上分专题02 平面向量中的最值或取值范围问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

10.B解析：由A币=0币-0i,设10币1=t,t≥0，则A.0币=0-0. 亦r-1m子r-受-(）”日所以当子时， 市.0取得的最小值为8 1 图解折：a是6c的垂6i1成府配戒。 (成-成)=0成.成=成.成同理可得成.成=成.成，故 .成=丽.成=H成.i:4i+5丽+6屁=0,42+ 5成，成+6成成=0成·应=普2同理可求得成· 成子威m人m成店芹网： 应1诚，sLAB= 破.成士 脉阿小w2之A0=异即s乙A8=巴 11 上分专题02平面向量中的最值或取值范围问题 1.D解析：B=xB+yB武=xB+4yB励，由A,E,D三点共线可得x+ =1,且0%0所以·子-（任）e+4=9女空= 龙y 92√空三94当收产即32时 7=14 等号成立 M D 0 (第1题) (第2题) 2D解析：如图，由于0亦号可成+A成，在0A的反向延长线上取点 C,使得0C=号0A,过c作C30B,分别交0M和AB的延长线于点 DB,则CD=号0B,CB=号0B,要使得点P落在指定区域内，则点P 应落在DE上.当点P在点D处时，市=-}d+}O成，当点P在点 3 E处时，耐号成，所以入的取值范周是（行，号）】 3.A解标：设=市店花 A前3，j广= 14花14 ,则1i训=1，j=1,且(1》= ∠BAC=60°，所以(i+j)2=1+1+2×1×1×c0860°=3=A产，即Ai= 号+}花因为市=破+子市-成=：+花访 +衣d,所以市-+}衣+号应+}花-(+时）应 花曲等和线性质得0了每得<古 1 4号解折：如图，延长40交BC于点D,设d-k,则市- 会花因为D在BC上，所以安+公=1，即=mtn,所以长的最大值 为号设△A6C外接圆的半径为R,所以k-动。R ,当k最 1A1R+10i 大用D数，0Lc时大值断以高子受 R 参考答案 弓，此时△MBC是等腰三角形，∠B0D=子∠B0C=LA,所以 osA=cs∠B0D=0D.1 R3 (第4题) (第5题) 5.A解析：由正八边形的对称性可知O成.A+O成，A=-0.市+ 0O市.A市=A市.(O成-O)=A市.A店，易知正八边形的每个内角为 (8=2)×180°=135，设市与成的夹角为9，则市.店=1市1· 8 1A1cos日，所以当1AP1cos0最大时，A市·AB取得最大值；当 |A1cos最小时，A币.A取得最小值如图，过点C作CT垂直AB的 延长线于点T,过点H作HS垂直BA的延长线于点S,可知当P在线 段CD上时，1A市1cos日取得最大值，A1cos0=AB+BCco945°=2+ 2,此时市.A店=(2+2)×2=4+22.当P在线段GH上时， 1A1cos取得最小值，此时1A1c0s0=AHcos135°=-2，此时A市. A店=(-√2)x2=-22,故A.A的取值范围为(-22,4+22). 6.C解析：如图，以C为原点建立平面直角坐标系，易知A(-2,1), B(0,1),F(0,-1),E(-1,-2),H(1,0),L(1,2) 当点P在线段AB上运动，设P(x,1),其 中-2≤x≤0，所以E=(2,2),F市=(x,2), 则E.F序=2x+4.因为-2≤x≤0，所以E· F市e[0,4].当点P在线段BL上运动，设 D P(x,y)(0≤x≤1)，则B脉=(x,y-1),B= (1,1),且B㎡∥屁，则x=y-1,故P(x,x+1) (0≤x≤1,1≤y≤2)，F=(x,x+2),则E扇.=4x+4.因为0≤x≤ 1,所以E.F巾e[4,8],综上，E.F币的取值范围为[0,8]. 7.ACD解析：对于A,B,因为点M为AB的中点，所以A.B=P· 成-（成+）·（成+）=成-}恋，其中迹为定值，所以 A巾.B的取值范围由1PM1的大小决定又点P为直线1上一动点， 所以当PM⊥l时，P1取到最小值，无最大值，故.B有最小值， 无最大值，则A正确，B错误； 对于c,花.成=d.=(威+)·（成+）=， 市.励-，成=（成+）·（成+）=-}恋，所以 A花.B武-A市.B励=C-D.由题图可知C办-D>0,所以A花. B武A市.B励，故C正确； 对于D,若(A花+E)·(B成+E)=A花.B成+(A花+B成)·E亦+E= A花.B成+2M应.E市+E=A.B应，则2M应.E成+E中=0，所以 1E1=-21M市1cos(M应，E),所以cos(M正，E<0.因为点F在直线 1上，所以这样的点F只有一个，所以D正确 8.2解析：M是边BC的中点，N是线段BM的中点，因为=(+ 衣=子(aw),成：子（+动，所以=}+=破 (}迹+证)-？+在△MBc中，因为∠B4C=石，所以 △4C的面积为分成×成X血名-1a11=店，所以 黑白题097 al61=45,所以d.ab)·(a+）月 3 2…bs3 31 a845号-2 ×4W3+3=6.当且仅当1b1=√31al=23 8 时取等号，所以AM·A的最小值为6，所以此时AC=2W3,AB=2, ∠BMC=石.所以aC=AC2+MB2-24C:AB·m石=12+4-2X T 25x2x写4，所以成-2 9.B解析：因为a,b,c均为单位向量，a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0，所 以a·b-(a+b)·c+c2≤0，所以(a+b)·c≥1，则1a+b-c|= √1+1+1+2a·b-2(a+b)·c=√1+1+1-2(a+b)·c≤V3-2=1, 则1a+b-cl的最大值为1. 10.C解析：如图，连接M0,OP,OQ,ON,作OE⊥PQ,OD⊥MW,垂足分 别为E,D,则E,D分别是QP,MN的中点.由勾股定理得OE= √132-5=12,0D=√132-12z=5,PMi+Q成=0M-0+0-0d (0M+0-(0+0)=2(0i-0成)，故1PM+Q1=210i-0成1≤ 2(10i1+101)=34.当0正，0币反向时等号成立，所以|PM+Q1 的最大值是34. C (第10题) (第11题) 11.ACD解析：对于A,由a1(a-4b),得a·(a-4b)=a2-4a·b=4- 4a·b=0,a·b=1,la-tb1=√(a-tb)7=√a2-2a·b+2b2= √4-2t+t2=√(t-1)2+3.因此当t=1时，Ia-b1取得最小值 3,A正确； 对于B,由 )+n=1,得5m2+2n2=10,则1ma+nb1 √/(ma+nb)2=√m2a2+2mna·b+n2b2=√/4m2+2mn+n2≤ √4m2+(m2+n2)+n2=√5m2+2n2=√10.当且仅当m=n=± 70 1 时等号成立，B错误： 对于C,D,(c-a,c-2b〉=30°，a·b=2×1×cos(a,b〉=1，co8(a,b〉= 又0°≤(a,b)≤180°，则(a,b)=60. 1 作0i=a,0=2b,∠E0A=60°，0E=0A=2,以0为圆心，0A长为半 径作圆，如图。 当C是圆0的优弧AC1E上的点时，即c=OC1时，满足〈c-a,c- 2b〉=30°，再作0点关于直线AE的对称点H,以H为圆心，HM长为 半径作圆； 当C是圆H的优弧AC2E上的点时，即c=OC2时，也满足〈c-a, c-2b〉=30°； 当C不是这两段优弧上的点时，都不满足∠ACE=30°，即不满足 (c-a,c-2b)=30° △0AE是等边三角形，因此10HI=2√5，两圆半径都是2，由图可知 1OC1即Ic的最小值是2，最大值是2w3+2,C,D正确. 12.22-1解析：由b2-8e·b+15=0得(b-3e)·(b-5e)=0,所以 (b-3e)1(b-5e).设0i=e,0A=a,0i=b,0=5e,0=3e,0i= 4e,则F=0成-0市=b-3e,N=0i-0成=b-5e,a-b=0i-0成=B, 必修第二册·RJ 所以有F·2=0,F市⊥N2,则FB⊥NB,所以点B的轨迹为以M 为圆心的圆. 如图，过点M作MA1⊥OA,垂足为A1,交圆于点B1,根据图象可得 出1A1B1即为1a-b1的最小值.在R1△OA1M中，有0M=4, LA1OM=年，所以有A1M=OMsin-年=22.又MB,=MF=1,所以 IA1B,1=A1M-MB1=2W2-1. 13.D解析：因为1a+b1=21a-b1,两边平方得a2+b2+2a·b=4(a2+ -2a,b),整理得a6=高(1a12+1b1,m(a,6)=8 合2☆号组收者a6时等号装立， 所赵血a小（号厂-号故a的最大航为子 14.C解析：因为(a-b)1b,所以(a-b)·b=0,a·b=b2,cos(a,b)= a·b b21b11 1 lallbllallbl lal lal v22-421+8 三又因为22-42t+8= 1 2[(t-2)2+2]≥2[(2-2)2+2]=4，所以0<c0s(a,b〉≤2，所 以a,b的夹角的最小值为号 15.D解析：如图，设1A1=c,A心1=b,A与Ad 的夹角LBAC=a,因为Bi=2A应，所以A市=AS A成+B励=A成+2A成=3A成 由于E,F分别为线段AC,AD的中点，则A正 }衣亦市诚因为g,6P三点共 线，所以存在实数A,使得=A4(1-A子花，3城又 2 因为BG,C三点共线，所以分3》=1，解得A=分，则店- 2 花+应那么成=花-市=（行花+应）3=花 应，成花应 由于0c1c,所以成.成=(}花-？应）·（成-） }衣}衣应破花+6+？ cos a=0. 1b2+9e2 4041 由此可得cosa= b2+9c2b2+9c2、2V02·9c2 10be,而10bc 10bc 厂06c=子当且仅当2=9c2,即6=3c(b>0,c>0)时，等号成立，此 时1d1=31,os∠BAC取得最小值号 16.-1解析：0元=-(OA+0B),故10B1-10A1≤10元1=10A+0B1≤ 10A1+101.因为101+101=4，所以0元1=4-101.又10A1=2, 所以101-2≤4-101≤2+101，解得1≤101≤3.不妨设101= ,te[1,3],0,0夹角为0，则10元1=4-t,0元=-(0A+0),两边 黑白题098 平方得0心=0+210i1·101cos0+0,即(4-t)2=4+2× 24,解得cos0=2-2因为：e[1,3],所以cm0=2-2e [-1,1],故0i,0夹角的余弦的最小值为-1. 上分专题03余弦定理、正弦定理的应用 1.D解析：在△ABC中，由a-1=√3cosC,得a=1+√5cosC,而B= 号=2，由正弦定理品AC得nC(1+5amC) 2m4=2sn(c+号）nC+万msC,整理得血CsC=ousC因 此asC=0或mC=1解得C=号A=石，所以加A=子 2.A解析：在△ABC中，AB=2√7，∠ABC=30°，AC⊥CB,可得 BC=ABCs LABC=2 2 =√21.在△BCD中，CD=4,∠BDC= 120°，BC=√2I,由余弦定理可得BC2=CD2+BD2-2CD·BD· 1 cos∠BDC,即21=16+BD2-2x4BDx(2),即BD2+4BD-5=0,解 得BD=1(负值已舍去)，即BD的长为1. 3.C解析：由题意可知∠MAB= 2 -a,∠AMB=a-B,如图，过点M 作MC⊥AB于点C,设CM=x,根据正弦定理可得 in(a-B) BM BM ,所以BM=mcos& sin(a-β) .又因为x=BM·cosB= cos a' mcos acos B >n时设有触礁危险，即mcos acos B>nsin(a-B),故①正 sin(a-B) 确； m、sin(a-B) =tana-tanB,④正确. n cos acos B 4北 +北 B B D (第3题) (第4题) 4.B解析：如图，延长AM交BC于D,因为△MAB,△MAC的面积之比 为1：1，所以D是BC的中点.因为△MAB,△MAC面积之和与 △MBC面积之比为2：3，所以AM=2 AD2a2 又因为cos∠ADB+cos∠ADC=0,所以 =0. 2A0分2A0 a 又因为-，求得0=名。，所以D=号40=-C, 则BLCM.又△ABC的面积为20，所以SAC= 5 SAABG 12= M:a,解得CM=6 5.ABD解析：因为△ABC内切圆的半径为，所以S=2(a+b+c)·r pr.又S=√p(p-a)(p-b)(p-c),所以pr=√p(p-a)(p-b)(p-c),整 理得2p=(p-a)(p-b)(p-c),A正确； a2+62+c2-43S=262+2c2-2bccos A-23 bcsin A=2(62+e2)- 4c血(4+石）≥2(B2+2)-4c=2(6-e2≥0.当且仅当△4Bc 参考答案 是正三角形时，等号成立，所以当△ABC不是正三角形时，4√5S<a2+ b2+c2,B正确. △MBC的面积s=子nA=子c·V个-m万=子c: √小-（士-(，G不正商： 因为b+c=6,a=4,所以p=2（a+6+c)=5,则§ Vpp-a0-b0p-Q=v55-65-o≤5.5-+5-c=25.当 2 且仅当b=c=3时，等号成立，D正确. 6.B解析：如图，设外接圆半径为R,连接OA,OB, OC,在三角形ABC中，a,b,c的对角分别为A,B, C,设点O到△ABC三边AB,AC,BC的距离分别 为de,db,da 0 由锐角△ABC知cosC,cosB,cosA均为正数， 由外接圆知乙A0B=2∠C,所以SAm=宁2. =R2im2C=R2 sin Coos C.同理：SAOC=R2 sin Bo3B, sinLAOB=2 SAROC?=R2 sin Acos A,所以S AAOR:SAAOC:S△B0c=sin Ceos C: sin Bcos B:sin Acos A.由正弦定理得c:b:a=sinC:sinB:sinA, 所以SAA0B:SAAOC:SABOC=ceos C:bcos B:acos A.. 又S AAOB:S△Aoc:S△Boc=cd。:bd,:ada,所以cd。:bd,:ad。= ccos C:bcos B:acosA,所以d。:d6:d。=cosC:cosB:cosA. 7.BCD解析：设a=n-1,b=n,c=n+1,且n≥3，neZ, 若存在唯一的△ABC,使得C=红，则sC=a+6.2 2ab “-a子条得n=子又子不为整数故不存在 2n(n-1) △4BC,使得C=,故A错误 若存在唯-的△ABc,使得C=受则需满足a2+62=,即(a=1)2+ n2=(n+1)2,解得n=4或n=0(舍去)，故B正确； 若存在唯一的△ABC,使得3A+B=π.因为A+B+C=T,所以C=2A,所 以i血C=im2A,即i血C=2 sin Acos A,即c=2a.6+c-a2因此6e2 2bc a(b2+c2-a2),即(b-a)c2=a(b2-a2),所以c2=a(b+a),所以 (n+1)2=(n-1)(2n-1),解得n=5或n=0(舍去)，故C正确； 若存在△ABC,使得血mC=nBomC+em分，即om号 sin Bsin C-cos Bcos C=-cos(B+C)=cosA.又0<A<T,0<C<T,所以 =A,即C=3A,所以inC=sim3A,即sinC=sin(2A+A),即 3 sin C=sin 2Acos A+cos 2Asin A,Ep sin C=2sin Acos2A+cos 2Asin A, 即sinC=sinA(4cos2A-1),即n+1=(n-1)4· (4(aa-1少2)°-]化筒有2-3n2-6n+16=0,整理得 2n(n+1) (n2-n-8)(n-2)=0.又n≥3，n∈Z,即n2-n-8=0,由求根公式可得 n=1+33 Z,故无解，D正确. 2 8.等腰三角形或直角三角形解析：在△ABC中，由asiA a2+c2-62s 品及余弦定里，利高g整理得血一A sin Bcos B,sin 2A=sin 2B.m 0<2A<2T,0<2B<2m,0<2A+2B<2m, 因此24=2B或21+2B=,所以A=B或4+8=受，即△ABC为等腰 三角形或直角三角形. 黑白题099上分专题02 平面向量中的最值或取值范围问题 题课堂 命题密钥 平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知 识的交汇组合.其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、 向量夹角、系数的范围等.在高考中多以选择题或填空题的形式出现，如2025年北京卷第 10题，考查模的取值范围，2023年全国乙卷的第12题，考查数量积的取值范围. 考点觉醒 ●基础知识 题型分类 系数问题、数量积问题、向量模的问题、夹角问题 利用向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函 数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题 常见题型 及方法 解题思路 利用向量的几何意义，将问题转化为平面几何中的 最值问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断 代数法：基底法、坐标法 构造法 几何法：投影法、极化恒等式、等和线 ·极化恒等式与等和线 公式 a·b=4[(a+bP-(a-bP] 极化恒 等式 在△ABC中 AB.AC=A-BdM为BC的中点) 平面内一组基底0A,OB及任一向量0P,0A0A+u0B(入， 定义 ∈R),若点P在直线AB或平行于AB的直线上，则入+=k(定 值)，反之也成立.直线AB及与AB平行的直线称为等和线 等和线 ①等和线为直线AB←→h=1; 结论 ②等和线在点O和直线AB之间台k∈(0,1)： ③直线AB在点O和等和线之间←→k∈(1，+∞)】 0 黑白题·上分秘籍03 实战演练 题组1系数问题 题组2数量积问题 1.**(2025·浙江嘉兴高一期中)在△ABC 5.鞋(2025·广东深圳高一期中)已知P是 中，点D在BC上，且满足BDI=4BC1,点 边长为2的正八边形ABCDEFGH内的一点， 0为其中心，则02·AP+0B·AP的取值范围 E为AD上任意一点，若实数x,y满足BE= 是 ( xB+yB元，则上+2的最小值为 ( A.（-2W2,4+2W2) B.(-4,4+2√2) x Y C.(-2,4) D.(-4,4) A.22 B.4√3 C.4+23D.9+4w2 6.装(2025·江苏常州高一期中)“四叶回旋 2.（2025·湖北武汉高一期末)如图， 镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的 OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运 图形，如图所示，AB=2,CD=1,∠A=45°.点 P在线段AB与线段BL上运动，则E·FP 动，且O丽：}0A+MO应，则A的取值范图是 的取值范围为 a.(o,号) B.(33) A.[-4,6] B.[0,6] 写) C.[0,8] D.[4,8] c() 7.特（多选）(2025·辽宁沈阳高一月考)如 3.禁(2025·黑龙江绥化高一月考)已知 图，AB是直线l同侧的两个定点，由线段AB 4ABC中，AB=3,AC=4,∠BAC三，I是 的中点M向直线1作垂线，垂足为N,定点 C,D,E在直线1上，点P是直线l上的一个 ∠BAC的平分线上一点，且AI=√3.若△ABC 动点，则命题正确的有 内（不包含边界）的一点D满足而=xAB+ C,则实数x的取值范周是 B2) c(42) n.o,4) A.A正.BP有最小值 4.#(2025·湖南怀化高一期末)已知0为 B.AP·BP有最大值 △ABC的外心，满足AO=mAB+nA,若m+n C.AC.BC>AD.BD 的最大值为子，则sA- D.直线L上有且只有一点F(不与点E重 合)使得A京.BF=A正.B正 04数学1必修第二册·RJ 8.禁(2025·陕西西安高一月考)如图，在12.接(2025·四川资阳高一月考)已知4， △ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM b,e是平面向量，其中e是单位向量，若非 的中点.设AB=a,AC=b,若∠BAC= 6 零向量a与e的夹角是牙，向量b满足 △ABC的面积为3，则当1BCI= b2-8e·b+15=0,则Ia-bI的最小值 是 时，A·AN取得最小值， 题组4夹角问题 13.*(2025·福建厦门高一期末)已知向量 a,b满足Ia+b1=21a-bl,则sin(a,b〉的最 大值为 题组3向量模的问题 3 9.整(2025·江苏南京高一期中)若a,b,c .3 . 均为单位向量，且a·b=0,（a-c)· (b-c)≤0，则Ia+b-cl的最大值为( A.√2-1 B.1 14.#(2025·广东广州高一月考)已知向量 C.2 D.2 a,b满足a=(t,2W2-t),Ib1=1,且(a-b)⊥ b,则a,b的夹角的最小值为 10.禁(2025·河北承德高一期中)如图，已 知圆O的半径为13，PQ和MN是圆0的两 A.m 6 B.T 4 条动弦，若1P01=10,1M1=24,则|PM+ Q|的最大值是 ( c. D. 15.(2025·福建莆田高一月考)已知在 △ABC所在平面内，BD=2AB,E,F分别为 0. 线段AC,AD的中点，直线EF与BC相交于 点G,若DG⊥BC,则 () A.17 B.20 C.34 D.48 A.当1AC1=41AB1时，(cos/BAC)m=7 11.热（多选）(2025·重庆一中高一月考)已 知平面向量a,b满足|a|=2,1b1=1,a⊥ B.当1AC1=4IABI时，(cos∠BAC)min= 5 (a-4b),则下列说法正确的是 4 A.Ia-tbl(teR)的最小值为√3 C.当1AC1=31AB1时，(cos∠BAC)min= 5 A若受兮1，则a61的最大值为行 D当1d=31时，(e=∠MC-号 C.若向量c满足〈c-a,c-2b〉=30°，则1c116.然(2025·江苏南通高一月考)已知04+ 的最大值是2√3+2 0B与0C为相反向量，若10A1=2,10品1+ D.若向量c满足(c-a,c-2b〉=30°，则1c 10C1=4,则0A,0B夹角的余弦的最小值为 的最小值是2 黑白题·上分秘籍05