B，所以＝cos B， 即cos B＝，又B∈（0，π），所以B＝. （2）由（1）可得A＝， 则sin A＝sin＝sin（＋）＝×＋×＝，由正弦定理有＝， 从而a＝·c＝c， 又S△ABC＝acsin B＝3＋，即ac＝4（＋1）， 将a＝c代入，解得c＝2. 【训练2】　解：（1）因为asin B＝bcos A，所以由正弦定理可得sin Asin B＝sin Bcos A， 因为B∈（0，π），所以sin B＞0，所以sin A＝cos A，所以tan A＝. 又因为A∈（0，π），所以A＝. （2）因为c－2b＝1，a＝，cos A＝，所以由a2＝b2＋c2－2bccos A， 可得7＝b2＋（2b＋1）2－2b（2b＋1）×，化简得b2＋b－2＝0， 又b＞0，故b＝1. 由c＝2b＋1，得c＝3. （3）由正弦定理＝，得＝，解得sin B＝. 因为b＝1＜3＝c，所以B为锐角， cos B＝＝. sin 2B＝2sin Bcos B＝， cos 2B＝2cos2B－1＝. 所以sin（A＋2B）＝sin（＋2B）＝sincos 2B＋cossin 2B＝×＋×＝. 【例3】　解：（1）由cos B＝，cos∠ACB＝，则sin B＝＝，sin∠ACB＝＝， 又由∠CAB＝π－B－∠ACB， 所以cos∠CAB＝－cos（B＋∠ACB）＝－（×－×）＝， 又由∠CAB∈（0，π），可得∠BAC＝， 在△ABC中，又由正弦定理得＝，所以＝，可得AC＝2. （2）由AB⊥AD，∠BAC＝，可得∠CAD＝， 又由△ACD的面积为，得×2AD×sin＝，可得AD＝， 在△ACD中，由余弦定理得CD＝＝. 【训练3】　解：（1）证明：如图，设OB＝x，OC＝m，∴OD＝2－x，OA＝2－m， 在△BOC与△AOD中分别由余弦定理及BC＝AD可得m2＋x2－2mx· ＝（2－m）2＋（2－x）2－2（2－m）·（2－x）·＝m2＋x2－4m－4x＋12－8＋2x＋4m－mx， ∴2x＝4，x＝，∴BO＝OD＝，∴O为BD中点. （2）在△BOC与△AOD中，分别由正弦定理得＝，＝，∵BC＝AD，∴sin A＝sin C， 由图知显然A≠C，∴A＋C＝π，∴C＝π－A， ∴B＝A－，＜A＜， ∴sin 2A＋cos（ A－）＝，令sin A＋cos A＝t， ∴（t2－1）＋t＝，∴t＝， ∴sin A＋cos A＝， ∴（ －sin A）2＋sin2A＝1， ∴sin A＝，cos A＝， ∴sin B＝sin A－cos A＝×＝，sin C＝sin A＝， 在△BOC中，由正弦定理得＝， ∴OC＝. 真题体验 1.A　因为cos（α＋β）＝m，所以cos αcos β－sin αsin β＝m，而tan αtan β＝2，即＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，从而cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝3cos αcos β＝－3m.故选A. 2.C　由正弦定理得sin Asin C＝sin2B，因为B＝60°，所以sin Asin C＝sin2B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac＝ac，所以a2＋c2＝ac，所以sin2A＋sin2C＝sin Asin C，所以（sin A＋sin C）2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝sin Asin C＝，又sin A＞0，sin C＞0，所以sin A＋sin C＝. 3.解：（1）由sin A＋cos A＝2可得，sin A＋cos A＝1，即sin（ A＋）＝1， 由于A∈（0，π）⇒A＋∈（ ，），故A＋＝，解得A＝. （2）由题设条件和正弦定理得， bsin C＝csin 2B⇔sin Bsin C＝2sin C·sin Bcos B， 又B，C∈（0，π），则sin Bsin C≠0，则cos B＝，得到B＝， 于是C＝π－A－B＝， sin C＝sin（π－A－B）＝sin （A＋B）＝sin Acos B＋sin Bcos A＝， 由正弦定理可得＝＝，即＝＝， 解得b＝2，c＝＋， 故△ABC的周长为2＋＋3. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $