专题01 函数综合应用（题型专练）（安徽专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题01 函数综合应用 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 三种基本函数的解析式求解 题型02 函数图像的基本性质应用 题型03 函数与方程、不等式的关联 题型04 函数与几何图形的综合 题型05 二次函数的最值与实际应用 题型06 函数综合探究题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 三种基本函数的解析式求解 典例引领 【典例01】如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，在中，． (1)求的值； (2)求直线的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（）过点作轴于点，过点作轴于点，可得，即得，，再根据锐角三角函数得，根据角的和差关系得，即得，得到，再利用待定系数法解答即可求解； （）设直线的函数表达式为，利用待定系数法解答即可求解； 本题考查了锐角三角函数，等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∵点坐标为， ∴， ∴，， ∵在中，， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； （2）解：设直线的函数表达式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为． 【典例02】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． (1)求的值； 【答案】(1) 【分析】（）利用待定系数法求出值，进而即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴； 方法透视 考向解读 已知点的坐标、图像特征，求一次函数、二次函数（三种形式：一般式、顶点式、交点式）、反比例函数（）的解析式。 方法技能 1. 通用核心方法——待定系数法（必掌握）：核心步骤为“设解析式→找已知条件（点坐标/图像特征）→列方程（组）→求解参数→验证”，适用于三种基本函数，是中考最常用的方法。 2. 一次函数求解技巧：当已知图像过两点时，直接代入两点坐标，列二元一次方程组求解k、b；若已知图像与x轴、y轴交点（x₀,0）、（0,y₀），可直接代入解析式，快速算出k=-，b=y₀，简化计算。 3. 二次函数求解技巧：优先根据已知条件选择解析式形式——① 已知三点坐标（无特殊点），用一般式；② 已知顶点坐标（h,k）或对称轴，用顶点式（可快速避开复杂运算）；③ 已知与x轴的两个交点（x₁,0）、（x₂,0），用交点式（无需配方，直接代入计算）。注意：无论选择哪种形式，最后需根据题意判断是否需要化为一般式。 4. 反比例函数求解技巧：核心利用k的几何意义或图像上的一个点坐标——① 已知双曲线上一点（x₀,y₀），直接代入得k=x₀y₀；② 已知过双曲线上一点作坐标轴垂线形成的矩形/三角形面积，先根据面积求出|k|，再结合图像所在象限判断k的正负（第一、三象限k>0，第二、四象限k<0）。 5. 易错规避技巧：① 注意函数自变量的取值范围，求解后需验证参数是否符合函数定义（如k≠0、a≠0）；② 二次函数用顶点式、交点式求解后，可代入另一个已知点验证，避免计算错误；③ 反比例函数k的几何意义中，三角形面积是|k|，矩形面积是|k|，切勿混淆。 变式演练 【变式01】如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； 【答案】(1)， （1）把代入中求解，即可得到反比例函数解析式，进而求出点，再利用待定系数法求出一次函数的解析式，即可解题； 【详解】（1）解：把代入得， 所以反比例函数解析式为， 把代入得， 解得， 则点坐标为， 把、代入得， 解得， 一次函数解析式为； 【变式02】小明利用一条直线将一个二次函数图象在处截断，剩下的图象如图所示，小明将剩下的图象部分作为一个整体图象进行研究．发现当x的值为时，y的值为1；当x的值为2时，y的值为3；当x的值为3时，y的值为6． (1)求该图象的函数解析式； 【答案】(1) 【分析】（1）利用待定系数法分别求出和时函数的解析式即可； 【详解】（1）解：当时，设函数表达式为， 由题可知，函数图象过和， ∴，解得， ∴； 当时，设函数表达式为， 由题可知，函数图象过，，， ∴，解得， ∴； ∴该图象的函数解析式为； 【变式03】抛物线顶点为，抛物线与y轴交于点B，直线经过点 (1)求b，c，d的值； 【答案】(1)，， 【分析】（1）由二次函数的顶点得，，求出、，再用待定系数法求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线顶点为， ，， 解得：，， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， 直线的解析式， 当时，， ， 抛物线与y轴交于点B， ， 故：，，； 题型02 函数图像的基本性质应用 典例引领 【典例01】已知抛物线的顶点纵坐标比抛物线的顶点纵坐标大2． (1)求b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． （ⅰ）求k关于的表达式； （ⅱ）当满足，求k的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，顶点坐标公式，点的坐标和解析式的关系，一次函数的性质等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质． （1）利用顶点坐标公式进行求解即可； （2）（ⅰ）根据点的坐标和函数解析式的关系列出式子进行整理即可； （ⅱ）根据一次函数解析式的性质，分析其增减性即可得出最值． 【详解】（1）解：对于抛物线，由顶点横坐标公式，得其顶点横坐标为．将代入，得，即顶点坐标为． 抛物线的顶点横坐标为，代入抛物线得顶点纵坐标为． 抛物线的顶点纵坐标比抛物线的顶点纵坐标大2，， 即，解得． ， ； （2）解：（ⅰ）点在抛物线上，则． 点在抛物线上，则． ， ， 将代入可得： ， 即； （ⅱ）为一次函数，，k随的增大而减小， 由于，所以当时，． 的最小值为． 方法透视 考向解读 一次函数：k、b的几何意义（k决定增减性、倾斜程度，b决定与y轴交点），图像与坐标轴的交点求解； 二次函数：开口方向（a的符号）、对称轴（）、顶点坐标、增减性（结合对称轴判断）、最值（分取值范围讨论）； 反比例函数：k的几何意义（过双曲线上一点作坐标轴垂线，形成的矩形/三角形面积与k的关系），增减性（注意“在每个象限内”的前提）。 方法技能 1. 一次函数性质应用技巧：① 快速判断增减性：无需画图，根据k的符号直接判断（k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小），中考常结合函数图像判断自变量取值范围；② 交点快速求解：与x轴交点令y=0，与y轴交点令x=0，熟练掌握“截距”（b的值）的几何意义，可快速排除选择题错误选项；③ 倾斜程度判断：|k|越大，直线越陡峭，|k|越小，直线越平缓，此知识点常结合图像辨析题考查。 2. 二次函数性质应用技巧：① 开口方向与最值快速判断：由a的符号确定开口（a>0开口向上，有最小值；a<0开口向下，有最大值），最值点即为顶点，结合对称轴可快速定位顶点坐标；② 增减性判断技巧：先找对称轴（），分“对称轴左侧”“对称轴右侧”两步判断，避免忽略取值范围限制（中考常考查指定区间内的增减性，而非整个取值范围）；③ 对称轴快速计算：除公式外，可利用“抛物线上对称点的横坐标中点即为对称轴”（如已知两点（x₁,y）、（x₂,y），则对称轴为），简化计算。 3. 反比例函数性质应用技巧：① k的几何意义速用：看到“双曲线上点+坐标轴垂线+面积”，直接关联|k|，记住核心结论（三角形面积=|k|，矩形面积=|k|），无需推导，节省解题时间；② 增减性易错规避：务必强调“在每个象限内”的前提，避免误判“所有象限内y随x增大而减小”（如k>0时，第一象限y随x增大而减小，第三象限也如此，但第一象限的y值始终大于第三象限）；③ 图像分布判断：由k的符号直接确定双曲线所在象限（k>0在一、三象限，k<0在二、四象限），常结合图像信息题判断参数符号。 4. 中考高频题型技巧：① 图像辨析题：优先看“特殊点（顶点、交点）”“参数符号”“增减趋势”，排除不符合性质的选项，安徽中考常考一次函数与二次函数、反比例函数的图像匹配；② 性质应用题：先提炼函数参数（k、a、b），再结合性质分析，如二次函数求指定区间的最值，需先判断对称轴是否在区间内，再确定最值点；③ 易错规避：① 二次函数忽略取值范围讨论最值，导致答案错误；② 反比例函数增减性忽略“象限限制”；③ 一次函数b=0时是正比例函数，属于特殊情况，需单独注意。 变式演练 【变式01】如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，已知A为线段的中点． (1)求k的值； (2)若点P是反比例函数的图象上一个动点，轴于点D．设四边形的面积为S，探究S随x的变化情况． 【答案】(1) (2)S随x的增大而增大 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理． （1）先求出点A和点B的坐标，进而得出点C的坐标，即可得出k的值； （2）设，则，设，则，结合一次函数和反比例函数的增减性，即可解答． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵A为线段的中点， ∴， ∵反比例函数的图象过点C， ∴； （2）解：∵点P是反比例函数的图象上一个动点， ∴设， ∴， 设，则， ∴S随a的增大而增大， 在中，， ∴时，a随x的增大而增大， ∴S随x的增大而增大． 【变式02】已知函数（m为常数），问： (1)无论m取何值，该函数的图像总经过x轴上某一定点，该定点坐标为______； (2)求证：无论m为何值，该函数的图像顶点都在函数图像上： (3)若抛物线与x轴有两个交点A、B，且，求线段AB的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)线段AB的最大值为3 【分析】（1）令，，可得，，即可求解； （2）先求出函数的顶点坐标为，再代入，即可求证； （3）先求出，然后令线段AB的长度为z，则，再由，可得到，再根据一次函数的增减性，即可求解． 【详解】（1）解：令，， 解得：，， ∴无论m取何值，该函数的图像总经过x轴上的点； （2）证明：∵， ∴函数的顶点坐标为， ∴当时，， ∴无论m为何值该函数图像的顶点都在图像上； （3）解：令，， 解得：，， ∴， 令线段AB的长度为z，则， 因为， 所以， 因为z随m增大而增大， 所以当时，， 故线段AB的最大值为3． 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的性质，二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键． 【变式03】已知抛物线． (1)请用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含b，c的代数式表示）． (2)已知点M，N是该抛物线上的两个不同的点． （i）如果点M的坐标为，点N的坐标为，且，求b的取值范围； （ii）如果点M的坐标为，点N的坐标为，当时，y的最大值为11，最小值为2，请求出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为，顶点坐标为 (2)（i）；（ii） 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用配方法将抛物线变形为，即可解答； （2）（i）由（1）知抛物线对称轴为，结合抛物线开口方向，只需令得，建立不等式组，求解即可；（ii）根据题意，求出，代入解析式令，由题意得方程的解为，求出，，得到抛物线解析式为，再利用抛物线性质结合题意即可解答． 【详解】（1）解：， 则抛物线的对称轴为，顶点坐标为； （2）解：（i）由（1）知抛物线对称轴为， ∵抛物线中，， ∴抛物线开口向下， ∵点M的坐标为，点N的坐标为，且， ∴， 当时，解得：， 此时，，解得：， ∴； 当时，不等式组无解； 当时，解得：， 此时，，解得：， ∴不存在此种情况； 当时，解得：， 此时，，解得：， ∴； 综上，b的取值范围为； （ii）根据题意， ∴， ∴， 令，则， 由题意得方程的解为， ∴，， ∴，， 两式相减：，解得， 则，， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴当时，抛物线有最大值， ∵当时，y的最大值为11，最小值为2， 令，则， 解得：或， ∴当时，，则； 当时，，则； 综上，的取值范围为． 题型03 函数与方程、不等式的关联 典例引领 【典例01】如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴负半轴交于点，的面积为3． (1)求，的值； (2)结合图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题的关键是利用三角形面积公式求出点的坐标，再结合函数图象求解不等式． （1）利用的面积公式求出的值，确定点的坐标，点A作轴，过点作轴，垂足分别为，，进而根据得到关于a，b的表达式，再根据，联立解得求出a，b的值； （2）根据函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时的取值范围，得到不等式的解集． 【详解】（1）解：的面积为， ，解得， 点的坐标为， 如图，过点A作轴，过点作轴，垂足分别为，． ， ， ， ，在反比例函数上， ，， ，， ，联立①②，解得： ，； （2）解：， ， ． 若，当时，，由图象可知，； 若，当时，，由图象可知，． 综上所述，当或时，． 【典例02】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． (1)若P为x轴上一点，的面积为5，求点P的坐标； (2)结合图象，关于x的不等式的解集为_______． 【答案】(1)或． (2)或 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式、反比例函数和一次函数的综合、三角形的面积的应用等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）根据反比例函数的图象经过，再利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；进而求得A的坐标；再根据A、B点坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；设直线与x轴的交点为C，根据三角形面积求出的长，根据C的坐标即可得出P的坐标； （2）直接观察图象可得当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴反比例函数的解析式为； ∵在上，所以， ∴A的坐标是， 把，代入，得： ，解得， ∴一次函数的解析式为； 如图，设直线与x轴的交点为C， 把代入得：，解得：， ∴C的坐标是， ∵P为x轴上一点，且的面积为5， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∴当P在负半轴上时，P的坐标是；当P在正半轴上时，P的坐标是． ∴P的坐标是或． （2）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， ∴关于x的不等式的解集为：或． 故答案为：或． 方法透视 考向解读 函数与方程：两个函数图像的交点坐标，对应联立解析式组成的方程组的解；二次函数与x轴的交点，对应一元二次方程的根（判别式的应用） 方法技能 核心原则：紧扣“数形结合”核心，将“函数图像”“方程解”“不等式解集”三者关联，明确“图像交点对应方程解，图像上下位置对应不等式解集”，适配中考图像信息题、计算大题，快速突破衔接类题型。 1. 函数与方程关联技巧（中考高频，基础衔接）：① 交点坐标与方程组的转化：两个函数图像的交点，横坐标、纵坐标分别是对应方程组的x、y解，解题时可通过联立解析式求解交点，也可通过图像读取交点坐标验证方程解；② 二次函数与一元二次方程的深度关联：二次函数与x轴的交点个数对应一元二次方程根的个数（有两个交点，有一个交点，无交点），交点横坐标即为方程的根，中考常结合判别式判断交点情况，或利用交点求函数解析式；③ 简化计算技巧：遇到“求两个函数交点”问题，优先联立解析式，消元后解方程，一次函数与反比例函数联立可转化为一元二次方程，注意验证根的有效性（避免增根，贴合函数取值范围）。 2. 函数与不等式关联技巧（图像题核心，快速得分）：① 解集判断口诀：“上大下小”② 单函数与不等式关联：一次函数的解集对应图像在x轴上方的x范围，对应x轴下方的x范围；二次函数需结合开口方向、对称轴，判断图像在x轴上方/下方的区间，注意取值范围限制；③ 易错规避：判断不等式解集时，务必看清“等号是否成立”（图像交点处对应等号，空心点不包含等号），二次函数不等式需先判断开口方向，避免颠倒解集方向。 变式演练 【变式01】小明利用一条直线将一个二次函数图象在处截断，剩下的图象如图所示，小明将剩下的图象部分作为一个整体图象进行研究．发现当x的值为时，y的值为1；当x的值为2时，y的值为3；当x的值为3时，y的值为6． (1)求该图象的函数解析式； (2)若关于x的方程（t为实数），在时无解，求t的取值范围． (3)若在函数图象上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为．小明对P，Q之间（含P，Q两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质： （1）利用待定系数法分别求出和时函数的解析式即可； （2）求出二次函数在时的函数值y的取值范围，根据该二次函数图象与直线图象在时没有交点即可得到t的范围； （3）根据函数图象可知，两点，其中一点位于，另外一点位于，据此列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：当时，设函数表达式为， 由题可知，函数图象过和， ∴，解得， ∴； 当时，设函数表达式为， 由题可知，函数图象过，，， ∴，解得， ∴； ∴该图象的函数解析式为； （2）解：由题可知，在时无解， 问题可转化为抛物线与直线在时无交点， 对于，其顶点为，当时，，作出抛物线的图象如图所示： ∴，当时，， ∴或； （3）解：∵， ∴， ∴点P、Q关于直线对称． 当时，，， 若，则，解得或， 当时，若，则，得， ∵之间的图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化， ∴根据函数图象可知，两点，其中一点位于，另外一点位于， ∴①当，如图： 由题意得， ∴； ②当，如图： 由题意得， ∴， 综上：或． 【变式02】定义：在平面直角坐标系中一点，点的纵坐标与其横坐标的差（）称为点的“影差”．例如：点的“影差”为：． (1)二次函数当时“影差”值为0． ①求、的值． ②求此时该二次函数点“影差”最大值． ③求该二次函数点“影差”大于5时的的取值范围． (2)若二次函数的“影差”最小值为，点与点分别是此二次函数的图象与轴和轴的交点，且点与点的“影差”相等，求的值． 【答案】(1)①；②；③ (2)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数与不等式，熟知二次函数相关的性质是解题的关键． （1）①根据题意可得经过，把代入二次函数即可解答； ②根据“影差”的定义得到新的二次函数解析式，利用二次函数的性质即可解答； ②根据题意列出不等式，结合二次函数的图象解不等式即可； （2）由点与点的“影差”相等，可得，代入二次函数可得，根据二次函数的“影差”最小值为，即可求得． 【详解】（1）解：①根据题意可得经过， 把代入二次函数可得， ， 解得， 所以； ②二次函数的解析式为， 则该二次函数点“影差”为， 当时，该二次函数点“影差”有最大值为； ③根据题意可得， 即， 令，当时， ， 解得， 与轴的交点坐标为， ， 结合二次函数的图象，可得的解集为， 即二次函数点“影差”大于5时，； （2）解：令，可得， ， 点与点的“影差”相等， ， ， 把代入，可得 ， ， ，即， 二次函数， 二次函数的“影差”最小值为， 的最小值为， 则可得， 解得， 故的值为或． 【变式03】抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4． (1)求的值； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线上一点． （i）若仅存在一个正数，使得，求的最大值； （ii）若，且当时，总有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）分别求出抛物线与抛物线的顶点坐标，建立关于n的方程求解即可； （2）（i）由（1）得，根据题意得到，即，由仅存在一个正数，使得，则关于的一元二次方程，有两个相等的正数根，求出，，得到，即可解答；（ii）根据题意求出， ，由，得到，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴抛物线顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4， ∴，即； （2）解：（i）由（1）知， ∴抛物线， ∵为抛物线上一点， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵仅存在一个正数，使得， ∴关于的一元二次方程，有两个相等的正数根， ∴，即， 解得：， 当时，，解得：（舍去，不符合题意）； 当时，，解得：（符合题意）； ∴， ∴， ∵为抛物线上一点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值； （ii）∵，，且为抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 模块说明： 1.选题标准：精选10-15道高质量的中考真题、最新模考题。 2.综合性：题目应覆盖多个考向，具有较强的综合性。（学科存在差异化） 或选题应覆盖本专题所有考向，综合类试题中涉及该专题考向的试题做标注。 题型04 函数与几何图形的综合 典例引领 【典例01】如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，若，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）将点A坐标分别代入两个解析式得到k、m值即可； （2）将分别代入两个解析式求出点B、C坐标，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∵的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为：． （2）解：∵轴于点D，， ∴， ∴将代入得， ∴， 将代入得， ∴， ∴， ∴． 【典例02】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． (1)求的值； (2)连接，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标； (3)如图，点是直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用待定系数法求出值，进而即可求解； （）由二次函数解析式可得，进而得到，即得，再利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，可得，即得到，求出的值即可求解； （）设直线交轴于，可证，得到，得到，即得直线解析式为，联立一次函数和二次函数解析式，求出方程组的解即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（）得抛物线的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图，设直线交轴于， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为， 由，解得或， ∵点是直线上方的抛物线上一动点， ∴． 方法透视 考向解读 函数与三角形：利用函数解析式求三角形顶点坐标，计算三角形的面积（割补法、底乘高），判断三角形的形状（等腰、直角） 函数与四边形：结合一次函数、二次函数图像，求平行四边形、矩形、菱形、正方形的顶点坐标，探究四边形的存在性问题 方法技能 核心前提——点坐标的求解技巧（重中之重）：① 已知函数解析式，求几何图形顶点坐标：直接令x=0、y=0求坐标轴交点，或利用二次函数对称轴、顶点式求顶点，这是后续计算的基础；② 已知几何图形性质，求未知点坐标：结合图形边长、角度、对称关系（如平行、垂直、等腰、直角），用“设坐标法”（设未知数，结合几何关系列方程）求解，安徽中考常设动点坐标为（x，y），再结合函数解析式转化为单变量求解；③ 辅助线技巧：过动点作x轴、y轴垂线，构造直角三角形或矩形，将几何边长转化为坐标差（水平距离=|x₁-x₂|，垂直距离=|y₁-y₂|），简化计算。 变式演练 【变式01】如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标是． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象的任意一点．若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象与x轴的交点，坐标与图形，三角形面积，数形结合是解题关键． （1）先求出坐标，再由待定系数法求解； （2）根据图象求出，再根据求出，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 将代入得：， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：把代入得：， 即点的坐标为：， ， ， ， ， ∴， 当点的纵坐标为2时，则，解得， 当点的纵坐标为时，则，解得， 点的坐标为或． 【变式02】如图，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，且点与点的坐标分别为，，点是抛物线的顶点． (1)求此二次函数的关系式； (2)点为线段上一个动点，过点作轴于点．若，的面积为， ①求与的函数关系式，写出自变量的取值范围； ②求的最大值以及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)①，；②有最大值为， 【分析】（1）将，代入得到，求出，即可得到二次函数的关系式为； （2）①先求出，继而求出线段的解析式，结合题意即可得到答案；②由抛物线性质求最值即可得到答案． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得：， 二次函数的关系式为； （2）解：①，点是抛物线的顶点， ， 设线段的解析式为， 将，代入得， 解得， 线段的解析式为， 轴，， ， ， ，， ； ②，， 当时，有最大值，最大值为， 此时，． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及待定系数法确定抛物线解析式、解二元一次方程组、待定系数法确定一次函数解析式、抛物线图象与性质、二次函数一般式化为顶点式、二次函数求最值等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【变式03】如图，已知抛物线的图象与轴交于点和，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，过点作交抛物线于点． （ⅰ）连接，，求的面积； （ⅱ）将抛物线的顶点沿直线移动得到一个新抛物线，若新抛物线的顶点与点，点能构成等腰三角形，试求出平移后的抛物线的表达式． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）或或 【分析】（1）将点和代入，解方程组即可； （2）（ⅰ）确定，，确定直线的解析式为，直线的解析式为，联立，得，，，再计算即可； （ⅱ）分两种情况：①当点在的垂直平分线上时，②如图，以点为圆心，为半径作圆，交直线于点，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于点和， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）（ⅰ）∵抛物线的图象与轴交于点，点是抛物线的顶点， 当时，， ∴，， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴的面积为； （ⅱ）①当点在的垂直平分线上时，则， ∴为等腰三角形， 此时点的纵坐标为，且在直线：上，设， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； ②如图，以点为圆心，为半径作圆，交直线于点， 则， ∴为等腰三角形， ∵，且点在直线：上，设， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或， 此时抛物线的表达式为或； 综上所述，平移后的抛物线的表达式为或或． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数图象的平移，二次函数与一次函数的交点，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，两点间的距离等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 题型05 二次函数的最值与实际应用 典例引领 【典例01】已知二次函数，若该二次函数图像与x轴交于点、，与y轴交于点． (1)求该二次函数解析式； (2)点P为二次函数图像位于第一象限上一点，连接相交于点D，求的最大值． (3)若时，总满足，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可． （2）先根据待定系数法求出直线的解析式为，过点P作轴交于点，过点A作轴交于点，则，，设，则，， 证明，得出，从而得出当时，有最大值，最大值为． （3）根据抛物线解析式得出当时，有最大值，最大值为，要使对任意x满足，总满足，则要么整个范围在左侧，要么在右侧，且端点函数值亦小于3，令，求出或，则或，即可得或． 【详解】（1）解：将点、、代入， 得， 解得：， 则二次函数解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 将、代入得， 解得：， 则直线的解析式为， 过点P作轴交于点，过点A作轴交于点， 则，， 设， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为． （3）解：∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 令，则， 解得：或， 若时，总满足， 则或， ∴或． 【点睛】该题考查了二次函数的图象和性质，二次函数解析式求解，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，一次函数的解析式求解等知识点，解题的关键是掌握以上知识点 【典例02】在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（，，为常数，且）与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)已知横坐标分别为，的两个动点，均在线段上（不包括端点，），且，求的最小值； (3)若是第四象限内抛物线上的一点，横坐标为，过点作轴的平行线交直线于点，交轴于点，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点的坐标代入解析式，结合对称轴代入公式即可求得； （2）利用坐标表示，然后利用二次函数的性质求的最小值； （3）利用点的坐标表达线段长度，再利用线段表达面积，最后利用求出的值 【详解】解：（1）由题意得解得 抛物线的表达式为． （2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点． 设， 解得： 即：直线的函数表达式为． 由题意，得点，，其中， ，， ， 当时，取最小值为． （3）如图，当时；， 解得：， 即：点， 点，，，其中， ． ，， ， ． ，， ， 解得，（舍去）， 的值为． 【点睛】本题考查了二次函数图象、性质及最值、待定系数法求函数解析式、二次函数与三角形及梯形的面积等，关键是二次函数的性质的应用. 方法透视 考向解读 实际应用题：结合利润、面积、行程、增长率等实际场景，构建二次函数模型，求最大值、最小值（注意自变量的取值范围，需符合实际意义） 几何最值：在二次函数图像中，求线段长度的最值、三角形周长/面积的最值，常结合对称性质（如将军饮马模型）求解 方法技能 核心原则：“建模优先，取值范围为王”，核心思路是“提炼实际数量关系→构建二次函数模型→结合取值范围求最值”，适配中考实际应用题（常为第22题），重点突破“建模技巧”“最值判断”“实际约束”三大核心。 核心步骤——二次函数实际应用建模技巧（必掌握，安徽中考高频）：① 审题分层：先区分“自变量（变化量）”和“因变量（所求量）”，明确题目中的数量关系（如利润=单价×销量、面积=长×宽），排除无关信息；② 设元技巧：优先设“直接影响所求量的变量”为自变量x，因变量为y，避免设元过复杂导致解析式出错（如利润问题设售价为x，行程问题设速度为x）；③ 列解析式：根据数量关系列出二次函数解析式，整理为一般式或顶点式（优先顶点式，方便后续求最值），注意统一单位（如长度单位、货币单位），避免单位混淆。 变式演练 【变式01】在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线的顶点为，且与y轴交于点B． (1)求a，b的值． (2)将抛物线绕点O旋转，得到抛物线，点E是抛物线上的动点，当面积最小时，求点E的坐标． (3)抛物线 关于直线对称的图象与直线相交于点P，Q，若，求m的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象旋转的性质，图象对称的性质是解题的关键． （1）根据抛物线顶点纵、横坐标列式求解即可； （2）由（1）知抛物线的解析式，得，求出点绕点O旋转，得到点，得抛物线的表达式为，求出直线的函数表达式为，并可得向下平移得到直线l，当直线l与抛物线恰有一个公共点时，此公共点即为符合题意的点E，此时的面积最小, 设直线l的函数表达式为，，求出直线l的函数表达式为，令，根据可求得的值，即可解决问题； （3）求出顶点点A关于直线对称的点D，此点为对称的抛物线的顶点，从而求出对称后的抛物线解析式为，联立方程，再由根与系数的关系求出，由题意可得，求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵是抛物线的顶点， ，， ， ， ； （2）解：由（1）知抛物线的解析式， 当时，， ∴； 将点绕点O旋转，得到点， 则即为抛物线的顶点． 又抛物线开口大小不变，开口向下， ∴抛物线的表达式为． 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为． 将直线向下平移得到直线l，当直线l与抛物线恰有一个公共点时，此公共点即为符合题意的点E，此时的面积最小, 设直线l的函数表达式为，， 将代入， 得， ∴， 直线l的函数表达式为． 令， 整理，得， 当时，， 即， 解得， ； （3）解：设点A关于直线对称的点为D， 则， ． ∴抛物线关于直线对称的图象的函数表达式为． 令， 整理，得， 则， ， ， ∵P，Q是直线上的点， ， ， ∴， ， ． 【变式02】在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）经过点和，M，N是抛物线上不同的两点，点M的坐标为，点N的坐标为．将抛物线上M，N两点之间的部分（包括M，N两点）记为图象G． (1)求抛物线的表达式； (2)求图象G上最高点与最低点的纵坐标的差d；（用含t的式子表示） (3)已知点，，若，当图象G在直线上方时，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到解不等式、待定系数法求函数表达式等，数形结合是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）证明点M，N关于直线对称，则，则图象G的最高点纵坐标为4，即可求解； （3）要使图象G在直线上方，即对于，都有，即，进而求解． 【详解】（1）解：将点和代入， 得， 解得， 抛物线的表达式为． （2）解：将化为顶点式为， 抛物线的顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线． ， 点M，N关于直线对称，． 图象G的最高点纵坐标为4， 将代入，得， ． （3）解：由题意知直线的方程为， 当时，， 要使图象G在直线上方，即对于，都有， 即． 由二次函数图象解不等式，得， 要在内， 解得． ， ． 【变式03】如图，已知直线与抛物线交于点，，且点在轴上，是轴上一点，连接． (1)求的值； (2)当取得最小值时，求点P的坐标； (3)若直线交直线于点（点在线段上，不与端点重合），交抛物线于点，连接．设，求关于的函数表达式，并求出的最小值． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【分析】（）把代入可求出，即得直线的解析式为，进而得到，再利用待定系数法可求出的值； （）取点关于轴的对称点，连接交轴于点，可得最小，利用待定系数法求出直线的解析式进而即可求解； （）设点，则点，可得，，即得到，再把二次函数转化为顶点式即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， 把和代入抛物线得， ， 解得， 即，； （2）解：取点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则此时最小， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标为； （3）解：设点，则点， ∴，， ∴ ， 即， ∵， ∴当时，取最小值，最小值为． 题型06 函数综合探究题 典例引领 【典例01】如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点，连接，点P是线段上一动点．过点P作直线，交线段于点E，交y轴于点D，交二次函数的图象于点F．且点F在第一象限． (1)求二次函数的解析式； (2)当点P为线段的三等分点时，求点P的坐标； (3)在点P运动的过程中，是否存在的情况？若存在．求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用正切函数求得，即，推出．得到，设，则，由，得到，分两种情况讨论，或，列式计算即可求解； （3）假设存在．则，过点F作于点H，交于点G，利用面积公式得到，设，得到，利用根的判别式即可判断． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交x轴于点，， ∴设二次函数的表达式为． 将点代入，得，解得． ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵，，， ∴，，． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，． ∴． 设，则． ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵点P为线段的三等分点， ∴或，即或． ∴或． ∴点P的坐标为或； （3）解：不存在． 理由：假设在线段上存在点P，使得，则， 连接，如图所示， 则． 过点F作于点H，交于点G， 则 ． ∴． ∵，， 设直线的表达式为，则，解得， ∴直线的表达式为． 设，则，． ∴， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数解． ∴假设不成立． ∴在线段上不存在点P，使得． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，锐角三角函数，三角形的面积公式，一元二次方程根的判别式．解决问题的关键是转化条件，列出方程． 【典例02】如图1，抛物线与轴相交于点、，对称轴是直线，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最小值； (3)点是直线上方抛物线上一点，连接交于点，若，如图2，求点的坐标． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）把点，对称轴为直线，代入解析式，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意分别求出，，在y轴上作点D的对称点，连接交于点，此时的值最小，根据轴对称最短路径的方法即可求解； （3）根据题意求出直线的解析式，设，则，，根据题意可得，结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线AM的解析式为，当时，， ∴． 如图1， 在y轴上作点D的对称点，连接交于点，此时的值最小． 过点M作轴于点T， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：抛物线的解析式为， ∴令时，；令时，, 解得，，， ∴，, ∴直线的解析式为．如图2，过点E，P分别作，，垂足分别为F，H． 设，则，， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵点P在抛物线上， ∴， 得，， ∴， ∴P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，轴对称最短路径的计算方法，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 方法透视 考向解读 第一问：求函数解析式 第二问：几何图形的判定、面积计算，或函数与不等式的结合 第三问：存在性问题（如是否存在点，使三角形为等腰直角三角形、四边形为平行四边形）、最值探究、动态问题（点在函数图像上运动，探究线段、面积的变化规律） 方法技能 核心原则：“分层突破，数形结合，分类讨论”，核心思路是“先拿基础分→再攻中档分→最后突破难点分”，适配安徽中考第22、23题压轴题型（2-3小问递进式命题），重点突破“分步得分”“动态分析”“存在性探究”三大核心，避免因难题放弃全题。 1. 分层得分技巧（中考压轴题核心策略，必掌握）：① 第一问（基础分，必拿）：通常考查“求函数解析式”，核心用“待定系数法”，结合题干给出的点坐标、图像特征（如顶点、交点），快速求解，确保计算无误，这一步是后续解题的基础，切勿失分；② 第二问（中档分，突破关键）：多考查“几何图形判定（等腰、直角三角形，平行四边形）”“面积计算”“函数与不等式结合”，核心是“将几何性质转化为坐标关系”，利用割补法求面积、两点间距离公式判定图形形状，步骤清晰，避免跳步（安徽中考评分标准中，步骤分占比高）；③ 第三问（难点分，量力而行）：多考查“存在性问题”“动态最值”“多变量探究”，优先找特殊情况（如顶点、交点、对称点），再分类讨论，无法完整求解时，可写出关键步骤（如设动点坐标、列出方程），争取步骤分，不盲目放弃。 解题步骤模板：① 第一步：处理第一问，求函数解析式（待定系数法），验证参数是否符合题意；② 第二步：分析第二问，提取几何条件，转化为坐标关系，列方程或利用公式求解，书写规范步骤；③ 第三步：探究第三问，先明确探究目标（存在性/最值），设动点坐标，分类讨论所有可能情况，列出方程，求解并验证（贴合取值范围、图形存在性）；④ 第四步：总结结论，确保答案完整，无漏解、错解。 变式演练 【变式01】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别在x轴和y轴上，若反比例函数的图象分别交，于点M，N． (1)求证：． (2)D是边上靠近点A的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数的图象经过点，且，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，求得的坐标是解题的关键． （1）设正方形的边长为a，点，则，则，即可求解； （2）证明，得到，，，则，即可求解． 【详解】（1）证明：设正方形的边长为a，则点，则， 则 （2）解：过作于F，交于E， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， 正方形的边分别在x轴和y轴上，，点D是边上靠近点A的三等分点， ， 则， 解得：， ， 反比例函数的图象经过点， ． 【变式02】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图像相交于C、D两点，点D的横坐标为3．轴，垂足为 E ． (1)写出点A、B、D的坐标，并求反比例函数的解析式： (2)M是反比例函数图像上的一个动点且在点D右侧，过点M作轴，垂足为F、是否存在这样的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点M坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，反比例函数的解析式为； (2)或 【分析】（1）由一次函数的，，，分别求解对应的，，从而可得点A、B、D的坐标，再代入D的坐标可得反比例函数解析式； （2）如图，于，证明，由在的右侧，分两种情况：当时，设，当时，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：一次函数， 当，则，当，则， ∴，， 当时，， ∴， 在反比例函数上， ， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：如图，于， ∴， ∵点M、E、F为顶点的三角形与相似，在的右侧， 当时， ∴， 设， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， 当时， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴． 综上：或． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，一次函数与坐标轴的交点坐标，相似三角形的性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【变式03】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)设为线段上的一个动点（不包括，两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积是4时，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为 (2) 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，灵活运用这些性质解决问题是解题关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）由即可求解。 【详解】（1）把，代入中，得 ，． 又，在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数的解析式为． （2）由（1）可知，设点的坐标为，则． ， ． 解得， ． 题●型●训●练 一、单选题 1．如图，是菱形的对角线，把菱形沿着对角线方向平移，得到菱形，，分别交，于点，，连接，若，，则与之间的关系大致可以用函数图象表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用菱形和平移的性质得到线段与角度的关系，再通过三角函数表示出的长度，从而建立与的函数关系式，最后根据函数的性质判断对应的函数图象． 【详解】解：如图，记交于点， ∵四边形是菱形， ∴， 设，则，设，则 由平移的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴∙， ∵为定值，为定值， ∴为定值，且小于，∙为定值，且大于， ∴是关于的一次函数，且随的增大而减小， ∴选项符合题意． 2．如图，一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据一次函数的图象可以判断，，从而可以判断二次函数的图象的开口方向、对称轴以及与轴的交点，从而可以解答本题． 【详解】解：由一次函数的图象可得，， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，交轴于， ， 二次函数的图象与轴有两个交点， 故选：B． 3．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且与轴交于点，下列结论中：①；②；③（为任意实数）；④若抛物线经过，则关于的一元二次方程的两个根分别是，．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及由二次函数图象与性质确定系数及式子符号、函数最大值定义、函数与方程的关系等知识，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 先由二次函数图象与性质判定符号，进而判断①错误；令时，由图象中点的位置即可判断②正确；由最大值定义即可判断③正确；由函数图象与方程的关系即可判断④正确，从而得到答案． 【详解】解：由抛物线开口向下，可得； 由抛物线对称轴是直线，可得，结合即可确定； 由抛物线与轴交点在正半轴上，可得； 综上可得，故①错误； 二次函数图象与轴交于点，对称轴是直线， 二次函数图象与轴另一个交点为， 则当时，，故②正确； 由可得，则， 又抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线有最大值，为， 则由最大值定义，当时（为任意实数），，故③正确； 由抛物线的对称性可知，若抛物线经过，则抛物线必定经过， 关于的一元二次方程的两个根就是抛物线与直线的交点的横坐标， 当抛物线经过和时，关于的一元二次方程的两个根分别是，，故④正确； 综上所述，结论中正确的是②③④，共3个， 故选：C． 4．抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质和对称性．，解题的关键是掌握二次函数的性质． 根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，则点与点关于直线对称，然后根据点在与之间可判断点在与之间，从而得到的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， 而抛物线交轴于点， ∴点与点关于直线对称， ∵， 即点在与之间， 点在与之间， ， 故选：C． 二、填空题 5．新定义：我们把二次函数 (其中)与称为“相关函数”．例如：二次函数的“相关函数”为．已知二次函数的“相关函数”为． （1）二次函数的对称轴为直线____； （2）已知二次函数的图象与x轴交于点M，N，二次函数的图象与x轴交于点P，Q，若，则二次函数与对称轴之间的距离为____． 【答案】 6 【分析】（1）根据“相关函数”定义写出的解析式，利用二次函数对称轴公式求解； （2）利用二次函数与x轴交点距离公式，结合列方程求出a的值，再计算两个对称轴的距离． 【详解】解：（1）由“相关函数”的定义，得的解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线； （2）对于二次函数，设其与x轴两交点横坐标为，，由根与系数的关系得：，， ∴， ∴两交点距离， 对于，判别式，则，由得且， 对于，判别式，则，由且得， 综上，a的取值范围为， 由，得， 因为，两边同乘得， 两边平方得：， 解得，符合取值范围， 的对称轴为直线， 的对称轴为直线，则两对称轴之间的距离为． 6．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为6，反比例函数的图象经过点A交于点D，若点D是的中点，则求k的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，根据菱形的性质，得到轴，设，得到，进而求出点坐标，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，列出方程求出的值，作轴，求出点坐标，进而求出值即可． 【详解】解：∵菱形的边长为6， ∴， ∴，轴， 设，则， ∵点D是的中点， ∴，即， ∴， 解得， ∴过点作轴，则：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 7．如图，矩形的边，点是边上的一个动点（不与点重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．当四边形的面积最大时，的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与图形的综合，掌握矩形的性质，图形面积与反比例函数系数的关系是关键． 根据题意点的纵坐标为，点的横坐标为，则，，由代入计算得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， 过点的反比例函数的图象与边交于点， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， 当时 ，四边形的面积最大，最大值为， ∴， 故答案为： ． 8．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为． （1）函数的图象上的“倍值点”是_____． （2）若关于的函数的图象上有两个“倍值点”，则的取值范围是_____． 【答案】 和 且 【分析】本题考查了函数的新定义问题，反比例函数，二次函数，一元二次方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据“倍值函数”的定义代入即可求解． （2）根据“倍值函数”的定义代入即可列一元二次方程，再根据题意令即可． 【详解】解：（1）函数中，令， 则， 解得：或， 经检验或都是原方程的解， ∴函数的图象上的“倍值点”是和， 故答案为：是和． （2）在中，令， 则， 整理得， ∵关于x的函数的图象上有两个“倍值点”， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 9．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A的坐标为，反比例函数（）的图象经过点B与点D，点B的纵坐标为3． （1）k的值为__________； （2）E为该反比例函数图象上的一点，若的面积等于正方形的面积，则点E的坐标为__________． 【答案】 或 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质． （1）依据题意，分别过B、D作轴于E，轴于F，进而可得（），故，，又点B的纵坐标为3，且B在反比例函数上，则，，从而，结合D在反比例函数上， 从而计算可以得解； （2）依据题意，结合（1）可得，，反比例函数为，则，又，则，则，又设E为，则，进而计算可以得解． 【详解】解：（1）如图，分别过B、D作轴于E，轴于F， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∴． ∵，， ∴（）． ∴，． ∵点B的纵坐标为3，且B在反比例函数上， ∴，． 又∵A为， ∴，， ∴． 又∵D在反比例函数上， ∴， ∴． 故答案为：； （2）由题意，结合（1）可得，，反比例函数为， ∴． 又∵， ∴． ∴． 设E为， ∴， ∴， ∴或． 故答案为：或． 10．如图，函数与图象相交于点，两点，则不等式的解集为______． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数比较大小，解题关键是树立数形结合思想，准确利用图象求解． 利用两个函数交点求解即可． 【详解】解： ∵函数与的图象相交于点，两点， ∴由图象得，当或时，函数的图象在上面， ∴不等式的解集为或． 故答案为：或． 三、解答题 11．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)已知点C是位于反比例函数的图象在第四象限部分上的一点，直线交y轴于点D，若． ①求线段的长；②求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2)①的长为；② 的面积为． 【分析】（1）首先，根据交点代入反比例函数的表达式，求出，进而得出反比例函数的表达式，然后，将点代入反比例函数的表达式求出，再将点、坐标分别代入一次函数的表达式中即可求得一次函数表达式； （2）①利用已知条件巧妙构造辅助线，进而得出，，根据，可求得，进而求得，，最后，在中，由勾股定理即可求得的长； ②由，可求出的长，进而求出的长，最后，运用“整体减部分”思想可得出，根据三角形的面积公式代入计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得． ∴反比例函数的表达式为． 把点代入，得 ，解得． ∴点． 把点，分别代入，得 ，解得． ∴一次函数的表达式为； （2）①如图，过点作轴于点，过点作轴于点． ∴． ∴． ∴． ∵，点， ∴，，． ∴，解得． ∵点在反比例函数的图象上， ∴当时，． ∴点． ∴． 在中，由勾股定理，得． ∴的长为； ②∵点，， ∴，． 由①知， ∴，即，解得． ∴． ∴ ． ∴的面积为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式．解题的关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；充分理解“逢点必代”思想在函数中的重要性，能利用“整体减部分”思想求解特殊三角形的面积． 12．已知二次函数，． (1)当时，求此函数图象的对称轴； (2)若点，均在该函数图象上； （i）是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （ⅱ）令，若该函数在时，y随x的增大而减小，在时，y随x的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)（i）存在，；（ii） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）将代入，整理得，即可求解对称轴； （2）（i）将点，代入，求出，，再代入求解即可； （ⅱ）先求出，再由二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 则， ∴， ∴对称轴为直线； （2）解：（i）存在，理由如下： 由题意得，将点，代入， 则，， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴； （ii）将，，代入， 整理得， 可得对称轴为直线，抛物线开口向上， 如图： ∵该函数在时，y随x的增大而减小，在时，y随x的增大而增大， ∴， 解得 ∴a的取值范围为． 13．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C，连接． (1)求b，c的值； (2)连接，过点O作交于D，记的面积分别为，求的值； (3)过点A作的垂线交抛物线于点P，求线段的长． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质与判定，两点距离计算公式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）求出，由平行线分线段成比例定理可得，则，进而推出，求出，进而得到，则； （3）设．过点P作轴于点H，则．证明是等腰直角三角形，得到．，则，解方程可得，则． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于两点， ∴， ∴； （2）解：如图（1）， ∵， ∴， ∵， ， ， ∴， 由（1）可得抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ； （3）解：由（1）可知抛物线的表达式为， 如图（2），设． 过点P作轴于点H，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴， 解得或（舍去） ∴， ∴． 14．抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点B，且经过，两点． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理、点的对称性等知识． （1）用待定系数法即可求解； （2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小，进而求解； （3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过， ∴， 设抛物线的表达式为， 将代入上式得：，解得， ∴抛物线的解析式为：； 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小， 把代入直线得，故， 即当点M使时，M的坐标为； （3）设， ∵，， ∴， 若点B为直角顶点时，则， 即， 解得； 若点C为直角顶点时，则， 即 解得， 若P为直角顶点时，则， ∴， 解得， 综上，点P的坐标为或或或． 15．如图1（注：与图完全相同），二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)设该抛物线的顶点为，求的面积（请在图中探索）； (3)若点，同时从A点出发，都以每秒个单位长度的速度分别沿，边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当，运动到秒时，沿所在的直线翻折，点恰好落在抛物线上点处，请直接判定此时四边形的形状，并求出点坐标（请在图中探索）． 【答案】(1) (2)4 (3)四边形为菱形， 【分析】（1）根据题意将点A和点B代入二次函数即可得到解析式； （2）过点作轴于点，进而结合题意即可得到点D和点C的坐标，进而根据“”即可求解； （3）点关于与A点对称，过点作，于，进而根据题意得到，进而根据菱形的判定得到四边形为菱形，再根据平行线分线段成比例得到，从而结合题意即可得到点Q和点E，再将点E代入二次函数解析式即可求出t，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于，， ∴， 解得：， ∴； （2）解：过点作轴于点，如图， ∵， ∴点、点， 则 ； （3）解：四边形为菱形，点坐标为．理由如下： 如图，点关于与A点对称，过点作于， ∵，，， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在二次函数上， ∴ 解得或（与A重合，舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数性质、相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识，熟练地运用数形结合是解决问题的关键． 16．如图，抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)连接，求的面积． (3)要在轴上找一点，使得的周长最小，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 【分析】（1）先利用抛物线的对称轴求出，再把点坐标代入中求出，从而得到抛物线表达式． （2）先把抛物线的表达式一般式配成顶点式，得到，再利用待定系数法求出直线的解析式为，则可确定，然后根据三角形面积公式计算． （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则有，利用两点之间线段最短判断此时的值最小， 则的周长最小，再利用关于轴对称的点的坐标特征得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式，从而可确定点坐标． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为， ， 解得， 把代入得， 解得， 抛物线的表达式为． （2）解：， ， 把，分别代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 的面积为． （3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则有， ， 此时的值最小， 此时的周长最小， ， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ： ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为，此时的周长最小． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象中几何图形面积的计算方法，轴对称最短路径的计算方法，二次函数与一次函数图象的交点的计算方法，二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 17．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴，y轴的交点分别为和． (1)求此二次函数的对称轴； (2)若当时，，求m的取值范围； (3)设直线与抛物线交于A，B两点，则在此抛物线上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点M的坐标为或或 【分析】本题考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质； （1）先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据对称轴公式求解即可； （2）求出抛物线的顶点坐标，以及时x的值，然后根据时，，即可得出m的取值范围； （3）设，求出，然后根据列方程求出m，再进一步求出对应的纵坐标即可． 【详解】（1）解：把，代入得：， ∴， ∴此二次函数的解析式为， ∴此二次函数的对称轴为； （2）∵，， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴二次函数的最小值为， 当时，即， 解得：，， 又∵当时，， ∴； （3）存在； 设， 由（2）知，当时，或， ∴， ∵， ∴，即， 解得：，，． 当时，， 当时，， 当时，， ∴点M的坐标为或或． 公司2 / 84 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01函数综合应用 内●容●导●航 第部分题型破译微观解剖，精细教学 行典明引领 写方法透视 妇变式演练 题型01三种基本函数的解析式求解 题型02函数图像的基本性质应用 题型03函数与方程、不等式的关联 题型04函数与几何图形的综合 题型05二次函数的最值与实际应用 题型06函数综合探究题 第二部分题型训练整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01三种基本函数的解析式求解 ◆典例领◆ 典例01川】如图，在平面直角坐标系中，点4A坐标为2,2，点A在反比例函数y三x>0)的图象上，息 B在反比例函数y=m(x<0)的图象上，在Rta4OB中，anA= 2 (1)求m的值； (2)求直线AB的函数表达式. 【典例02】如图1，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A(-4,0),B1,0),与y轴交于点C,点P是直线 AC下方抛物线上的点. 1/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)求a+b的值； 》方法透视 锏 已知点的坐标、图像特征，求一次函数(y=kx+b,k≠0)、二次函数（三种形式： 解读 般式y=ax2+bx+c、顶点式y=&-)+k、 交点式 y=x-x1x-x),a≠0)、反比例函数(y=奈，k≠0)的解析式。 方法 1. 通用核心方法一一待定系数法（必掌握）：核心步骤为“设解析式→找已知条件（点 坐标/图像特征)列方程（组）→求解参数→验证”，适用于三种基本函数，是中考 技能 最常用的方法。 2.一次函数求解技巧：当已知图像过两点时，直接代入两点坐标，列二元一次方程组 求解k、b;若已知图像与x轴、y轴交点(xo,0)、(0,yo),可直接代入解析式，快 速算出k=-七，b=yo,简化计算。 Yo 3.二次函数求解技巧：优先根据已知条件选择解析式形式一一①已知三点坐标（无特 殊点)，用一般式；②己知顶点坐标(，k)或对称轴，用顶点式（可快速避开复杂运 算)；③已知与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0),用交点式（无需配方，直接代 入计算)。注意：无论选择哪种形式，最后需根据题意判断是否需要化为一般式。 4.反比例函数求解技巧：核心利用k的几何意义或图像上的一个点坐标一一①已知双 曲线上一点(xo,yo),直接代入得k=xoyo;②已知过双曲线上一点作坐标轴垂线形成 的矩形/三角形面积，先根据面积求出k,再结合图像所在象限判断k的正负（第一、 三象限k>0,第二、四象限k<0)。 5.易错规避技巧：①注意函数自变量的取值范围，求解后需验证参数是否符合函数定 义（如k≠0、a≠0）；②二次函数用顶点式、交点式求解后，可代入另一个已知点验 证，避免计算错误；③反比例函数k的几何意义中，三角形面积是】k,矩形面积是 k,切勿混淆。 ◆变式演练· 【变式01】如图，已知A(-4,m),B(2,-4)是一次函数y=c+b的图象与反比例函数y=”的图象的两个交 x 点. 2/22 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求反比例函数和一次函数的解析式： 【变式02】小明利用一条直线将一个二次函数图象在(0,3)处截断，剩下的图象如图所示，小明将剩下的图 象部分作为一个整体图象进行研究.发现当x的值为-2时，y的值为1；当x的值为2时，y的值为3；当x 的值为3时，y的值为6. V本 4 3 有-2-101234x (1)求该图象的函数解析式： 【变式03】抛物线y=-3x2+bx+c顶点为A(2,1),抛物线y,=-x2+4x+d与y轴交于点B,直线AB经过点 C1,0) (1)求b,c,d的值： 题型02函数图像的基本性质应用、 ◆典例领 【典例01】己知抛物线y=-x2+bx(b<0)的顶点纵坐标比抛物线y=-x2+2x+1的顶点纵坐标大2. (1)求b的值： (2)点M(x,y)在抛物线y=-x2+2x+1上，点N(x1+1,”,+k)在抛物线y=-x2+bx上. (i)求k关于x的表达式； (ⅱ)当x满足-2≤x,≤3，求k的最小值. 。方法透视 3/22 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一次函数：k、b的几何意义(k决定增减性、倾斜程度，b决定与y轴交点)，图像与 坐标轴的交点求解； 解读 二次函数：开口方向（的符号）、对称轴(x=-是)、顶点坐标、增减性（结合对 称轴判断)、最值（分取值范围讨论）； 反比例函数：k的几何意义（过双曲线上一点作坐标轴垂线，形成的矩形/三角形面积与 k的关系)，增减性（注意“在每个象限内”的前提） 方法 1.一次函数性质应用技巧：①快速判断增减性：无需画图，根据k的符号直接判断(k >0,y随x增大而增大；k<0,y随x增大而减小)，中考常结合函数图像判断自变量取 技能 值范围；②交点快速求解：与x轴交点令y=0,与y轴交点令x=0,熟练掌握“截距” (b的值)的几何意义，可快速排除选择题错误选项；③倾斜程度判断：k越大，直 线越陡峭，k越小，直线越平缓，此知识点常结合图像辨析题考查。 2.二次函数性质应用技巧：①开口方向与最值快速判断：由a的符号确定开口(a>0 开口向上，有最小值；<0开口向下，有最大值)，最值点即为顶点，结合对称轴可快 速定位顶点坐标；②增减性判断技巧：先找对称轴(x=一会)，分“对称轴左侧” “对称轴右侧”两步判断，避免忽略取值范围限制（中考常考查指定区间内的增减性， 而非整个取值范围)；③对称轴快速计算：除公式外，可利用“抛物线上对称点的横 坐标中点即为对称轴”（如已知两点(x1,y)、(x2,y),则对称轴为x=),简 2 化计算。 3.反比例函数性质应用技巧：①k的几何意义速用：看到“双曲线上点+坐标轴垂线+ 面积”，直接关联k,记住核心结论（三角形面积=。k,矩形面积=k)，无需推 导，节省解题时间；②增减性易错规避：务必强调“在每个象限内”的前提，避免误 判“所有象限内y随x增大而减小”（如k>0时，第一象限y随x增大而减小，第三象 限也如此，但第一象限的y值始终大于第三象限)；③图像分布判断：由k的符号直 接确定双曲线所在象限(k>0在一、三象限，k<0在二、四象限)，常结合图像信息题 判断参数符号。 4.中考高频题型技巧：①图像辨析题：优先看“特殊点（顶点、交点）”“参数符号 “增减趋势”，排除不符合性质的选项，安徽中考常考一次函数与二次函数、反比例函 数的图像匹配；②性质应用题：先提炼函数参数(k、、b),再结合性质分析，如二 次函数求指定区间的最值，需先判断对称轴是否在区间内，再确定最值点；③易错规 避：①二次函数忽略取值范围讨论最值，导致答案错误；②反比例函数增减性忽略“象 限限制”；③一次函数b=0时是正比例函数，属于特殊情况，需单独注意。 ◆变式演练◆ 【变式01】如图，一次函数y=-2x-2的图象分别与x轴，y轴交于A,B两点，与反比例函数y=k(x<0) 的图象交于点C,已知A为线段BC的中点. 4/22 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A ○ B (1)求k的值； (2若点P是反比例函数y=k(x<0)的图象上一个动点，PD⊥y轴于点D.设四边形4ODP的面积为S,探 究S随x的变化情况. 【变式02】己知函数y=x2+m+1)x+m(m为常数)，问： (1)无论m取何值，该函数的图像总经过x轴上某一定点，该定点坐标为一： (2)求证：无论m为何值，该函数的图像顶点都在函数y=-x+)图像上： (3)若抛物线y=x2+(m+1x+m与x轴有两个交点A、B,且1<m≤4，求线段AB的最大值. 【变式03】己知抛物线y=-x2+bx+c. (1)请用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含b,c的代数式表示）· (2)已知点M,N是该抛物线上的两个不同的点. (1)如果点M的坐标为(2b,y),点N的坐标为(3，)，且y,>y2,求b的取值范围； (i)如果点M的坐标为(t-5,-5),点N的坐标为(1+3，-5)，当p≤x≤9时，y的最大值为11，最小值为2， 请求出9-P的取值范围. 题型03函数与方程、不等式的关联 ◆典例领◆ 【典例01】如图，已知一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y=二（化≠0）的图象交于点A(a,3), 5/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B(b,-1),与x轴负半轴交于点C,△AOC的面积为3. A A(a,3) B (b,-1) (1)求a,b的值： (2)结合图象直接写出关于x的不等式mx2+x>k的解集. 【典例02】如图，一次函数y=:+b的图象与反比例函数y=”的图象交于点A-3,m,B(2,3). YA B (1)若P为x轴上一点，△ABP的面积为5，求点P的坐标： 2)结合图象，关于x的不等式x+b<”的解集为 》方法透视 向 函数与方程：两个函数图像的交点坐标，对应联立解析式组成的方程组的解；二次函数 解读 与x轴的交点，对应一元二次方程的根（判别式4=b-4ac的应用》 方法 核心原则：紧扣“数形结合”核心，将“函数图像”“方程解”“不等式解集”三者关 联，明确“图像交点对应方程解，图像上下位置对应不等式解集”，适配中考图像信息 技能 题、计算大题，快速突破衔接类题型。 1.函数与方程关联技巧（中考高频，基础衔接）：①交点坐标与方程组的转化：两个 函数图像的交点，横坐标、纵坐标分别是对应方程组的x、y解，解题时可通过联立解 析式求解交点，也可通过图像读取交点坐标验证方程解；②二次函数与一元二次方程 的深度关联：二次函数与x轴的交点个数对应一元二次方程根的个数（△>0有两个交 6/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点，△=0有一个交点，△<0无交点)，交点横坐标即为方程的根，中考常结合判别式 判断交点情况，或利用交点求函数解析式：③简化计算技巧：遇到“求两个函数交点” 问题，优先联立解析式，消元后解方程，一次函数与反比例函数联立可转化为一元二次 方程，注意验证根的有效性（避免增根，贴合函数取值范围）。 2.函数与不等式关联技巧（图像题核心，快速得分）：①解集判断口诀：“上大下小 ②单函数与不等式关联：一次函数y=kx+b,y>O的解集对应图像在x轴上方的x 范围，y<O对应x轴下方的x范围；二次函数需结合开口方向、对称轴，判断图像在x 轴上方/下方的区间，注意取值范围限制；③易错规避：判断不等式解集时，务必看清 “等号是否成立”（图像交点处对应等号，空心点不包含等号），二次函数不等式需先 判断开口方向，避免颠倒解集方向。 ◆变式演练 【变式01】小明利用一条直线将一个二次函数图象在(0,3)处截断，剩下的图象如图所示，小明将剩下的图 象部分作为一个整体图象进行研究.发现当x的值为-2时，y的值为1；当x的值为2时，y的值为3；当x 的值为3时，y的值为6。 6 3-2-101234x (1)求该图象的函数解析式； (2)若关于x的方程ax2+bx+3-t=0(t为实数)，在0<x<4时无解，求t的取值范围 (3)若在函数图象上有点P,Q(P与Q不重合)·P的横坐标为m,Q的横坐标为-m+1.小明对P,Q之 间（含P,Q两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写 出m的取值范围. 【变式02】定义：在平面直角坐标系中一点P(m,n,点P的纵坐标n与其横坐标m的差(n-m)称为点p 的“影差”.例如：点(1，-3)的“影差”为：-3-1=-4. (1)二次函数y=-x2+bx+cc≠0)当x=-4,x=2时“影差”值为0. ①求b、C的值， ②求此时该二次函数点“影差”最大值 7/22 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ③求该二次函数点“影差”大于5时的x的取值范围。 (2)若二次函数y=x2+bx+cc≠0)的“影差"最小值为-1，点B(1,0)与点C分别是此二次函数的图象与x轴和 y轴的交点，且点B与点C的“影差”相等，求b的值 【变式03】抛物线y,=x2+mx+n的顶点纵坐标与抛物线y,=-x2-mx的顶点纵坐标之和为4. (1)求的值： (2)己知A(s,)为抛物线y1=x2+mx+n上一点，B(p,q)为抛物线2=-x2-mx上一点 ()若仅存在一个正数s,使得s+t=0,求p+9的最大值： ()若p=s+2,且当1<s<2时，总有t+q<4,求m的取值范围. 模块说明： 1.选题标准：精选10-15道高质量的中考真题、最新模考题。 2.综合性：题目应覆盖多个考向，具有较强的综合性。（学科存在差异化） 或选题应覆盖本专题所有考向，综合类试题中涉及该专题考向的试题做标注。 ◆题型04函数与几何图形的综合 ◆典例引领 【典例01】如图，反比例函数y=x>0)与一次函数y=2x+m的图象交于点A1,4),BC⊥y轴于点D,分 别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C. (1)求反比例函数和一次函数的表达式： (2)连接AB,若OD=1,求ABC的面积. 8/22 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例02】如图1，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A(-4,0,B(1,0),与y轴交于点C,点P是直线 AC下方抛物线上的点. 图1 图2 (1)求a+b的值； 2连接AP,CR,BC,过点P作PF1x轴于点F,交4C于点E,若Spc=4Sc,求点P的坐标； Γ5 (3)如图2，点M是直线AC上方的抛物线上一动点，当∠MA0=∠OAC时，求点M的坐标。 》方法透视 考向 函数与三角形：利用函数解析式求三角形顶点坐标，计算三角形的面积（割补法、底乘 解读 高)，判断三角形的形状（等腰、直角） 函数与四边形：结合一次函数、二次函数图像，求平行四边形、矩形、菱形、正方形的 顶点坐标，探究四边形的存在性问题 方法 核心前提一一点坐标的求解技巧（重中之重）：①已知函数解析式，求几何图形顶点 坐标：直接令x=0、y=0求坐标轴交点，或利用二次函数对称轴、顶点式求顶点，这是 技能 后续计算的基础：②己知几何图形性质，求未知点坐标：结合图形边长、角度、对称 关系（如平行、垂直、等腰、直角），用“设坐标法”（设未知数，结合几何关系列方 程)求解，安徽中考常设动点坐标为(x,y)，再结合函数解析式转化为单变量求解； ③辅助线技巧：过动点作x轴、y轴垂线，构造直角三角形或矩形，将几何边长转化为 坐标差（水平距离=x1-x2,垂直距离=y1-y2),简化计算。 ◆变式演练◆ 【变式01】如图，在平面直角坐标系x0y中，直线AB:y=x-2与反比例函数y=的图象交于A、B两 x 点，与x轴相交于点C,已知点A的坐标是3，m). 9/22 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)求反比例函数的解析式： (2)点P为反比例函数y=图象的任意一点.若SAoc=2 S0C,求点P的坐标. 【变式02】如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C,且点B与点C的坐标 分别为B(6,0),C(0,12),点M是抛物线的顶点. M D (1)求此二次函数的关系式； (2)点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D.若OD=m,△PCD的面积为S, ①求s与m的函数关系式，写出自变量m的取值范围： ②求S的最大值以及此时点P的坐标， 【变式03】如图1，已知抛物线y=ax+bx+3(a≠0)的图象与x轴交于点A(-1,0)和B(3,0),与y轴交于点 C,点D是抛物线的顶点. 10/22