专题01 一次函数（期末复习知识清单）八年级数学下学期新教材北京版

专题01 一次函数 函数的相关概念 变量与常量 1.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 2.判断一个物体是常量还是变量的方法：看这个量的值在某一变化过程中是否发生改变，若在变化过程中这个量的值不变，则这个量就是常量，若这个量的值会发生改变，则这个量就是变量. 3.常量不等于是常数，它可以用一个数值不改变的字母来表示. 函数的概念 1.函数：一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 2.确定函数与自变量的方法：在某个变化过程中处于主导地位的变量是自变量，随之变化且对应值唯一确定的变量是该变量的函数. 3.函数具有唯一对应性，判断两个变量是否具有函数关系，不能只看是否有关系式存在，还要看对应给定的x的每一个值，y是否有唯一值与之对应. 4.函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如果两个变量x与y，若y是x的函数，就不能说成x是y的函数. 函数的三种常见表示方法 表示法 定义 优点 缺点 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与之对应的函数的值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式，用函数表达式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用表达式表示出来 图像法 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 能直观、形象地反映出函数关系变化的趋势 由自变量的值常常难以找到对应函数的准确值 函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 函数的图像 在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标，对应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图像. 函数的自变量与函数值 1.自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围. 2.常见函数自变量取值范围的确定： （1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； （2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； （3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零； （5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 3.函数值：y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b就叫做当自变量为a时的函数值. （1）一个函数的函数值随着自变量值的变化而变化，因此在求函数值时，一定要明确是求自变量为多少时的函数值. （2）对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个. 平面上确定物体位置的方法 在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据，常用的方法如下： 1.行列定位法：用行数和列数表示物体的位置. 将平面分成若干行和若干列，然后利用平面上点所在的行数和列数表示平面上点的位置. 2.经纬定位法：只要知道一点的纬度和经度，就可以确定这点在地球仪上的位置. 3.方位角和距离定位法：用方向和距离确定平面上点的位置时，先要选择参照物，再根据物体相对于参照物的方向和距离来表示. PS：用方位角和距离确定物体的位置时，一般方向在前，距离在后，且方向和距离都要有，两者缺一不可. 4.区域定位法：一般先将平面划分成横纵区域，然后用横纵区域的编号表示物体的位置，区域定位法一般用大写英文字母或阿拉伯数字来确定位置，其优点是简单、明了，缺点是不够精准. 5.方格定位法：一般地，在方格纸上，一点所在的位置由横向格数和纵向各数确定，可以记作（横向格数，纵向格数）或（水平距离，纵向距离）. 平面直角坐标系 1. 平面直角坐标系 平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O是原点，如图所示： 平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的，一般情况下，同一直角坐标系中，x轴和y轴的单位长度相同的，一些特殊情况下，受坐标轴所表示数量意义的影响，x轴和y轴的单位长度可以有所不同，但同一坐标轴上的单位长度必须相同. 2.点的坐标 （1）点的坐标：在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反过来，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示.这样的有序实数对叫做点的坐标.平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，横坐标写在纵坐标的前面.有序数对（a，b）叫做点P的坐标，记作:P(a，b)，如图所示： （2）确定点的坐标的方法： ①确定横坐标：从该点向x轴作垂线，垂足在x轴上的数字为该点的横坐标； ②确定纵坐标：从该点向y轴作垂线，垂足在y轴上的数字为该点的横坐标. ③用有序实数对将它表示出来，横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开，并用小括号将它们括起来. （3）有序实数对（2，1）和（1，2）数字一样，顺序不一样，表示点的位置也是不一样的. （4）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的. （5）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. 象限的划分与点的坐标特征 1.象限的划分：两条坐标轴将平面分成的4个区域称为象限，按逆时针顺序分别记为一、二、三、四象限，各象限内点的坐标、符号特征为第一象限（＋，＋），第二象限（－，＋），第三象限（－，－），第四象限（＋，－），如图所示： 2.点的坐标特征 点在坐标平面内的位置不同，点的坐标特征也就不同，具体如下： 点M（x，y）所处的位置 坐标特征 象限内的点 点M在第一象限 M（正，正） 点M在第二象限 M（负，正） 点M在第三象限 M（负，负） 点M在第四象限 M（正，负） 坐标轴上的点 点M在x轴上 在x轴正半轴上 M（正，0） 在x轴负半轴上 M（负，0） 点M在y轴上 在y轴正半轴上 M（0，正） 在y轴负半轴上 M（0，负） 原点 M（0，） 象限角平分线上的点 点M在第一、三象限角平分线上 M（x，y）且x＝y 点M在第二、四象限角平分线上 M（x，y）且x＝－y 两点连线与坐标轴平行 MN∥x轴/MN⊥y轴 M、N两点纵坐标相等 MN∥y轴/MN⊥x轴 M、N两点横坐标相等 注：原点既在x轴上，又在y轴上. 知识点三、图形变换与点的坐标变化 1.对称点的坐标特征 （1）关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点P（a，b）关于x轴对称的点是（a，－b）； （2）关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同，即点P（a，b）关于y轴对称的点是（－a，b）； （3）关于坐标原点对称：横、纵坐标互为相反数，即点P（a，b）关于原点对称的点是（－a，－b）. 2.图形的变化与坐标特征 对于图形上任意一点A（a，b） 图形变化 对应图形 点A变化后的对应坐标 变化后点的坐标特征 平移变换（k＞0） 向上平移k个单位长度 A1（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标加k 向上平移k个单位长度 A2（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标减k 向上平移k个单位长度 A3（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标加k 向上平移k个单位长度 A4（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标减k 对称变换 关于x轴对称 A5（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标与原坐标互为相反数 关于y轴对称 A6（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标与原坐标互为相反数 注：当图形的平移方向与坐标轴不平行时，可以把这种平移分解为沿两坐标轴平行方向的两次平移. 一次函数、正比例函数的概念 1.一次函数：一般地，形如y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 2.正比例函数：当b＝0时，即y＝kx（k为常数且k≠0），y叫做x的正比例函数. 3.正比例函数是一次函数的特例，即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 4.一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 5.判断一次函数的方法：式子经过恒等变形后，若满足：（1）等号右边是关于x的整式；（2）自变量x的最高次数是1；（3）一次项系数k≠0这三个条件，则是一次函数，否则就不是一次函数. 一次函数的解析式 1.待定系数法：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）中有两个待定系数k、b，需要两个两个独立条件确定两个关于k、b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x、y的值. 2.用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： （1）设：设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0）； （2）列：将已知条件代入表达式，列出关于k、b的方程（组）； （3）解：解方程（组），求出k、b的值； （4）代：将k、b的值代回所设的函数表达式. 一次函数的图像与性质 1.一次函数的图像：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图像是一条直线. 2.正比例函数的图像：正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是经过原点的一条直线. 3.一次函数的图像是一条直线，但不是所有的直线都是一次函数的图像，在利用一次函数的图像解决实际问题时，自变量的取值会受到限制，此时函数图像不再是一条直线，有可能是线段、射线，也有可能是间断的点. 4.一次函数的图像与表达式之间的关系：一次函数的图像与函数表达式是一一对应的，即函数图像上任意一点P（x，y）中的x，y的值满足函数表达式；反之，满足函数表达式的任意一对有序实数（x，y）所对应的点一定在函数图像上. 5.通过描点法画出对应一次函数的步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的一部分值，并计算出函数y相应的值，同时都填入列出的表中； （2）描点：以表中的有序数对（x，y）为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：将所描的点用直线连接起来. 一次函数的性质 一次函数 y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0） k、b的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右上升 从左向右下降 性质 函数值y随自变量x增大而增大 函数值y随自变量x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 1.一次函数的图像经过的象限是由k和b的符号共同决定的，一次函数的增减性取决于k，与y轴的交点取决于b，反之，由一次函数的图像特征也可判断k、b的符号. 2.|k|的大小决定直线y＝kx＋b的倾斜程度，|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓. 一次函数图象的平移问题 1.正比例函数y＝kx的图像是经过原点的一条直线，一次函数y＝kx＋b的图像可以看成是由正比例函数图像向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度得到的. 2.一次函数图像的平移规律 （1）上、下平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向上平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b＋n（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b－n（k≠0）.（上加下减） （2）左、右平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向左平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x+m）＋b（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向右平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x－m）＋b（k≠0）.（左加右减）. 一次函数的应用 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数表达式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： （1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； （2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； （3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数表达式的常用方法 （1）根据基本的量之间存在的关系列函数表达式； （2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数表达式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 一次函数与方程、不等式的关系 一次函数与二元一次方程的关系 1.一次函数y＝kx＋b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b＝0的解，以二元一次方程kx－y＋b＝0的解为坐标的点都在一次函数y＝kx＋b的图像上. 2.二元一次方程与一次函数的区别： （1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量； （2）二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图像法表示两个变量间的关系. 3.二元一次方程的解与一次函数图像上点的坐标之间的关系是一一对应的，以二元一次方程的解为坐标的点所组成的图形与其相应的一次函数的图像完全重合（一条直线）. 一次函数与二元一次方程组 1.如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解. 2.在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解. 3.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法. 4.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解，反之也成立. 5.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 6.方程组解的几何意义 （1）方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标； （2）根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况；（） （3）根据交点的个数，看出方程组的解的个数； （4）对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数. 一次函数与一元一次方程 1.一次函数y＝kx＋b（k≠0，b为常数），当函数y＝0时，就得到了一元一次方程kx＋b＝0，此时自变量x的值就是方程kx＋b＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 2.从图象上看，这相当于已知直线y＝kx＋b（k≠0，b为常数），确定它与x轴交点的横坐标的值. 3.对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0或ax＋b≥0或ax＋b≤0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y＝ax＋b的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下： 1.不等式kx＋b＞0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴上方的部分所对应的x的取值范围； 2.不等式kx＋b＜0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴下方的部分所对应的x的取值范围； 3.不等式kx＋b＞a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a上方的部分所对应的x的取值范围； 4.不等式kx＋b＜a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a下方的部分所对应的x的取值范围； 5.不等式k1x＋b1＞k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）上方的部分所对应的x的取值范围； 6.不等式k1x＋b1＜k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）下方的部分所对应的x的取值范围. 函数的相关概念 1．函数中自变量x的取值范围是（     ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【详解】解：有意义， ，且， 解得：且． 2．下列关于变量x，y的关系式：①；②；③，其中，y是x的函数的是_____（填写序号）． 【答案】①② 【分析】根据函数的定义逐个分析即可． 【详解】解：①，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数； ②，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数； ③，不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y不是x的函数； 综上所述，y是x的函数的是①②． 3．当和时，分别求出下列函数的函数值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) 当时，；当时， (2) 当时，；当时， (3) 当时，；当时， 【分析】直接将数值代入函数关系式，再计算即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； （2）解：当时，； 当时，； （3）解：当时，； 当时，． 函数的表示法 4．某车油箱中存油25升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩余油量等于总存油量减去流出的油量，列出函数关系式即可求解． 【详解】解：∵流速为升/分钟，流出时间为分钟， ∴分钟流出的油量为升， 又∵剩余油量总存油量流出油量，总存油量为升， ∴． 5．A，B两地相距，李明从A地出发骑自行车以的速度前往B地，用x（单位：）表示骑行时间，y（单位：）表示李明与B地的距离，写出y关于x的函数解析式：______． 【答案】 【分析】根据题意，李明与B地的距离等于A，B两地总距离减去李明骑行的路程，先得到y与x的等量关系，再确定自变量x的取值范围，即可得到函数解析式． 【详解】解：由题意可得，李明骑行的路程为， ∵A，B两地总路程为，为李明与B地的距离， ∴ ， 根据题意得：， 解得， ∴y关于x的函数解析式为． 6．2026年央视春晚由机器人与武术少年共同呈现的《武》节目，是我国科研能力的集中体现．如图，某餐厅的机器人小松和小江从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小松比小江先出发，且速度保持不变，小江出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小松行走的时间为，小松和小江行走的路程分别为与之间的函数图象如图所示．根据图象回答下列问题： (1)机器人小松比机器人小江先出发________； (2)机器人小江提速后的速度为________； (3)求的值． 【答案】(1)15 (2)30 (3) 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）先求出机器人小江的原速度，进而可知机器人小江提速后的速度； （3）先根据小江提速后的速度求出m的值，进而求出机器人小松的速度，进而可求n的值． 【详解】（1）解：由函数图象可知，机器人小松比机器人小江先出发； （2）解：机器人小江的原速度， ∵小江出发一段时间后将速度提高到原来的2倍， ∴机器人小江提速后的速度为； （3）解：∵， ∴； ∴机器人小松的速度为， ∴． 平面直角坐标系 7．在平面直角坐标系中，点在第二象限，它到轴、轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第二象限内点的坐标特征，以及点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，即可求解点P的坐标． 【详解】解：设点的坐标为， 点在第二象限， ∴，， 点到轴的距离为个单位长度，到轴的距离为个单位长度， ， ∴， 点的坐标为． 8．（1）在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为4，到轴的距离为5，则点的坐标为______． （2）在平面直角坐标系中，点，若轴，则线段的最小值为______． 【答案】 4 【分析】（1）根据点到坐标轴的距离定义得到横纵坐标的绝对值，结合第四象限内点的坐标符号特征，即可得到点的坐标； （2）根据平行于轴的直线上点的横坐标相等，得到点的横坐标，再根据垂线段最短确定的最短长度． 【详解】解：（1）设点的坐标为， 因为点到轴的距离为，到轴的距离为，可得，， 因为点在第四象限，第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负， 因此，，即点的坐标为； （2）因为轴，平行于轴的直线上所有点的横坐标相等， 已知， 可得点的横坐标，即点在直线上， 根据垂线段最短可知，当直线时，最短， 此时点的纵坐标与点的纵坐标相等，即， 此时， 因此的最小值为． 9．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点在第二象限，且点到轴、轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为 【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标为0列出方程，求出x的值，即可求解； （2）根据点在第二象限，且点到轴、轴的距离相等得到点M的横纵坐标互为相反数，据此列出方程，求出x的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， ， ， 点的坐标为； （2）解：∵点在第二象限，且点到轴、轴的距离相等， ∴． 解得． 当时，， 点的坐标为． 坐标的平移 10．在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移得到线段，其中点的对应点为点．若，，则的值为（   ）． A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中平移的性质，平移后所有点的横纵坐标变化量相同，根据平移规律得到和的表达式，即可计算的值． 【详解】∵线段平移得到线段，平移过程中所有点的横纵坐标变化量相同， 由的对应点为，可得横坐标变化量为：， 由的对应点为，可得纵坐标变化量为：， ∴对点横坐标，有，得， 对点纵坐标，有，得， ∴． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移后得到线段，点在轴上，连接，．若的面积为，则四边形的面积是______． 【答案】 【分析】先根据点，，得，，又的面积为，求出的长，再根据平移规律即可求解． 【详解】解：∵点，， ∴，， ∵的面积为， ∴，即， ∴， ∵将线段平移后得到线段，点在轴上， ∴，，， ∴四边形的面积是． 12．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，将三角形进行平移，平移后点的对应点分别是点，点，点，点，点，点． (1)若，点在射线上，求的取值范围； (2)若将点向下平移个单位长度得点，其中．直线交轴于点，求三角形的面积． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）若，则点，点，点，点，点，故射线是起点为 、沿水平方向向右延伸的射线，根据点在射线上，得出，． （2）根据平移的性质得出，，求出，，因此直线为水平线，交轴于，根据是平移后的点，得出 ，向下平移个单位得，即可求解； 【详解】（1）解：若，则点，点，点，点，点，点， 故射线是起点为 、沿水平方向向右延伸的射线，射线上所有点满足纵坐标为1，横坐标， 点，纵坐标符合要求，因此横坐标满足：， 解得：． （2）解：∵将三角形进行平移，平移后点的对应点分别是点，点，点，点，点，点， ∴， 由相等得，即， 代入相等得，即， ∴， 故，，则三角形的平移方式是向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， 因此直线为水平线，交轴于， ∵是平移后的点， ∴ ，向下平移个单位得， 以为底，长度为，高为到的纵向距离：， ∴． 一次函数的相关概念（含正比例函数） 13．下列函数中，一次函数是（     ） A． B． C． D．（，是常数） 【答案】C 【分析】本题根据一次函数的定义判断，一次函数的定义为形如（，是常数，）的函数是一次函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A、中不是整式，不符合一次函数定义，故此选项不符合题意； ∵ B、中自变量的次数为，不符合一次函数定义，故此选项不符合题意； C、符合（，）的形式，满足一次函数定义，故此选项符合题意； D、中只说明，是常数，未要求，不满足一次函数定义，故此选项不符合题意． 14．在中，若y是x的正比例函数，则k的值为______． 【答案】1 【分析】根据正比例函数的定义，列出关于的条件，求解即可得到的值． 【详解】中，是的正比例函数 ， 解方程，得， 由，得， 因此． 15．已知与成正比例，且时． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正比例的定义可设，即，然后把时，代入可计算出，从而可确定与之间的函数关系式； （2）把代入（1）的解析式中解方程得出对应的值． 【详解】（1）解：与成正比例， 设， ， 当时，， ， 解得：， 与之间的函数关系式为； （2）解：把代入得， 解得：． 一次函数的解析式 16．某拖拉机耕地时，油箱中剩余的油量与耕地时间之间的几组对应值如下表，已知Q是t的一次函数，则Q与t之间的函数关系式是（    ） 2 4 5 84 68 60 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用待定系数法求解函数表达式即可． 【详解】解：设， 将分别代入，得 解得 故Q与t之间的函数关系式是． 17．若直线经过点和，则关于的函数解析式为_________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，将两点坐标代入直线解析式，消去参数，整理即可得到关于的函数解析式． 【详解】解：直线经过点和． 将两点坐标代入直线解析式，得 整理第一个等式，移项得 整理第二个等式，移项得 联立得 移项，合并同类项得． 18．已知一次函数，且当时，． (1)求这个一次函数的解析式． (2)若点在这个函数的图象上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意直接代入求解即可； （2）将点代入（1）求出的表达式中即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为． （2）∵点在这个函数的图象上， ∴， 解得． 已知函数经过的象限求参数范围 19．若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据直线所过象限，判断参数的范围，再根据参数的范围，判断所求直线经过的象限，即可. 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴函数的图象过第一、二、四象限； 故只有A选项的图象符合题意. 20．已知关于x的一次函数的图象不经过第四象限，则k的取值范围是 ____________________ ． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义和一次函数图象不经过第四象限的性质，确定x的系数与常数项的取值范围，列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 该函数是关于的一次函数， ∴ ，即， ∵ 一次函数的图象不经过第四象限， ∴ 可得，且， 解不等式，得， 解不等式，得， 综上，的取值范围是． 21．已知一次函数． (1)m为何值时，图象过原点． (2)图象过一、二、四象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由一次函数过原点，可得，从而可得答案； （2）由一次函数的图象经过第一、二、四象限，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：依题意得 ， 解得 ， ∴当时，函数的图象经过原点； （2）解：∵图象经过第一、二、四象限， ∴， 解得：． 一次函数图象与坐标轴的交点问题 22．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数（b为常数）的图象分别交x轴、y轴于点、B，则的面积为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】先将代入，得出，进一步可得出点的坐标，进而可得出，的长，结合三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意，将代入得，， 解得，， ， 当时，，即， ． ， ， 的面积为． 23．一次函数的图象与轴的交点坐标是 _____________ ． 【答案】 【分析】根据轴上点的纵坐标为，将代入一次函数解析式，求解即可得到图象与轴的交点坐标． 【详解】解：根据轴上点的纵坐标特征，将代入得： 解得 一次函数的图象与轴的交点坐标为． 24．如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)若点的坐标是， ①是_____三角形（按角分类）． ②点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ③在轴是否存在点，使得是等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①直角；②或；③存在点，坐标为：． 【分析】（1）令可求出点A的坐标，令可求出点B的坐标； （2）①根据勾股定理及其逆定理判断即可； ②根据求出长即可求解； ③分三种情况，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，，， ∴． ∵当时，， ∴； （2）解：①∵，，点的坐标是， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴是直角三角形； ②∵， ∴， ∴， ∴或，即或； ③设D的坐标是 ∴，， 当时，，解得：； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：； 综上可知，点的坐标为． 画一次函数图象 25．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，都在函数上． (1)常量与的值分别为：_________，_________； (2)在网格中画出函数的图像． 【答案】(1)； (2)图见解析 【分析】（1）将点，代入一次函数解析式得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可； （2）一次函数图象是一条直线，因此在网格中建立平面直角坐标系，描出点，，作直线即可． 【详解】（1）解：将点，代入，得， 解得； （2）解：如图，直线即为所作函数的图象． 26．用长的细铁丝围成一个等腰三角形，腰长为，底边长为． (1)求y关于x的函数解析式；写出自变量的取值范围． (2)在如图的平面直角坐标系中画出该函数的图象． 【答案】(1)（） (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的周长即可建立函数解析式，再由三边关系以及边长为正建立不等式求解自变量的取值范围即可； （2）根据两点确定图象即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴， 由，得， 又， ∴， 故， ∴（）； （2）略 27．一个一次函数，当自变量时，函数值；当时，函数值． (1)求这个一次函数的解析式； (2)在所给平面直角坐标系中画出该函数的图象，并直接写出图象与两条坐标轴围成的三角形面积； (3)当时，自变量的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)图象见解析，4； (3) 【分析】（1）设一次函数的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）先画出函数图象，再根据一次函数与坐标轴的交点求面积即可； （3）分别求出和时自变量的值，再结合图象即可得出取值范围． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， ， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：由题意可知，函数图象过点和， 画函数图象如下： 令，则， 图象与两条坐标轴围成的三角形面积为； （3）解：当时，，解得：， 当时，，解得：， 结合图象可知，当时，自变量的取值范围是． 一次函数图象的平移 28．直线是由直线（，是常数）向下平移2个单位得到的，那么直线的表达式是________． 【答案】 【分析】根据“上加下减”的平移法则即可解决问题． 【详解】解：∵直线是由直线（，是常数）向下平移2个单位得到的， ∴直线向上平移2个单位得到直线． ∴直线：． 29．如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线与x轴正半轴交于点C．点D在线段上，连接． (1)求点A、B、C的坐标； (2)已知，求点D的坐标； (3)点P为x轴上一点，满足，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）对于，分别令，，可求出点A，B的坐标，对于，令，可求出点C的坐标，即可； （2）根据题意可得，，设点，则，可得，再由，即可求解； （3）分两种情况，结合等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，，当时，， ∴点， 对于， 当时，， ∴点； （2）解：由（1）得：，， ∴，，， ∴，， 设点，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点D的坐标为； （3）解：由（1）得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当点P在点C的左侧时，如图，过点A作交的延长线于点G，过点A作轴，分别过点B，G作，垂足分别为点M，N，则，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点G的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴此时点P的坐标为； 当点P在点C的右侧时，如图，在线段上取点H，使，过点C作交y轴于点K，则点，    ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 30．【阅读理解】 对于两个函数，当自变量任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函数”．例如：与互为“关联函数”． 【初步探究】 (1)如图，函数经过点，求该函数的“关联函数”表达式； 【深入思考】 (2)在（1）条件下，函数图象的一段向上平移个单位长度后，与它的“关联函数”的图象有交点．求的最小值． 【答案】(1) (2)的最小值为． 【分析】（1）利用待定系数法求得原函数为，根据“关联函数”的定义：两个函数的函数值之和为2，列式求解即可； （2）根据题意两个函数有交点，即方程在范围内有解，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵函数经过点， ∴将点代入函数：，即， ∴原函数为， 根据“关联函数”的定义：两个函数的函数值之和为2，设关联函数为， 则：， ∴， ∴函数的“关联函数”表达式为； （2）解：函数在上向上平移m个单位后， 解析式为：， 它的“关联函数”为， ∵两个函数有交点，即方程在范围内有解， 解方程：，得， ∴， 解不等式：，得， 解不等式：，得， ∴的取值范围是，则的最小值为． 一次函数的增减性 31．已知，两点都在一次函数的图象上，则a，b的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据一次函数的解析式判断函数的增减性，再结合两点纵坐标的大小，即可比较横坐标与的大小． 【详解】∵一次函数解析式为， ∵， ∴随的增大而减小， ∵，两点在一次函数图象上，且， ∴． 32．已知一次函数（，为常数，且）的图象经过点，；如果，那么的值可以是________（请写出一个符合条件的值）． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据已知两点的横坐标大小与对应函数值的大小关系，判断函数的增减性，进而得到的取值范围，任取一个符合范围的值即可． 【详解】一次函数的图象经过点，，，， 在一次函数中，随的增大而增大， ， 的值可以是（答案不唯一）． 33．已知函数，其中是自变量． (1)若此函数的图象平行于直线，求的值； (2)若此函数值随值的增大而增大，则的取值范围是______；该函数不经过第_______象限． 【答案】(1) (2)；四 【分析】（1）根据两直线平行，值相等，列出方程进行求解即可； （2）根据一次函数的增减性，求出的范围，根据的符号，判断函数经过的象限即可. 【详解】（1）解：由题意，， 解得； （2）解：∵此函数值随值的增大而增大， ∴， ∴； ∵，， ∴函数图象经过一、二、三象限，不经过第四象限. 一次函数与方程 34．如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点． (1)求b，m的值； (2)结合图象可知关于x、y的方程组的解是______； (3)直线：与直线：与x轴组成的图形面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）把点代入，求出b的值，即可求出，把点代入即可求出m的值． （2）根据两直线的交点即可得出方程组的解． （3）分别求出点A，B的坐标，进而根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入， 得， ∴， 把点代入，得， ∴； （2）解：∵直线：与直线：相交于点， ∴关于x、y的方程组的解是． （3）解：在直线：中，令，则，解得， ∴， 直线：中，令，则，解得， ∴， ∴， ∴． 35．如图，已知一次函数与的图象交于点，且点的横坐标为． (1)求与的关系式． (2)当时，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入两个函数建立等量关系即可求解； （2）求出一次函数与轴的交点坐标，结合图像写出的解，再建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：时，，， ，即； （2）解：，解得， 即一次函数与轴相交于， 结合图像的解为， ，解得， ，解得． 36．在平面直角坐标系中直线经过点，与直线相交于点。 (1)求的值和函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，请直接写出的取值范围：______． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】（1）先将点代入求出的值，再将点和交点坐标代入，列方程组求出、的值，得到函数解析式． （2）根据时的值恒大于的值，结合两函数在处的交点和函数增减性，确定的取值范围． 【详解】（1）解：点在直线上， ， ． 直线与的交点为． 直线经过点和， ， 解得，， 函数解析式为． （2）解：当时，， ∴函数过定点， 当时，恒成立， 直线在时的图象需在上方， ． 故的取值范围是． 一次函数与不等式 37．如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． (2)若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ． (3)在（2）的条件下，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用一次函数上的点，其纵坐标为值，横坐标为值得到答案． （2）根据一次函数图象的所求图象在某点的左侧，则小于该点的横坐标，在某点的右侧，则大于该点的横坐标得到答案． （3）根据点的左边，得出对应线段的长度，用割补法求出答案． 【详解】（1）解：∵一次函数过点， ∴当时，； ∵一次函数过点， ∴当时，， 根据图象可知，当时，一次函数的图象在点的右侧， ∴． （2）解：由图象可知当时，一次函数在点的右侧， ∴， ∵点时一次函数和的交点， ∴当时，两个一次函数的函数值相等， 当时，图象在点的左侧， ∴， 综上所述，． （3）解：∵一次函数过点和点， ∴将两点代入到一次函数中， ， 解得，一次函数表达式为：， 令，解得，即点， 如图所示，过点作垂直于轴交轴于点， 由题意知：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的综合问题，解题关键是能将点的坐标与一次函数的关系理清楚． 38．已知函数与的图象如图所示，观察图象并解决下列问题： (1)当时，则______（的取值范围）． (2)当时，则______（的取值范围）． (3)当，求的取值范围； (4)当，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）当时，得到，再根据函数的性质即可得出答案； （2）当时，解得，再结合函数的图象即可得出答案； （3）求出，时的函数值，再根据函数的性质解答即可； （4）求出，时对应自变量的值，再根据函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：对于，令，即，解得， 中，随的增大而增大， 当时，． （2）解：联立方程组， ， ， 由图可知当时，， 当时，． （3）解：已知，，随的增大而增大， 当时，，当时，， 当时，． （4）解：由， 当时，，得， 当时，，得， 随的增大而减小， 当时，． 39．直线与相交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)在轴上找一点，使得最小，并求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将点代入，即可求出的值，将点代入，即可求出的值； （2）由直线的图象在直线图象上时，的取值范围即为不等式的解集，结合图象及交点坐标即可解答； （3）先求出点的坐标，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，可得，进而得到，此时，有最小值，最小值为的长，求出直线的解析式，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，则，解得； 将点代入，则，解得； （2）解：根据图象，得当时，直线的图象在直线图象上方， 则不等式的解集为； （3）解：由（1）知， 将代入，则， ∴， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则， ∴， ∴， 此时，有最小值，最小值为的长， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴． 一次函数的实际应用——分配方案 40．三八妇女节（国际劳动妇女节）是为庆祝妇女在经济、政治和社会等领域作出的重要贡献和取得的巨大成就而设立的节日，体现对女性权益的重视，倡导尊重女性、关爱女性的社会风尚．某单位准备购买护肤套装和生活用品套装共套分发给员工过节．其中护肤套装比生活用品套装每套贵元． (1)若用元购买护肤套装与用元购买生活用品套装的数量相同，求护肤套装和生活用品套装每套的价格； (2)在（1）的条件下，若购买生活用品套装数量不超过护肤套装数量的倍，如何购买才能使总费用最少？ 【答案】(1)生活用品套装每套的价格为元，护肤套装每套的价格为元 (2)购买护肤套装为套，购买生活用品套装为套时，总费用最少 【分析】（1）本题考查分式方程的实际应用，根据“用元购买护肤套装与用元购买生活用品套装的数量相同”这一等量关系列方程即可． （2）本题考查不等式的实际应用，“购买生活用品套装数量不超过护肤套装数量的倍”可列不等式生活用品套装数量小于等于护肤套装数量的倍，并求出护肤品数量的范围，然后列式计算总费用，根据一次函数的特点列出费用最少的方案． 【详解】（1）解：设生活用品套装每套的价格为元，则护肤套装每套的价格为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：生活用品套装每套的价格为元，护肤套装每套的价格元； （2）解：设购买护肤套装为套，则购买生活用品套装为套， 由题意得：， 解得：， 设总费用为元， 则 ， ， 随的增大而增大， 当时，最小， 此时，， 答：购买护肤套装为套，购买生活用品套装为套时，总费用最少． 41．某地新建污水处理厂，现有A，B两种型号的污水处理设备可供选择，已知A型设备比B 型设备每日可多处理污水量，5台A型设备的处理能力与6台B型设备的处理能力相同． (1)求A，B两种型号设备的日处理污水量； (2)经测算，污水处理厂每日至少需处理污水，决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台（可单选一种型号），已知A型设备40万元/台，B型设备30万元/台，若要节约经费，则该厂应如何购买？ 【答案】(1)A型设备的日处理污水量是，B型设备的日处理污水量是 (2)应购买A型设备8台，B型设备2台 【分析】（1）设A型设备的日处理污水量是，B型设备的日处理污水量是， 根据题意，列出方程，即可求解； （2）设购买A型设备a台，则购买B型设备台，根据题意，列出不等式组，可求出a的取值范围，设总费用为w万元，根据题意，列出函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：设A型设备的日处理污水量是，B型设备的日处理污水量是， 根据题意，得， 解得：， 答：A型设备的日处理污水量是，B型设备的日处理污水量是； （2）解：设购买A型设备a台，则购买B型设备台， 根据题意，得：， 解得：， ∵a为整数， ∴a的最小值为8， 设总费用为w万元，根据题意得： ， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，w取得最小值， 即要节约经费，应购买A型设备8台，B型设备2台． 42．随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买4个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需4400元；购买3个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需4800元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共40个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 【答案】(1)A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元 (2)购买A型号的帐篷10个，B型号的帐篷30个时，购买成本最少，该方案所需费用26000元 【分析】（1）设A型号的帐篷的单价为x元，B型号的帐篷的单价为y元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A型号的帐篷a个，则B型号的帐篷个，根据题意列出不等式求出的取值范围，设购买A、B两种型号的帐篷的总价为w元，则，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A型号的帐篷的单价为x元，B型号的帐篷的单价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元； （2）解：设购买A型号的帐篷a个，则B型号的帐篷个， 根据题意得：， 解得：， 设购买A、B两种型号的帐篷的总价为w元， 则， ， 随a的增大而增大， 当时，w最小，此时， 的最小值为， 答：购买A型号的帐篷10个，B型号的帐篷30个时，购买成本最少，该方案所需费用26000元． 一次函数的实际应用——最大利润 43．根据如表所示素材，探索完成任务． 如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润 素材一 某书店为了迎接“读书节”决定购进，两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元． 素材二 已知种图书的标价是种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少10本． 素材三 该书店准备用不超过16800元购进，两种图书共1000本，且种图书不少于700本，经市场调查后调整销售方案为：种图书按照标价的8折销售，种图书按标价销售． 问题解决 任务： (1)探求图书的标价：请运用适当方法，求出，两种图书的标价． (2)确定如何获得最大利润：书店应怎样进货才能获得最大利润？ 【答案】(1) A种图书标价27元，B种图书标价18元 (2) 购进A种图书700本，B种图书300本时可获得最大利润 【分析】（1）设种图书的标价是元，则种图书的标价是元，根据“顾客用540元按标价购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少10本”列出分式方程，解方程即可得出答案； （2）设购进种图书本，则购进种图书本，根据题意列出不等式组求出的取值范围，求出、两种图书的售价，设获得的利润是元，得出关于的关系式，再利用一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设种图书的标价是元，则种图书的标价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， （元）， ∴种图书的标价是元，则种图书的标价是元； （2）解：设购进种图书本，则购进种图书本， 由题意得：， 解得：， 由题意可得：种图书的售价是（元），种图书的售价是元， 设获得的利润是元， 则， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，的值最大， （本）， ∴购进种图书本，则购进种图书本，所获得的利润最大． 44．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲，乙两种奖品． 素材一 购买甲种奖品5件和乙种奖品2件需花费260元； 素材二 购买甲种奖品3件和乙种奖品6件需花费300元； 素材三 学校计划购买甲，乙两种奖品共100件（两种奖品均需购买），其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍． 请完成下列任务： (1)任务一：甲，乙两种奖品的单价各是多少元？ (2)任务二：给出最节省费用的购买方案，并求出最少总费用． 【答案】(1)甲种奖品的单价为40元/件，乙种奖品的单价为30元/件． (2)购买甲种奖品34件，乙种奖品66件时，购买费用最少，最少费用为3340元． 【分析】（1）设甲种奖品的单价为元/件，乙种奖品的单价为元/件．根据题意找准等量关系，列出关于的二元一次方程组解方程组即可； （2）设购买甲种奖品件，总费用为元，则购买乙种奖品件，根据题意求得m的取值范围，再根据总费用=甲种奖品的总费用+乙种奖品的总费用，求得，由为正整数，取得当取最小值34时，取得最小值，代入计算即可． 【详解】（1）解：设甲种奖品的单价为元/件，乙种奖品的单价为元/件． 根据题意得，解得， 答：甲种奖品的单价为40元/件，乙种奖品的单价为30元/件； （2）解：设购买甲种奖品件，总费用为元，则购买乙种奖品件， 为正整数，根据题意得， 解得， 根据题意得， ， 随的增大而增大． 为正整数， 当取最小值34时，取得最小值，此时，(元)， 答：购买甲种奖品34件，乙种奖品66件时，购买费用最少，最少总费用为3340元． 45．今年中考遇端午，愿你一举高“粽”．吃粽子是端午节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种粽子是肉粽和蛋黄粽．某超市购进粽子的相关信息如下：购进45个肉粽和50个蛋黄粽，总费用为240元；购进50个肉粽和45个蛋黄粽，总费用为235元． (1)求肉粽和蛋黄粽每个的进价； (2)超市将肉粽的售价定为4元/个，蛋黄粽的售价定为5.5元/个．若超市计划购进这两种粽子共500个． ①设购进肉粽个，全部售完后的总利润为元，求关于的函数表达式； ②根据市场需求，超市计划在不超过1050元总费用的情况下，怎样进货才能使售完两种粽子后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)肉粽每个2元，则蛋黄粽每个3元 (2)① ②购进肉粽450个，则购进蛋黄粽50个，最大利润为1025元 【分析】（1）设肉粽每个x元，则蛋黄粽每个y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）①设购进肉粽x个，则购进蛋黄粽个，总利润为y，然后根据题意列出函数关系式即可；②先根据题意列不等式求得x的取值范围，再根据一次函数的性质求最大利润即可． 【详解】（1）解：设肉粽每个x元，则蛋黄粽每个y元， 根据题意得，，解得． 答：肉粽每个2元，则蛋黄粽每个3元． （2）解：①设购进肉粽x个，则购进蛋黄粽个，总利润为y， 得，即； ②根据题意得，，解得：， 由题意得：， ∵，y随x的增大而减小， ∴当时，利润最大，最大值为. 答：购进肉粽450个，则购进蛋黄粽50个，最大利润为1025元． 一次函数的实际应用——行程问题 46．两位同学去某景区游览，甲乘观光车从景点出发，沿景区公路（如图）去景点，车速为，同时，乙骑电动车从景点出发，比甲迟到达景点，设甲行驶的时间为，甲和乙离景点的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示． (1)求乙骑车离景点的路程与之间的函数关系式； (2)当甲追上乙时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据甲的路程和速度求出甲到达景点的时间，再结合乙比甲迟到达，求出乙到达景点的时间；设乙的函数关系式为，将点和乙到达点的坐标代入，用待定系数法求解． （2）先写出甲的路程与的函数关系式，再根据甲追上乙时，列方程求解的值． 【详解】（1）解：甲的速度为，到的路程为． 甲到达景点的时间： ∵乙比甲迟到达景点． ∴乙到达景点的时间： 设． 函数图象过点和． 当时：， 当时：， 将代入得：， 解得， ∴； （2）解：∵甲从景点出发，速度为． ∴， 当甲追上乙时，． ∴， 解得． 47．已知小明家、文具店、菜市场、学校依次在同一条直线上，文具店离小明家，菜市场离小明家．小明的妈妈从家出发，先匀速步行到文具店，买文具停留后匀速步行到菜市场，买菜停留后匀速骑行返回家中．图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明的妈妈离家的距离与时间之间的对应关系． (1)①填表： 小明的妈妈离开家的时间/min 5 10 30 35 小明的妈妈离家的距离/km 0.8 ②填空：小明的妈妈从菜市场返回家的骑行速度为_______； ③当时，请直接写出小明的妈妈离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当小明的妈妈从家出发时，小明也从学校出发骑车回家，已知学校离小明家，小明的骑行速度和小明妈妈从菜市场骑行回家的速度相同．在小明从学校到家的骑行过程中，对于同一个的值，小明的妈妈离家的距离为，小明离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①填表： 小明的妈妈离开家的时间/ 5 10 30 35 小明的妈妈离家的距离/ 0.5 0.8 2 1 ②0.2；③ (2) 【分析】（1）①根据图象及路程、速度、时间三者之间的数量关系作答即可； ②结合①可以得解； ③依据题意，当时的函数解析式分三段计算可以得解； （2）依据题意，先求出小明离家距离，再结合（1）③小明的妈妈离家的距离y关于时间x的函数解析式，令，最后分类讨论计算可以得解． 【详解】（1）解：①：步行速度； 当时，； ：从文具店到菜市场的速度为：； 当时，处于菜市场停留阶段，； ：返程阶段的速度为：， ∴当时，． ②由①得，小明的妈妈从菜市场返回家的骑行速度为； ③由题意，当时的函数解析式分三段： 当时，； 当时，停留文具店，； 当时，设，代入， ∴， ∴， ∴． 综上：； （2）解：由题意，妈妈去文具店步行速度：， 妈妈从菜市场返程速度：， ∴小明骑车速度妈妈返程速度， ∴小明从学校到家总用时：， ∴小明离家距离：． 结合（1）③小明的妈妈离家的距离y关于时间x的函数解析式为， 由题意，令， ①当时，， 解得，不符合； ②当时，， 解，不符合； ③当时，， 解得， ∴． 综上，当时，． 48．4月22日，上万名大连球迷远征沈阳客场，为家乡球队助威，最终大连英博客场击败辽宁铁人，斩获中超五连胜．球迷甲、乙自驾从大连前往沈阳观赛，其中甲先出发并匀速前进，在熊岳服务区休息了一段时间后保持原来的速度前往目的地，乙比甲晚出发1小时，以的速度匀速前进，最终乙先到达沈阳．如图是甲、乙距离大连的距离（单位：）与车辆行驶时间（单位：h）的函数的完整图象． (1)请直接写出甲车的速度为_____，图中_____，_____； (2)求乙车的行进过程中的与的函数关系式，并写出自变量取值范围； (3)两车相遇时，距离沈阳的距离是多少？ 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据函数图象分析即可； （2）根据“乙比甲晚出发1小时，以的速度匀速前进”即可写出函数表达式； （3）联立甲乙的函数表达式求解即可． 【详解】（1）解：甲的速度为，； （2）解：由题意得， （3）解：由题意得，当时，， ∴， 解得 此时距离沈阳 从函数图象获取信息 49．某天，甲骑自行车，乙骑电动车相约从北仑图书馆门口出发，沿同一条路线匀速行驶到相距的九峰山游玩，图表示甲、乙两人离终点的距离与甲行驶的时间之间的函数图象．图表示甲乙两人之间的路程差关于的函数图象． (1)计算甲和乙的速度（单位：千米/分）． (2)________，________，________ (3)为了保证及时联络，出发前甲乙都携带了对讲机，该对讲机可以直连通话的有效距离是千米，超过千米就会信号中断．请通过计算，甲在行驶过程中，是否一直可以与乙保持直连通话，若不能，请计算甲乙对讲机出现信号中断持续的时间． 【答案】(1)甲的速度：（千米/分），乙的速度：（千米/分） (2)；；； (3)不能， 设甲出发分钟时，两人相距超过， 当乙行驶中：，解得：， 当乙行驶完：，解得：， 综上， 所以甲乙对讲机出现信号中断持续的时间为：． 【分析】（1）根据图运用速度路程时间即可求解； （2）结合图、图即可发现表示乙的出发时间，表示在分钟的时候，甲乙之间的路程差，表示甲乙两人相遇的时间，根据路程速度时间即可求解； （3）设甲出发分钟时，两人相距超过，根据题意设列出当乙行驶中甲乙之间的路程差超过千米的不等方程和当乙行驶完时甲乙之间的路程差超过千米的不等方程，即可求解． 【详解】（1）甲的速度：（千米/分），乙的速度：（千米/分） （2）表示乙的出发时间，由图可以看出，乙在的时候开始出发，所以； 表示在分钟的时候，甲乙之间的路程差，此时乙未出发，甲已出发分钟，所以； 表示甲乙两人相遇的时间，即，解得：； （3）略． 50．综合应用 (1)近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和3个地下充电桩需要万元． ①该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ ②若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． (2)现有新能源甲、乙两辆新能源汽车，甲新能源车从A地去B地，乙新能源车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙新能源车离A点的距离分别为、（）与行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示． ①A、B两地之间的路程为 ； ②经 小时，甲、乙两新能源车相遇，此时距B地的距离为 ； ③甲出发 小时后，甲、乙两新能源车相距． 【答案】(1)①一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； ②共有3种建造方案，方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩；方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩 (2)①240；②160；③或 【分析】（1）设新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）设新建个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个，由题意列出关于的一元一次不等式组并求解，结合，为整数即可确定建造方案，并分别计算各建造方案所需费用，比较即可获得答案； （3）①根据图象即可解答； ②根据“速度路程时间”，即可计算甲车和乙车的速度，结合相遇时两人路程和为列方程求解即可； ③设甲出发后甲、乙两人相距，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：①设该小区新建一个地上充电桩需x万元，一个地下充电桩需y万元， 根据题意列二元一次方程组得：， 解得， 答：该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； ②设新建m个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个， 根据题意列一元一次不等式组得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为18，19，20， ∴共有3种建造方案， 方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩 （2）解：①根据图象可知，甲从A到B总距离为， 因此A、B两地之间的路程为； ②甲速度：，乙速度：， 设t小时相遇，两人路程和为总路程：， 解得：， 相遇时甲走了，距B地距离为， 故经2小时，甲、乙两新能源车相遇，此时距B地的距离为； ③设甲出发后甲、乙两人相距． 分三种情况： 相遇前，， 解得：； 相遇后且乙到达终点前，， 解得：，，不合题意，舍去； 乙到达终点后，， 解得：； 综上可知，甲出发或后甲、乙两人相距． 51．周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发后到达中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明坐公交车的同时，爸爸驾车沿相同的路线前往滨海公园，结果比小明早到．如图是他们离家的路程（）与小明离家的时间（）的关系图．请根据图中信息回答下列问题： (1)小明家到滨海公园的路程为___，小明在中心书城逗留的时间为___． (2)小明两次乘坐公交车，其中较快的速度为___；小明爸爸驾车的速度为___． (3)小明从家出发多长时间时和爸爸处在同一位置，此地距离滨海公园还有多远？ (4)小明从家出发多长时间和爸爸的距离是？ 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)小明从家出发小时后和爸爸的距离是 【分析】（1）直接根据图象得出答案即可； （2）根据相应的路程除以时间，即可得出速度； （3）设小明从家出发x小时和爸爸处在同一位置，列方程求出x的值，进而可求出此地距离滨海公园距离． （4）根据题意分别写出小明和爸爸离家的路程（）与小明离家的时间（）的关系式，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由图可得，小明家到滨海公园的路程为30km，小明在中心书城逗留的时间为2.5-0.8=1.7（h）； 故答案为：30，1.7； （2）解：小明从家到中心书城时，他的速度为， 小明从中心书城到滨海公园的平均速度为， ∴小明两次乘坐公交车，其中最快的速度为； 小明爸爸驾车的平均速度为； （3）解：设小明从家出发x小时和爸爸处在同一位置，由题意得 ， 解得， ， 所以小明从家出发小时和爸爸处在同一位置，此地距离滨海公园还有． （4）解：由（3）可得小明从中心书城到滨海公园的平均速度为，则 小明爸爸的路程和小明离家的时间的函数关系式为： 根据题意， 相遇后：，解得：（舍去） 小明的爸爸到达以后，即当时，，解得：（舍去） 相遇前：，解得： 答：小明从家出发小时后和爸爸的距离是． 点坐标规律探索 52．如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形一边与x轴重合，按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图可得，第一个正方形中，，，，，各点的横坐标依次为1，1，2，2，纵坐标依次为0，1，1，0；第二个正方形中，，，，，各点的横坐标依次为3，3，4，4，纵坐标依次为0，，，0；得出每8个点循环一次．然后求解即可 【详解】解：由图可得，第一个正方形中，，，，，各点的横坐标依次为1，1，2，2，纵坐标依次为0，1，1，0； 第二个正方形中，，，，，各点的横坐标依次为3，3，4，4，纵坐标依次为0，，，0； 根据纵坐标的变化规律得，每8个点循环一次． ， 点在第254个循环中的第2个点的位置，其纵坐标为1， 又的横坐标为1，的横坐标为2，的横坐标为3， 的横坐标为， 点的坐标为． 53．如图，在平面直角坐标系上有个点，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点第2026次跳动至点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照题中的跳动规律，通过前面几个点的坐标，归纳出坐标的变化规律，再由，找准规律计算即可求解． 【详解】解：根据题中规律可得： ； 、、、； 、、、； 、、、； 、、、，其中为正整数； ， 点第2026次跳动至点的坐标满足，即． 54．一个点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动：→→→→…，且每秒移动一个单位，那么第63秒时，这个点所在位置的坐标是________ 【答案】 【分析】先判断出走到坐标轴上的点所用的时间以及相对应的坐标，可发现走完一个正方形所用的时间分别为3，5，7，9…，此时点在坐标轴上，进而得到规律求解即可． 【详解】解：根据题意得，3秒时到了；8秒时到了；15秒时到了； ∴从运动到正好走完第一个正方形，用时3秒； 从运动到正好走完第二个正方形，用时5秒； 从运动到正好走完第二个正方形，用时7秒； ∴，24秒时到了； ，35秒时到了； ，48秒时到了； ∴，63秒时到了， ∴第63秒时，这个点所在位置的坐标是． 一次函数与线段的交点问题 55．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，1)、B(3，1)、C(2，2)，线段DE在y轴上，坐标分别为(0，−1)、(0，−3)，直线y=kx+b与线段DE交于点P． （1）当点P与点D重合时，直线y=kx+b与△ABC有交点，则k的取值范围是______． （2）当点P是线段DE上任意一点时，直线y=kx+b与△ABC有交点，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】（1）利用待定系数法分别求得直线经过A、D，B、D，C、D时的解析式，即可求解； （2）利用待定系数法分别求得直线经过A，B时的解析式，再根据，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）当直线y=kx+b经过A(1，1)，D(0，−1)时， ，解得， 当直线y=kx+b经过B(3，1)，D(0，−1)时， ，解得， 当直线y=kx+b经过C(2，2)，D(0，−1)时， ，解得， 所以直线y=kx+b与△ABC有交点，则k的取值范围是：； （2）当直线y=kx+b经过A(1，1)时， k+b=1，即b=1-k， ∵点P是线段DE上任意一点，且D (0，−1)、E (0，−3)，即， ∴， 解得：， 当直线y=kx+b经过B(3，1)时， 3k+b=1，即b=1-3k， ∵点P是线段DE上任意一点，且D (0，−1)、E (0，−3)，即， ∴， 解得：， ∴直线y=kx+b与△ABC有交点，则k的取值范围是． 故答案为：（1）；（2）． 【点睛】本题考查了待定系数法求直线的解析式，解一元一次不等式组，理解题意，正确求解是解题的关键． 56．如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出平移后的解析式为，分别代入A、B的坐标，求得对应的d的值， 根据函数图象即可解答． 【详解】解：把直线向上平移d个单位长度后得到， 若直线过，则，解得：， 若直线过，则，解得， ∴将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则． 57．如图，线段的两个端点的坐标分别为点，线段AB所在直线交x轴于点，另有一直线（k为常数且）与x轴交于点． (1)若中y的值随x的值的增大而减小，则k的取值范围为__________； (2)通过计算，试说明直线L总经过点； (3)求线段所在直线的函数表达式及n的值； (4)当直线L与线段（包含端点）有交点时，直接写出此时整数m的个数． 【答案】(1) (2)见解析 (3)； (4)3个 【分析】（1）根据一次函数的性质可得，即可求解； （2）把代入解析式，求出y的值，即可求解； （3）利用待定系数法求出线段AB所在直线的解析式，即可求解； （4）把点代入，可得，再求出当直线L过点时，当直线L过点时，k的值，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵中y的值随x的值的增大而减小， ∴， ∴k的取值范围为； （2）解：∵当时，，与k的值无关， ∴直线L总经过点； （3）解：设线段所在直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴线段所在直线的解析式为， 把点代入，得： ， 解得：； （4）解：把点代入，得：， 由（3）得：点， 当直线L过点时，， 解得：， 当直线L过点时，， 解得：， ∵直线L与线段（包含端点）有交点， ∴，即， ∴， ∴， ∵m为整数， ∴m取，共3个． 一次函数的平移规律 58．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与交于点，直线是一次函数的图象． (1)求直线的表达式； (2)当直线把线段分为两部分时，求的值； (3)若直线与直线不能围成三角形，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求一次函数表达式、一次函数图象上点的坐标特征、两条直线的相交与平行问题，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． （1）先求出点C的坐标，然后把B、C的坐标代入求解即可； （2）分别求出和与x轴的交点坐标，然后结合“直线把线段分为两部分”构造关于k的方程求解即可； （3）分直线经过点C或直线∥或直线∥三种情况求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：对于直线，当时，， 解得， ∴， ∴， 对于直线，当时，， 解得， ∴直线与x轴交于， ∵直线把线段分为两部分， ∴或， 解得或； （3）解：对于直线，当时，， ∴直线与y轴交于， ∵直线与直线不能围成三角形， ∴分三种情况讨论：①当直线经过点时， ∴， 解得； ②当时，； ③当时， ∴或或． 59．【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数的图象可以由正比例函数的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动． (1)请你完成探究活动中的相关问题． ①将的图象向上平移4个单位，得到的直线，则的函数表达式为____________； ②请在图1平面直角坐标系中，画出直线的图象； ③观察图象，直线也可以看作由的图象向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (2)【类比迁移】将向下平移3个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移________个单位得到； (3)【拓展升华】将向下平移个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (4)【综合应用】已知一次函数的图象如图2所示，结合（1）－（3）的探究，请用无刻度的直尺和圆规在同一直角坐标系中画出的图象．（不写作法、保留作图痕迹） 【答案】(1)①；②见解析；③左，2 (2)左，9 (3)右， (4)见解析 【分析】本题考查一次函数图象的平移，以及左右平移规律的探索，关键是通过与坐标轴的交点解决． （1）①利用一次函数“上加下减”(截距增减)的平移规律，直接给的截距加4，得平移后解析式； ②求出直线与坐标轴的交点，过两点作直线即可； ③求与各自与轴的交点、，对比交点横坐标变化，确定左移2个单位； （2）先求“下减”求向下平移3个单位后的解析式，再分别求两直线与轴的交点，通过横坐标变化确定即可； （3）先求与平移后各自与轴的交点，计算横坐标差值，确定平移方向和平移距离； （4）根据“上加下减”，将上移个单位画，再根据与坐标轴的交点变化画． 【详解】（1）解：①根据“上加下减”的平移规律，直线向上平移4个单位，得； 故答案为：； ②当时，；当时，， 过点，作直线，即为直线：的图象，如图所示： ③∵直线与轴的交点是，与轴的交点是，将点向左平移2个单位得到， ∴直线可以看作由的图象向左平移2个单位得到． 故答案为：左，2； （2）解：令，解得， ∴直线与轴的交点坐标为． 将向下平移3个单位，得到． 令，解得， ∴直线与轴的交点坐标为． ∵将点向左平移9个单位得到， ∴直线相当于将向左平移9个单位得到． 故答案为：左，9； （3）解：同理，直线与轴的交点是． 直线向下平移个单位后的函数为， 令，得，解得， ∴新交点为． ∵，即点向右平移个单位得到， ∴将向下平移个单位，相当于将向右平移个单位得到． 故答案为：右，； （4）解：如图所示： 60．在平面直角坐标系中，，将点向上平移3个单位得到点，过点作，如图1． (1)求直线的表达式； (2)如图2，分别作和的角平分线，相交于点， ①求证：； ②求的度数． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查了一次函数表达式的求解，一次函数图象平移，角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是由角平分线的性质得到角度的关系． （1）先由待定系数法求解直线的表达式，再由向上平移3个单位长度即可得直线的表达式； （2）①根据角平分线的性质，可得，再由平行线的性质可得，再根据三角形内角和性质可得，由此可证； ②根据直角三角形可得，再由三角形内角和性质可得，再由角度相等转化求解度数即可． 【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， ∵点向上平移3个单位得到点，且， ∴， 即直线的表达式为； （2）解：①记与y轴交点为点Q，如图， ∵为的角平分线，为的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， 有， 即， 即， ∵， ∴； ②连接，如图， 在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， 由①可知，， ∴． 一次函数的增减性求参数 61．对于正比例函数，当自变量的值每增加时，函数的值就减少，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给出的x和y的变化关系列出等式，代入原正比例函数解析式即可求出k的值． 【详解】解：∵正比例函数解析式为，当增加时，减少， ∴变化后满足等式， 展开得， 又∵，代入得， 消去后得， 解得． 62．某一次函数的自变量取值范围为时，函数值的取值范围为，那么一次函数的表达式为____． 【答案】或 【分析】根据一次函数的性质，分和两种情况讨论，利用待定系数法求解一次函数表达式即可． 【详解】解：①当时，一次函数中，随的增大而增大， 函数图象经过点和， ，解得：， 该一次函数的表达式为； ②当时，一次函数中，随的增大而减小， 函数图象经过点和， ，解得：， 该一次函数的表达式为， 综上所述，该一次函数的表达式是或． 63．在第章的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“根据函数关系式画函数的图象—根据图象研究函数的性质—运用函数的性质解决问题”的学习过程．现在，让我们用由特殊到一般的数学方法，探究函数（为常数）图象及部分性质． 【特例研究】 当时，画函数的图象，经历分析表达式、列表、描点、连线的过程得到函数图象，如图： … … … … 我们发现：函数的图象是由两条射线组成的轴对称图形，具有如下性质：图象关于轴（直线）对称；当时，随增大而减小，当时，随增大而增大；当时，函数有最小值． 【类比发现】 (1)当时，即函数， ①在上图的平面直角坐标系中，画出函数的图象； ②观察函数图象，写出此函数的一条性质： ③根据函数的图象与性质，当时，求的取值范围是 ； 【深入探究】 (2)观察图象可知，函数的图象可由函数的图象平移得到；若，则函数图象可由函数的图象怎样平移得到呢？ (3)根据函数的图象与性质，当时，函数的最小值为，求的值． 【答案】(1)①见解析；②此函数的对称轴为直线（符合要求的一条性质即可）；③ (2)若，函数图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 (3)的值为或 【分析】（1）①列表，描点，连线画出函数图象；②根据图象写出一条性质即可；③直接通过图象即可得出结果； （2）根据平移规则即可得出结果； （3）分3种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：列表得， … … … … 描点连线得，如图即为的图象． ②由图可知：此函数的对称轴为直线；（符合要求的一条性质即可） ③由图可知：当时，的取值范围是； （2）解：若，函数图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到． （3）解：当时， 在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，有最小值， ∴， ∴． 当时， 在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，有最小值， ∴， ∴． 当时， 在对称轴最小值为，与题意不符，舍去． 综上所述，的值为或． 一次函数的旋转问题 64．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式． 【答案】 【分析】根据已知条件得到A（，0），B（0，﹣3），求得OA＝，OB＝3，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的判定与性质证明△AOB≌△FEA得到AE＝OB＝3，EF＝OA＝，求得F（，－），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论． 【详解】解：∵一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B， ∴当x=0时，y=－3，当y=0时，x=， ∴A（，0），B（0，﹣3）， ∴OA=，OB=3， 过点A作AF⊥AB交BC于F，过点F作FE⊥x轴于E． 则∠AOB=∠FEA=∠BAF=90°， ∵∠OAB+∠EAF=90°，∠AFE+∠EAF=90°， ∴∠OAB=∠AFE． 又∵∠ABF＝45°，∠BAF＝90°， ∴∠AFB＝45°， ∴∠ABF＝∠AFB， ∴ AB＝AF ∴△AOB≌△FEA（AAS） ∴AE＝OB，EF＝OA， ∴ OE＝AE+OA＝3+＝，EF＝OA＝， ∴F（，－）． 设直线BC为y＝kx－3，把点F（，－）代入y＝kx－3中， ∴－＝k－3， ∴k＝， ∴直线BC的函数表达式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质、等角对等边，正确的作出辅助线是解题的关键． 65．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．设，将直线绕点A按某一方向旋转后交y轴于点． (1)分别求出点A和点B的坐标； (2)若，当点C在点B的上方时，求此时点C的坐标； (3)若，则y轴上是否存在点C？若存在，请求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴交点问题、勾股定理、旋转的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）分别令直线解析式，即可求解； （2）证得，即可得解； （3）分两种情况讨论：直线绕点A沿顺时针旋转β或逆时针旋转β，分别画出图形求解即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ， 当时，， ， ； （2）解：，， ，； 在中，， ， 直线绕点A沿顺时针旋转后交y轴于点C， ， ， ， ， ， . （3）解：存在， 证明：情况1：若直线绕点A按逆时针方向旋转， 当时，直线平行于y轴， 此情况不成立. 情况2：若直线绕点A按顺时针方向旋转后交y轴于点C， 当， ， ， ， 设，则，由于点C在y轴负半轴，故， 在中，， ， ∴， 解得， . 66．平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点B，C，且a．b满足．不论k为何值，直线l：都经过x轴上一定点A． (1)_______，_______；点A的坐标为_______； (2)如图1，当时，将线段沿某个方向平移，使得与点B对应的点M恰好在直线l上，与点C对应的点N恰好在直线上，请你判断四边形的形状，并求出M点坐标； (3)如图2，当k的取值发生变化时，直线l：绕着点A旋转，当它与直线相交的夹角为时，求出相应的k的值． 【答案】(1) 2，4， (2) 平行四边形， (3) 或 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求出的值，进而求出的值；将直线的解析式变形为，即可求出定点的坐标； （2）根据平移的性质可知四边形是平行四边形；设出点的坐标，利用平移规律表示出点的坐标，代入直线求出的值，即可得到点的坐标； （3）过点作于点，过点O作于点D，求出， 得，可得直线的解析式为．求得，得直线的解析式为．在直线上取点使得，构造等腰直角三角形，利用“一线三垂直”模型（K字模型）构造全等三角形求出点的坐标，进而求出直线的解析式及的值． 【详解】（1）解：， ， ， ． 直线的解析式为， ， 当时，， 即直线经过定点． （2）解：四边形是平行四边形理由如下： 由平移的性质可知，且， 四边形是平行四边形， 对，令，则， 解得， ， 令，得， ， 当时，直线的解析式为， 设点的坐标为， 点平移得到点， 平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， 点平移得到点， 点的坐标为，即， 点在直线上， ， 解得， 点的坐标为， 故四边形是平行四边形， 点的坐标为； （3）解：过点作于点．过点O作于点D，则， 由（2）知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 解得， ∴， 设解析式为，则， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得， ， 过点作轴于点，则， ， 在直线上取点，使得，连接， ， 是等腰直角三角形， ， 即直线与直线的夹角为，此时直线即为直线， 过点作交的延长线于点（当在左下方时）或交的延长线于点（当在右上时）， ， ， 在和中， ， ， ， 当点在点左下方时（记为）， ，， ， ∴， ∴， 当点在点右上方时（记为）， ，， ， ∴， ∴， 综上所述，的值为或． 一次函数的存在性问题 67．如图，将直线沿y轴向下平移后的直线恰好经过点，且与y轴交于点B在x轴上存在一点P使得的值最小，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的平移，轴对称的性质，作点关于轴对称的点，连接，交轴于，则点即为所求，根据题意得出直线的解析式为，令，即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于轴对称的点，连接，交轴于，则点即为所求， 设直线沿轴向下平移后的直线解析式为， 把代入可得，， 平移后的直线为， 令，则，即 ， 设直线的解析式为， 把，代入可得，， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ． 68．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠． （Ⅰ）在x轴上是否存在C点，使折叠后点A对应的点恰好落在y轴上？______（请填写“是”或“否”）． （Ⅱ）如果存在满足（Ⅰ）中条件的点C，请直接写出它的坐标．______． 【答案】 是 ， 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，翻折变换，勾股定理； （Ⅰ）折叠以后可以发现存在两个C点使折叠后点A对应的点恰好落在y轴上； （Ⅱ）根据勾股定理得到，分两种情况：当点A落在y轴的正半轴上时，当点A落在y轴的负半轴上时，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（Ⅰ）折叠以后可以发现存在两个C点使折叠后点A对应的点恰好落在y轴上； 故答案为：是； （Ⅱ）∵一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴， ∴， ∴， 如图，当点A落在y轴的正半轴上时，过作于， 设点C的坐标为， ∵折叠后点A对应的点恰好落在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 同理，当点A落在y轴的负半轴上时，过作于， ∴ ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 故答案为：，． 69．如图，一次函数的图象与x轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在轴上．将直线沿直线翻折，使得点的对应点落在轴上．已知点，． (1)若点在轴负半轴上，求直线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（1）的条件下，存在第一象限内的点，使得与以、、为顶点的三角形全等，试求出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】本题是一次函数的综合题，全等三角形的性质和判定，轴对称的性质，勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，轴对称的性质，数形结合解题是关键． （1）依题意可得，，由对称性可知，，由勾股定理得，在中，，可求得的长，用待定系数法即可求的解析式； （2）设，根据求出即可； （3）分两种情况：当点与点关于直线对称时，，求出直线的解析式，进而求解；当轴，轴时，，此时四边形是矩形，则． 【详解】（1）解：如图1， ，， ，． 由对称性可知，， 在中，， 在中，， 即，解得． ． 设直线的表达式为， 解得 直线的函数表达式为． （2）存在． 设， 由（1）知，，，，则． ， ． ， ，解得或18． 点的坐标为或． （3）情况1：如图2，当点与点关于直线对称时，． ∴点在直线上． 设直线的表达式为， 解得 直线的函数表达式为． ， ，，， ． ． ， ． 当时，，解得． ； 情况2：如图3，当轴，轴时，． ，， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是矩形． ． 综上，点的坐标为或． 一次函数的翻折问题 70．如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接， ． (1)求A、C两点的坐标； (2)将纸片折叠， 使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积； (3)求所在直线的函数表达式． 【答案】(1) (2)折叠后纸片重叠部分的面积为10 (3) 【分析】本题考查了一次函数的面积问题，求一次函数解析，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握待定系数法，求出重叠部分三角形的底和高是解题的关键． （1）根据得出，根据勾股定理得出，列出方程求解即可； （2）设，则，在中，根据勾股定理可得，列出方程求出，根据，即可解答； （3）由（2）可得，设，则，在中，根据勾股定理可得：，列出方程求出，则，在用待定系数法即可求出所在直线的函数表达式． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为长方形， ∴， ， 由折叠可得：， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴， ∴折叠后纸片重叠部分的面积为10； （3）解：由（2）可得， ∴， 由折叠可得：， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴， 设所在直线的函数表达式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴所在直线的函数表达式为． 71．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，C是x轴上一点，将沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处． (1)求点D的坐标； (2)求直线的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，折叠的性质，求一次函数解析式． （1）先求出，，得到，，根据勾股定理求出，根据折叠的性质得到，求出，即可求出点D的坐标； （2）根据折叠的性质得到，设，根据勾股定理求出，即，可知，根据待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，解得：，即； ∴，， ∴， ∵将沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处， ∴， ∴， 即； （2）解：∵将沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处， ∴， 设， 则， ∴， 解得：， 则， 即， 设直线的函数表达式为， 则， 解得：， 即． 72．如图平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，将沿直线折叠，使得边落在上，点与点重合．    (1)求直线的解析式和点的坐标； (2)轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或或或 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，等腰三角形的定义，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质； （1）根据勾股定理求得，根据折叠的性质，求得，再利用含度角的直角三角形的性质和勾股定理求出点的坐标，进一步用待定系数法求出一次函数的解析式．过作于．由折叠可知．再由，得到，，从而可求出的坐标； （2）设．可求得，．然后分三种情况讨论：①以为圆心，为半径作圆与轴交于点；②以为圆心，为半径作圆与轴交于点；③设线段的垂直平分线交轴于． 【详解】（1）解：， ， 沿折叠、重合， ， ，设，则， ，即，， 设代入得：， 解得：， 直线的解析式是：； 过作于．   沿折叠、重合， ． ， ，， ， ，， ， 的坐标是：； （2）设． ，，．分三种情况讨论： ①以为圆心，为半径作圆与轴交于点，则， 或； ②以为圆心，为半径作圆与轴交于点，则． ， 与重合， ； ③设线段的垂直平分线交轴于，则， ， 解得：， ．    综上所述：P的坐标为：或或或． 分段计费问题 73．“兰陵大蒜”是山东知名特色农产品，也是国家地理标志产品．为推动乡村产业高质量发展，拓宽优质农产品销售渠道，某电商平台联合当地农民专业合作社开展助农专场促销活动，对兰陵大蒜实行分段计价销售：一次性购买大蒜不超过时，按原价销售；超过时，超过部分享受助农优惠价．如图为购买大蒜消费金额（元）与购买量之间的函数图象． (1)①大蒜的原价为_________元；②求当时，与之间的函数关系式． (2)某餐馆为储备食材，在活动期间一次性购买大蒜，求该餐馆比按原价购买节省多少元？ (3)某农产品经销商通过该活动采购大蒜，共支付270元，求该经销商本次采购大蒜多少千克？ 【答案】(1)18； (2)节省30元 (3)该经销商本次采购大蒜 【分析】（1）①根据图象可得答案；②根据图象，当时，与之间满足一次函数关系，利用待定系数法求解即可； （2）先分别求出原价花费和实际花费，再比较大小即可得答案； （3）将代入求得x值即可． 【详解】（1）解：①根据图象，当时，， ∴原价为（元）； ②根据图象，当时，与之间满足一次函数关系， 设时，与之间的函数关系式为， 将，代入，得，解得， 与之间的函数关系式为； （2）解：当时，原价花费：（元）； 实际花费：（元）； ∴（元）， 答：该餐馆比按原价购买节省30元； （3）解：， 当时，由解得． 答：该经销商本次采购大蒜． 74．“数趣研习社”网络学习平台为满足不同用户的学习需求，策划了A、B两种上网学习的月收费套餐，具体收费标准如下表： 收费套餐 月使用费／元 包月上网时间／ 超时费／（元／） 5 20 0.4 0.5 设每月上网学习时间为小时，套餐A、B对应的收费金额分别为元，元． (1)如图是与之间函数关系的图象，请根据图象填空：__________，__________； (2)当时，求与之间的函数关系式． (3)已知某同学每月平均上网学习的时间为70小时，选择哪种方式上网学习合算？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)选择B方式上网学习合算，理由见解析 【分析】（1）观察函数图象，即可作答； （2）根据表格的信息列式，即可作答； （3）分别算出当每月上网时间70小时的时候，方案A，B的收费金额，再进行比较，即可作答． 【详解】（1）解：由函数图象可知，，； （2）解：当时，； （3）解：每月上网时间为70小时，选择B方式上网学习合算，理由如下： 由图象可得， 当时，（元）， （元）， ∵， ∴如果每月上网时间70小时，选择B方式上网学习合算． 75．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场．目前来看，共享电动车的收费方式与共享单车差不多，两种品牌的共享电动车收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． (1)请求出两个函数的关系式，并说明品牌的收费方案； (2)如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为/小时，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？ (3)如果你是运营商，在不增加客户使用费用的前提下，还有其他提高利润的方法吗？（请至少写出一条） 【答案】(1)；；品牌的收费方案：当骑行时间不超过时，收费元；当骑行时间超过时，除了收费元之外，每多骑行，加收元 (2)小明选择品牌的共享电动车更省钱 (3)技术创新，提升生产工艺，降低生产成本（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）利用待定系数法求品牌的函数关系式即可；根据图象可知，品牌的函数关系式分两段求解，利用待定系数法求函数关系式即可； （2）先求出小明从家到工厂所用时间，再通过图象可知当骑行时间不足时，，即骑行品牌的共享电动车更省钱，即可得解； （3）答案不唯一，合理即可． 【详解】（1）解：设， 把点代入中，得， 解得， ． 由图象，可知当时，． 当时，设， 把点和点代入中， 得，解得， ． 品牌的收费方案：当骑行时间不超过时，收费元；当骑行时间超过时，除了收费元之外，每多骑行，加收元． （2）解：，． 由图象，可知当骑行时间不足时，，即骑行品牌的共享电动车更省钱， ， 小明选择品牌的共享电动车更省钱． （3）解：技术创新，提升生产工艺，降低生产成本．（答案不唯一，合理即可） 一次函数的新定义问题 76．定义：对于给定的一次函数（为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“相依函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“相依函数”图象上，则的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了求一次函数的函数值，正确理解一次函数的“相依函数”的定义是解题关键．先求出一次函数的“相依函数”，再将代入计算即可得． 【详解】解：由题意得：一次函数的“相依函数”为， ∵点在一次函数的“相依函数”图象上，且， ∴， 故选：A． 77．新定义：函数图像上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．函数的“特征值”是__________． 【答案】6 【分析】根据新定义得到坐标差的表达式，整理为关于的一次函数，根据一次函数的增减性确定最大值点，代入计算即可得到特征值． 【详解】解：由新定义可知，坐标差为， 将代入得：， 在中，一次项系数， 因此随的增大而减小， ， 当时，取得最大值，即该函数的特征值， 将代入得：． 78．定义：在平面直角坐标系中，将直线..的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 【定义辨析】 （1）若点在上，则下列四个点① 、②、③、④，在的 “k 倍伴随线”上的点有 （填序号）； （2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（ ）； A．   B．   C．   D． 【定义延伸】 （3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确的是 （填序号）； 【定义应用】 （4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使△ABC为等腰直角三角形，求k的值． 【答案】1．（1）②④；（2）B；（3）②；（4）或3． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据“k倍伴随线”求解即可； （2）依据“k倍伴随线”求解即可； （3）先求出直线与坐标轴的交点坐标，再将横、纵坐标都乘以，得，再将代入可得结果； （4）先求出，，再求出直线的“k倍伴随线”为，再分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）∵将横、纵坐标都乘以2，得到， 将横、纵坐标都乘以3，得到， ∴在的“k 倍伴随线”上的点有②、 ④， 故答案为：②④； （2）直线经过，将这两点横、纵坐标都乘以2，得， 设直线的“2倍伴随线”关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴直线的“2倍伴随线”关系式为， 故选：B； （3）直线中，令，得，令，得， ∴经过，将这两点横、纵坐标都乘以，得， ∵直线的“k倍伴随线”记为． ∴将代入得：， 故答案为：②； （4）直线中，令，得，令，得， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的“k倍伴随线”为， 将，，横、纵坐标都乘以，得到，， ∴， ∴直线的“k倍伴随线”为， ∵为等腰直角三角形，如图，分三种情况讨论： 当且时， ， ∴， ∴， ∴， 当且时， ， ∴， ∴， ∴， 当且时， 得， ∴， ∴， 综上所述，或3 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一次函数 函数的相关概念 变量与常量 1.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 2.判断一个物体是常量还是变量的方法：看这个量的值在某一变化过程中是否发生改变，若在变化过程中这个量的值不变，则这个量就是常量，若这个量的值会发生改变，则这个量就是变量. 3.常量不等于是常数，它可以用一个数值不改变的字母来表示. 函数的概念 1.函数：一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 2.确定函数与自变量的方法：在某个变化过程中处于主导地位的变量是自变量，随之变化且对应值唯一确定的变量是该变量的函数. 3.函数具有唯一对应性，判断两个变量是否具有函数关系，不能只看是否有关系式存在，还要看对应给定的x的每一个值，y是否有唯一值与之对应. 4.函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如果两个变量x与y，若y是x的函数，就不能说成x是y的函数. 函数的三种常见表示方法 表示法 定义 优点 缺点 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与之对应的函数的值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式，用函数表达式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用表达式表示出来 图像法 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 能直观、形象地反映出函数关系变化的趋势 由自变量的值常常难以找到对应函数的准确值 函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 函数的图像 在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标，对应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图像. 函数的自变量与函数值 1.自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围. 2.常见函数自变量取值范围的确定： （1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； （2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； （3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零； （5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 3.函数值：y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b就叫做当自变量为a时的函数值. （1）一个函数的函数值随着自变量值的变化而变化，因此在求函数值时，一定要明确是求自变量为多少时的函数值. （2）对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个. 平面上确定物体位置的方法 在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据，常用的方法如下： 1.行列定位法：用行数和列数表示物体的位置. 将平面分成若干行和若干列，然后利用平面上点所在的行数和列数表示平面上点的位置. 2.经纬定位法：只要知道一点的纬度和经度，就可以确定这点在地球仪上的位置. 3.方位角和距离定位法：用方向和距离确定平面上点的位置时，先要选择参照物，再根据物体相对于参照物的方向和距离来表示. PS：用方位角和距离确定物体的位置时，一般方向在前，距离在后，且方向和距离都要有，两者缺一不可. 4.区域定位法：一般先将平面划分成横纵区域，然后用横纵区域的编号表示物体的位置，区域定位法一般用大写英文字母或阿拉伯数字来确定位置，其优点是简单、明了，缺点是不够精准. 5.方格定位法：一般地，在方格纸上，一点所在的位置由横向格数和纵向各数确定，可以记作（横向格数，纵向格数）或（水平距离，纵向距离）. 平面直角坐标系 1. 平面直角坐标系 平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O是原点，如图所示： 平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的，一般情况下，同一直角坐标系中，x轴和y轴的单位长度相同的，一些特殊情况下，受坐标轴所表示数量意义的影响，x轴和y轴的单位长度可以有所不同，但同一坐标轴上的单位长度必须相同. 2.点的坐标 （1）点的坐标：在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反过来，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示.这样的有序实数对叫做点的坐标.平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，横坐标写在纵坐标的前面.有序数对（a，b）叫做点P的坐标，记作:P(a，b)，如图所示： （2）确定点的坐标的方法： ①确定横坐标：从该点向x轴作垂线，垂足在x轴上的数字为该点的横坐标； ②确定纵坐标：从该点向y轴作垂线，垂足在y轴上的数字为该点的横坐标. ③用有序实数对将它表示出来，横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开，并用小括号将它们括起来. （3）有序实数对（2，1）和（1，2）数字一样，顺序不一样，表示点的位置也是不一样的. （4）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的. （5）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. 象限的划分与点的坐标特征 1.象限的划分：两条坐标轴将平面分成的4个区域称为象限，按逆时针顺序分别记为一、二、三、四象限，各象限内点的坐标、符号特征为第一象限（＋，＋），第二象限（－，＋），第三象限（－，－），第四象限（＋，－），如图所示： 2.点的坐标特征 点在坐标平面内的位置不同，点的坐标特征也就不同，具体如下： 点M（x，y）所处的位置 坐标特征 象限内的点 点M在第一象限 M（正，正） 点M在第二象限 M（负，正） 点M在第三象限 M（负，负） 点M在第四象限 M（正，负） 坐标轴上的点 点M在x轴上 在x轴正半轴上 M（正，0） 在x轴负半轴上 M（负，0） 点M在y轴上 在y轴正半轴上 M（0，正） 在y轴负半轴上 M（0，负） 原点 M（0，） 象限角平分线上的点 点M在第一、三象限角平分线上 M（x，y）且x＝y 点M在第二、四象限角平分线上 M（x，y）且x＝－y 两点连线与坐标轴平行 MN∥x轴/MN⊥y轴 M、N两点纵坐标相等 MN∥y轴/MN⊥x轴 M、N两点横坐标相等 注：原点既在x轴上，又在y轴上. 知识点三、图形变换与点的坐标变化 1.对称点的坐标特征 （1）关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点P（a，b）关于x轴对称的点是（a，－b）； （2）关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同，即点P（a，b）关于y轴对称的点是（－a，b）； （3）关于坐标原点对称：横、纵坐标互为相反数，即点P（a，b）关于原点对称的点是（－a，－b）. 2.图形的变化与坐标特征 对于图形上任意一点A（a，b） 图形变化 对应图形 点A变化后的对应坐标 变化后点的坐标特征 平移变换（k＞0） 向上平移k个单位长度 A1（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标加k 向上平移k个单位长度 A2（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标减k 向上平移k个单位长度 A3（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标加k 向上平移k个单位长度 A4（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标减k 对称变换 关于x轴对称 A5（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标与原坐标互为相反数 关于y轴对称 A6（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标与原坐标互为相反数 注：当图形的平移方向与坐标轴不平行时，可以把这种平移分解为沿两坐标轴平行方向的两次平移. 一次函数、正比例函数的概念 1.一次函数：一般地，形如y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 2.正比例函数：当b＝0时，即y＝kx（k为常数且k≠0），y叫做x的正比例函数. 3.正比例函数是一次函数的特例，即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 4.一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 5.判断一次函数的方法：式子经过恒等变形后，若满足：（1）等号右边是关于x的整式；（2）自变量x的最高次数是1；（3）一次项系数k≠0这三个条件，则是一次函数，否则就不是一次函数. 一次函数的解析式 1.待定系数法：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）中有两个待定系数k、b，需要两个两个独立条件确定两个关于k、b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x、y的值. 2.用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： （1）设：设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0）； （2）列：将已知条件代入表达式，列出关于k、b的方程（组）； （3）解：解方程（组），求出k、b的值； （4）代：将k、b的值代回所设的函数表达式. 一次函数的图像与性质 1.一次函数的图像：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图像是一条直线. 2.正比例函数的图像：正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是经过原点的一条直线. 3.一次函数的图像是一条直线，但不是所有的直线都是一次函数的图像，在利用一次函数的图像解决实际问题时，自变量的取值会受到限制，此时函数图像不再是一条直线，有可能是线段、射线，也有可能是间断的点. 4.一次函数的图像与表达式之间的关系：一次函数的图像与函数表达式是一一对应的，即函数图像上任意一点P（x，y）中的x，y的值满足函数表达式；反之，满足函数表达式的任意一对有序实数（x，y）所对应的点一定在函数图像上. 5.通过描点法画出对应一次函数的步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的一部分值，并计算出函数y相应的值，同时都填入列出的表中； （2）描点：以表中的有序数对（x，y）为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：将所描的点用直线连接起来. 一次函数的性质 一次函数 y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0） k、b的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右上升 从左向右下降 性质 函数值y随自变量x增大而增大 函数值y随自变量x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 1.一次函数的图像经过的象限是由k和b的符号共同决定的，一次函数的增减性取决于k，与y轴的交点取决于b，反之，由一次函数的图像特征也可判断k、b的符号. 2.|k|的大小决定直线y＝kx＋b的倾斜程度，|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓. 一次函数图象的平移问题 1.正比例函数y＝kx的图像是经过原点的一条直线，一次函数y＝kx＋b的图像可以看成是由正比例函数图像向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度得到的. 2.一次函数图像的平移规律 （1）上、下平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向上平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b＋n（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b－n（k≠0）.（上加下减） （2）左、右平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向左平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x+m）＋b（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向右平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x－m）＋b（k≠0）.（左加右减）. 一次函数的应用 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数表达式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： （1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； （2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； （3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数表达式的常用方法 （1）根据基本的量之间存在的关系列函数表达式； （2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数表达式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 一次函数与方程、不等式的关系 一次函数与二元一次方程的关系 1.一次函数y＝kx＋b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b＝0的解，以二元一次方程kx－y＋b＝0的解为坐标的点都在一次函数y＝kx＋b的图像上. 2.二元一次方程与一次函数的区别： （1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量； （2）二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图像法表示两个变量间的关系. 3.二元一次方程的解与一次函数图像上点的坐标之间的关系是一一对应的，以二元一次方程的解为坐标的点所组成的图形与其相应的一次函数的图像完全重合（一条直线）. 一次函数与二元一次方程组 1.如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解. 2.在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解. 3.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法. 4.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解，反之也成立. 5.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 6.方程组解的几何意义 （1）方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标； （2）根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况；（） （3）根据交点的个数，看出方程组的解的个数； （4）对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数. 一次函数与一元一次方程 1.一次函数y＝kx＋b（k≠0，b为常数），当函数y＝0时，就得到了一元一次方程kx＋b＝0，此时自变量x的值就是方程kx＋b＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 2.从图象上看，这相当于已知直线y＝kx＋b（k≠0，b为常数），确定它与x轴交点的横坐标的值. 3.对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0或ax＋b≥0或ax＋b≤0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y＝ax＋b的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下： 1.不等式kx＋b＞0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴上方的部分所对应的x的取值范围； 2.不等式kx＋b＜0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴下方的部分所对应的x的取值范围； 3.不等式kx＋b＞a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a上方的部分所对应的x的取值范围； 4.不等式kx＋b＜a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a下方的部分所对应的x的取值范围； 5.不等式k1x＋b1＞k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）上方的部分所对应的x的取值范围； 6.不等式k1x＋b1＜k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）下方的部分所对应的x的取值范围. 函数的相关概念 1．函数中自变量x的取值范围是（     ） A．且 B． C． D．且 2．下列关于变量x，y的关系式：①；②；③，其中，y是x的函数的是_____（填写序号）． 3．当和时，分别求出下列函数的函数值： (1)； (2)； (3)． 函数的表示法 4．某车油箱中存油25升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 5．A，B两地相距，李明从A地出发骑自行车以的速度前往B地，用x（单位：）表示骑行时间，y（单位：）表示李明与B地的距离，写出y关于x的函数解析式：______． 6．2026年央视春晚由机器人与武术少年共同呈现的《武》节目，是我国科研能力的集中体现．如图，某餐厅的机器人小松和小江从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小松比小江先出发，且速度保持不变，小江出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小松行走的时间为，小松和小江行走的路程分别为与之间的函数图象如图所示．根据图象回答下列问题： (1)机器人小松比机器人小江先出发________； (2)机器人小江提速后的速度为________； (3)求的值． 平面直角坐标系 7．在平面直角坐标系中，点在第二象限，它到轴、轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 8．（1）在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为4，到轴的距离为5，则点的坐标为______． （2）在平面直角坐标系中，点，若轴，则线段的最小值为______． 9．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点在第二象限，且点到轴、轴的距离相等，求点的坐标． 坐标的平移 10．在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移得到线段，其中点的对应点为点．若，，则的值为（   ）． A． B． C．2 D．4 11．如图，在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移后得到线段，点在轴上，连接，．若的面积为，则四边形的面积是______． 12．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，将三角形进行平移，平移后点的对应点分别是点，点，点，点，点，点． (1)若，点在射线上，求的取值范围； (2)若将点向下平移个单位长度得点，其中．直线交轴于点，求三角形的面积． 一次函数的相关概念（含正比例函数） 13．下列函数中，一次函数是（     ） A． B． C． D．（，是常数） 14．在中，若y是x的正比例函数，则k的值为______． 15．已知与成正比例，且时． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值． 一次函数的解析式 16．某拖拉机耕地时，油箱中剩余的油量与耕地时间之间的几组对应值如下表，已知Q是t的一次函数，则Q与t之间的函数关系式是（    ） 2 4 5 84 68 60 A． B． C． D． 17．若直线经过点和，则关于的函数解析式为_________． 18．已知一次函数，且当时，． (1)求这个一次函数的解析式． (2)若点在这个函数的图象上，求m的值． 已知函数经过的象限求参数范围 19．若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 20．已知关于x的一次函数的图象不经过第四象限，则k的取值范围是 ____________________ ． 21．已知一次函数． (1)m为何值时，图象过原点． (2)图象过一、二、四象限，求m的取值范围． 一次函数图象与坐标轴的交点问题 22．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数（b为常数）的图象分别交x轴、y轴于点、B，则的面积为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 23．一次函数的图象与轴的交点坐标是 _____________ ． 24．如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)若点的坐标是， ①是_____三角形（按角分类）． ②点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ③在轴是否存在点，使得是等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 画一次函数图象 25．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，都在函数上． (1)常量与的值分别为：_________，_________； (2)在网格中画出函数的图像． 26．用长的细铁丝围成一个等腰三角形，腰长为，底边长为． (1)求y关于x的函数解析式；写出自变量的取值范围． (2)在如图的平面直角坐标系中画出该函数的图象． 27．一个一次函数，当自变量时，函数值；当时，函数值． (1)求这个一次函数的解析式； (2)在所给平面直角坐标系中画出该函数的图象，并直接写出图象与两条坐标轴围成的三角形面积； (3)当时，自变量的取值范围是 ． 一次函数图象的平移 28．直线是由直线（，是常数）向下平移2个单位得到的，那么直线的表达式是________． 29．如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线与x轴正半轴交于点C．点D在线段上，连接． (1)求点A、B、C的坐标； (2)已知，求点D的坐标； (3)点P为x轴上一点，满足，求点P的坐标． 30．【阅读理解】 对于两个函数，当自变量任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函数”．例如：与互为“关联函数”． 【初步探究】 (1)如图，函数经过点，求该函数的“关联函数”表达式； 【深入思考】 (2)在（1）条件下，函数图象的一段向上平移个单位长度后，与它的“关联函数”的图象有交点．求的最小值． 一次函数的增减性 31．已知，两点都在一次函数的图象上，则a，b的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 32．已知一次函数（，为常数，且）的图象经过点，；如果，那么的值可以是________（请写出一个符合条件的值）． 33．已知函数，其中是自变量． (1)若此函数的图象平行于直线，求的值； (2)若此函数值随值的增大而增大，则的取值范围是______；该函数不经过第_______象限． 一次函数与方程 34．如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点． (1)求b，m的值； (2)结合图象可知关于x、y的方程组的解是______； (3)直线：与直线：与x轴组成的图形面积． 35．如图，已知一次函数与的图象交于点，且点的横坐标为． (1)求与的关系式． (2)当时，都有，求的取值范围． 36．在平面直角坐标系中直线经过点，与直线相交于点。 (1)求的值和函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，请直接写出的取值范围：______． 一次函数与不等式 37．如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． (2)若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ． (3)在（2）的条件下，求四边形的面积． 38．已知函数与的图象如图所示，观察图象并解决下列问题： (1)当时，则______（的取值范围）． (2)当时，则______（的取值范围）． (3)当，求的取值范围； (4)当，求的取值范围． 39．直线与相交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)在轴上找一点，使得最小，并求点的坐标． 一次函数的实际应用——分配方案 40．三八妇女节（国际劳动妇女节）是为庆祝妇女在经济、政治和社会等领域作出的重要贡献和取得的巨大成就而设立的节日，体现对女性权益的重视，倡导尊重女性、关爱女性的社会风尚．某单位准备购买护肤套装和生活用品套装共套分发给员工过节．其中护肤套装比生活用品套装每套贵元． (1)若用元购买护肤套装与用元购买生活用品套装的数量相同，求护肤套装和生活用品套装每套的价格； (2)在（1）的条件下，若购买生活用品套装数量不超过护肤套装数量的倍，如何购买才能使总费用最少？ 41．某地新建污水处理厂，现有A，B两种型号的污水处理设备可供选择，已知A型设备比B 型设备每日可多处理污水量，5台A型设备的处理能力与6台B型设备的处理能力相同． (1)求A，B两种型号设备的日处理污水量； (2)经测算，污水处理厂每日至少需处理污水，决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台（可单选一种型号），已知A型设备40万元/台，B型设备30万元/台，若要节约经费，则该厂应如何购买？ 42．随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买4个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需4400元；购买3个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需4800元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共40个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 一次函数的实际应用——最大利润 43．根据如表所示素材，探索完成任务． 如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润 素材一 某书店为了迎接“读书节”决定购进，两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元． 素材二 已知种图书的标价是种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少10本． 素材三 该书店准备用不超过16800元购进，两种图书共1000本，且种图书不少于700本，经市场调查后调整销售方案为：种图书按照标价的8折销售，种图书按标价销售． 问题解决 任务： (1)探求图书的标价：请运用适当方法，求出，两种图书的标价． (2)确定如何获得最大利润：书店应怎样进货才能获得最大利润？ 44．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲，乙两种奖品． 素材一 购买甲种奖品5件和乙种奖品2件需花费260元； 素材二 购买甲种奖品3件和乙种奖品6件需花费300元； 素材三 学校计划购买甲，乙两种奖品共100件（两种奖品均需购买），其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍． 请完成下列任务： (1)任务一：甲，乙两种奖品的单价各是多少元？ (2)任务二：给出最节省费用的购买方案，并求出最少总费用． 45．今年中考遇端午，愿你一举高“粽”．吃粽子是端午节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种粽子是肉粽和蛋黄粽．某超市购进粽子的相关信息如下：购进45个肉粽和50个蛋黄粽，总费用为240元；购进50个肉粽和45个蛋黄粽，总费用为235元． (1)求肉粽和蛋黄粽每个的进价； (2)超市将肉粽的售价定为4元/个，蛋黄粽的售价定为5.5元/个．若超市计划购进这两种粽子共500个． ①设购进肉粽个，全部售完后的总利润为元，求关于的函数表达式； ②根据市场需求，超市计划在不超过1050元总费用的情况下，怎样进货才能使售完两种粽子后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 一次函数的实际应用——行程问题 46．两位同学去某景区游览，甲乘观光车从景点出发，沿景区公路（如图）去景点，车速为，同时，乙骑电动车从景点出发，比甲迟到达景点，设甲行驶的时间为，甲和乙离景点的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示． (1)求乙骑车离景点的路程与之间的函数关系式； (2)当甲追上乙时，求的值． 47．已知小明家、文具店、菜市场、学校依次在同一条直线上，文具店离小明家，菜市场离小明家．小明的妈妈从家出发，先匀速步行到文具店，买文具停留后匀速步行到菜市场，买菜停留后匀速骑行返回家中．图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明的妈妈离家的距离与时间之间的对应关系． (1)①填表： 小明的妈妈离开家的时间/min 5 10 30 35 小明的妈妈离家的距离/km 0.8 ②填空：小明的妈妈从菜市场返回家的骑行速度为_______； ③当时，请直接写出小明的妈妈离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当小明的妈妈从家出发时，小明也从学校出发骑车回家，已知学校离小明家，小明的骑行速度和小明妈妈从菜市场骑行回家的速度相同．在小明从学校到家的骑行过程中，对于同一个的值，小明的妈妈离家的距离为，小明离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 48．4月22日，上万名大连球迷远征沈阳客场，为家乡球队助威，最终大连英博客场击败辽宁铁人，斩获中超五连胜．球迷甲、乙自驾从大连前往沈阳观赛，其中甲先出发并匀速前进，在熊岳服务区休息了一段时间后保持原来的速度前往目的地，乙比甲晚出发1小时，以的速度匀速前进，最终乙先到达沈阳．如图是甲、乙距离大连的距离（单位：）与车辆行驶时间（单位：h）的函数的完整图象． (1)请直接写出甲车的速度为_____，图中_____，_____； (2)求乙车的行进过程中的与的函数关系式，并写出自变量取值范围； (3)两车相遇时，距离沈阳的距离是多少？ 从函数图象获取信息 49．某天，甲骑自行车，乙骑电动车相约从北仑图书馆门口出发，沿同一条路线匀速行驶到相距的九峰山游玩，图表示甲、乙两人离终点的距离与甲行驶的时间之间的函数图象．图表示甲乙两人之间的路程差关于的函数图象． (1)计算甲和乙的速度（单位：千米/分）． (2)________，________，________ (3)为了保证及时联络，出发前甲乙都携带了对讲机，该对讲机可以直连通话的有效距离是千米，超过千米就会信号中断．请通过计算，甲在行驶过程中，是否一直可以与乙保持直连通话，若不能，请计算甲乙对讲机出现信号中断持续的时间． 50．综合应用 (1)近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和3个地下充电桩需要万元． ①该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ ②若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． (2)现有新能源甲、乙两辆新能源汽车，甲新能源车从A地去B地，乙新能源车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙新能源车离A点的距离分别为、（）与行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示． ①A、B两地之间的路程为 ； ②经 小时，甲、乙两新能源车相遇，此时距B地的距离为 ； ③甲出发 小时后，甲、乙两新能源车相距． 51．周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发后到达中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明坐公交车的同时，爸爸驾车沿相同的路线前往滨海公园，结果比小明早到．如图是他们离家的路程（）与小明离家的时间（）的关系图．请根据图中信息回答下列问题： (1)小明家到滨海公园的路程为___，小明在中心书城逗留的时间为___． (2)小明两次乘坐公交车，其中较快的速度为___；小明爸爸驾车的速度为___． (3)小明从家出发多长时间时和爸爸处在同一位置，此地距离滨海公园还有多远？ (4)小明从家出发多长时间和爸爸的距离是？ 点坐标规律探索 52．如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形一边与x轴重合，按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 53．如图，在平面直角坐标系上有个点，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点第2026次跳动至点的坐标是（ ） A． B． C． D． 54．一个点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动：→→→→…，且每秒移动一个单位，那么第63秒时，这个点所在位置的坐标是________ 一次函数与线段的交点问题 55．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，1)、B(3，1)、C(2，2)，线段DE在y轴上，坐标分别为(0，−1)、(0，−3)，直线y=kx+b与线段DE交于点P． （1）当点P与点D重合时，直线y=kx+b与△ABC有交点，则k的取值范围是______． （2）当点P是线段DE上任意一点时，直线y=kx+b与△ABC有交点，则k的取值范围是______． 56．如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是________． 57．如图，线段的两个端点的坐标分别为点，线段AB所在直线交x轴于点，另有一直线（k为常数且）与x轴交于点． (1)若中y的值随x的值的增大而减小，则k的取值范围为__________； (2)通过计算，试说明直线L总经过点； (3)求线段所在直线的函数表达式及n的值； (4)当直线L与线段（包含端点）有交点时，直接写出此时整数m的个数． 一次函数的平移规律 58．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与交于点，直线是一次函数的图象． (1)求直线的表达式； (2)当直线把线段分为两部分时，求的值； (3)若直线与直线不能围成三角形，直接写出的值． 59．【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数的图象可以由正比例函数的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动． (1)请你完成探究活动中的相关问题． ①将的图象向上平移4个单位，得到的直线，则的函数表达式为____________； ②请在图1平面直角坐标系中，画出直线的图象； ③观察图象，直线也可以看作由的图象向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (2)【类比迁移】将向下平移3个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移________个单位得到； (3)【拓展升华】将向下平移个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (4)【综合应用】已知一次函数的图象如图2所示，结合（1）－（3）的探究，请用无刻度的直尺和圆规在同一直角坐标系中画出的图象．（不写作法、保留作图痕迹） 60．在平面直角坐标系中，，将点向上平移3个单位得到点，过点作，如图1． (1)求直线的表达式； (2)如图2，分别作和的角平分线，相交于点， ①求证：； ②求的度数． 一次函数的增减性求参数 61．对于正比例函数，当自变量的值每增加时，函数的值就减少，则的值为（     ） A． B． C． D． 62．某一次函数的自变量取值范围为时，函数值的取值范围为，那么一次函数的表达式为____． 63．在第章的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“根据函数关系式画函数的图象—根据图象研究函数的性质—运用函数的性质解决问题”的学习过程．现在，让我们用由特殊到一般的数学方法，探究函数（为常数）图象及部分性质． 【特例研究】 当时，画函数的图象，经历分析表达式、列表、描点、连线的过程得到函数图象，如图： … … … … 我们发现：函数的图象是由两条射线组成的轴对称图形，具有如下性质：图象关于轴（直线）对称；当时，随增大而减小，当时，随增大而增大；当时，函数有最小值． 【类比发现】 (1)当时，即函数， ①在上图的平面直角坐标系中，画出函数的图象； ②观察函数图象，写出此函数的一条性质： ③根据函数的图象与性质，当时，求的取值范围是 ； 【深入探究】 (2)观察图象可知，函数的图象可由函数的图象平移得到；若，则函数图象可由函数的图象怎样平移得到呢？ (3)根据函数的图象与性质，当时，函数的最小值为，求的值． 一次函数的旋转问题 64．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式． 65．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．设，将直线绕点A按某一方向旋转后交y轴于点． (1)分别求出点A和点B的坐标； (2)若，当点C在点B的上方时，求此时点C的坐标； (3)若，则y轴上是否存在点C？若存在，请求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由． 66．平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点B，C，且a．b满足．不论k为何值，直线l：都经过x轴上一定点A． (1)_______，_______；点A的坐标为_______； (2)如图1，当时，将线段沿某个方向平移，使得与点B对应的点M恰好在直线l上，与点C对应的点N恰好在直线上，请你判断四边形的形状，并求出M点坐标； (3)如图2，当k的取值发生变化时，直线l：绕着点A旋转，当它与直线相交的夹角为时，求出相应的k的值． 一次函数的存在性问题 67．如图，将直线沿y轴向下平移后的直线恰好经过点，且与y轴交于点B在x轴上存在一点P使得的值最小，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 68．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠． （Ⅰ）在x轴上是否存在C点，使折叠后点A对应的点恰好落在y轴上？______（请填写“是”或“否”）． （Ⅱ）如果存在满足（Ⅰ）中条件的点C，请直接写出它的坐标．______． 69．如图，一次函数的图象与x轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在轴上．将直线沿直线翻折，使得点的对应点落在轴上．已知点，． (1)若点在轴负半轴上，求直线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（1）的条件下，存在第一象限内的点，使得与以、、为顶点的三角形全等，试求出点的坐标． 一次函数的翻折问题 70．如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接， ． (1)求A、C两点的坐标； (2)将纸片折叠， 使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积； (3)求所在直线的函数表达式． 71．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，C是x轴上一点，将沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处． (1)求点D的坐标； (2)求直线的函数表达式． 72．如图平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，将沿直线折叠，使得边落在上，点与点重合．    (1)求直线的解析式和点的坐标； (2)轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 分段计费问题 73．“兰陵大蒜”是山东知名特色农产品，也是国家地理标志产品．为推动乡村产业高质量发展，拓宽优质农产品销售渠道，某电商平台联合当地农民专业合作社开展助农专场促销活动，对兰陵大蒜实行分段计价销售：一次性购买大蒜不超过时，按原价销售；超过时，超过部分享受助农优惠价．如图为购买大蒜消费金额（元）与购买量之间的函数图象． (1)①大蒜的原价为_________元；②求当时，与之间的函数关系式． (2)某餐馆为储备食材，在活动期间一次性购买大蒜，求该餐馆比按原价购买节省多少元？ (3)某农产品经销商通过该活动采购大蒜，共支付270元，求该经销商本次采购大蒜多少千克？ 74．“数趣研习社”网络学习平台为满足不同用户的学习需求，策划了A、B两种上网学习的月收费套餐，具体收费标准如下表： 收费套餐 月使用费／元 包月上网时间／ 超时费／（元／） 5 20 0.4 0.5 设每月上网学习时间为小时，套餐A、B对应的收费金额分别为元，元． (1)如图是与之间函数关系的图象，请根据图象填空：__________，__________； (2)当时，求与之间的函数关系式． (3)已知某同学每月平均上网学习的时间为70小时，选择哪种方式上网学习合算？请说明理由． 75．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场．目前来看，共享电动车的收费方式与共享单车差不多，两种品牌的共享电动车收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． (1)请求出两个函数的关系式，并说明品牌的收费方案； (2)如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为/小时，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？ (3)如果你是运营商，在不增加客户使用费用的前提下，还有其他提高利润的方法吗？（请至少写出一条） 一次函数的新定义问题 76．定义：对于给定的一次函数（为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“相依函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“相依函数”图象上，则的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 77．新定义：函数图像上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．函数的“特征值”是__________． 78．定义：在平面直角坐标系中，将直线..的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 【定义辨析】 （1）若点在上，则下列四个点① 、②、③、④，在的 “k 倍伴随线”上的点有 （填序号）； （2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（ ）； A．   B．   C．   D． 【定义延伸】 （3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确的是 （填序号）； 【定义应用】 （4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使△ABC为等腰直角三角形，求k的值． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $