第十四章 一次函数（知识清单）数学新教材北京版八年级下册

该初中数学单元知识清单系统梳理了“一次函数”单元内容，涵盖变量与常量、函数概念、三种表示方法、图像与性质、实际应用及与方程不等式的关系等核心范畴，为学生搭建了从“基础概念理解”到“性质探究”再到“综合应用”的递进式学习支架。 清单通过分类呈现知识点、表格对比差异、易错点专项解析构建知识体系，如用表格对比函数三种表示方法的优缺点，结合k、b符号分类讨论一次函数图像性质，培养学生抽象能力和推理意识。特别设计“待定系数法四步法”“函数与方程关系图解”等实用工具，易错点配例题分析，帮助学生高效掌握要点，教师可据此设计分层教学，提升课堂实效。

第十四章 一次函数 知识点一、变量与常量 1.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 2.判断一个物体是常量还是变量的方法：看这个量的值在某一变化过程中是否发生改变，若在变化过程中这个量的值不变，则这个量就是常量，若这个量的值会发生改变，则这个量就是变量. 3.常量不等于是常数，它可以用一个数值不改变的字母来表示. 知识点二、函数的概念 1.函数：一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 2.确定函数与自变量的方法：在某个变化过程中处于主导地位的变量是自变量，随之变化且对应值唯一确定的变量是该变量的函数. 3.函数具有唯一对应性，判断两个变量是否具有函数关系，不能只看是否有关系式存在，还要看对应给定的x的每一个值，y是否有唯一值与之对应. 4.函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如果两个变量x与y，若y是x的函数，就不能说成x是y的函数. 知识点三、函数的三种常见表示方法 表示法 定义 优点 缺点 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与之对应的函数的值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式，用函数表达式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用表达式表示出来 图像法 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 能直观、形象地反映出函数关系变化的趋势 由自变量的值常常难以找到对应函数的准确值 函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 知识点四、函数的图像 在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标，对应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图像. 知识点五、函数的自变量与函数值 1.自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围. 2.常见函数自变量取值范围的确定： （1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； （2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； （3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零； （5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 3.函数值：y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b就叫做当自变量为a时的函数值. （1）一个函数的函数值随着自变量值的变化而变化，因此在求函数值时，一定要明确是求自变量为多少时的函数值. （2）对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个. 知识点六、一次函数、正比例函数的定义 1.一次函数：一般地，形如y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 2.正比例函数：当b＝0时，即y＝kx（k为常数且k≠0），y叫做x的正比例函数. 3.正比例函数是一次函数的特例，即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 4.一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 5.判断一次函数的方法：式子经过恒等变形后，若满足：（1）等号右边是关于x的整式；（2）自变量x的最高次数是1；（3）一次项系数k≠0这三个条件，则是一次函数，否则就不是一次函数. 知识点七、确定一次函数的表达式 1.待定系数法：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）中有两个待定系数k、b，需要两个两个独立条件确定两个关于k、b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x、y的值. 2.用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： （1）设：设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0）； （2）列：将已知条件代入表达式，列出关于k、b的方程（组）； （3）解：解方程（组），求出k、b的值； （4）代：将k、b的值代回所设的函数表达式. 知识点八、一次函数的图像 1.一次函数的图像：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图像是一条直线. 2.正比例函数的图像：正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是经过原点的一条直线. 3.一次函数的图像是一条直线，但不是所有的直线都是一次函数的图像，在利用一次函数的图像解决实际问题时，自变量的取值会受到限制，此时函数图像不再是一条直线，有可能是线段、射线，也有可能是间断的点. 4.一次函数的图像与表达式之间的关系：一次函数的图像与函数表达式是一一对应的，即函数图像上任意一点P（x，y）中的x，y的值满足函数表达式；反之，满足函数表达式的任意一对有序实数（x，y）所对应的点一定在函数图像上. 5.通过描点法画出对应一次函数的步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的一部分值，并计算出函数y相应的值，同时都填入列出的表中； （2）描点：以表中的有序数对（x，y）为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：将所描的点用直线连接起来. 知识点九、一次函数的图像与性质 一次函数 y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0） k、b的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右上升 从左向右下降 性质 函数值y随自变量x增大而增大 函数值y随自变量x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 1.一次函数的图像经过的象限是由k和b的符号共同决定的，一次函数的增减性取决于k，与y轴的交点取决于b，反之，由一次函数的图像特征也可判断k、b的符号. 2.|k|的大小决定直线y＝kx＋b的倾斜程度，|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓. 知识点十、正比例函数与一次函数图像的关系 1.正比例函数y＝kx的图像是经过原点的一条直线，一次函数y＝kx＋b的图像可以看成是由正比例函数图像向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度得到的. 2.一次函数图像的平移规律 （1）上、下平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向上平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b＋n（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b－n（k≠0）.（上加下减） （2）左、右平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向左平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x+m）＋b（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向右平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x－m）＋b（k≠0）.（左加右减）. 3.同一个平面直角坐标系中两直线l1：y＝k1x＋b1（k1≠0），l2：y＝k2x＋b2（k2≠0）的位置关系如下： k1，k2，b1，b2的关系 l1与l2的关系 k1≠k2 l1与l2相交 k1≠k2，b1＝b2 l1与l2相交于y轴上的同一点（0，b1）或（0，b2） k1＝k2，b1≠b2 l1与l2平行 k1＝k2，b1＝b2 l1与l2重合 知识点十一、一次函数的应用 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数表达式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： （1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； （2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； （3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数表达式的常用方法 （1）根据基本的量之间存在的关系列函数表达式； （2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数表达式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 知识点十二、一次函数图像的应用 1.在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 2.分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 知识点十三、一次函数与二元一次方程的关系 1.一次函数y＝kx＋b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b＝0的解，以二元一次方程kx－y＋b＝0的解为坐标的点都在一次函数y＝kx＋b的图像上. 2.二元一次方程与一次函数的区别： （1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量； （2）二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图像法表示两个变量间的关系. 3.二元一次方程的解与一次函数图像上点的坐标之间的关系是一一对应的，以二元一次方程的解为坐标的点所组成的图形与其相应的一次函数的图像完全重合（一条直线）. 知识点十四、一次函数与二元一次方程组 1.如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解. 2.在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解. 3.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法. 4.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解，反之也成立. 5.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 6.方程组解的几何意义 （1）方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标； （2）根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况；（） （3）根据交点的个数，看出方程组的解的个数； （4）对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数. 知识点十五、一次函数与一元一次方程 1.一次函数y＝kx＋b（k≠0，b为常数），当函数y＝0时，就得到了一元一次方程kx＋b＝0，此时自变量x的值就是方程kx＋b＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 2.从图象上看，这相当于已知直线y＝kx＋b（k≠0，b为常数），确定它与x轴交点的横坐标的值. 3.对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 知识点十六、一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0或ax＋b≥0或ax＋b≤0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y＝ax＋b的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下： 1.不等式kx＋b＞0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴上方的部分所对应的x的取值范围； 2.不等式kx＋b＜0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴下方的部分所对应的x的取值范围； 3.不等式kx＋b＞a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a上方的部分所对应的x的取值范围； 4.不等式kx＋b＜a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a下方的部分所对应的x的取值范围； 5.不等式k1x＋b1＞k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）上方的部分所对应的x的取值范围； 6.不等式k1x＋b1＜k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）下方的部分所对应的x的取值范围. 易错点1 函数概念的理解不透 错误：认为“只要一个变量变化，另一个变量跟着变化，就是的函数”． 注意：判断变量是不是变量的函数，关键是看两个条件：（1）存在一个变化过程中；（2）这个变化过程中有两个变量，和，且对于的每一个确定的值y都有唯一的值与它对应。也就是说把一个的值带入表达式，只能求出一个的值.对于图象的判断就是用一条垂直于横轴的直线从左向右移动，这条直线只能与图象有一个交点。如果出现了两个交点，那就不是函数关系。 1．有以下关于x，y的等式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查函数的定义，判断每个等式是否满足函数的定义，即对于每一个x值，只能有一个y值与之对应． 【详解】解：∵ ① 可化为，对于每一个x值，y有唯一确定值， ∴ ①y是x的函数； ∵ ②，例如当时，或，一个x对应两个y， ∴ ②y不是x的函数； ∵ ③，例如当时，或，一个x对应两个y， ∴ ③y不是x的函数； ∵ ④可化为（），对于每一个非零x值，y有唯一确定值， ∴ ④y是x的函数； ∴ ①和④是函数，共2个， 故选：B． 2．下列图象中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的定义，当确定一个数值时，可以有唯一一个值与对应，则表示是的函数，解决本题的关键是根据函数的定义进行判断． 【详解】解：A选项，当确定一个数值时，可以有个值与对应，不能表示是的函数，故A选项符合题意； B选项：当确定一个数值时，可以有唯一一个值与对应，能表示是的函数，故B选项不符合题意； C选项：当确定一个数值时，可以有唯一一个值与对应，能表示是的函数，故C选项不符合题意； D选项：当确定一个数值时，可以有唯一一个值与对应，能表示是的函数，故D选项不符合题意． 故选A． 易错点2 利用一次函数性质比较函数值的大小 错误：要特别注意k的正负对函数值大小的影响． 注意：一次函数中，k的正负决定了随自变量的变化情况，比较同一个一次函数的两个不同对应的函数值，首先要看k正负，其次再看两个自变量的大小关系，对于k的正负不确定的情况，一定要分类讨论． 3．已知点，，都在直线上，则、、的值大小关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 根据一次函数的增减性，结合已知点的横坐标大小关系，判断y值的大小顺序即可． 【详解】解：∵直线中，， ∴y随着x的增大而减小． ∵， ∴． 故选：B． 4．已知点在第三象限，点、在一次函数（k，b为常数，且）的图象上，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，第三象限内的点的坐标特点，第三象限内的点的横纵坐标都小于0，则，则在一次函数中，y随x的增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴，． ∴在一次函数中，y随x的增大而减小， ∵点、在一次函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 易错点3 利用一次函数与一元一次方程的关系解一元一次方程 错误：认为“一次函数与横轴的交点坐标就是对应一元一次方程的解”． 注意：一次函数的图象与横轴的交点的坐标是,而对应方程的解是,两者意义和形式是不同的，只是交点的横坐标与对应方程的解在数值上是相等的。 5．根据一次函数的图象，写出下列问题的答案： （1）关于x的方程的解是 ； （2）关于x的方程的解是 ； 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象； （1）利用函数图象写出函数值为时对应的自变量的值即可； （2）利用函数图象写出函数值时对应的自变量的值即可 【详解】（1）根据函数图象可得，当时，， 所以方程的解为； 故答案为：． （2）根据函数图象可得，当时，， ∴关于x的方程的解是 故答案为：． 6．已知一次函数． (1)补充完整下列表格，并画出这个函数的图象． … 0 1 … … … (2)结合函数图象，方程的解为___________． 【答案】(1)填表见解析，图见解析 (2) 【分析】本题考查画一次函数的图象，图象法求方程的解，正确的画出函数图象，是解题关键： （1）把自变量的值代入函数解析式，求出相应的函数值，描点，连线画出函数图象即可； （2）直接利用图象法求出方程的解即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 填表如下： … 0 1 … … 3 1 … 描点，连线，画出图象如图： （2）由图象可知，方程的解为； 故答案为：． 易错点4 利用一次函数与一元一次不等式的关系解一元一次不等式 错误：不能正确利用函数图象和数形结合正确求解一元一次不等式的解集． 注意：利用一次函数的图象求解一元一次不等式的解集，主要是借助一次函数的图象与横轴的交点坐标以及数形结合的思想，求解一元一次不等式的解集。大于0，就是对应函数图象位于横轴上方的部分，然后找出这部分图象对应的变量x的取值范围；反之，小于0，就是对应函数图象位于横轴下方的部分，然后找出这部分图象对应的变量x的取值范围。当然，有时候还会借助函数图象的平移。 7．已知一次函数与轴交于点，与轴交于点 (1)求点，点的坐标； (2)在给出的坐标系中画出函数的图象； (3)结合图象写出当为何值时，． 【答案】(1)A (1,0),B(0, 2) (2)见解析 (3)x<1 【分析】（）本题考查知识点：一次函数与坐标轴交点坐标的求解，通过令求出A、B坐标； （）本题考查知识点：一次函数图象的绘制；绘制一次函数图象，通常采用“两点法”，因为一次函数的图象是一 条直线，所以只需要找到函数图象上的两个点(一般找与轴、轴的交点)，然后过这两个点作直线即可； （）本题考查知识点：通过一次函数图象求解不等式(时的取值范围)；表示函数图象在轴 上方的部分，观察画出的一次函数的图象，找到图象在轴上方时对应的的取值范围；从图象上看，函数图 象与轴交于，且随的增大而减 小，所以当时，； 【详解】（1）解：在中，令，则； 令，则， 解得：， ∴，； （2）)用两点法画出函数图象，如图： （3）∵由图象可知随增大而减小， 与轴交于， ∴时，， ∴当时，． 8．已知一次函数解答下列问题： (1)在所给直角坐标系中画出此函数的图像； (2)观察图像，当时，写出x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了画一次函数图像，根据函数的取值范围求自变量的范围，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）分别求得直线与坐标轴的交点，进而画出函数图像； （2）观察图像即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，；当时，， 解得， 则一次函数经过点，， 如图所示， （2）解：观察图像，当时，x的取值范围为． 易错点5 利用一次函数与几何图形综合中的多解问题 错误：一次函数与几何图形综合问题中易产生漏解． 注意：一次函数与几何图形的综合问题，尤其是有关动点问题，易产生多解问题，学生很多时候考虑不全，易产生漏解问题，此时，要想不出现漏解问题，就要学会对题目中的情况分类讨论。这样的问题主要是面积问题、长度问题、角度问题等等。 9．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，与直线交于点． (1)求，的值； (2)若点在轴上，且，求点的坐标； (3)若点在直线上，过点作直线轴，与直线交于点，已知，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)(4，0)或(-4，0) (3)或 【分析】本题考查了一次函数交点问题，三角形面积问题，坐标与图形； （1）将代入，，待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得，设点的坐标为，根据，列出方程，解方程，即可求解． （3）设点的坐标为，则点的坐标为．根据列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得，解得． 将代入，得，解得． （2）解：由题意，得点的坐标为，则． 设点的坐标为，则． 解得． 所以，点的坐标为或 （3）解：设点的坐标为，则点的坐标为． 则． 解得或． 所以，点的坐标为或． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)若点为轴上一动点，连接，当的面积是面积的2倍时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设，根据的面积是面积的2倍，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ，解得， ∴； （2）解：设， ∵，， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴， ∴或； ∴或． 易错点6 一次函数的实际应用 错误：一次函数的几种应用类型问题混淆，不会利用一次函数的性质辅助解决； 注意：一次函数的实际应用问题，首先要会根据题意列出函数关系式，综合运用函数的性质去分析自变量、因变量的范围，最后得出答案，我们还可以将答案代入进行验证结果的正确性。 11．如图1，公路上有A、B、C三地，小红、小芳两人分别从A、C两地同时出发，沿公路匀速相向而行．如图2，线段、分别表示小红、小芳两人距离地的距离（米）与跑步时间（分钟）的函数图象． (1)__________米； (2)记线段、的交点为，求点坐标，并解释该点的实际意义； (3)若小红到达地后，3分钟后小芳也到达地，求、两地间的距离． 【答案】(1)1200 (2)；小红、小芳跑了4分钟相遇，此时距离A点800米 (3)600米 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据函数图象获得信息，一元一次方程的应用． （1）根据函数图象直接得出答案即可； （2）根据图象求出两个人的速度，然后求出他们相遇的时间，再求出相遇时小红距离出发点的距离，即可求出点Q的坐标； （3）设A、B两地的距离为s米，利用时间关系可得，再解方程即可． 【详解】（1）解：根据函数图象可得：米； （2）解：根据函数图象可得：小红的速度为：（米/分）， 小芳的速度为：（米/分）， 相遇时小红用的时间为：（分钟）， 相遇时小红跑的路程为：（米） ∴点Q的坐标为，点Q表示小红、小芳跑了4分钟相遇，此时距离A点800米． （3）解：设A、B两地的距离为s米． 由题意得， 解得， 答：A、B两地的距离为600米． 12．某公司每月销售两种型号的教学设备共20台，每台的销售成本和售价如下表． 型号 成本/（万元/台） 3 5 售价/（万元/台） 4 8 (1)设该公司每月销售型号设备台，则每月销售型号设备______台，每月共获得利润_____万元．（用含的代数式表示，结果需化简） (2)若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，则该公司如何安排购进两种型号教学设备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润． 【答案】(1)； (2)购进型号设备10台，型号设备10台时获利最大，最大利润为40万元 【分析】此题综合考查一次函数、不等式的应用，注意题目蕴含的数量关系，正确列式解决问题． （1）销售A种品牌设备x台，B种品牌设备台，算出每台的利润乘对应的台数，再合并在一起即可求出总利润； （2）由“每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元”，列出不等式，再由（1）中的函数的性质得出答案即可． 【详解】（1）解：∵每月销售两种型号的教学设备共20台，该公司每月销售型号设备台， ∴每月销售型号设备为台， ∴每月共获得利润为， 即万元， 故答案为：；． （2）解：∵每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元， ∴， 解得， ∵， ∴利润随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，最大利润为（万元）， ∴， ∴此时，应购进型号设备10台，型号设备10台． 1．在平面直角坐标系中，点，，若直线与轴平行，则的值为(　　) A．0 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于轴的直线的坐标特征，关键是掌握“平行于轴的直线上的所有点横坐标相同，纵坐标不相等”这一核心知识点．根据直线与轴平行的性质，得出、两点的横坐标相等，据此列出关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：∵直线与轴平行，点，点， ∴，得； 故选：B． 2．下列函数关系式中①；②；③；④；⑤；是一次函数的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，熟知形如 （、为常数，且）的函数是一次函数是解题的关键． 根据一次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：①化简得，是一次函数，符合题意； ②不是一次函数，不符合题意； ③是一次函数，符合题意； ④不是一次函数，不符合题意； ⑤是一次函数，符合题意． 综上，一次函数有①③⑤，共3个． 故选：C． 3．图中两条直线与的交点坐标可以看作下列哪个方程组的解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系；根据题意联立直线与的解析式，再整理成一般形式即可． 【详解】解：由图可知直线的解析式为，直线的解析式为， 联立方程组得，即为， ∴直线与的交点坐标可以看作方程组的解； 故选A． 4．一次函数的图像经过点和，则k，b的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数解析式的确定方法，核心是使用待定系数法，通过已知点坐标代入函数式建立方程组求解参数．注意代入计算时符号的处理，避免因粗心导致错误． 【详解】∵点在上， ， . ∵点在上， ， 即. . 故选A 5．函数中自变量的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数自变量的范围，掌握相关知识点是解题的关键． 根据分式中分母不等于，二次根式的被开方数大于或等于，列式求解即可． 【详解】解：∵根号内， ∴； ∵分母， ∴； 故答案为：且． 6．已知，当时，y的值记为；当时，y的值记为；当时，y的值记为……，则的值为（    ） A．2025 B．2026 C．2035 D．2037 【答案】D 【分析】本题主要考查了求函数值，可得，据此求解即可． 【详解】解：， 当时，， 当时，， ∴，，，， ， ∴， 故选：D． 7．如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后小时追上甲车；④甲乙两车相距50千米时，或．其中正确的结论有（   ） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的应用，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可得出答案．掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型． 