第1讲 三角函数的图象与性质-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书Word（提升版）

第1讲　三角函数的图象与性质 【考情分析】　三角函数的图象主要涉及图象变换及由图象确定函数解析式；三角函数的性质主要涉及求解三角函数值、参数值、最值、单调区间等，主要以选择题或填空题的形式考查，难度中等或偏下. 考点一　图象与解析式 【例1】　（1）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则g（）＝（　B　） A. B. C.1 D.0 解析：（1）设函数f（x）的最小正周期为T，由图知T＝－＝可得T＝π，则＝π即ω＝2，由f（）＝sin（2×＋φ）＝1，则＋φ＝＋2kπ，k∈Z，可得φ＝＋2kπ，k∈Z，又｜φ｜＜，则φ＝，故f（x）＝sin（2x＋），由题意g（x）＝f（x＋）＝sin（2x＋），故g（）＝sin（2×＋）＝sin＝.故选B. （2）（2023·新高考Ⅱ卷16题）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ），如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f（x）的两个交点，若｜AB｜＝，则f（π）＝　－　. 解析：（2）由题图设点A（x1，），B（x2，），则｜AB｜＝x2－x1＝.由题图可知其中k∈Z，则ω（x2－x1）＝，解得ω＝4.因为函数f（x）的图象过点（，0），所以4×＋φ＝2kπ，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z，所以f（x）＝sin（4x＋2kπ－）＝sin（4x－＋2kπ）＝sin（4x－），k∈Z.故f（π）＝sin（4π－）＝sin＝－. 【规律方法】　已知图象求函数y＝Asin（ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0）的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A，B；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置. 【训练1】　（1）已知函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）（ω＞0，－π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（　A　） A.f（x）＝2cos（2x－） B.f（x）＝2cos（x－） C.f（x）＝2cos（2x－） D.f（x）＝2cos（3x－） 解析：（1）由图象可知A＝2，＝＋＝，所以T＝π，故ω＝＝2，所以f（x）＝2cos（2x＋φ），由f（x）图象过点（，2），所以2cos（2×＋φ）＝2，即cos（＋φ）＝1，所以＋φ＝2kπ（k∈Z），由于－π＜φ＜0，所以φ＝－，所以f（x）＝2cos（2x－）.故选A. （2）（2025·河南洛阳一模）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，若将f（x）的图象向右平移个单位长度后所得的图象与曲线y＝f（x）关于直线x＝对称，则φ＝　　. 解析：（2）因为函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的最小正周期为π，且ω＞0，所以＝π，故ω＝2，所以f（x）＝sin（2x＋φ），将f（x）的图象向右平移个单位长度可得f（x－）的图象，因为f（x－）的图象与曲线y＝f（x）关于直线x＝对称，所以f（π－x）＝f（x－），即sin（2π－2x＋φ）＝sin（－2x＋φ）＝sin（2x－＋φ），所以－2x＋φ＋2x－＋φ＝2kπ＋π（k∈Z）或2x－＋φ＋2x－φ＝2kπ（k∈Z）恒成立，化简可得2φ＝2kπ＋（k∈Z）或4x＝2kπ＋（k∈Z）（不是对任意实数x恒成立），解得φ＝kπ＋（k∈Z），又0＜φ＜π，所以φ＝. 考点二　单调性与最值 【例2】　（1）已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增，且圆x2＋y2＝r2（r＞0）内恰好包含f（x）的三个极值对应的点，则r的取值范围是（　B　） A.［2，） B.（，］ C.（，3] D.［，） 解析：（1）由已知f（x）在x＝2处取得最小值，∴sin（2ω＋）＝－1，∴2ω＋＝2kπ－（k∈Z），解得ω＝kπ－（k∈Z），∵函数f（x）在（1，2）上单调递减，∴≥1，即≥1，∴0＜ω≤π，当k＝1时，ω＝，T＝3，符合条件，∴f（x）＝sin（x＋）.由图象知y轴右侧包含两个极值对应的点，左侧包含一个极值对应的点， ∴r的取值范围是大于原点右侧第二个极值对应的点（2，－1）到原点的距离，小于等于原点左侧第二个极值对应的点（－，1）到原点的距离，即r∈（，］.故选B. （2）〔多选〕（2024·新高考Ⅱ卷9题）对于函数f（x）＝sin 2x和g（x）＝sin（2x－），下列说法中正确的有（　BC　） A.f（x）与g（x）有相同的零点 B.f（x）与g（x）有相同的最大值 C.f（x）与g（x）有相同的最小正周期 D.f（x）与g（x）的图象有相同的对称轴 解析：（2）A选项，令f（x）＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f（x）零点，令g（x）＝sin（2x－）＝0，解得x＝＋，k∈Z，即为g（x）零点，显然f（x），g（x）零点不同，A错误；B选项，显然f（x）max＝g（x）max＝1，B正确；C选项，根据周期公式，f（x），g（x）的周期均为＝π，C正确；D选项，根据正弦函数的性质可知f（x）的对称轴满足2x＝kπ＋⇔x＝＋，k∈Z，g（x）的对称轴满足2x－＝kπ＋⇔x＝＋，k∈Z，显然f（x），g（x）图象的对称轴不同，D错误.故选B、C. 【规律方法】　（1）求三角函数单调区间的方法：把三角函数化为f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω＞0）或f（x）＝Acos（ωx＋φ）（ω＞0）的形式，把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x或y＝cos x相应的单调区间解不等式即可； （2）求最值可化为y＝Asin（ωx＋φ）＋b的三角函数的最值问题，常利用三角函数的单调性解决. 【训练2】　下列关于函数f（x）＝｜sin 2x｜＋cos 2x说法正确的是（　　） A.（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心 B.f（x）的值域为[－1，] C.f（x）在区间［，］上单调递减 D.直线x＝是函数f（x）图象的一条对称轴 解析：B　令sin 2x≥0，即2kπ≤2x≤π＋2kπ，k∈Z，解得kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以当kπ≤x≤＋kπ，k∈Z时，f（x）＝｜sin 2x｜＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin（2x＋），由kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以2kπ＋≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，所以f（x）∈[－1，]；令sin 2x＜0，即π＋2kπ＜2x＜2π＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ＜x＜π＋kπ，k∈Z，所以当＋kπ＜x＜π＋kπ，k∈Z时，f（x）＝｜sin 2x｜＋cos 2x＝－sin 2x＋cos 2x＝－sin（2x－），由＋kπ＜x＜π＋kπ，k∈Z，所以＋2kπ＜2x－＜＋2kπ，k∈Z，所以f（x）∈[－1，]；综上可得，f（x）＝｜sin 2x｜＋cos 2x＝且f（x）的值域为[－1，]，故B正确；作出函数f（x）的大致图象， 由图可知f（x）不是中心对称图形，即没有对称中心，故A错误；因为f（）＝sin（2×＋）＝，f（0）＝sin（2×0＋）＝1，f（）＝sin（2×＋）＝－1，由图可知f（x）在［，］上单调递减，在［，］上单调递增，则f（x）在［，］上不单调，故C错误；f（x）的对称轴为x＝kπ，k∈Z，故D错误.故选B. 突破点　ω，φ的范围问题 【例3】　（1）设函数f（x）＝sin ωx＋cos ωx（ω＞0），若f（x＋π）＝f（x）恒成立，且f（x）在［0，］上存在零点，则ω的最小值为（　C　） A.8 B.6 C.4 D.3 解析：（1）函数f（x）＝sin ωx＋cos ωx＝sin（ωx＋）（ω＞0），设函数f（x）的最小正周期为T，由f（x＋π）＝f（x）可得kT＝π（k∈N*），所以T＝＝（k∈N*），即ω＝2k（k∈N*）；又函数f（x）在［0，］上存在零点，且当x∈［0，］时，ωx＋∈［，＋］，所以＋≥π，即ω≥3.综上，ω的最小值为4.故选C. （2）将函数y＝sin 2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位长度得到f（x）的图象，若函数f（x）在区间［0，］上单调递增，且f（x）的最大负零点在区间（－，－）上，则φ的取值范围是（　B　） A.（，］ B.（，］ C.（，） D.（，） 解析：（2）f（x）＝sin（2x－2φ），令2x－2φ＝kπ＋，则x＝＋＋φ，k∈Z.故y轴右侧的第一条对称轴为x＝φ＋，左侧第一条对称轴为x＝φ－， 【点拨】 函数f（x）在区间D上单调递增，则区间D是 f（x）单调递增区间的子区间 所以所以≤φ≤，令f（x）＝0， 则2x－2φ＝kπ，故x＝＋φ，k∈Z， 【点拨】 若φ＞0，f（x）的最大负零点一般是当k＝－1时 取得 最大的负零点为x＝φ－，所以－＜φ－＜－，即＜φ＜，综上，＜φ≤.故选B. 【变式】　〔创新命题角度〕已知a＝（sin ωx，cos ωx－），b＝（cos ωx，cos ωx＋）（ω＞0），若函数f（x）＝a·b在区间[0，π]上恰好有5个最大值，4个最小值，则实数ω的取值范围是（　　） A.［，］ B.［，） C.［，］ D.［，） 解析：B　f（x）＝a·b＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx－＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin（2ωx＋），由于x∈[0，π]，可得2ωx＋∈［，2ωπ＋］，由于函数f（x）恰好有5个最大值，4个最小值，则4×2π＋≤2ωπ＋＜4×2π＋，解得≤ω＜.故选B. 【规律方法】　求ω取值范围的一般思路 【训练3】　（1）（2025·福建厦门期中）若直线x＝是曲线y＝sin（ωx－）（ω＞0）的一条对称轴，且函数y＝sin（ωx－）在区间［0，］上不单调，则ω的最小值为（　C　） A.7 B.9 C.11 D.15 解析：（1）因为直线x＝是y＝sin（ωx－）（ω＞0）的一条对称轴，所以ω－＝kπ＋，k∈Z，整理可得ω＝kπ＋＋，即ω＝4k＋3，k∈Z.由－≤ωx－≤，得－≤x≤，则函数y＝sin（ωx－）在［－，］上单调递增.因为函数y＝sin（ωx－）在区间［0，］上不单调，所以＜，解得ω＞9.因为ω＝4k＋3，k∈Z且ω＞9，所以ω的最小值为11.故选C. （2）（2025·湖南常德一模）已知函数f（x）＝cos（ωx－）（ω＞0）在区间（－π，π）上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数ω的取值范围是（　B　） A.（，］ B.（，］ C.（，］ D.（，1］ 解析：（2）当x∈（－π，π）时，ω＞0，ωx－∈（－ωπ－，ωπ－），由函数f（x）在区间（－π，π）上有且仅有1个零点和1条对称轴，｜－ωπ－｜＞｜ωπ－｜，得或解得或则＜ω≤，所以实数ω的取值范围是（，］. 真题体验 1.（2023·天津高考5题）已知函数f（x）图象的一条对称轴为直线x＝2，f（x）的一个周期为4，则f（x）的解析式可能为（　　） A.f（x）＝sin（x） B.f（x）＝cos（x） C.f（x）＝sin（x） D.f（x）＝cos（x） 解析：B　由三角函数的最小正周期T＝，可得y＝sin（x）与y＝cos（x）的最小正周期为4，而y＝sin（x）和y＝cos（x）的最小正周期为8，故排除C、D；因为函数f（x）图象的一条对称轴为直线x＝2，所以f（x）在x＝2处取得最值.对于A，f（2）＝sin（×2）＝sin π＝0；对于B，f（2）＝cos（×2）＝cos π＝－1，所以f（x）的解析式可能为f（x）＝cos（x）.故选B. 2.（2021·新高考Ⅰ卷4题）下列区间中，函数f（x）＝7sin的单调递增区间是（　　） A. B. C. D. 解析：A　法一（通解）　令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.取k＝0，则－≤x≤.因为⫋，所以区间是函数f（x）的单调递增区间.故选A. 法二（优解）　因为＜＜＜π，但f＝7sin ＝7，f＝7sin＜7，所以区间不是函数f（x）的单调递增区间，排除B；因为π＜＜＜，但f＝7sin π＝0，f＝7sin＝－＜0，所以区间不是函数f（x）的单调递增区间，排除C；因为＜＜＜2π，但f＝7sin＝－7sin＞－7，f＝7sin＝－7，所以区间不是函数f（x）的单调递增区间，排除D.故选A. 3.（2022·新高考Ⅰ卷6题）记函数f（x）＝sin＋b（ω＞0）的最小正周期为T.若＜T＜π，且y＝f（x）的图象关于点中心对称，则f＝（　　） A.1 B. C. D.3 解析：A　因为＜T＜π，所以＜＜π，解得2＜ω＜3.因为y＝f（x）的图象关于点中心对称，所以b＝2，且sin＋b＝2，即sin＝0，所以ω＋＝kπ（k∈Z），又2＜ω＜3，所以＜ω＋＜，所以ω＋＝4π，解得ω＝，所以f（x）＝sin＋2，所以f＝sin＋2＝sin ＋2＝1.故选A. 4.（2023·新高考Ⅰ卷15题）已知函数f（x）＝cos ωx－1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　[2，3）. 解析：法一　由f（x）＝cos ωx－1＝0，得cos ωx＝1.设g（x）＝cos ωx，x∈[0，2π].令t＝ωx，x∈[0，2π]，设g（t）＝cos t，t∈[0，2πω].因为方程g（x）＝1在[0，2π]上有且仅有3个根，所以4π≤2πω＜6π，解得2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3）. 法二　函数f（x）＝cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，根据函数y＝cos x在[0，2π]上的图象可知，cos x＝1在区间[0，2π]有2个根，所以若cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，则函数y＝cos ωx在[0，2π]内至少包含2个周期，但小于3个周期，即又ω＞0，所以2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3）. （时间：60分钟，满分：84分） 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1.函数f（x）＝x·tan x的奇偶性为（　　） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数 解析：B　函数f（x）的定义域为{x｜x≠kπ＋，k∈Z}，关于原点对称，又f（－x）＝（－x）tan（－x）＝xtan x＝f（x），故函数f（x）为偶函数. 2.（2025·湖南长沙模拟预测）函数f（x）＝｜sin（2x＋）｜的最小正周期是（　　） A. B. C.π D.2π 解析：B　因为函数y＝sin（2x＋）的最小正周期T＝＝＝π，所以函数f（x）＝｜sin（2x＋）｜的最小正周期为.故选B. 3.（2025·全国Ⅰ卷4题）已知点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan（x－）的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　） A. B. C. D. 解析：B　令x－＝，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，故y＝2tan（x－）的图象的对称中心为（＋，0），k∈Z，由题意知a＝＋，k∈N，其最小值为.故选B. 4.将函数f（x）＝3sin（x＋）的图象上各点向右平移个单位长度得函数g（x）的图象，则g（x）的单调递增区间为（　　） A.［2kπ－，2kπ＋］，k∈Z B.［4kπ－，4kπ＋］，k∈Z C.［6kπ－，6kπ＋］，k∈Z D.[4π，9π] 解析：C　将f（x）＝3sin（x＋）的图象向右平移个单位长度后，得到g（x）＝3sin［（x－）＋］，即g（x）＝3sin（x＋）的图象，令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得6kπ－≤x≤6kπ＋，k∈Z，所以g（x）的单调递增区间为［6kπ－，6kπ＋］，k∈Z.故选C. 5.（2025·陕西西安二模）已知ω＞0，函数f（x）＝cos（ωx＋）－3的最小正周期为T，若＜T＜π，且y＝f（x）的图象关于直线x＝对称，则f（－）＝（　　） A.－4 B. C.－2 D. 解析：A　由＜T＜π，得＜＜π，解得2＜ω＜3，因为y＝f（x）的图象关于直线x＝对称，所以ω＋＝kπ，k∈Z，即ω＝k－，k∈Z，所以ω＝×4－＝，则f（－）＝cos［×（－）＋］－3＝－4.故选A. 6.（2022·全国甲卷理11题）设函数f（x）＝sin在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（　　） A. B. C. D. 解析：C　依题意可得ω＞0，因为x∈（0，π），所以ωx＋∈（，ωπ＋），又y＝sin x，x∈（，3π）的图象如图所示， 则＜ωπ＋≤3π，解得＜ω≤，即ω∈（，］.故选C. 7.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ为常数，ω＞0，A＞0）的部分图象如图所示，若将f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式可以为（　　） A.g（x）＝2sin（3x＋） B.g（x）＝2cos（3x＋） C.g（x）＝2sin（3x－） D.g（x）＝－2cos（3x－） 解析：A　由题意得－π＝＝T，所以T＝，故ω＝3，因为3×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，即f（x）＝Asin（3x－＋2kπ）＝Asin（3x－）.又因为f（）＝Asin（－）＝Asin＝－2，A＞0解得A＝2，即f（x）＝2sin（3x－）.将f（x）的图象向左平移个单位长度，可得到函数g（x）＝2sin［3（x＋）－］＝2sin（3x＋）.故选A. 8.（2025·浙江金华二模）某美妙音乐的模型函数为f（x）＝sin x＋sin 2x＋sin 3x，则关于该函数下列说法正确的是（　　） A.最小正周期为3π B.是偶函数 C.在区间（－，）上单调递增 D.最大值为 解析：C　A选项，f（x＋2π）＝sin（x＋2π）＋sin（2x＋4π）＋sin（3x＋6π）＝sin x＋sin 2x＋sin 3x＝f（x），A错误；B选项，f（－x）＝sin（－x）＋sin（－2x）＋sin（－3x）＝－sin x－sin 2x－sin 3x＝－f（x），B错误；C选项，f'（x）＝cos x＋cos 2x＋cos 3x，当x∈（－，）时，2x∈（－，），3x∈（－，），f'（x）＞0，函数单调递增，C正确；D选项，＝1＋＋，当sin x＝1时，x＝＋2kπ，此时，sin 2x＝0，sin 3x＝－，即三项无法同时取到最大值，D错误.故选C. 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9.已知函数g（x）＝sin πx，h（x）＝πx＋π1－x，对于函数f（x）＝，下列结论中正确的是（　　） A.函数f（x）是奇函数 B.函数f（x）在区间[0，1]上单调递增 C.函数f（x）的图象是轴对称图形 D.函数f（x）在区间[－π，π]上有7个零点 解析：CD　因为g（x）为奇函数，而h（1）＝π＋1，h（－1）＝π2＋，所以h（x）＝πx＋π1－x为非奇非偶函数，所以f（x）为非奇非偶函数，A不正确；因为f（0）＝f（1）＝0，所以函数f（x）不可能在[0，1]上单调递增，B不正确；因为f（1－x）＝f（x），所以x＝是f（x）图象的对称轴，C正确；因为f（x）＝0，则sin πx＝0，即x＝k，k为整数，所以f（x）在区间[－π，π]上的零点为－3，－2，－1，0，1，2，3，共7个零点，D正确. 10.如图是因不慎丢失部分图象后，函数f（x）＝2tan（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的局部图象，则下列结论正确的是（　　） A.f（x）的最小正周期为 B.（，0）是f（x）图象的一个对称中心 C.｜f（x）｜图象的对称轴方程为x＝＋（k∈Z） D.f（x）的图象是由函数y＝2tan x图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的函数图象向右平移个单位长度得到的 解析：AC　由图象可知f（x）的最小正周期T＝×［－（－）］＝，故A正确；由T＝＝，则ω＝2，即f（x）＝2tan（2x＋φ），由图象的对称性可知（，0）为函数f（x）的一个对称中心，且在函数图象上，所以f（）＝2tan（＋φ）＝0，因为｜φ｜＜，所以φ＝－，则f（x）＝2tan（2x－），当x＝时，f（）＝2tan（－）＝2≠0，所以（，0）不是f（x）图象的一个对称中心，故B错误；令2x－＝，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，所以函数f（x）的对称中心为（＋，0），则｜f（x）｜图象的对称轴方程为x＝＋，k∈Z，故C正确；由函数y＝2tan x图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到y＝2tan 2x，再向右平移个单位长度，得到y＝2tan［2（x－）］＝2tan（2x－）≠f（x），故D错误.故选A、C. 11.已知函数f（x）＝2cos（2x＋φ）（｜φ｜＜）的图象与函数g（x）＝sin （ωx＋）的图象的对称中心完全相同，且在（0，）上，f（x）有极小值，则（　　） A.f（φ）＝－2 B.g（φ）＝1 C.函数f（x－）是偶函数 D.g（x）在（－，－）上单调递增 解析：AD　由题意，函数f（x）与g（x）的最小正周期相同，则｜ω｜＝2，且｜φ｜＜.当ω＝2时，g（x）＝sin（2x＋），其一个对称中心为（－，0），也是f（x）＝2cos（2x＋φ）的一个对称中心，所以f（－）＝2cos（－＋φ）＝0，所以φ＝＋kπ，k∈Z，又｜φ｜＜，所以φ＝－，所以f（x）＝2cos（2x－），x∈（0，），2x－∈（－，），f（x）有极大值，无极小值，不合题意；当ω＝－2时，g（x）＝sin （－2x＋）＝－sin（2x－），其一个对称中心为（，0），也是f（x）＝2cos （2x＋φ）的一个对称中心，所以f（）＝2cos（＋φ）＝0，所以φ＝＋kπ，k∈Z，又｜φ｜＜，所以φ＝，所以f（x）＝2cos（2x＋），x∈（0，），2x＋∈（，），f（x）有极小值，满足题意.f（φ）＝f（）＝2cos π＝－2，g（φ）＝g（）＝sin（－）＝－1，A项正确，B项不正确；f（x－）＝2cos（2x－），不是偶函数，C项不正确；当－＜x＜－时，－＜2x－＜－，函数y＝sin x在（－，－）上单调递减，则g（x）在（－，－）上单调递增，D项正确.故选A、D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.将函数f（x）＝sin（2x＋φ）图象上的每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的图象关于y轴对称，写出一个符合条件的φ的值　－（答案不唯一）. 解析：将函数f（x）＝sin（2x＋φ）图象上的每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的图象对应的解析式为g（x）＝sin［4（x＋）＋φ］＝sin（4x＋＋φ），由题意知g（x）的图象关于y轴对称，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－，k∈Z，令k＝0，得φ＝－. 13.已知函数f（x）＝sin （2ωx－）－1（ω＞0）在区间[0，π]上恰有两个零点，则ω的取值范围是　［，）　. 解析：由0≤x≤π得－≤2ωx－≤2πω－.令f（x）＝0，则sin（2ωx－）＝1在区间[0，π]上恰有两个实数根.令t＝2ωx－，则sin t＝1在区间［－，2πω－］上恰有两个实数根.结合正弦函数图象与性质，可得≤2πω－＜，解得≤ω＜. 14.（2025·山东泰安一模）已知函数f（x）＝2sin（ωx＋）cos ωx－（ω＞0）的最小正周期为π，f（x）在（－，）上的图象与直线y＝a交于点A，B，与直线y＝a交于点C，D，且｜AB｜＝2｜CD｜，则a＝　　. 解析：因为f（x）＝2sin（ωx＋）cos ωx－＝2（sin ωx·＋cos ωx·）cos ωx－＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx－＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin（2ωx＋）.又函数最小正周期为π，且ω＞0，所以＝π，即ω＝1，所以f（x）＝sin（2x＋）.当x∈（－，）时，2x＋∈（0，π），所以sin（2x＋）∈（0，1].作函数f（x）＝sin （2x＋），x∈（－，）的草图如图所示， 函数f（x）图象关于直线x＝对称.设｜CD｜＝2t，则B（＋2t，a），D（＋t，a），0＜t＜，所以sin ［2（＋t）＋］＝sin［2（＋2t）＋］⇒cos 2t＝cos 4t⇒cos 2t＝（2cos22t－1）⇒2cos22t－cos 2t－＝0，解得cos 2t＝或cos 2t＝－（舍去），所以a＝sin［2（＋2t）＋］＝cos 4t＝2 cos22t－1＝2×－1＝. 高考新风向 15.（5分）〔创新知识交汇〕如图所示，将绘有函数f（x）＝Msin（x＋φ）（M＞0，0＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成钝二面角，此二面角的平面角为，此时A，B之间的距离为3，则φ＝（　　） A. B. C. D. 解析：B　过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，在平面ACD内作AE∥x轴，DE⊥x轴交于点E，连接AB，BE，则∠BDE是二面角的平面角，即∠BDE＝，BD＝DE＝M，则BE＝2BDcos＝M，由x轴垂直于BD，DE，BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE，得x轴垂直于平面BDE，又AE∥x轴，则AE⊥平面BDE，而BE⊂平面BDE，因此AE⊥BE，又函数f（x）的周期T＝＝6，即AE＝CD＝3，由勾股定理得BE2＋AE2＝AB2，即3M2＋9＝18，解得M＝，而函数f（x）的图象过点（0，），则f（0）＝sin φ＝，即sin φ＝，又0＜φ＜π，且0在f（x）的递减区间内，所以φ＝.故选B. 16.（6分）〔多选〕〔创新情境〕《命运交响曲》是被尊称为“乐圣”的音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如果以时间为横轴，音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，若这些点在函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的图象上，且图象过最高点（，2），相邻最大值点与最小值点之间的水平距离为，则下列说法正确的是（　　） A.ωφ＝ B.当x∈［0，］时，f（x）的值域为[－，2] C.f（x）在区间［－，］上单调递增 D.将f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 解析：AC　由题设知，函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的周期满足＝＝，解得ω＝2，且A＝2，f（）＝2sin（2×＋φ）＝2，即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z，因为｜φ｜＜，则φ＝，所以f（x）＝2sin（2x＋）.对于A，ωφ＝2×＝，故A正确； 对于B，由x∈［0，］可得2x＋∈［，］，故f（x）∈[－1，2]，故B错误； 对于C，由x∈［－，］可得2x＋∈［－，］，结合正弦函数的性质知f（x）在x∈［－，］上单调递增，故C正确；对于D，将f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，即得g（x）＝f（x）＝2sin（x＋），因g（）＝2sin（＋）≠0，即得到的函数图象不关于点（，0）对称，故D错误.故选A、C. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $