微突破2 数列中的放缩问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书Word（提升版）

微突破2　数列中的放缩问题 【考情分析】　数列不等式的证明是高考重点考查的内容，主要涉及数列项的证明和数列和的证明.考查题型为解答题的第（2）问，难度中等偏上. 【例】　已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝（Sn＋2）， （1）求数列{an}的通项公式； 解：（1）由an＝（Sn＋2），可得Sn＝2an－2. 当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2－（2an－1－2）＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1（n≥2）， ∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2·2n－1＝2n. （2）记bn＝，证明：－＋＜bi＜－＋. （2）证明：∵bn＝＝＞＝－， 【巧放缩】 这里将分母2n＋1－1变为2n＋1，则整个分数变小， 实现放缩，进而将变形为－，为后续的求和化简做好准备 ∴bi＞（ －）＋（ －）＋…＋（ －）＝－＝－＋. ∵bn＝＝＝－＜－， 【破障碍】 先配凑，分离常数后，再进行放缩 ∴ bi＜（ －）＋（ －）＋…＋（ －）＝－＝－＋. 结论得证. 【变式】　若将上述题目的第（2）问改为“记cn＝，证明： ci＜”，该如何求解呢？ 解：由题意知cn＝＝＜， ∴ ci＝＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋＜＋＋…＋ 【讲关键】 全部放缩有时容易将范围放得过大或过小，此时可以选择部分放缩，例如此处前两项并未放缩 ＝＋（ ＋…＋） ＝＋×＜＋× ＝＜＝，得证. 【规律方法】　（1）放缩技巧 （2）通项放缩常见结论 ①对的放缩（下列n∈N*）： ＜＝－（n≥2）； ＜＝（ －）（n≥2）； ＝＜＝2（ －）（n≥1）. ②对的放缩（下列n∈N*）： ＞＝－（n≥1）； ＜＝－（n≥1）. ③对的放缩（下列n∈N*）： ＜（n≥2）； ＜＝－（n≥3）. 【训练】　已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝（n－1）·2n＋1＋2. （1）求{an}的通项公式； 解：（1）由题意可知，当n＝1时，a1＝2； 当n≥2时，由a1＋2a2＋…＋nan＝（n－1）·2n＋1＋2得，a1＋2a2＋…＋（n－1）an－1＝（n－2）·2n＋2， 两式作差可得nan＝（n－1）·2n＋1－（n－2）·2n＝n·2n，所以an＝2n， a1＝2也适合该式，故an＝2n. （2）设bn＝＋，证明：b1＋b2＋…＋bn＜. 解：（2）证明：由（1）知bn＝＋＝＋， 故b1＋b2＋…＋bn＝＋＝1－＋－×＝－（ ＋）， 由于n∈N*，则＋＞0， 故－（ ＋）＜， 即b1＋b2＋…＋bn＜. 真题体验 （2022·新高考Ⅰ卷17题）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列. （1）求{an}的通项公式； 解：（1）法一　因为a1＝1，所以＝1， 又是公差为的等差数列， 所以＝1＋（n－1）×＝. 因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1， 所以＝（n≥2），所以＝（n≥2）， 整理得＝（n≥2）， 所以××…××＝××…××＝（n≥2）， 所以Sn＝（n≥2）， 又S1＝1也满足上式， 所以Sn＝（n∈N*）， 则Sn－1＝（n≥2）， 所以an＝－ ＝（n≥2）， 又a1＝1也满足上式， 所以an＝（n∈N*）. 法二　因为a1＝1，所以＝1， 又是公差为的等差数列， 所以＝1＋（n－1）×＝， 所以Sn＝an. 因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 所以an－1＝an（n≥2）， 所以＝（n≥2）， 所以××…××＝×××…××＝（n≥2）， 所以an＝（n≥2）， 又a1＝1也满足上式， 所以an＝（n∈N*）. （2）证明：＋＋…＋＜2. （2）证明：因为an＝，所以＝＝2， 所以＋＋…＋＝2［＋＋…＋＋］＝2＜2. （时间：45分钟，满分：55分） 1.（10分）已知an＝（ ）n，cn＝＋，{cn}的前n项和为Tn，证明：Tn＞2n－. 证明：因为cn＝＋＝＋＝2＋－＞2＋－， 所以Tn＞2n＋（ －）＋（ －）＋…＋（ －）＝2n－＋＞2n－＞2n－. 2.（13分）已知数列{an}各项均为正数，数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝＋. （1）求{an}的通项公式； 解：（1）因为an＝Sn－Sn－1（n≥2），又an＝＋（n≥2）， 所以Sn－Sn－1＝＋，即（＋）·（－）＝＋， 由题意得＋＝an＞0（n≥2），于是－＝1，而＝1， 即{}是以1为首项，1为公差的等差数列， 从而＝1＋n－1＝n，即Sn＝n2，因此an＝Sn－Sn－1＝n2－（n－1）2＝2n－1（n≥2）， 而a1＝1满足上式，故an＝2n－1. （2）设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn＜1. 解：（2）证明：由（1）知Sn＝n2， 因此bn＝＝＝－＝－， 则Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1－＋－＋…＋－＝1－， 显然数列{}单调递减，于是0＜≤， 则≤1－＜1，故≤Tn＜1. 3.（15分）（2025·湖南长沙一模）已知数列{an}满足a1＝4，当n≥2时，an－4an－1＝－. （1）求数列{an}的通项公式； （2）已知数列bn＝nan－1，证明：＋＋…＋＜. 解：（1）当n≥2时，等式an－4an－1＝－两边同除4n后得－＝－， 所以－＝－1＋，－＝－＋，…，－＝－＋， 上述等式累加得－1＝－1＋，即＝，所以an＝. 又n＝1时，a1＝4满足an＝，故an＝（n∈N*）. （2）证明：由bn＝nan－1＝4n－1，所以bn＝4·4n－1－1＝3·4n－1＋4n－1－1≥3·4n－1， 所以≤， 当n＝1时，＝＜， 当n≥2时，＋＋…＋＜（ 1＋＋＋…＋）＝·＝（ 1－）＜. 综上所述，对任意的n∈N*，＋＋…＋＜. 4.（17分）（2025·四川泸州模拟预测）已知数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且满足an＋Sn＝n＋2，若bn＝an－1. （1）求数列{bn}的通项公式； （2）设cn＝bn，dn＝ ①试比较d3与d4的大小，并说明理由； ②若数列{dn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜. 解：（1）当n＝1时，由题意，a1＝； 当n≥2时，由an＋Sn＝n＋2，得an－1＋Sn－1＝n＋1，两式相减可得2an＝an－1＋1， 所以2（an－1）＝an－1－1，即2bn＝bn－1， 因为b1＝－1＝，所以bn＝. （2）因为bn＝，所以cn＝n； 当n为奇数时，dn＝；当n为偶数时，dn＝sin. 令f（x）＝x－sin x，则f'（x）＝1－cos x≥0，即f（x）为增函数，则当x＞0时，x＞sin x. ①因为d4＝sin＜＜＝d3，所以d3＞d4. ②证明：当n为奇数时，Tn＝＋sin＋＋sin＋…＋ ＝＋＋…＋＋sin＋sin＋…＋sin， 因为＝（ －），所以Tn＜（ 1－）＋＋＋…＋ ＝（ 1－）＋＝－－， 因为＋＞0，所以Tn＜； 当n为偶数时，Tn＝＋sin＋＋sin＋…＋＋sin ＝＋＋…＋＋sin＋sin＋…＋sin， 因为＝（ －），所以Tn＜（ 1－）＋＋＋…＋ ＝（ 1－）＋＝－－， 因为＋＞0，所以Tn＜. 综上，Tn＜. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $