第2讲 三角恒等变换与解三角形-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书Word（提升版）

第2讲　三角恒等变换与解三角形 【考情分析】　（1）三角函数的化简与求值是高考的考查重点，其中关键是运用二倍角公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行恒等变换，主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下；（2）解三角形问题主要涉及三角形的边、角、周长及面积的计算问题，大小题均有涉及，难度中等偏下. 考点一　三角恒等变换 【例1】　（1）（2025·全国Ⅱ卷8题）已知0＜α＜π，cos＝，则sin（α－）＝（　D　） A. B. C. D. 解析：（1）cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－，因为0＜α＜π，所以sin α＝，所以sin（α－）＝（sin α－cos α）＝×＝. （2）（2024·新高考Ⅱ卷13题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin（α＋β）＝　－　. 解析：（2）法一　由题意得tan（α＋β）＝＝＝－2，因为α∈（2kπ，2kπ＋），β∈（2mπ＋π，2mπ＋），k，m∈Z，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋π，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，又因为tan（α＋β）＝－2＜0，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，则sin（α＋β）＜0，则＝－2，联立sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）＝1，解得sin（α＋β）＝－. 法二　由法一得tan（α＋β）＜0，sin（α＋β）＜0，故α＋β为第四象限角.不妨在角α＋β的终边上选取一点P（1，－2），则r＝｜OP｜＝＝3，所以sin（α＋β）＝－. 法三　易得tan（α＋β）＝＝＝－2.又tan α＋tan β＝＋＝＝4，所以sin（α＋β）＝4cos αcos β.由α为第一象限角，β为第三象限角，得cos α＞0，cos β＜0，所以sin（α＋β）＝4cos αcos β＜0.由tan（α＋β）＝－2，结合sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）＝1，得sin（α＋β）＝－. 【规律方法】　三角恒等变换的策略 （1）常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan等； （2）项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝（sin2α＋cos2α）＋cos2α，α＝（α－β）＋β等； （3）降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； （4）弦、切互化：一般是切化弦. 【训练1】　（1）（2025·江西萍乡模拟）已知0＜α＜＜β＜π且sin α＝，cos（β－α）＝，则β＝（　D　） A. B. C. D. 解析：（1）因为sin α＝，且0＜α＜＜β＜π，所以0＜β－α＜π，所以cos α＝＝，因为cos（β－α）＝，所以0＜β－α＜，sin（β－α）＝＝，所以cos β＝cos[（β－α）＋α]＝cos（β－α）cos α－sin（β－α）sin α＝×－×＝－，所以β＝. （2）（2025·江西景德镇模拟）已知cos（x＋y）＝2sin（x－y），tan（x－y）＝，则tan xtan y＝（　C　） A. B. C. D.－ 解析：（2）因为cos（x＋y）＝2sin （x－y），所以cos xcos y－sin xsin y＝2sin xcos y－2cos xsin y，两边同时除以cos xcos y，所以1－tan xtan y＝2tan x－2tan y，因为tan（x－y）＝＝，所以tan x－tan y＝，所以1－tan xtan y＝2×，解得tan xtan y＝.故选C. 考点二　正、余弦定理 【例2】　（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. （1）求B； 解：（1）由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C， 对比已知a2＋b2－c2＝ab， 可得cos C＝＝＝， 因为C∈（0，π），所以C＝， 又sin C＝cos B，所以＝cos B， 即cos B＝，又B∈（0，π），所以B＝. （2）若△ABC的面积为3＋，求c. 解：（2）由（1）可得A＝， 则sin A＝sin＝sin（＋）＝×＋×＝，由正弦定理有＝， 从而a＝·c＝c， 又S△ABC＝acsin B＝3＋，即ac＝4（＋1）， 将a＝c代入，解得c＝2. 【规律方法】　应用正、余弦定理解题的技巧 （1）求边：利用公式a＝，b＝，c＝或其他相应变形公式求解； （2）求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝或其他相应变形公式求解； （3）已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解，有时已知两边和其中一边对角可用余弦定理求第三边，这种方法可避免对解个数的讨论； （4）灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理. 【训练2】　（2025·天津高考16题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin B＝bcos A，c－2b＝1，a＝. （1）求A的值； 解：（1）因为asin B＝bcos A，所以由正弦定理可得sin Asin B＝sin Bcos A， 因为B∈（0，π），所以sin B＞0，所以sin A＝cos A，所以tan A＝. 又因为A∈（0，π），所以A＝. （2）求c的值； 解：（2）因为c－2b＝1，a＝，cos A＝，所以由a2＝b2＋c2－2bccos A， 可得7＝b2＋（2b＋1）2－2b（2b＋1）×，化简得b2＋b－2＝0， 又b＞0，故b＝1. 由c＝2b＋1，得c＝3. （3）求sin（A＋2B）的值. 解：（3）由正弦定理＝，得＝，解得sin B＝. 因为b＝1＜3＝c，所以B为锐角，cos B＝＝. sin 2B＝2sin Bcos B＝， cos 2B＝2cos2B－1＝. 所以sin（A＋2B）＝sin（＋2B）＝sincos 2B＋cossin 2B＝×＋×＝. 突破点　多个三角形组合问题 【例3】　如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，cos B＝，cos∠ACB＝，BC＝. （1）求AC； 解：（1）由cos B＝，cos∠ACB＝，则sin B＝＝，sin∠ACB＝＝， 又由∠CAB＝π－B－∠ACB， 所以cos∠CAB＝－cos（B＋∠ACB）＝－（×－×）＝， 又由∠CAB∈（0，π），可得∠BAC＝， 在△ABC中，又由正弦定理得＝，所以＝，可得AC＝2. （2）若△ACD的面积为，求CD. 解：（2）由AB⊥AD，∠BAC＝，可得∠CAD＝， 又由△ACD的面积为，得×2AD×sin＝，可得AD＝， 在△ACD中，由余弦定理得CD＝＝. 【规律方法】　求解多个三角形组合问题的解题思路 （1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，将数据化归到多个三角形中； （2）在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形； （3）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件； （4）结合面积公式或三角恒等变换公式进行化简. 【训练3】　（2025·湖北武汉二模）如图，△AOD与△BOC存在对顶角∠AOD＝∠BOC＝，AC＝2，BD＝2，且BC＝AD. （1）证明：O为BD中点； （2）若sin 2A＋cos B＝，求OC的长. 解：（1）证明：如图，设OB＝x，OC＝m，∴OD＝2－x，OA＝2－m， 在△BOC与△AOD中分别由余弦定理及BC＝AD可得m2＋x2－2mx· ＝（2－m）2＋（2－x）2－2（2－m）·（2－x）· ＝m2＋x2－4m－4x＋12－8＋2x＋4m－mx， ∴2x＝4，x＝，∴BO＝OD＝，∴O为BD中点. （2）在△BOC与△AOD中，分别由正弦定理得＝，＝，∵BC＝AD，∴sin A＝sin C， 由图知显然A≠C，∴A＋C＝π，∴C＝π－A， ∴B＝A－，＜A＜， ∴sin 2A＋cos（ A－）＝，令sin A＋cos A＝t， ∴（t2－1）＋t＝，∴t＝， ∴sin A＋cos A＝， ∴（ －sin A）2＋sin2A＝1，∴sin A＝，cos A＝， ∴sin B＝sin A－cos A＝×＝，sin C＝sin A＝， 在△BOC中，由正弦定理得＝， ∴OC＝. 真题体验 1.（2024·新高考Ⅰ卷4题）已知cos（α＋β）＝m，tan αtan β＝2，则cos（α－β）＝（　　） A.－3m B.－ C. D.3m 解析：A　因为cos（α＋β）＝m，所以cos αcos β－sin αsin β＝m，而tan αtan β＝2，即＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，从而cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝3cos αcos β＝－3m.故选A. 2.（2024·全国甲卷理11题）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝60°，b2＝ac，则sin A＋sin C＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　由正弦定理得sin Asin C＝sin2B，因为B＝60°，所以sin Asin C＝sin2B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac＝ac，所以a2＋c2＝ac，所以sin2A＋sin2C＝sin Asin C，所以（sin A＋sin C）2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝sin Asin C＝，又sin A＞0，sin C＞0，所以sin A＋sin C＝. 3.（2024·新高考Ⅱ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. （1）求A； （2）若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长. 解：（1）由sin A＋cos A＝2可得，sin A＋cos A＝1，即sin（ A＋）＝1， 由于A∈（0，π）⇒A＋∈（ ，），故A＋＝，解得A＝. （2）由题设条件和正弦定理得， bsin C＝csin 2B⇔sin Bsin C＝2sin C·sin Bcos B， 又B，C∈（0，π），则sin Bsin C≠0，则cos B＝，得到B＝， 于是C＝π－A－B＝， sin C＝sin（π－A－B）＝sin （A＋B）＝sin Acos B＋sin Bcos A＝， 由正弦定理可得＝＝，即＝＝， 解得b＝2，c＝＋， 故△ABC的周长为2＋＋3. （时间：60分钟，满分：95分） 一、单项选择题（每小题5分，共35分） 1.（2025·全国Ⅱ卷5题）在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝（　　） A.45° B.60° C.120° D.135° 解析：A　法一（通解）　cos A＝＝＝，因为0°＜A＜180°，所以A＝45°. 法二（优解）　因为BC＜AC，BC＜AB，所以A为最小角，所以A＜60°，排除B、C、D，故选A. 2.已知sin（ α＋）＝＋cos α，则cos（ 2α－）＝（　　） A.－　　　B. C.－　　　D. 解析：B　因为sin（ α＋）＝＋cos α，则sin α＋cos α＝＋cos α，即sin α－cos α＝，所以sin（ α－）＝，则cos（ 2α－）＝cos 2（ α－）＝1－2sin2（ α－）＝1－2×（ ）2＝.故选B. 3.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，A＝60°，a＝.若这个三角形有两解，则b的取值范围是（　　） A.＜b≤2 B.＜b＜2 C.1＜b＜2 D.1＜b≤2 解析：B　由正弦定理＝可得，b＝＝＝2sin B.要使△ABC有两解，即B有两解，则应有A＜B，且sin B＜1，所以＝sin A＜sin B＜1，所以＜b＜2.故选B. 4.（2025·湖南长沙模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＜，a＝2，b＝5，sin 2A＝，则△ABC的面积为（　　） A.36 B.18 C.36 D.27 解析：D　因为cos2A＋sin2A＝1，且2sin Acos A＝，又A＜，所以sin A＝，cos A＝，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，即4×17＝50＋c2－2×5c×即c2－8c－18＝0，即（c－9）（c＋）＝0，所以c＝9， 所以△ABC的面积为bcsin A＝×5×9×＝27.故选D. 5.已知0＜α＜，＜β＜π，sin α＝，cos（α＋β）＝－，则sin β＝（　　） A. B. C.或 D.0或 解析：A　因为0＜α＜，sin α＝，所以cos α＝＝，因为0＜α＜，＜β＜π，所以＜α＋β＜，因为cos（α＋β）＝－，所以sin（α＋β）＝±＝±.当sin（α＋β）＝时，sin β＝sin[（α＋β）－α]＝sin（α＋β）cos α－cos（α＋β）sin α＝×＋×＝，因为＜β＜π，所以sin β＞0，故sin β＝满足题意；当sin（α＋β）＝－时，sin β＝sin[（α＋β）－α]＝sin（α＋β）cos α－cos（α＋β）sin α＝－×＋×＝0，因为＜β＜π，故sin β＝0不合题意，舍去.故选A. 6.在圆内接梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝，BC＝2，CD＝1，则其外接圆的半径为（　　） A.　 　B. C.　 　D. 解析：B　如图，梯形ABCD内接于圆O，则∠ADC＋∠ABC＝π，因∠ADC＝，则∠DAB＝∠ABC＝，故梯形ABCD为等腰梯形，则AD＝BC＝2，所求即为△ACD的外接圆的半径.在△ACD中，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC＝4＋1－2×2×1×（ －）＝7，则AC＝，又由正弦定理得2R＝＝＝，即R＝.故选B. 7.雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔.某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为30°，在点D处测得点A，B的仰角分别为60°，15°，测得CD＝36（＋1）m，则按此法测得的雷峰塔塔高为（　　） A.68 m B.70 m C.72 m D.74 m 解析：C　令直线CD，AB的延长线交于点E，则AE⊥CE.依题意，CE＝＝AE，DE＝＝AE，而CD＝36（＋1），所以AE＝36（＋1），解得AE＝18（3＋），又AE＝DEtan 60°＝DE，所以DE＝18（＋1），而BE＝DEtan 15°＝DEtan（60°－45°）＝DE·＝18（－1），所以AB＝AE－BE＝72（m）.故选C. 二、多项选择题（每小题6分，共12分） 8.（2025·江苏南京一模）已知cos αcos β＝，cos（α＋β）＝，则（　　） A.sin αsin β＝ B.cos（α－β）＝ C.tan αtan β＝－ D.sin 2αsin 2β＝ 解析：BC　由cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝，且cos αcos β＝，则sin αsin β＝－，故A错误；由cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝－＝，故B正确；由tan αtan β＝＝＝－，故C正确；由sin 2αsin 2β＝2sin αcos α·2sin βcos β＝4sin αsin βcos αcos β＝4×（ －）×＝－，故D错误.故选B、C. 9.（2025·全国Ⅰ卷11题）已知△ABC的面积为，cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝2，cos Acos Bsin C＝，则（　　） A.sin C＝sin2A＋sin2B B.AB＝ C.sin A＋sin B＝ D.AC2＋BC2＝3 解析：ABC　A.cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝1－2sin2A＋1－2sin2B＋2sin C＝2，所以sin2A＋sin2B＝sin C，故A正确；令a＝BC，b＝AC，c＝AB，则＝＝＝2R（R为△ABC的外接圆半径），由sin2A＋sin2B＝sin C，得a2＋b2＝c·2R≥c2.由cos Acos Bsin C＝，易知A，B为锐角，若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形，则A＋B＞，即A＞－B，则sin A＞sin（－B）＝cos B，所以sin C＝sin2A＋sin2B＞cos2B＋sin2B＝1，矛盾.故a2＋b2＝c2，即C＝A＋B＝；B.由cos Acos Bsin C＝cos Acos B＝，所以sin Asin B＝.因为S△ABC＝ab＝，所以ab＝，所以＝（2R）2＝＝2，所以2R＝，所以c＝2R·sin C＝，故B正确；C.（sin A＋sin B）2＝sin2A＋sin2B＋2sin Asin B＝sin C＋2sin Asin B＝1＋2×＝，所以sin A＋sin B＝，故C正确；D.AC2＋BC2＝AB2＝c2＝2，故D错误.故选A、B、C. 三、填空题（每小题5分，共10分） 10.（2025·陕西咸阳二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，a2＋（1－2cos C）ac－2c2cos C＝0，则C＝　　. 解析：a2＋（1－2cos C）ac－2c2cos C＝（a＋c）·（a－2ccos C）＝0，因为a＋c≠0，所以a－2ccos C＝0，即a＝2ccos C，由正弦定理，可得sin A＝2sin Ccos C＝sin 2C，又因为A＝，所以sin 2C＝，因为0＜C＜，则0＜2C＜，所以2C＝，解得C＝. 11.如图所示，两个直角三角形共斜边MN，且MN＝1，MB－MA＝，NA－NB＝，设∠AMN＝β，∠BMN＝α，则cos（β－α）＝　　　. 解析：∠BMN＝α，∠AMN＝β，由题意可得MB＝cos α，NB＝sin α，MA＝cos β，NA＝sin β，因为则两式平方相加可得2－2cos αcos β－2sin αsin β＝，即2－2cos（β－α）＝，所以cos（β－α）＝. 四、解答题（共2小题，共28分） 12.（13分）（2025·全国Ⅱ卷15题）已知函数f（x）＝cos（2x＋φ）（0≤φ＜π），f（0）＝. （1）求φ； （2）设函数g（x）＝f（x）＋f（x－），求g（x）的值域和单调区间. 解：（1）因为f（0）＝cos φ＝，且0≤φ＜π，所以φ＝. （2）g（x）＝f（x）＋f（x－）＝cos（2x＋）＋cos 2x＝cos 2xcos －sin 2xsin ＋cos 2x＝cos 2x－sin 2x＝（cos 2x－sin 2x）＝cos（2x＋）， 故函数g（x）的值域为[－，]. 令2kπ－π≤2x＋≤2kπ（k∈Z），得kπ－≤x≤kπ－（k∈Z）， 所以g（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ－］（k∈Z）. 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π（k∈Z），得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）， 所以g（x）的单调递减区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）. 13.（15分）（2025·山东齐鲁名校联考）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点D，E是BC边上的两点，点D在B，E之间，∠BAD＝∠CAE. （1）求的值； （2）若BC＝7，AB⊥AE，求的值. 解：（1）因为∠BAD＝∠CAE，且AB＝5，AC＝3， 所以＝＝，可得＝， 即5AD·CE＝3BD·AE，所以＝. （2）因为AB＝5，AC＝3，BC＝7， 所以cos∠BAC＝＝＝－， 又因为∠BAC∈（0，π），所以∠BAC＝， 因为AB⊥AE，所以∠BAD＝∠CAE＝－＝，所以∠DAE＝， 又因为cos B＝＝＝，所以sin∠AED＝cos B＝， 所以＝＝＝. 高考新风向 14.（5分）〔创新交汇〕在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2，b2，2c2成等差数列，则tan（C－B）的最小值为（　　） A. B. C.－ D.－ 解析：D　因为a2，b2，2c2成等差数列，所以a2＋2c2＝2b2，则cos B＝＝，cos C＝＝，所以＝＝＝，即tan B＝3tan C，且tan C＞0，所以tan（C－B）＝＝－＝－≥－，当且仅当tan C＝时，等号成立.所以tan（C－B）的最小值为－.故选D. 15.（5分）〔创新考法〕（2025·黑龙江双鸭山模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ（0°≤θ≤80°）的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htan θ.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，第二次的“晷影长”是“表高”的3倍，且cos 2α＋sin 2α＝－，则tan（α－β）的值为（　　） A.－ B. C.4 D.13 解析：B　由已知得tan β＝3，易得cos 2α＝＝，sin 2α＝＝，所以cos 2α＋sin 2α＝＝－，解得tan α＝4或tan α＝－（舍去），故tan（α－β）＝＝.故选B. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $