第10讲 导数与不等式的证明-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书Word（提升版）

画学科网书城▣ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 第10讲导数与不等式的证明 【考情分析】 利用导数证明不等式是高考的热点，命题趋势稳中求变，常与三角、数列结合，证 明的常用的方法有构造函数、放缩法等，多以解答题形式出现，难度较大 考点导数与不等式的证明 【例1】(2023·新高考I卷19题)已知函数f(x)=a(e+a)-x. (1)讨论f(x)的单调性： 解：(1)由题意知，f(x)的定义域为(-o∞，十oo),f(x)=ae-1. 当a≤0时，易知f(x)<0,则f(x)在（一∞，十∞）上是减函数. 当a>0时，令f(x)=0,得x=n 当x∈(-o,lna)时，f(x)<0;当x∈(lna,+∞）时，f(x)>0. 所以f(x)在（一o,ln)上单调递减，在(lna,十o)上单调递增. 综上可知，当a≤0时，f(x)在(-∞，十∞）上是减函数；当a>0时，f(x)在(-∞，n=)上 单调递减，在(lna,十∞)上单调递增. (2)证明：当a>0时，f(x)>2lna十. 解：(2)证明：法一（作差构造法）由(1)知，当a>0时，f(x)在(-∞，lm)上单调递 减，在(1n,+∞)上单调递增。 所以f(x)mm=f(1na)=a(“a+a)-ln-l十a2+iha. 令g(x)=1+x2+lnx-(2nx+-）,x>0, 即g(x)=x2-lnx-2,x>0, 则g(x)=2x-=兰 令g(x)=0,得x=5 当x∈(0，)时，g(x)<0;当x∈(，十∞)时，g(x)>0. 所以g(x)在(0，)内单调递减，在(，十∞)上单调递增， 所以g(x)mm=g(5)=(5)2-nS-=-lh>0, 1/10 ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 所以1+x2+lnx>2nx十-对x>0恒成立， 所以当a>0时，1十a2十lna>2na十恒成立. 即当a>0时，f(x)>2lna+a 法二（适当放缩法）令h(x)=e一x一1，则h(x)=e一1， 由于y=e在R上单调递增，所以h'(x)=e-1在R上单调递增， 又h(0)=e0-1=0, 所以当x<0时，h(x)<0;当x>0时，h'(x)>0. 所以h(x)在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增， 故h(x)≥h(0)=0,则e≥x十1，当且仅当x=0时，等号成立. 因为f(x)=a(e+a)-x=aer+a2-x=e+ina+a2-x≥x十lna十1+a2-x, 当且仅当x十lna=0,即x=一lna时，等号成立， 所以要证f(x)>2na十a,即证x+lna十1+a2-x>2lna十，即证a2---lna>0, 令g(a)=a2-r-lha(a>0),则g(a)=2a-a=。, 令g(a)<0,则0<a<5;令g(a)>0,则a>5 所以g(a)在(0，)内单调递减，在(，十∞)上单调递增， 所以g(a)mm=g()=(5)2-:-ln-lnVF>0,则g(a)>0恒成立. 所以当a>0时，f(x)>2na十-恒成立. 【规律方法】利用导数研究不等式证明问题的思路 待证不等式的两边含有相同的变量 作差（商）构 时，直接通过作差（商）法，转化 造法 为与0（或1）比较大小 等式证 方法适当放缩构 一是根据已知条件适当放缩，二是 选择造法 利用常见的放缩结论放缩 若直接构造函数求导难以判断符号， 可将不等式不等号两端分别“隔离” 隔离分析法 出两个函数式x),gx),使x)m> g(x)nm恒成立，从而fx)>g(x) 【训练1】 已知函数f(x)=x3一x2-3x一12.当x>0时，求证：f(x)<(x一4)e.(参考数 据：e320.1) 2/10 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 证明：构造函数g(x)=(x-4)e-（sx3-x2-3x一12)，其中x>0, 则g(x)=(x-3)e-(x2-2x-3)=(x-3)·（e-x-1), 令p(x)=e-x一1，其中x>0,则p(x)=e-1>0, 所以函数p(x)在(0，十∞)上单调递增， 故当x>0时，p(x)>p(0)=0,即e-x-1>0, 由g(x)<0可得0<x<3,由g(x)>0可得x>3, 所以函数g(x)的减区间为(0,3)，增区间为(3，+∞）， 所以g(x)mim=g(3)=-e3+21>0,即g(x)≥g(3)>0, 故当x>0时，f(x)<(x-4)e. 【训练2】用“隔离分析法”证明：lnx>e一. 证明：要证明lnx>ex-,只需证xnx十->xe一 令f(x)=xnx十e, 由题意得f(x)的定义域为(0，十∞)， 因为f(x)=lnx+1, 所以当x∈(0，e)时，f(x)<0,f(x)在x∈(0，=)内单调递减； 当x∈(，十∞)时，f(x)>0,f(x)在x∈(，十∞)上单调递增， 所以f(x)≥f()=0. p (x)=xe-x-,p'(x)=(1-x)e-*, 当x∈(0,1)时，p(x)>0,p(x)单调递增， 当x∈(1，十∞)时，p(x)<0,p(x)单调递减， 所以p(x)=xe一=在x=1处取得极大值，也是最大值， 故p(x)≤p(1)=e1-=0,当且仅当x=1时等号成立. 当xex一≤0时，因其等号成立的条件与x==不同，故f(x)>p(x)· 即证得lnx>e-. 突破点切线放缩 3/10 ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 导数中的切线放缩法是一种非常实用的数学方法.切线放缩是指曲线y=f(x)在某点处切线方程为y =十b,若y=f(x)的图象恒在直线y=x十b的上方或下方，则有f(x)≥十b或f(x)≤x十 b成立，当且仅当x与切点横坐标相等时等号成立.若函数y=f(x)在区间[a,b]上有凹凸性，可以 利用切线y=f(xo)(x一xo)十f(xo)进行放缩 利用切线放缩法得到的常见不等式有：(1)e≥x+1,当且仅当x=0时取等号；(2)e≥ex,当 且仅当x=1时取等号；(3)ln(x+1)≤x,当且仅当x=0时取等号；(4)lnx≤x一1，当且仅当 x=1时取等号；(5)lnx≤ex一2，当且仅当x==时取等号. 【例2】已知函数f(x)=xnx-x2-1. (1)讨论f(x)的单调性； 解：(1)f(x)的定义域为(0，+∞)，(x)=lnx-2x+1, 记1x)=1x),则r(x)--2=二 当x∈(0，z)时，t'(x)>0,t(x)单调递增，当x∈(z,十∞)时，t(x)<0,t(x)单调递 减， 所以t(x)mx=t(:)=-n2<0,即f(x)<0,所以f(x)在(0，十∞)上单调递减. (2)证明：f(x)<ex十-x-1. 解：(2)证明：欲证原不等式成立，利用放缩法，先证f(x)≤一x一1，再证e十一一1>一 -1(x>0). 记g(x)=f(x)+x+1=xnx-x2+x=x(lnx-x十1)， 再令m(x)=lnx一x十1，则m(x)=x一1， 【小技巧】为了证明g(x)≤0，不需要直接求g'(x).注意 到x>0,故构造函数m(x)=lnx一x十1.求m'(x)可简化 求解过程 当x∈(0,1)时，m'(x)>0,m(x)单调递增，当x∈(1，+∞)时，m'(x)<0,m(x)单 调递减，所以m(x)max=m(1)=0,所以m(x)≤0. 又x>0,所以g(x)≤0，故f(x)≤-x-1. 再证e*十--1>-x-1(x>0)，即证e十=-云十x>0(x>0). 4/10 ◆独家授权侵权必究。 画学科网书城▣ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 记h(x)=ex+=-x+x(x>0),则h(x)=ex十x-1十(x一1)2≥ex十x-1, 记p(x)=ex十x一1(x>0),则p(x)=1一e>0,所以p(x)在(0，十∞)上单调递增， 所以p(x)>e-0+0-1=0,所以h(x)>0,即ex十=-.-1>-x-1(x>0). 综上，f(x)<e十--1. 【规律方法】切线放缩法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的问题（拆成两个函数)， 两函数有斜率相同的切线，这是切线放缩的基础，引入一个中间量，分别证明两个不等式成立，然 后利用不等式的传递性即可.难点在合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线隔板. 【训练3】已知函数f(x)=e一ln(x十m),当m≤2时，证明：f(x)>0. 证明：法一当m≤2时，f(x)=e-ln(x十m)≥e-ln(x+2),下面证明e-n(x+2)> 0, 令g(x)=e-n(x十2)(x>-2),则g(x)=e-,c,g"(x)=e+,->0,所以g (x)在（一2，+∞）上单调递增，又g'(-1)=e1-1<0,g(0)=->0, 所以g(x)在（一1,0）上有唯一的零点xo,且当一2<x<xo时，g(x)<0,当x>xo时，g (x)>0, 所以g(x)在(-2,0)上单调递减，在(xo,+∞）上单调递增，故g(x)mm=g(xo)=一 1n(o十2)①，因为g(0)=一，-=0，所以=，两边取对数可得0=一ln(xo十 2》,代入①得g)=-(-0)=>0,所以gx)>0,即c-nx2)>0, 而当m≤2时，f(x)≥e-ln(x十2)，所以f(x)>0. 法二当m≤2时，f(x)=e-ln(x+m)≥e-ln(x十2)，下面证明e-ln(x十2)>0， 先证e≥x+1,令g(x)=e-x-1(x∈R),则g(x)=e-1,当x<0时，g(x)<0,当x> 0时，g(x)>0,所以g(x)在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增，从而g (x）mim=g(0）=0, 所以g(x)≥0，从而e≥x十1，当且仅当x=0时等号成立. 再证nx+2》≤x+1,令hx)=h(x+2)--1>-2),则H)=-1=- 5/10 ·独家授权侵权必究 画学科网书城▣ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以当-2<x<一1时，h(x)>0,当x>-1时，h'(x)<0,故h(x)在（一2，-1）上单调递 增，在(-1，十∞）上单调递减，所以h(x)mx=h(-l)=0,故h(x)≤0，即ln(x十2)≤x 十1，当且仅当x=一1时等号成立， 综上所述，有ln(x十2)≤x十l≤e,且两个不等号不能同时取等号，故n(x十2)<e,即e*一n (x十2)>0， 又当m≤2时，f(x)≥e-n(x十2)，所以f(x)>0. —真题体验 (2024全国甲卷文20题)已知函数f(x)=a(x-1)-lnx+1. (1)讨论f(x)的单调性； 解：(1)因为f(x)=a(x-1)-lnx+1, 所以f(x)=a一x=。一，x>0, 若a≤0，则f(x)<0恒成立，所以f(x)在(0，十∞)上单调递减； 若a>0,则当0<x<云时，f(x)<0,当x>.时，f(x)>0,所以f(x)在(0，a)上单调递 减，在(a,十∞)上单调递增. 综上，当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0，x)上单调递减， 在(a,十∞)上单调递增. (2)设a≤2，证明：当x>1时，f(x)<e-1. 解：(2)证明：法一（放缩法）因为a≤2，所以当x>1时，e-1-f(x)=e-1-a(x-1)十ln x-1≥e-1-2x+lnx+1. 令g(x)=e-1-2x+lnx十1，则只需证当x>1时g(x)>0. 易知g(x)=e-1-2十， 令h(x)=g(x),则h'(x)=e-1一=在(1，十∞)上单调递增， 则当x>1时，h(x)>h(1)=0, 所以h(x)=g(x)在(1，十∞）上单调递增， 所以当x>1时，g(x)>g(1)=0,故g(x)在(1，十∞)上单调递增， 所以当x>1时，g(x)>g(1)=0, 6/10 ·独家授权侵权必究。 画学科网书城▣ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 即当x>1时，f(x)<e-l 法二（作差法直接求导证明）设g(x)=a(x-1)一lnx十1-e-1,只需证当x>1时g(x)<0 即可. 易知g(x)=a-x-e-l, 令h(x)=g(x),则h'(x)==-e-1, 由基本初等函数的单调性可知h(x)在(1，十∞)上单调递减， 则当x>1时，h(x)<h(1)=1一1=0， 所以h(x)=g(x)在(1，十∞)上单调递减， 于是当x>1时，g(x)<g(1)=a-2, 又a≤2，所以a一2≤0，则当x>1时，g(x)<0,故g(x)在(1，+∞)上单调递减， 所以当x>1时，g(x)<g(1)=0, 即当x>1时，f(x)<e-1. 课时作业 (时间：45分钟，满分：57分) 1.(10分)已知函数f(x)=e-m-ln(2x),当m≤2时，证明：f(x)>一ln2. 证明：当m≤2，x∈(0，十∞)时，e-m≥e-2, 又e≥x十1，∴.e-m≥e-2≥x-1. 取函数h(x)=x-1-n(2x)(x>0),h(x)=1-, 当0<x<1时，hH(x)<0,h(x)单调递减； 当x>1时，h(x)>0,h(x)单调递增， 得函数h(x)在x=1时取唯一的极小值即最小值为h(1)=一1n2. .∴f(x)=e-m-ln(2x)≥er-2-ln(2x）≥x-1-n(2x)≥-n2, 而上式三个不等号不能同时成立，故f(x)>一ln2. 2.(15分)已知函数f(x)=x2-(a-2)x-alnx(a∈R). (1)求函数y=f(x)的单调区间； (2)当a=1时，证明：对任意的x>0,f(x)+e>x2+x十2. 解：(1)由题可知函数f(x)的定义域为(0，十∞)， 7/10 ◆独家授权侵权必究。 画学科网书城▣ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 f(x)=2x-(a-2)-x= 一，即f(x)= 若a≤0，则f(x)>0在定义域(0，十∞)上恒成立，此时函数f(x)在(0，十∞)上单调递 增； 若a>0,令f(x)>0,即2x-a>0,解得x>z,令f(x)<0,即2x-a<0,解得0<x<z,所 以f(x)在(0，)内单调递减，在(，+∞)上单调递增. 综上，a≤0时，f(x)在(0，十∞)上单调递增；a>0时，f(x)在(0，)内单调递减，在 (,十∞)上单调递增。 (2)证明：当a=1时，f(x)=x2十x-lnx, 要证明f(x)十e>x2+x+2,只需证明e-lnx一2>0， 令g(x)=e-lnx-2,则g(x)=e-x, 令g(x)=0,即e=,可得方程有唯一解，设为0，且0≠1，所以=元， 当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下， x (0,x0） Xo (x0,十∞) g(x） 0 十 g(x) 单调递减 单调递增 所以g(x)mm=g(xo）=-lnxo-2=元十xo-2, 因为十0一2≥2长。一2=0，因为≠1，所以不取等号， 即十xo一2>0，即g(x)mm>0恒成立，所以e-lnx一2>0恒成立，得证. 3.(15分)(2025·福建厦门三模)已知函数f(x)=x2+an(x十1). (1)当a=一4时，求f(x)的极小值； (2)若f(x)存在唯一极值点o,证明：f(xo)十≤0. 解：(1)f(x)的定义域为（一1，+∞）. 当a=-4时，fx)=2-4h(x+1）,f(x)=2x-”=“ 令f(x)=0得，x=-2或x=1. 当x∈（一1,1）时，(x)<0,f(x)单调递减；x∈(1，十∞)时，f(x)>0,f(x)单调递 增. 8/10 ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 所以当x=1时，f(x)取得极小值f(1)=1一4ln2. (2)证明：了)=“，x之-1. 当x>-1时，f(x）与g(x)=2x2+2x十a同号. 因为g(x)=2x2十2x十a的图象关于x=一z对称，又f(x)存在唯一极值点xo, 如图可得g(-1)≤0，所以a≤0， =g(x) -1 所以g(0)≤0，故xo≥0. 将a=一(2十2xo)代入得 f (xo)+=2*+aln (xo+1)=2xo[xo-(xo+1)In (xo+1)] 构造h(x)=x一(x十1)n(x十1)，x∈[0，+∞)， 则h(x)=一ln(x十1)≤0， 所以h(x)≤h(0)=0,即xo-(xo+1)ln(xo+1)≤0， 所以f(xo)+≤0. 4.(17分)已知函数f(x)=xnx十ax2-a. (1)当a=一1时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程； (2)若∫(x)存在两个极值点，2，求实数a的取值范围，并证明：f()>0. 解：(1)当a=-1时，f(x)=xnx-x2+1,则f(1)=0, f(x)=1+lnx-2x,.f(1)=-1, .曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=一(x-1),即x十y一1=0. (2)由题意知(x)=1十lnx十2ax, g (x)=1+Inx+2ax,x>0, f(x)存在两个极值点，∴g(x)有两个零点， 易知g（)-计2a- 当a≥0时，g(x)>0,g(x)在(0，+∞)上单调递增，g(x)至多有一个零点，不合题意. 当a<0时，由g'(x)=0得x=一， 9/10 ·独家授权侵权必究。 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 若x∈(0，一)，则g(x)>0,g(x)单调递增； 若x∈（一，十∞），则g(x)<0,g(x)单调递减. 要使g(x)有两个零点，需g(-)=n(-=)>0,解得-z<a<0. 当-<a<0时，g(白=<0，“g(x)在(，一三)上存在唯-零点，记为 :-（-点)=>0，∴>-，g(京)=1十m+ 设t=-,则t>2,令h(t)=1十2lnt-2t,t>2,则h'(t)=.-2<0, ∴.h(t)在(2，十∞)上单调递减，∴.h(t)<h（2)=2n2-3<0,即g(a)<0, ∴g(x)在（一，）内存在唯一零点，记为2 则f(x),f(x)随x的变化情况如下表： x (0,x1) X1 (x1,x2） X2 (x2,十∞) f(x） 0 + 0 f(x) 极小值 1 极大值 .实数a的取值范围是（一，0）. g(1)=1+2a>0,-=>1,∴-<<1<x2 f(1)=0,∴f(x)<0<f(x2), “<<,“要证f(兰)>0，只要证>1， 只要证产>一点，只要证>--， 又-->1，.只要证g(2)<g(-a一)，即证g(:）≤g(一-：）， 设F(x)=g(x)-g(-a一x),0<x<-, 则r)=gx)+g《--)=>0, ∴，F(x)在0<x<一时单调递增， .F(x)<F(-m)=g（-m）-g(-a十m)=0, g()<g(--)成立，即f(兰)>0得证. 10/10 ·独家授权侵权必究