【详解】解：图象可知、两城市之间的距离为，甲行驶的时间为小时，而乙是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即比甲早到小时，故①②都正确； 设甲车离开城的距离与的关系式为， 把代入可求得， ， 设乙车离开城的距离与的关系式为， 把和代入可得，解得， ， 令可得：，解得， 即甲、乙两直线的交点横坐标为， 此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，故③正确； 当乙车没出发前，，解得； 当乙车出发后且没有追上甲，则，解得； 当乙追上甲后，令， 解得， 当乙到达目的地，甲自己行走时，， 解得， ∴综上所述，甲乙两车相距50千米时，或或或．故④错误； 综上可知正确的有①②③． 故选：C． 8．已知一次函数的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解一元一次不等式，掌握一次函数图象与系数的关系是解题关键． 将一次函数变形，再根据一次函数图象与y轴的交点和增减性，得到，，解不等式求解即可． 【详解】解：， 一次函数的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小， ，， ，， 故选：D． 9．如图1，在长方形中，动点P从点A出发，沿运动，至点D处停止．点P运动的路程为x，的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的x的值是（　　） A．4 B．4或12 C．4或16 D．5或12 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 根据图象求出和，再分析当点P在上运动时，当点P在上运动时的的高为4，据此求出x的值即可． 【详解】解：当点P运动到点B处时，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 当点P在上运动时，， ∴， ∴， 当点P在上运动时，， ∴， ∴， 综上，x的值为4或12． 故选：B． 10．在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值，始终有，m的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由于无论x取何值始终有，且和均为一次函数，故两直线必须平行，得到，再根据恒成立求m的取值范围即可． 【详解】解：∵，， 且无论x取何值始终有， ∴两直线平行，即， ∴， ∵恒成立， ∴，解得， 又∵， ∴且； 故选：D． 11．一次函数与为常数，，的图象如图所示，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据当时，，即可求得，从而得出 【详解】解：两个函数的图象交点的横坐标为4， ， ， ， ， 故答案为： 12．直线过点，与y轴正半轴交于点B，且，则其解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，坐标与图形，求一次函数解析式，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的知识． 由点B在y轴正半轴可得，再根据三角形面积公式求出b的值，然后将点A坐标代入直线解析式求出k的值． 【详解】解：直线与y轴正半轴交于点B， ，且， ∵点， ， 又， ， 解得， 将点代入，得，解得， ∴直线解析式为． 故答案为：． 13．在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与方程组的关系，解题的关键是理解方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标． 把交点坐标代入直线求解得到的值，再根据方程组的解即为交点坐标解答． 【详解】解：直线经过， ， 交点坐标为， 方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标， 关于，的方程组的解为． ∵关于x，y的方程组可变形为， ∴关于x，y的方程组的解为． 故答案为：． 14．已知：在同一个平面直角坐标系中，一次函数和一次函数，若的图象经过点． （1）k与b之间的数量关系是 （用含k的代数式表示b）． （2）当时，都成立，则k的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查求代入法求一次函数得参数关系式，确定不等式成立的条件； （1）将点代入一次函数解析式即可得到b与k的关系； （2）当时，都成立即．令，则需满足且，据此列不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ∴，即． （2）解：∵当时，都成立， ∴，即， 令，则需满足且即可， ，解得， ，解得， ∴且． 15．在平面直角坐标系中，已知直线和直线． （1）若，则直线和直线的交点坐标为 ； （2）若直线和直线的交点在轴的上方，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题是一次函数图象与系数的关系，两直线相交或平行问题，主要考查了两直线的交点，熟悉一次函数的性质是解本题的关键． （1）将代入两直线方程，联立方程求解交点坐标； （2）先求两直线交点坐标，再令交点的纵坐标大于0，解不等式即可得出答案． 【详解】解：（1）当时，直线，直线． 联立方程，， 解得， 将代入，得， 所以交点坐标为； （2）联立直线和直线的方程：， 解得， 将代入，得， 由于交点在x轴上方，故，即， 解得． 故答案为：． 16．水钟在中国又叫“刻漏”，小军制作了简易沙漏型水钟如图所示，高的矿泉水瓶子内部盛满水，假定水从瓶盖的小孔均匀漏出．用表示漏水时间，表示漏水瓶水面下降的高度，小军记录部分数据如表所示，则估计 分钟后漏水瓶会漏完水． （分钟） 1 1.5 2 2.5 4 6 8 10 【答案】5 【分析】本题考查了一次函数的应用、求一次函数的解析式，理解题意是解题的关键． 由表可知，与呈一次函数关系，利用待定系数法求出一次函数解析式为，再代入求出对应的值即可解答． 【详解】解：由表可知，与呈一次函数关系， 设一次函数解析式为， 代入和得，， 解得， ∴一次函数解析式为， 当时，，解得， ∴估计5分钟后漏水瓶会漏完水． 故答案为：5． 17．在运动会200米跑比赛中，运动员甲因为起步摔跤，导致晚出发了几秒钟，甲．乙两人的路程与时间的关系如图所示．下列说法①乙的速度为； ②甲在时追上了乙；③甲的速度为；④甲比乙晚出发了3s．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查从函数图象获取信息的能力，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． ①根据速度路程时间计算即可； ②由图象可知，当乙的路程为时被甲追上，根据乙的时间=乙的路程÷乙的速度计算即可； ③根据②，利用速度路程时间计算即可； ④根据时间路程速度求出甲追上乙时所用的时间，从而求出甲比乙晚出发的时间． 【详解】解：乙的速度为，故①正确； 甲追上乙所用时间为，故②正确； 甲的速度为，故③错误； 甲比乙晚出发了，故④正确． 综上，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 18．x的取值和代数式的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … … 9 7 5 3 1 … 根据表中信息，下列说法中： ①当时，；②关于x的方程的解为； ③；④使的x值在2和3之间． 正确的是 （填序号）． 【答案】①④ 【分析】本题主要考查了一次函数的图形和性质，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据表格数据，代入特定x值验证代数式的值，并比较大小． 【详解】解：由图表可得，当时，，即，故①正确； 当时，，方程的解为，而非，故②错误； 当时，，当时，，，故，③错误； 当时，，当时，，由于函数连续，的x值在2和3之间，故④正确． 故答案为：①④． 19．如图，已知直线经过点A，B，求此直线上： (1)横坐标为2的点的坐标． (2)纵坐标为3的点的坐标． (3)到y轴的距离等于2的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】（1）把代入求出即可得到直线解析式，计算横坐标为的点的纵坐标即可得到该点的坐标； （2）令，求出横坐标的值，即可得到该点的坐标； （3）到轴的距离等于的点横坐标为或，结合（1）（2）即可得到该点的坐标． 【详解】（1）解：（1）把代入， 得， ， ∴当时，， ∴横坐标为的点的坐标为． （2）解：由（1）得， 当时，， 解得， ∴纵坐标为的点的坐标为． （3）解：∵到轴的距离等于的点的横坐标为或， ∴由（1）（2）可知符合条件的点的坐标为和． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 20．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与y轴交于点C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于6，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)函数的解析式为，点C的坐标为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及解不等式组，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当时，求出即可求解； （2）根据题意得到，结合，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得， ， 解得， ∴函数的解析式为， 当时，， ∴点C的坐标为； （2）解：由题意得，， ∴且， ∵， ∴且， ∴． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移，得到线段（点的对应点为点P，点N的对应点为点Q），线段上任一点在平移后的对应点为，其中，． (1)若点P与点N恰好重合，则 ， ； (2)若，且平移后的面积最大，则此时 ， ． 【答案】(1)3，2 (2)0，5 【分析】本题主要考查了坐标的平移，解题的关键是数形结合，熟练掌握平移的规律． （1）根据点P与点N恰好重合，得到线段向右平移3个单位，向上平移2个单位到线段，从而得出，； （2）根据线段上任一点在平移后的对应点为，，，得出只能向右平移或向上平移，根据无论如何平移，线段的长度不变，得出当上的高最大时，面积最大，即可得点N距离最远时，面积最大，根据，结合图形，得出当向上平移5个单位，水平位置不动时，点N距离最远，面积最大，即可得出答案； 【详解】（1）解：∵点P与点N恰好重合，线段向右平移3个单位，向上平移2个单位到线段， ∵线段上任一点在平移后的对应点为， ∴，． 故答案为：3，2． （2）解：∵线段上任一点在平移后的对应点为，其中，， ∴只能向右平移或向上平移， ∵无论如何平移，线段的长度不变， ∴当上的高最大时，面积最大，即点N距离最远时，面积最大， ∵， ∴当向上平移5个单位，水平位置不动时，点N 距离最远，面积最大， ∴，． 故答案为：0，5． 22．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点轴的负半轴上有一点． (1)求点的坐标． (2)过点作轴的垂线（垂线位于点的左侧），分别交正比例函数的图象和一次函数的图象于点，连接． ①线段的长为___________（用含的代数式表示）． ②若，求的面积． 【答案】(1) (2)①；②28 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理： （1）联立函数解析式，进行求解即可； （2）①分别求出的坐标，再根据两点间的距离公式求出线段的长即可；②过点作轴于点，勾股定理求出的长，根据，求出的值，进而求出的长，利用面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：联立函数解析式，得方程组，解得， 点的坐标为． （2）解：①由题意，可知：的横坐标均为， 当时，， ∴； 故答案为：； ②如图，过点作轴于点． 由（1），可得． 在中，由勾股定理，得． ， ． ， ，解得， ∴点， ， ∴． 23．如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)直线为，直线； (2)3； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题，解题时要能利用数形结合是关键． （1）先将点分别代入直线和直线，求出的值，再代入即可； （2）先求出直线和直线与轴和轴的交点，在根据三角形面积公式求解即可； （3）依据题意得，不等式组的解集是直线在直线的下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围，从而结合函数图象即可得解． 【详解】（1）解：∵直线和直线相交于点， ∴将代入直线中，得，即， 将代入直线中，得，即， ∴直线为，直线． （2）解：连接， ∵直线与轴和轴相交于点和点， ∴当时，解得，即点，， 当时，得，解得，即点，， ∵直线与轴相交于点， ∴当时，得，解得，即点，， ∴， ∴． （3）解：法一： 依据题意得，不等式组的解集是直线在直线下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围， ∵， ∴结合函数图象可得，． 法二： ∵， ∴， 得， 由①得， ， ， ， 由②得， ， ， 综上，． 24．某校教学楼前的中心花坛种植着月季、冬青等观赏性绿植、是校园环境的核心景观．由于不同绿植需水量不同，且花坛地形呈阶梯式分布，灌溉小组启用甲、乙两套智能灌溉装置分区浇水，甲装置负责上层月季区，水流均匀稳定；乙装置针对下层冬青带，采用脉冲式浇水模式．为精准控制浇水量、避免积水或干旱，工作人员记录了两套装置工作时间与浇水量的对应数据，当甲、乙两台装置各自独立工作t分钟时，工作人员记录了甲装置的浇水量（单位：）和乙装置的浇水量（单位：），部分数据如表： 0 5 10 20 30 40 50 60 … 0 m 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 … 0 2.1 2.9 4.0 4.8 5.5 6.1 6.6 … (1)补全表格，的值为 （结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上信息，解决问题： 若甲装置比乙装置早启动了分钟，则甲装置启动 分钟时，两台装置的浇水量相同，约为 （结果保留小数点后一位）； 在的条件下，在同一时刻，乙装置最多可以比甲装置多浇水 （结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或，或； 【分析】本题考查了函数的图象与性质，描点法画函数图象，求一次函数解析式，已知函数值求自变量，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据当时，，当时，，则与是正比例函数，求出解析式即可； （2）根据画函数图象方法步骤即可； （3）由于甲装置比乙装置早启动了，当时，，考虑时间偏移，将图象整体向上平移个单位（），然后观察图象即可； 观察图象即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， 与是正比例函数， 设， ，解得， ， 当时，； 故答案为：； （2）解：画出函数图象如下： （3）解：甲装置比乙装置早启动了，当时，， 考虑时间偏移，将图象整体向上平移个单位（），如图所示， 根据图象可知，甲装置启动或时，两台装置的浇水量相同，约为或， 故答案为：或，或， 在的条件下，根据图象可知，在同一时刻，乙装置最多可以比甲装置多浇水． 故答案为：． 25．某游泳池的纵截面如图所示，深水区和浅水区的最大水深分别为和． 向池内持续注水，注水速度保持不变，在注水过程中，兴趣小组记录了部分注水时间t及其对应的深水区水深，列出下表： 注水时间/小时 0 1 2 3 4 5 6 16 24 深水区水深/dm 0.0 1.8 3.3 4.6 5.9 7.0 8.0 a 20.0 (1)游泳池被注满水共需_______小时； (2)在下图的平面直角坐标系中，绘制h与t之间的函数图象．由图象，当注水时间为小时之时，深水区水深约为 （保留到小数点后一位）； (3)当时，h与t的关系式为__________，表中a的值是_______； (4)为了维修清理水池，对满水的泳池进行放水，若放水时的速度与注水时的速度相同，则经过20小时深水区水深为_________． 【答案】(1)； (2)图见详解，； (3)，； (4)． 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握一次函数的图象与性质，正确计算． （1）由表格即可求解； （2）描点、连线，观察图象可知注水时间为小时之时深水区水深； （3）当时，设，求出，将代入求解即可； （4）由表格可知排空水也需要24小时，放水经过20小时相当于注水4小时，由图表即可求解． 【详解】（1）解：由表格得，游泳池被注满水共需小时； 故答案为：； （2）解：描点、连线，如图所示： 由图可知，当注水时间为小时之时，深水区水深约为； 故答案为：； （3）当时，设， 则，解得， ， 将代入得； 故答案为：，； （4）由题意可知注满水需要24小时，则排空水也需要24小时，放水经过20小时相当于注水4小时， 此时深水区水深为． 故答案为：． 26．如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，． 两点，正比例函数的图象与交于点． (1)求的值及的解析式； (2)一次函数的图象为，且不能围成三角形，直接写出的值． (3)有一动点在坐标轴上运动，当．求的面积． 【答案】(1)2； (2)或或 (3)或100或或 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点、直线围成图形的面积、待定系数法求一次函数解析式，（1）把点代入得，，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得或或直线过点C，再分别进行求解即可； （3）分别把、代入得，、，分类讨论：点P在y轴的正半轴时或点P在y轴的负半轴时或点P在x轴的正半轴时或点P在x轴的负半轴时，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入得，， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴直线恒过点， ∵不能围成三角形， ∴或或直线过点C， ∴当或时，或， 当直线过点C时，把代入得， 解得， ∴或或； （3）解：把代入得，， ∴， 把代入得，， 解得， ∴， ∴，，， 当点P在y轴的正半轴时，， ∴， 当点P在y轴的负半轴时，， ∴， 当点P在x轴的正半轴时，， ∴， 当点P在x轴的负半轴时，， ∴， 综上所述，或100或或． 27．在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)若一次函数的图象经过M点，则b_____0 (填“”或“”或“”)； (2)若一次函数的图象经过三个点中的某一点，求b的最大值； (3)①已知直线，则此直线一定过定点 ； ②当时，在图中用阴影表示直线扫过的区域，并判断在点M，N，P中直线不可能经过的点是 ． 【答案】(1) (2)8 (3)①；②图见解析；N 【分析】本题考查一次函数的图象和性质的应用．用到的知识点为：一次函数的比例系数大于0，常数项大于0，图象过第一、二、三象限，一次函数的比例系数越大，随的增大越明显． （1）把点M的坐标代入一次函数求出b的值，即可得出答案； （2）根据一次函数的比例系数大于0，图象过第一、三象限，求的最大值，那么把第二象限内的点代入即可； （3）①把代入得：，即可得出答案； ②求出当时直线与轴的交点，进而根据经过点和可得直线扫过的区域，即可求得直线不可能经过的点． 【详解】（1）解：把代入一次函数得： ， 解得：， ∵， ∴； （2）解：∵一次函数的比例系数为，， ∴一次函数一定经过第一、三象限， ∵求b的最大值， ∴图象还应该经过第二象限的点， ∴， ∴； 答：b的最大值为8； （3）解：①把代入得：， ∴直线一定过定点； ②当时，， 把代入得：， 解得：， ∴图象经过 ∵图象必过点，， ∴直线扫过的区域为过点和点的直线l与y轴之间的区域（不包括直线l和y轴）． ∴直线不可能经过的点是N． 故答案为：N． 28．在平面直角坐标系中，对于不共线的三点A、B、P，，若满足，则称点P为点A与点B的“等距点”． (1)已知点，，若点P是点A与点B的“等距点”，则点P的坐标为 ； (2)已知点，D为y轴正半轴上的一点，且，若点Q是点C与点D的“等距点”，求点Q的横坐标． (3)已知点、，点E为线段上一点，点F与点E关于y轴对称，若点是点N与点F的“等距点”，直接写出点P纵坐标y的取值范围． 【答案】(1)或； (2)或． (3)或． 【分析】（1）根据点在上方或下方，分两类讨论．根据题意，容易判断是等腰直角三角形，使用等腰直角三角形的性质计算点的坐标即可； （2）根据点在上方或下方，分两类讨论．根据题意，容易判断是等边三角形，使用等边三角形的性质，计算点Q的横坐标即可； （3）使用待定系数法求出的函数解析式，设点的坐标为，则点的坐标为．分点在上方和下方两类讨论，通过构造全等三角形，计算出点的坐标，结合点在线段上，求出点纵坐标的取值范围． 【详解】（1）解：连接， ①当点在下方时，如图，取的中点，连接， ∵点P是点A与点B的“等距点”， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵点是的中点， 又∵，， ∴点坐标为，，， ∴点P的坐标为； ②当点在上方时，如图，取的中点，连接， 同理可得，点坐标为，，， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． （2）解：∵ 点Q是点C与点D的“等距点”， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ①当点在下方时，如图， ∵， ∴点在轴上， ∵是等边三角形， 又∵， ∴， ∴点的横坐标为； ②当点在上方时，如图， 在直角中，，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴点横坐标为； 综上所述，点横坐标为或． （3）解； 设的函数解析式为， 将、代入，得， ， 解得， ∴的函数解析式为， 设点的坐标为， ∵点F与点E关于y轴对称， ∴点的坐标为， ①当点在上方时，如图，过点作轴的平行线，分别过点、作的垂线，垂足为、， ∵点是点N与点F的“等距点”， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，，，， 列方程组， 解得，， ∵点在线段上， ∴， ∴，即； ②当点在下方时，如图，过点作轴的平行线，分别过点、作的垂线，垂足为、， 同理①可得，， ∴，， ，，，， 列方程组， 解得， ∵， ∴，即； 综上所述，点P纵坐标y的取值范围为或． 【点睛】本题考查新定义，等腰直角三角形的判定和性质，一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识并运用分类讨论思想是解题关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 一次函数 知识点一、变量与常量 1.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为 .数值保持不变的量叫做 . 2.判断一个物体是常量还是变量的方法：看这个量的值在某一变化过程中是否发生改变，若在变化过程中这个量的值不变，则这个量就是常量，若这个量的值会发生改变，则这个量就是变量. 3.常量不等于是常数，它可以用一个数值不改变的字母来表示. 知识点二、函数的概念 1.函数：一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值， 都有 确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 2.确定函数与自变量的方法：在某个变化过程中处于主导地位的变量是自变量，随之变化且对应值唯一确定的变量是该变量的函数. 3.函数具有唯一对应性，判断两个变量是否具有函数关系，不能只看是否有关系式存在，还要看对应给定的x的每一个值，y是否有唯一值与之对应. 4.函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如果两个变量x与y，若y是x的函数，就不能说成x是y的函数. 知识点三、函数的三种常见表示方法 表示法 定义 优点 缺点 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与之对应的函数的值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式，用函数表达式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用表达式表示出来 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 能直观、形象地反映出函数关系变化的趋势 由自变量的值常常难以找到对应函数的准确值 函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 知识点四、函数的图像 在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标，对应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图像. 知识点五、函数的自变量与函数值 1.自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫 . 2.常见函数自变量取值范围的确定： （1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； （2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； （3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零； （5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 3.函数值：y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b就叫做当自变量为a时的函数值. （1）一个函数的函数值随着自变量值的变化而变化，因此在求函数值时，一定要明确是求自变量为多少时的函数值. （2）对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个. 知识点六、一次函数、正比例函数的定义 1.一次函数：一般地，形如y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）的函数叫做 ，其中x是自变量，y是x的函数. 2.正比例函数：当b＝0时，即y＝kx（k为常数且k≠0），y叫做x的 . 3.正比例函数是一次函数的特例，即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 4.一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 5.判断一次函数的方法：式子经过恒等变形后，若满足：（1）等号右边是关于x的整式；（2）自变量x的最高次数是1；（3）一次项系数k≠0这三个条件，则是一次函数，否则就不是一次函数. 知识点七、确定一次函数的表达式 1. ：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）中有两个待定系数k、b，需要两个两个独立条件确定两个关于k、b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x、y的值. 2.用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： （1）设：设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0）； （2）列：将已知条件代入表达式，列出关于k、b的方程（组）； （3）解：解方程（组），求出k、b的值； （4）代：将k、b的值代回所设的函数表达式. 知识点八、一次函数的图像 1.一次函数的图像：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图像是一条直线. 2.正比例函数的图像：正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是经过原点的一条直线. 3.一次函数的图像是一条直线，但不是所有的直线都是一次函数的图像，在利用一次函数的图像解决实际问题时，自变量的取值会受到限制，此时函数图像不再是一条直线，有可能是线段、射线，也有可能是间断的点. 4.一次函数的图像与表达式之间的关系：一次函数的图像与函数表达式是一一对应的，即函数图像上任意一点P（x，y）中的x，y的值满足函数表达式；反之，满足函数表达式的任意一对有序实数（x，y）所对应的点一定在函数图像上. 5.通过描点法画出对应一次函数的步骤： （1） ：恰当地选取自变量x的一部分值，并计算出函数y相应的值，同时都填入列出的表中； （2） ：以表中的有序数对（x，y）为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3） ：将所描的点用直线连接起来. 知识点九、一次函数的图像与性质 一次函数 y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0） k、b的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右上升 从左向右下降 性质 函数值y随自变量x增大而增大 函数值y随自变量x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 1.一次函数的图像经过的象限是由k和b的符号共同决定的，一次函数的增减性取决于k，与y轴的交点取决于b，反之，由一次函数的图像特征也可判断k、b的符号. 2.|k|的大小决定直线y＝kx＋b的倾斜程度，|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓. 知识点十、正比例函数与一次函数图像的关系 1.正比例函数y＝kx的图像是经过原点的一条直线，一次函数y＝kx＋b的图像可以看成是由正比例函数图像向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度得到的. 2.一次函数图像的平移规律 （1）上、下平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向上平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b＋n（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b－n（k≠0）.（上加下减） （2）左、右平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向左平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x+m）＋b（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向右平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x－m）＋b（k≠0）.（左加右减）. 3.同一个平面直角坐标系中两直线l1：y＝k1x＋b1（k1≠0），l2：y＝k2x＋b2（k2≠0）的位置关系如下： k1，k2，b1，b2的关系 l1与l2的关系 k1≠k2 l1与l2相交 k1≠k2，b1＝b2 l1与l2相交于y轴上的同一点（0，b1）或（0，b2） k1＝k2，b1≠b2 l1与l2平行 k1＝k2，b1＝b2 l1与l2重合 知识点十一、一次函数的应用 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数表达式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： （1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； （2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； （3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数表达式的常用方法 （1）根据基本的量之间存在的关系列函数表达式； （2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数表达式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 知识点十二、一次函数图像的应用 1.在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 2.分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 知识点十三、一次函数与二元一次方程的关系 1.一次函数y＝kx＋b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b＝0的解，以二元一次方程kx－y＋b＝0的解为坐标的点都在一次函数y＝kx＋b的图像上. 2.二元一次方程与一次函数的区别： （1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量； （2）二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图像法表示两个变量间的关系. 3.二元一次方程的解与一次函数图像上点的坐标之间的关系是一一对应的，以二元一次方程的解为坐标的点所组成的图形与其相应的一次函数的图像完全重合（一条直线）. 知识点十四、一次函数与二元一次方程组 1.如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解. 2.在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解. 3.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法. 4.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解，反之也成立. 5.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 6.方程组解的几何意义 （1）方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标； （2）根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况；（） （3）根据交点的个数，看出方程组的解的个数； （4）对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数. 知识点十五、一次函数与一元一次方程 1.一次函数y＝kx＋b（k≠0，b为常数），当函数y＝0时，就得到了一元一次方程kx＋b＝0，此时自变量x的值就是方程kx＋b＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 2.从图象上看，这相当于已知直线y＝kx＋b（k≠0，b为常数），确定它与x轴交点的横坐标的值. 3.对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 知识点十六、一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0或ax＋b≥0或ax＋b≤0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y＝ax＋b的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下： 1.不等式kx＋b＞0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴上方的部分所对应的x的取值范围； 2.不等式kx＋b＜0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴下方的部分所对应的x的取值范围； 3.不等式kx＋b＞a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a上方的部分所对应的x的取值范围； 4.不等式kx＋b＜a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a下方的部分所对应的x的取值范围； 5.不等式k1x＋b1＞k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）上方的部分所对应的x的取值范围； 6.不等式k1x＋b1＜k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）下方的部分所对应的x的取值范围. 易错点1 函数概念的理解不透 错误：认为“只要一个变量变化，另一个变量跟着变化，就是的函数”． 注意：判断变量是不是变量的函数，关键是看两个条件：（1）存在一个变化过程中；（2）这个变化过程中有两个变量，和，且对于的每一个确定的值y都有唯一的值与它对应。也就是说把一个的值带入表达式，只能求出一个的值.对于图象的判断就是用一条垂直于横轴的直线从左向右移动，这条直线只能与图象有一个交点。如果出现了两个交点，那就不是函数关系。 1．有以下关于x，y的等式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列图象中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 易错点2 利用一次函数性质比较函数值的大小 错误：要特别注意k的正负对函数值大小的影响． 注意：一次函数中，k的正负决定了随自变量的变化情况，比较同一个一次函数的两个不同对应的函数值，首先要看k正负，其次再看两个自变量的大小关系，对于k的正负不确定的情况，一定要分类讨论． 3．已知点，，都在直线上，则、、的值大小关系（   ） A． B． C． D． 4．已知点在第三象限，点、在一次函数（k，b为常数，且）的图象上，则 ．（填“”“”或“”） 易错点3 利用一次函数与一元一次方程的关系解一元一次方程 错误：认为“一次函数与横轴的交点坐标就是对应一元一次方程的解”． 注意：一次函数的图象与横轴的交点的坐标是,而对应方程的解是,两者意义和形式是不同的，只是交点的横坐标与对应方程的解在数值上是相等的。 5．根据一次函数的图象，写出下列问题的答案： （1）关于x的方程的解是 ； （2）关于x的方程的解是 ； 6．已知一次函数． (1)补充完整下列表格，并画出这个函数的图象． … 0 1 … … … (2)结合函数图象，方程的解为___________． 易错点4 利用一次函数与一元一次不等式的关系解一元一次不等式 错误：不能正确利用函数图象和数形结合正确求解一元一次不等式的解集． 注意：利用一次函数的图象求解一元一次不等式的解集，主要是借助一次函数的图象与横轴的交点坐标以及数形结合的思想，求解一元一次不等式的解集。大于0，就是对应函数图象位于横轴上方的部分，然后找出这部分图象对应的变量x的取值范围；反之，小于0，就是对应函数图象位于横轴下方的部分，然后找出这部分图象对应的变量x的取值范围。当然，有时候还会借助函数图象的平移。 7．已知一次函数与轴交于点，与轴交于点 (1)求点，点的坐标； (2)在给出的坐标系中画出函数的图象； (3)结合图象写出当为何值时，． 8．已知一次函数解答下列问题： (1)在所给直角坐标系中画出此函数的图像； (2)观察图像，当时，写出x的取值范围． 易错点5 利用一次函数与几何图形综合中的多解问题 错误：一次函数与几何图形综合问题中易产生漏解． 注意：一次函数与几何图形的综合问题，尤其是有关动点问题，易产生多解问题，学生很多时候考虑不全，易产生漏解问题，此时，要想不出现漏解问题，就要学会对题目中的情况分类讨论。这样的问题主要是面积问题、长度问题、角度问题等等。 9．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，与直线交于点． (1)求，的值； (2)若点在轴上，且，求点的坐标； (3)若点在直线上，过点作直线轴，与直线交于点，已知，求点的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)若点为轴上一动点，连接，当的面积是面积的2倍时，求点的坐标． 易错点6 一次函数的实际应用 错误：一次函数的几种应用类型问题混淆，不会利用一次函数的性质辅助解决； 注意：一次函数的实际应用问题，首先要会根据题意列出函数关系式，综合运用函数的性质去分析自变量、因变量的范围，最后得出答案，我们还可以将答案代入进行验证结果的正确性。 11．如图1，公路上有A、B、C三地，小红、小芳两人分别从A、C两地同时出发，沿公路匀速相向而行．如图2，线段、分别表示小红、小芳两人距离地的距离（米）与跑步时间（分钟）的函数图象． (1)__________米； (2)记线段、的交点为，求点坐标，并解释该点的实际意义； (3)若小红到达地后，3分钟后小芳也到达地，求、两地间的距离． 12．某公司每月销售两种型号的教学设备共20台，每台的销售成本和售价如下表． 型号 成本/（万元/台） 3 5 售价/（万元/台） 4 8 (1)设该公司每月销售型号设备台，则每月销售型号设备______台，每月共获得利润_____万元．（用含的代数式表示，结果需化简） (2)若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，则该公司如何安排购进两种型号教学设备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润． 1．在平面直角坐标系中，点，，若直线与轴平行，则的值为(　　) A．0 B．3 C．4 D．7 2．下列函数关系式中①；②；③；④；⑤；是一次函数的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．图中两条直线与的交点坐标可以看作下列哪个方程组的解（   ） A． B． C． D． 4．一次函数的图像经过点和，则k，b的值分别为（　　） A． B． C． D． 5．函数中自变量的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 6．已知，当时，y的值记为；当时，y的值记为；当时，y的值记为……，则的值为（    ） A．2025 B．2026 C．2035 D．2037 7．如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后小时追上甲车；④甲乙两车相距50千米时，或．其中正确的结论有（   ） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④ 8．已知一次函数的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 9．如图1，在长方形中，动点P从点A出发，沿运动，至点D处停止．点P运动的路程为x，的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的x的值是（　　） A．4 B．4或12 C．4或16 D．5或12 10．在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值，始终有，m的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 11．一次函数与为常数，，的图象如图所示，若，则 ． 12．直线过点，与y轴正半轴交于点B，且，则其解析式为 ． 13．在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为 ． 14．已知：在同一个平面直角坐标系中，一次函数和一次函数，若的图象经过点． （1）k与b之间的数量关系是 （用含k的代数式表示b）． （2）当时，都成立，则k的取值范围是 ． 15．在平面直角坐标系中，已知直线和直线． （1）若，则直线和直线的交点坐标为 ； （2）若直线和直线的交点在轴的上方，则实数的取值范围是 ． 16．水钟在中国又叫“刻漏”，小军制作了简易沙漏型水钟如图所示，高的矿泉水瓶子内部盛满水，假定水从瓶盖的小孔均匀漏出．用表示漏水时间，表示漏水瓶水面下降的高度，小军记录部分数据如表所示，则估计 分钟后漏水瓶会漏完水． （分钟） 1 1.5 2 2.5 4 6 8 10 17．在运动会200米跑比赛中，运动员甲因为起步摔跤，导致晚出发了几秒钟，甲．乙两人的路程与时间的关系如图所示．下列说法①乙的速度为； ②甲在时追上了乙；③甲的速度为；④甲比乙晚出发了3s．其中正确的是 ．（填序号） 18．x的取值和代数式的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … … 9 7 5 3 1 … 根据表中信息，下列说法中： ①当时，；②关于x的方程的解为； ③；④使的x值在2和3之间． 正确的是 （填序号）． 19．如图，已知直线经过点A，B，求此直线上： (1)横坐标为2的点的坐标． (2)纵坐标为3的点的坐标． (3)到y轴的距离等于2的点的坐标． 20．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与y轴交于点C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于6，直接写出n的取值范围． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移，得到线段（点的对应点为点P，点N的对应点为点Q），线段上任一点在平移后的对应点为，其中，． (1)若点P与点N恰好重合，则 ， ； (2)若，且平移后的面积最大，则此时 ， ． 22．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点轴的负半轴上有一点． (1)求点的坐标． (2)过点作轴的垂线（垂线位于点的左侧），分别交正比例函数的图象和一次函数的图象于点，连接． ①线段的长为___________（用含的代数式表示）． ②若，求的面积． 23．如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式组的解集． 24．某校教学楼前的中心花坛种植着月季、冬青等观赏性绿植、是校园环境的核心景观．由于不同绿植需水量不同，且花坛地形呈阶梯式分布，灌溉小组启用甲、乙两套智能灌溉装置分区浇水，甲装置负责上层月季区，水流均匀稳定；乙装置针对下层冬青带，采用脉冲式浇水模式．为精准控制浇水量、避免积水或干旱，工作人员记录了两套装置工作时间与浇水量的对应数据，当甲、乙两台装置各自独立工作t分钟时，工作人员记录了甲装置的浇水量（单位：）和乙装置的浇水量（单位：），部分数据如表： 0 5 10 20 30 40 50 60 … 0 m 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 … 0 2.1 2.9 4.0 4.8 5.5 6.1 6.6 … (1)补全表格，的值为 （结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上信息，解决问题： 若甲装置比乙装置早启动了分钟，则甲装置启动 分钟时，两台装置的浇水量相同，约为 （结果保留小数点后一位）； 在的条件下，在同一时刻，乙装置最多可以比甲装置多浇水 （结果保留小数点后一位）． 25．某游泳池的纵截面如图所示，深水区和浅水区的最大水深分别为和． 向池内持续注水，注水速度保持不变，在注水过程中，兴趣小组记录了部分注水时间t及其对应的深水区水深，列出下表： 注水时间/小时 0 1 2 3 4 5 6 16 24 深水区水深/dm 0.0 1.8 3.3 4.6 5.9 7.0 8.0 a 20.0 (1)游泳池被注满水共需_______小时； (2)在下图的平面直角坐标系中，绘制h与t之间的函数图象．由图象，当注水时间为小时之时，深水区水深约为 （保留到小数点后一位）； (3)当时，h与t的关系式为__________，表中a的值是_______； (4)为了维修清理水池，对满水的泳池进行放水，若放水时的速度与注水时的速度相同，则经过20小时深水区水深为_________． 26．如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，． 两点，正比例函数的图象与交于点． (1)求的值及的解析式； (2)一次函数的图象为，且不能围成三角形，直接写出的值． (3)有一动点在坐标轴上运动，当．求的面积． 27．在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)若一次函数的图象经过M点，则b_____0 (填“”或“”或“”)； (2)若一次函数的图象经过三个点中的某一点，求b的最大值； (3)①已知直线，则此直线一定过定点 ； ②当时，在图中用阴影表示直线扫过的区域，并判断在点M，N，P中直线不可能经过的点是 ． 28．在平面直角坐标系中，对于不共线的三点A、B、P，，若满足，则称点P为点A与点B的“等距点”． (1)已知点，，若点P是点A与点B的“等距点”，则点P的坐标为 ； (2)已知点，D为y轴正半轴上的一点，且，若点Q是点C与点D的“等距点”，求点Q的横坐标． (3)已知点、，点E为线段上一点，点F与点E关于y轴对称，若点是点N与点F的“等距点”，直接写出点P纵坐标y的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $