微突破1 “爪形”三角形问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书Word（提升版）

微突破1　“爪形”三角形问题 【考情分析】　与三角形的特征线（中线、角平分线、高线）有关的解三角形问题是高考的热点，命题形式灵活新颖，实质为在两个三角形中应用正、余弦定理解三角形，难度中等. 　　 【例】　（2023·全国甲卷16题）在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝　2　. 解析：如图所示，记AB＝c，AC＝b，BC＝a，由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，因为b＞0，解得b＝1＋， 【技巧】 若是给出两边及一边的对角，可以利用余弦定理求出第三边 法一（常规解法）　由正弦定理可得，＝＝，解得sin B＝，sin C＝，因为1＋＞＞，所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°，又∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°，即AD＝AB＝2. 法二（等面积法）　由角平分线可得S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，即×2×b×sin 60°＝×2×AD×sin 30°＋×AD×b×sin 30°，解得AD＝＝＝2. 【技巧】 利用等面积法建立角平分线的关系式，使得问题 更简单 【变式1】　△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，若c＝，a＝，D为BC的中点，则AD＝　　　. 解析：法一（常规解法）　在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC，则5＝b2＋2－2b，解得b＝3或b＝－1（舍去），因为D为BC的中点，则＝（＋），两边同时平方得＝（＋＋2·）＝×（ 2＋9＋2××3×）＝，所以｜｜＝，即AD＝. 【技巧】 平面向量是解决几何问题的一种重要方法，将其与余弦定理结合到一起，可使问题快速解决 法二（中线法）　在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC，则5＝b2＋2－2b，解得b＝3或b＝－1（舍去），因为D为BC的中点，AD2＝（AB2＋AC2）－BC2，所以AD2＝×[（）2＋32]－×（）2＝，即AD＝. 【技巧】 若三边已知，可运用中线长定理快速得出结果 【变式2】　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝，若边AB上的高为，则cos C的值为　－　. 解析：因为△ABC的面积S＝acsin B＝ac＝，所以a＝c. 【技巧】 建立关于三角形面积的关系式，得到a，c的关系由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝（ c）2＋c2－2×c×c×＝c2，所以b＝c，所以cos C＝＝＝－. 【技巧】 已知两边的关系及两边的夹角，利用余弦定理求出三边的关系，再次运用余弦定理即可求解 【规律方法】　三角形中“特征线”问题的解题策略 特征线 角平分线 中线 高线 破题策略 （1）利用角平分线定理，找边之间的关系； （2）角平分线把三角形分成两个三角形，利用等面积法求解 （1）利用角互补及余弦定理求解； （2）利用中线长定理求解； （3）利用向量法求解 （1）求高一般采用等面积法，即求某底边上的高，需要求出面积和底边长度； （2）高线的两个作用：①产生直角三角形；②与三角形的面积相关 【训练】　（1）在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AH为△ABC的高线，则·＝　　； 解析：在三角形ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝7，即BC＝，所以S△ABC＝AB·ACsin 120°＝BC·AH，所以AH＝＝，由向量数量积的几何意义得 ·＝｜｜2＝（ ）2＝. （2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan C＋＝tan B（tan C－1）. ①求角A； ②若a＝，△ABC所在平面内有一点D满足∠BDC＝，且BC平分∠ABD，求△ACD面积的取值范围. 解：①由tan C＋＝tan B（tan C－1）， 得tan B＋tan C＝－（1－tan Btan C）， 即＝－， 即tan（B＋C）＝－，所以tan（π－A）＝－，即tan A＝， 又A∈（0，π），所以A＝. ②设∠ABC＝∠CBD＝x， 在△BCD中，∠BDC＝，故x∈（0，）， 则∠ACD＝2π－－－2x＝π－2x. 由正弦定理有＝，＝， 则AC＝CD＝2sin x， 故S△ACD＝（2sin x）2sin（π－2x）＝4sin3xcos x. 令φ（x）＝4sin3xcos x，x∈（0，）， 则φ'（x）＝12sin2xcos2x－4sin4x ＝4sin2x（cos x＋sin x）（cos x－sin x）， 易知φ'（x）＞0，则函数φ（x）＝4sin3xcos x在（0，）上单调递增， 又φ（0）＝0，φ（）＝， 所以△ACD面积的取值范围为（0，）. 真题体验 （2023·新高考Ⅰ卷17题）已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin（A－C）＝sin B. （1）求sin A； 解：（1）∵A＋B＝3C，A＋B＋C＝π， ∴4C＝π，则C＝. ∵2sin（A－C）＝sin B＝sin（π－A－C）＝sin（A＋C）， ∴2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C， 则sin Acos C＝3cos Asin C，∴sin A＝3cos A＞0. 又sin2A＋cos2A＝1，∴sin A＝. （2）设AB＝5，求AB边上的高. 解：（2）法一　设AB边上的高为h， 由（1）易得cos A＝，则sin B＝sin（A＋C）＝sin（＋A）＝cos A＋sin A＝. 在△ABC中，由正弦定理＝，得AC＝＝＝2. 又S△ABC＝·AC·AB·sin A＝·AB·h， ∴h＝ACsin A＝2×＝6. 即AB边上的高为6. 法二　由（1）得sin A＝3cos A，则A是锐角，cos A＝， sin B＝sin（A＋C）＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝. 由正弦定理＝，得AC＝＝＝2，故AB边上的高为ACsin A＝2×＝6. （时间：40分钟，满分：54分） 1.（5分）（2025·湖南郴州三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，a＝4，BC边上的高AD＝，则b＋c＝（　　） A.2 B.4 C.8 D.4 解析：A　由已知得×4×＝bcsin，解得bc＝8　①，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得16＝b2＋c2－bc　②，由①②可得b＋c＝＝2. 故选A. 2.（5分）（2025·江西九江模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是BC的中点，·＝2c2，则＝（　　） A. B. C.2 D. 解析：D　在△ABC中，D是BC的中点，·＝（－）·（＋）＝2c2，则－＝4c2，即b2－c2＝4c2，因此b2＝5c2，所以＝＝.故选D. 3.（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，AD是△ABC的角平分线，点D在BC上，CD＝3BD，AD＝，则△ABC的面积为（　　） A. B. C. D. 解析：D　在△ABC中，由角平分线定理得＝＝3，所以b＝3c，又S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，即bcsin A＝c×AD×sin＋b×AD×sin，解得c＝，b＝4，所以S△ABC＝bcsin A＝××4×＝. 4.（6分）〔多选〕（2025·福建漳州一模）在△ABC中，AC＝2，tan A＝2，向量在向量上的投影向量为，则（　　） A.边BC上的高为3 B.sin C＝ C.·＝－8 D.边AB上的中线为 解析：ABD　如图，过点C作CD⊥AB于点D，则向量在向量上的投影向量为，由已知＝，所以AD＝AB，设AD＝x，则BD＝2x，又tan A＝2，所以CD＝2x，所以B＝45°，在Rt△ACD中，AC＝x，又AC＝2，所以x＝2，所以AD＝2，BD＝4，CD＝4，所以AB＝6，在Rt△BCD中，易得BC＝＝4，所以在△ABC中，边BC的高为AB·sin B＝3，故A正确；在△ABC中，由余弦定理的推论得cos C＝＝，又因为C∈（0，π），所以sin C＝＝，故B正确；·＝｜｜·｜｜cos C＝2×4×＝8，故C错误；设AB的中点为M，则＝（＋），所以＝（＋＋2·）＝×（20＋32＋2×8）＝17，则｜｜＝，故D正确.故选A、B、D. 5.（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin Btan A＝asin Bcos C＋bsin Ccos A.若点D在边BC上，且BD＝2DC，b＝3，AD＝2，A＝，则△ABC的周长为　3＋9　. 解析：设CD＝x， 则在△ABC中，cos∠BAC＝＝　①.在△ACD中，cos∠ADC＝＝.在△ADB中，cos∠ADB＝.因为cos∠ADC＋cos∠ADB＝0，所以6x2＋18－c2＝0　②.由①②可解得c＝6，x＝，所以△ABC的周长为3＋9. 6.（13分）在△ABC中，D是边BC上的点，∠BAC＝120°，AD＝1，AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ACD的面积的两倍. （1）求△ACD的面积； （2）求△ABC的边BC上的中线AE的长. 解：（1）由已知及正弦定理可得： S△ABD＝AD·AB·sin 60°＝2S△ACD＝2×AD·AC·sin 60°， 化简得AB＝2AC. 又因为S△ABC＝3S△ACD＝3·AD·AC·sin 60°＝AC＝AB·AC·sin 120°＝AC2，所以AC＝， 所以S△ACD＝AC·AD·sin 60°＝×＝， 所以△ACD的面积为. （2）由（1）可知AB＝2AC＝3，因为AE是△ABC的边BC上的中线， 所以＝（＋）， 所以｜｜＝ ＝＝×＝， 所以△ABC的边BC上的中线AE的长为. 7.（15分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，bsin 2A＝4sin B. （1）若b＝1，证明：C＝A＋； （2）若BC边上的高为，求△ABC的周长. 解：（1）证明：由已知可得＝＝， 由正弦定理＝可得，＝＝， 所以有＝. 又sin A＞0，所以cos A＝，sin A＝＝. 又b＝1，所以sin B＝＝＝. 因为a＞b，所以cos B＝＝， 所以cos C＝－cos（A＋B）＝－cos Acos B＋sin Asin B＝－， 所以cos C＝－sin A＝cos（A＋）. 又C∈（0，π），A＋∈（0，π），函数y＝cos x在（0，π）上单调递减， 则C＝A＋. （2）由题意得△ABC的面积S＝×6×＝8. 又S＝bc·sin A＝bc，则bc＝24. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A＝（b＋c）2－2bc（cos A＋1）， 得（b＋c）2＝2bc（1＋cos A）＋a2＝48×（ 1＋）＋62＝（6＋4）2， 所以b＋c＝6＋4. 所以△ABC的周长为12＋4. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $