微突破2 三角形中的最值（范围）问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书Word（提升版）

微突破2　三角形中的最值（范围）问题 【考情分析】　三角形中的最值（范围）问题主要考查角的三角函数值、边长、周长及面积的最值（范围）问题，常与三角函数、基本不等式等结合，题型多为解答题，难度中等. 　　 【例】　已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，b－2acos C＝a. （1）证明：C＝2A； 解：（1）证明：因为b－2a cos C＝a. 所以sin B＝sin A＋2sin Acos C＝sin Acos C＋cos Asin C， 所以sin A＝cos Asin C－sin Acos C＝sin（C－A）， 因为A，C为锐角三角形的内角，所以0＜A＜，0＜C＜， 所以－＜C－A＜， 所以A＝C－A，即C＝2A. （2）求的取值范围. 解：（2）由题意得解得＜A＜， 所以＜sin A＜， 由（1）得＝＝＝， 因为函数y＝－2x在（ ，）上单调递减， 所以当＜x＜时，0＜－2x＜1， 所以当＜sin A＜时，0＜－2sin A＜1， 所以＝＞1， 所以的取值范围为（1，＋∞）. 【变式】　〔创新交汇〕在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan A＋tan B＝. （1）求角A的大小； 解：（1）因为tan A＋tan B＝，所以由余弦定理得tan A＋tan B＝＝， 由正弦定理得tan A＋tan B＝， 又＋＝＝＝，所以＝，显然cos B≠0， 又在△ABC中，sin C＞0， 所以sin A＝cos A，所以tan A＝1，所以A＝. （2）若BC＝2，求·的最大值. 解：（2）法一　由余弦定理可得a2＝c2＋b2－2cbcos A＝c2＋b2－cb＝4， 又b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时等号成立， 所以4＋bc≥2bc，则bc≤， ·＝cbcos A≤×＝2＋2，所以·的最大值为2＋2. 法二　·＝bccos A＝bc＝×·sin Bsin C＝4sin Bsin C＝2[cos（B－C）－cos（B＋C）]＝2［cos（B－C）＋］， 因为0＜B＜，0＜C＜，所以－＜B－C＜，则·≤2（1＋）＝2＋2，当且仅当B＝C时等号成立. 故·的最大值为2＋2. 【规律方法】　三角形中常见最值（范围）问题的解题策略 （1）利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b与ab相互转化求最值（范围）； （2）利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简，利用三角函数的性质求最值（范围）. 【训练】　（1）（2025·山东济南二模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝，则c＝　2　；若a∶b＝∶1，则△ABC面积的最大值为　　； 解析：法一　因为＝，可得bsin C＝2cos Asin C＋2sin Acos C＝2sin（A＋C）＝2sin B，由正弦定理可得bc＝2b，所以c＝2.由a∶b＝∶1可得a＝b，由余弦定理可得cos C＝＝＝，且△ABC的面积S＝absin C＝sin C，所以S2＝·sin2C＝（1－cos2C）＝［1－］＝－＋2b2－1，所以b2＝4，即b＝2时，S2的最大值为3，所以△ABC面积的最大值为. 法二　因为＝，由正弦定理可得＝，由余弦定理得＝，化简得bc－＝，即bc＝2b，所以c＝2.以AB边所在直线为x轴，以边AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图略），则A（－1，0），B（1，0），设C（x，y），因为a∶b＝∶1，所以＝，化简得（x＋2）2＋y2＝3（y≠0），即顶点C在以（－2，0）为圆心，以为半径的圆（除去与x轴的交点）上，所以△ABC的AB边上的高最大值为，所以△ABC面积的最大值为Smax＝·AB＝. （2）（2025·重庆二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csin A＋acos C＝b. ①求角 A的值； ②若△ABC为锐角三角形，且 c＝1，求△ABC面积的取值范围. （2）解：①由csin A＋acos C＝b及正弦定理可得sin Csin A＋sin Acos C＝sin B， 得sin Csin A＋sin Acos C＝sin（A＋C）， 得sin Csin A＋sin Acos C＝sin Acos C＋cos Asin C， 得sin Csin A＝cos Asin C， 因C∈（0，π），故sin C≠0，故sin A＝cos A，即tan A＝， 又A∈（0，π），故A＝. ②由A＝得B＋C＝， 由△ABC为锐角三角形可得得＜C＜， 由正弦定理可得＝，故b＝＝， 即b＝＝＋， 因为＜C＜，故tan C＞，故0＜＜， 故＜b＜2， 因为S△ABC＝bcsin A＝×b×sin＝b，故＜S△ABC＜， 故△ABC面积的取值范围为（ ，）. 真题体验 1.（2022·全国甲卷理16题）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝　－1　. 解析：设BD＝k（k＞0），则CD＝2k.根据题意作出大致图形，如图.在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k×＝k2＋2k＋4.在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋（2k）2－2×2×2k×＝4k2－4k＋4，则＝＝＝4－＝4－＝4－，∵k＋1＋≥2（ 当且仅当k＋1＝，即k＝－1时等号成立），∴≥4－＝4－2＝（－1）2，∴当取得最小值－1时，BD＝k＝－1. 2.（2022·新高考Ⅰ卷18题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. （1）若C＝，求B； 解：（1）因为＝， 所以＝， 所以＝， 所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B， 所以cos（A＋B）＝sin B， 所以sin B＝－cos C＝－cos ＝， 因为B∈，所以B＝. （2）求的最小值. 解：（2）由（1）知，sin B＝－cos C＞0， 所以＜C＜π，0＜B＜，而sin B＝－cos C＝sin（ C－）， 所以C＝＋B，即有A＝－2B，所以B∈（ 0，），C∈（ ，） 所以＝＝ ＝＝4cos2B＋－5≥2－5＝4－5，当且仅当cos2B＝时取等号， 所以的最小值为4－5. （时间：45分钟，满分：61分） 1.（5分）已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋b＝2ccos B，则＋（ ）2的最小值为（　　） A.2 B.3 C.2 D.4 解析：B　由余弦定理得a＋b＝2ccos B＝2c·，∴（ ）2＝＋1，∴＋（ ）2＝＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当＝，即a＝b时等号成立，∴＋（ ）2的最小值为3. 2.（5分）（2025·内蒙古包头二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2（b2－c2）＝3a2，则tan A的最大值为（　　） A. B. C. D. 解析：C　∵2（b2－c2）＝3a2，∴a2＝，∴cos A＝＝＝≥＝，当且仅当b2＝5c2，即b＝c时等号成立.又A∈（0，π），∴cos A∈［，1），cos2A∈［，1），∴tan A＝＝≤＝.故选C. 3.（5分）（2025·江西萍乡二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，＋＝3，则△ABC面积的最大值为（　　） A.3 B. C. D.2 解析：A　对＋＝3进行化简，通分可得＝＝＝＝3，即5－4cos A＝3sin A，又sin2A＋cos2A＝1，解得sin A＝，cos A＝.已知a＝2，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得4＝b2＋c2－bc，根据基本不等式b2＋c2≥2bc（当且仅当b＝c时取等号），则4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，可得bc≤10，三角形面积S△ABC＝bcsin A＝bc≤×10＝3，当且仅当b＝c时等号成立.故选A. 4.（6分）〔多选〕（2025·山东济宁一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，且2c－b＝2acos B，则下列结论正确的是（　　） A.A＝ B.△ABC外接圆的面积为π C.△ABC面积的最大值为 D.△ABC周长的最大值为3 解析：BCD　对于A，因为2c－b＝2acos B，由余弦定理可得2c－b＝2a×＝，整理可得b2＋c2－a2＝bc，则cos A＝＝＝，且A∈（0，π），所以A＝，故A错误；对于B，由正弦定理可得△ABC外接圆的半径R＝＝＝1，所以△ABC外接圆的面积为πR2＝π，故B正确；对于C，由b2＋c2－a2＝bc可得b2＋c2＝a2＋bc＝3＋bc，且b2＋c2≥2bc，即3＋bc≥2bc，解得bc≤3，当且仅当b＝c＝时，等号成立，所以△ABC面积的最大值为×3×＝，故C正确；对于D，由b2＋c2＝3＋bc可得（b＋c）2＝3＋3bc，即bc＝，且bc≤，即≤，解得（b＋c）2≤12，即b＋c≤2，当且仅当b＝c＝时，等号成立，所以△ABC周长的最大值为2＋＝3，故D正确.故选B、C、D. 5.（5分）如图，C，D是两所学校所在地，C，D到一条公路的垂直距离分别为CA＝8 km，DB＝27 km.为了缓解上下学的交通压力，市政府决定在AB上找一点P，分别向C，D修建两条垂直的公路PC和PD，设∠APC＝θ（0＜θ＜），则当PC＋PD最小时，AP＝　12　km. 解析：由题意得，PC＋PD＝＋＝＋（0＜θ＜），令y＝＋（0＜θ＜），则y'＝，令y'＝0，则tan θ＝，当y'＞0时，tan θ＞，当y'＜0时，tan θ＜.故当tan θ＝时，y取得最小值，此时AP＝＝＝12. 6.（5分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acos B＝bcos∠BAC，M是BC的中点，若AM＝4，则b＋c的最大值为　8　. 解析：由acos B＝bcos∠BAC，根据正弦定理得，sin∠BACcos B＝sin Bcos∠BAC，即sin（∠BAC－B）＝0，所以∠BAC－B＝kπ（k∈Z）.又因为0＜∠BAC＜π，0＜B＜π，所以∠BAC＝B，所以a＝b.在△AMC中，b2＝＋16－2··4cos∠AMC　①，在△AMB中，c2＝＋16－2··4cos∠AMB　②，因为∠AMC＋∠AMB＝π，所以cos∠AMC＝－cos∠AMB，①＋②可得b2＋c2＝＋32，又因为a＝b，所以b2＋c2＝32，即（ b＋c）2－bc＝32，所以（ b＋c）2＝bc＋32≤（ ）2＋32，令t＝b＋c，则t2≤（ ）2＋32，即t2≤32，解得－8≤t≤8，又因为t＞0，所以0＜t≤8，当且仅当b＝c＝4时，等号成立，则b＋c的最大值为8. 7.（15分）（2025·上海闵行二模）已知f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），函数y＝f（x）的部分图象如图所示，图中最高点S（ ，1），最低点T（ ，－1）. （1）求函数y＝f（x）的解析式； 解：（1）因为f（x）＝sin（ωx＋φ）图象经过S（ ，1），T（ ，－1）， 所以－＝得周期T＝2π，由＝2π得，ω＝1. 又f（ ）＝1得＋φ＝2kπ＋，k∈Z， 又因为0＜φ＜π， 所以φ＝，所以f（x）＝sin（ x＋）. （2）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A≠B，f（A）＝f（B），c＝2，求△ABC面积的取值范围. 解：（2）因为f（A）＝f（B），又0＜A＋B＜π， 结合图象对称性可知A＋B＝，则C＝， 又c＝2，由正弦定理得＝＝＝＝， 则a＝sin A，b＝sin B， 所以ab＝sin Asin B＝sin Asin（ －A） ＝sin A（ cos A＋sin A）＝sin Acos A＋sin2A ＝sin 2A＋－cos 2A＝sin（ 2A－）＋， 由A＋B＝，A≠B，可得A∈（ 0，）∪（ ，）， 所以2A－∈（ －，）∪（ ，），则sin（ 2A－）∈（ －，1）， 故ab∈（0，4）， 所以△ABC的面积为absin C＝ab·＝ab∈（0，）， 故△ABC面积的取值范围为（0，）. 8.（15分）（2025·河北秦皇岛二模）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足btan Bcos C＋csin B＝2atan Bcos A. （1）求A； （2）若a＝3，求2b－c＋2sin（ 2B＋）的取值范围. 解：（1）由btan Bcos C＋csin B＝2atan Bcos A， 根据正弦定理，得sin Btan Bcos C＋sin Csin B＝2sin Acos Atan B， 由tan B＝，sin B＞0，则sin Bcos C＋sin Ccos B＝2sin Acos A， 即sin（B＋C）＝sin A＝2sin Acos A，而sin A＞0，故cos A＝， 又A∈（0，π），所以A＝. （2）由正弦定理和＝2，得b＝2sin B，c＝2sin C， 由sin C＝sin（ －B）＝cos B＋sin B， 则2b－c＋2sin（ 2B＋）＝3sin B－3cos B＋2sin（ 2B＋） ＝6sin（ B－）＋2sin（ 2B＋－）＝2cos［2（ B－）］＋6sin（ B－） ＝2［1－2sin2（ B－）］＋6sin（ B－）＝－4sin2（ B－）＋6sin（ B－）＋2， 由则＜B＜，即0＜B－＜， 可得sin（ B－）∈（ 0，）， 令t＝sin（ B－），则2b－c＋2sin（ 2B＋）＝－4t2＋6t＋2＝－4（ t－）2＋， 易知函数f（t）＝－4（ t－）2＋在（ 0，）上单调递增，在（ ，）上单调递减， f（0）＝2，f（ ）＝，f（ ）＝3－1，所以2b－c＋2sin（ 2B＋）∈（ 2，］. 故2b－c＋2sin（2B＋）的取值范围为（ 2，］. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $