专题06 概率7大题型（期末复习课件）高一数学下学期人教A版

这是一份高中数学高一年级下学期的期末复习课件，聚焦概率专题，以“必备知识-重难点题型-分层验收”为学习支架，涵盖事件关系与运算、古典概型、独立事件等核心知识点，包含8类题型解析及配套练习题。 资料特色在于融合新课标核心素养，通过定义法与集合法判断互斥对立事件，结合射击抽样等实例培养数学思维，以频率估计概率强化数据观念，帮助高一学生夯实基础提升逻辑推理能力，为教师提供系统复习方案助力期末高效备考。

专题06 概率 高一年级数学下学期 期末复习讲义 人教A版 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 1 题型01 事件的表示与运算 题型02 古典概型的概率计算 题型03有放回与不放回问题的概率 题型04概率的基本性质 题型05相互独立事件的判断 题型06概率的综合应用 题型07频率估计概率 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 1 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 2 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 3 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 4 CONTENTS 内 容 导 航 2 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 3 核心考点 复习目标 考情规律 随机事件的关系与运算 1、能准确区分必然事件、不可能事件、随机事件； 2、能辨析互斥事件、对立事件，掌握并事件、交事件运算； 3、能结合事件关系分析概率问题 基础高频考点，小题必考，是概率解题基础； 易错点：混淆互斥与对立事件，无法准确判断事件关系 古典概型 1、能准确判断古典概型有限性、等可能性的核心特征； 2、能规范枚举基本事件，熟练套用公式求解概率 本章核心必考考点，小题、解答题均会考查；常结合生活情境命题； 易错点：基本事件计数漏重、忽略等可能性条件 概率的基本性质   1、熟记概率的取值范围、必然事件与不可能事件的概率； 2、熟练掌握互斥事件加法公式、对立事件概率公式； 3、利用概率性质进行简单概率求值与判断 高频核心考点，常结合古典概型综合考查；小题公式应用居多，是解答题关键步骤； 易错点：滥用加法公式，忽略事件互斥的前提条件 事件的相互独立性 1、能准确判定两个事件是否相互独立； 2、能熟练运用独立事件乘法公式计算概率； 3、能区分独立事件与互斥事件的差异 期末高频重难点，大小题均高频考查，常综合命题； 易错点：混淆独立与互斥概念，错用加法、乘法概率公式 频率与概率 1、能辨析频率与概率的定义和本质区别； 2、能利用频率稳定性估计随机事件的概率 基础必考点，以小题考查为主，难度低； 易错点：将随机试验的频率等同于固定不变的概 4 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 5 知识点01 随机事件与概率 1、事件的关系与运算 （1）包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者． （2）相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等． （3）并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）． （4）交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）． （5）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥； 如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥． （6）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为． 6 知识点01 随机事件与概率 2、概率的基本性质 （1）对于任意事件都有：． （2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即． （3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则． 推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：． （4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且． （5）概率的单调性：若，则． （6）若，是一次随机实验中的两个事件，则． 7 知识点01 随机事件与概率 3、古典概型 （1）古典概型的定义：一般地，若试验具有以下特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． （2）古典概型的概率公式：一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率． 8 知识点02 事件的相互独立性 1、相互独立事件的概念 对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． 2、概率的乘法公式：由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 3、相互独立事件的性质：如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立． 4、两个事件的相互独立性的推广：两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率． 9 知识点03 频率与与概率 1、频率的稳定性：大量的试验证明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 2、频率的求法：频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率，频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值是概率． 3、频率和概率区别和联系 区别：（1）在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率． （2）概率是度量随机事件发生的可能性大小的量 （3）频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某事件的固有属性． 联系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)． 10 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 11 题型一 事件的表示与运算 判断互斥、对立事件的两种方法 （1）定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件． （2）集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥． ②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集． 解｜题｜技｜巧 12 13 14 15 题型二 古典概型的概率计算 用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件个数除以基本事件空间Ω所含的基本事件个数求解事件A发生的概率P(A)．解题的关键如下： ①定型，即根据古典概型的特点——有限性与等可能性，确定所求概率模型为古典概型． ②求量，利用列举法、排列组合等方法求出基本事件空间Ω及事件A所含的基本事件数． ③求值，代入公式P(A)＝ 求值． 解｜题｜技｜巧 16 17 18 19 题型三 有放回与不放回问题的概率 1、有放回抽样：每次抽取后将样本放回，总数量保持不变，每次试验条件完全相同，各次抽取相互独立。 2、不放回抽样：每次抽取后样本不再放回，总数量逐次减少，前后试验条件改变，各次抽取不独立。 解｜题｜技｜巧 20 21 22 23 24 题型四 概率的基本性质 1、乱用加法公式，未判断事件互斥就直接相加； 2、混淆互斥与对立事件，误将互斥事件当作对立事件计算； 3、忽略对立事件概率逆向用法，正面复杂计算耗时且易错； 4、算出概率超出0~1范围，未及时检验纠错 易｜错｜提｜醒 25 26 27 题型五 相互独立事件的判断 解题时先分析事件关联，有概率数值时代入公式验证，多事件独立需满足两两独立且整体概率乘积成立，不可仅凭两两独立判定. 解｜题｜技｜巧 28 29 30 31 32 题型六 概率的综合应用 解决概率综合问题，需先准确判断事件类型，区分互斥、对立、相互独立事件，匹配对应的加法、减法与乘法公式，杜绝公式混用。遇到“至多、至少”等复杂正面问题，优先利用对立事件逆向求解，大幅简化计算步骤。抽取类题型需分清有放回与不放回模型，有放回属于独立事件概率不变，不放回概率逐次变化不可套用独立公式。解题最后需核验结果在0到1区间内，规避计算失误与逻辑错误. 解｜题｜技｜巧 33 34 35 36 37 题型七 频率估计概率与总体的概念辨析 用频率估计概率的核心是利用大量重复试验下，频率会逐渐稳定在某个常数，这个常数即为事件的概率。试验次数越多，频率越接近真实概率，估计结果越准确，单次或少量试验的频率不具备参考性。解题时需严格区分频率是试验得到的可变值、概率是事件固有的固定值，不可将二者等同。可根据稳定后的频率值，直接估算未知事件的概率，解决相关统计计算问题 解｜题｜技｜巧 38 39 40 41 42 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 43 44 45 46 47 48 49 50 51 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变. 教师寄语 52 【典例1】(24-25高一下.河北秦皇岛.期末)投掷两枚质地均匀的骰子,记事件A为两枚骰子朝上的点数均为偶数,事件B为两枚骰子朝上的点数均为奇数,则(    ) A．A为必然事件 B．B为不可能事件 C．A与B为互斥但不对立事件 D．A与B互为对立事件 【解析】显然A与B都是随机事件,且A与B不能同时发生,但可能同时不发生, 故A与B为互斥但不对立事件.故选：C. 【变式1-1】(24-25高一下.云南楚雄.期末)从1～5这5个整数中随机抽取1个数,记事件“抽到小于3的数”,事件“抽到大于2的数”,事件“抽到大于1的奇数”,则(    ) A．和不互斥 B．和互斥且不对立 C．和不互斥 D．和互斥且不对立 【解析】这个试验的样本空间为, 则和互斥且对立,和互斥且但不对立．故选：D. 题型一 事件的表示与运算 C． D． 【解析】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标,所以,故A正确； B.包含的事件为至少一次击中目标,为样本空间,所以B错误,C正确； D.事件与事件是对立事件,所以,故D正确.故选：B 【变式1-2】(25-26高一上.江西南昌.期末)对空中移动的目标连续射击两次,设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标},至少有一次击中目标},下列关系不正确的是(    ) A． B． B．“至少有1名男生”与“全是男生”； C．“至少有1名男生”与“全是女生”； D．“至少有1名男生”与“至少有1名女生”． 【解析】对于A,在所选2名同学中,“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”, 它与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以是互斥事件,A正确； 对于B,“至少有1名男生” 包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果, 这与“全是男生”可能同时发生,所以不是互斥事件,B错误； 对于C,“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果, 它与“全是女生”不可能同时发生,所以是互斥事件,C正确； 对于D,“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果, 而“至少有1名女生” 包括“1名男生和1名女生”和“2名都是女生”两种结果, 它们可能同时发生,所以不是互斥事件,D错误. 故选：AC 【变式1-3】(24-25高一下.新疆乌鲁木齐.期末)(多选)某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,下列两事件是互斥事件的是(    ) A．“恰有1名男生”与“恰有2名男生”； A． B． C． D． 【解析】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次,观察向上的点数,共有个样本点, 其中事件“点数和为”所包含的样本点为：、、、,共种, 故所求概率为. 题型二 古典概型的概率计算 【典例2】(24-25高一下.江苏无锡.期末)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次,观察向上的点数,则点数和为的概率是(    ) 【解析】由题意可知从高一学生中抽取人,记为, 从高二学生中抽取人,记为, 从高三学生中抽取人,记为, 则从这5人中抽取2人有：,10种情况, 其中至少有一名来自高二年级有,7种情况, 所以所求概率为.故选：D. 【变式2-1】(24-25高一下.福建福州.期末)某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为．按学生所在年级进行分层,用分层随机抽样的方法从中抽取5名学生去敬老院献爱心．从这5人中随机抽取2人作为负责人,则2名负责人至少有一名来自高二年级的概率为(    ) A． B． C． D． A． B． C． D． 【解析】记男性应聘者分别为,女性应聘者分别为, 从这5人中随机抽取2人的情况有,,,,,,,,,,共10种, 其中2人性别不同的情况有,,,,,,共6种, 故所求概率．故选：C 【变式2-3】(24-25高一下.黑龙江.期末)甲乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为,其中,若,就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为__________. 【解析】由题设,所有可能的有序数对共有个, 而的情况有 ,共有16个, 所以任意找两人玩这个游戏,他们“心有灵犀”的概率为. 【变式2-2】(24-25高一下.湖南邵阳.期末)现有5人(其中男性有2人,女性有3人)去某公司应聘,但该公司只录用2人．假设这5人被录用的机会相同,则被录用的2人性别不同的概率是(    ) 【解析】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中不放回地随机抽取3张, 样本空间 共10个基本事件,即 用表示“抽到的3张卡片上的数字之和不小于10”, 则共4个基本事件,即 所以抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率． 题型三 有放回与不放回问题的概率 【典例3】(24-25高一下.河南商丘.期末)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中不放回地随机抽取3张,则抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率为______． 【解析】从两名男生(记为和)、两名女生(记为1和2)中任意抽取两人, 记事件“抽到的两人是一男生一女生”, 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共16个样本点, 其中有8个样本点, 所以. 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共12个样本点, 其中有8个样本点, 所以.故选：D. 【变式3-1】(24-25高一下.安徽合肥.期末)从两名男生和两名女生中任意抽取两人,分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样,在以上两种抽样方式下,抽到的两人是一男一女的概率分别为(    ) A． B． C． D． (2)若从中摸出一个球,观察颜色后放回,再摸出一个球,求两球颜色恰好不同的概率． 【解析】(1)不放回连续取两次的样本空间,,,,, ,,,,,,,,,,, ,,, 记“两数之和为3的倍数”为事件, 则事件,,,,,,, , (2)设5个球记为,,,,,则有放回地取出两个的样本空间 ,,,,,,, ,,,,,,,, ,,,,,,,, 记“两球颜色恰好不同的概率”为事件,则,,, ,,,,,,,, , 【变式3-2】(24-25高一下.山东泰安.期末)袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球,3个黄球． (1)若这5个球分别标有数字,,,,,现从袋中每次任取一个球,每次取出后不放回,连续取两次,求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； (2)若标签的选取是有放回的,写出样本空间,并求的概率． 【解析】(1)若标签的选取是不放回的,则样本空间为： , 共种等可能情形, 满足的有：,共6种情形, 所以满足的概率为； (2)若标签的选取是有放回的,则样本空间为： , 共16种等可能情形, 满足的有：,共6种情形, 所以满足的概率. 【变式3-3】(24-25高一下.广东广州.期末)一个盒子中装有标号为1,2,3,5的4张标签,依次随机选取两张标签,用数组表示可能的结果,其中m表示第一次取出的标签上的数字,n表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的,写出样本空间,并求的概率； 【典例4】(24-25高一下.广东深圳.期末)已知两个随机事件和,其中,则(    ) A． B． C． D． 【解析】, ． 【变式4-1】(24-25高一下.甘肃临夏.期末)已知为随机事件,与互斥,与互为对立,且,则(    ) A． B． C． D． 【解析】由与互为对立,则, 又与互斥,则.故选：B. 题型四 概率的基本性质 【解析】由概率的性质知, 因此, . 【变式4-3】(25-26高一上.江西赣州.期末)设、两个随机事件为互斥事件,发生的概率均不等于,若,,则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】因为、两个随机事件为互斥事件,发生的概率均不等于, 若,, 由题意可得,解得, 由互斥事件的概率公式可得, 由题意可得,解得, 故的取值范围是.故选：A. 【变式4-2】(24-25高一下.湖南衡阳.期末)设是一个随机试验中的两个事件,且,,,则_______. A．事件与相互独立 B．事件与相互独立 C．事件与相互独立 D．事件与相互独立 【解析】依题意,,事件包含,共4种情况； 事件包含,共6种情况, 对于A,,事件与相互独立,A正确. 对于B,,,事件与相互独立,B正确； 对于C,,,事件与不相互独立,C错误； 对于D,,事件与相互独立,D正确. 故选：ABD 题型五 相互独立事件的判断 【典例5】(24-25高一下.甘肃白银.期末)(多选)某人抛掷一颗均匀的骰子两次,事件表示“第一次掷出的点数是3”,事件表示“第二次掷出的点数是4”,事件表示“两次掷出的点数之和是9”,事件表示“两次掷出的点数之和是7",则(    ) C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 【解析】,事件丙包含,共5个基本事件, 所以,, 所以,甲与丙不相互独立,故A错误； 事件丁包含共6个基本事件, 所以,, 所以,甲与丙相互独立,故B正确； ,,所以,乙与丙不相互独立,故C错误； 事件丙和丁没有公共事件,不可能同时发生,所以丙和丁互斥,故D正确. 故选：BD 【变式5-1】(24-25高一下.贵州遵义.期末)(多选)现有6个分别标有数字1,2,3,4,5,6的相同小球,从中有放回地随机抽取两次,每次取1个球,记事件甲：第一次取出的球的数字是3,事件乙：第二次取出的球的数字是6,事件丙：两次取出的球的数字之和是8,事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3,则(    ) A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．事件A与事件E相互独立 D．事件A与事件B相互独立 【解析】根据题意,,,,, 对于A,由于是不放回的取球,则,故A正确； 对于B,因为,所以事件与相互独立,故B正确； 对于C,因为,所以事件与不相互独立,故C错误； 对于D,因为,所以事件与相互独立,故D正确. 故选：ABD. 【变式5-2】(24-25高一下.广西柳州.期末)(多选)有6个相同的球,分别编号1、2、3、4、5、6,从中先不放回的随机取两次,再将球全部放回随机取一次,以上每次抽取一个小球,记事件A：第一次取球编号数字小于3；B：第二次取球编号数字为偶数；C：第三次取球编号为6；D：前两次取球编号数字和为7；E：第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列说法正确的是(    ) A． B．事件A与事件C相互独立 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 【解析】对于A,,所以与不为对立事件． 对于B,,,,相互独立． 对于C,,,,不相互独立． 对于D,事件为,所以与不为互斥事件．故选：B. 【变式5-3】(24-25高一下.吉林.期末)依次抛掷两枚质地均匀的骰子,表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”,表示事件“第一次抛掷骰子的点数为”,表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”,表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”,则(    ) A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后,甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 【解析】(1)设,分别表示甲两轮猜对1个,2个成语的事件, ,分别表示乙两轮猜对1个,2个成语的事件, 根据独立事件的性质,可得 ,,,, 设“两轮活动星对猜对3个成语”,则, 所以, 因此“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为. (2)设表示乙两轮都没猜对的事件,, 设事件“两轮活动结束后,甲恰好比乙多猜对一个成语”则 . 题型六 概率的综合应用 【典例6】(24-25高一下.江苏无锡.期末)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,共进行两轮活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率为,在每轮活动中,甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响． (2)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (3)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率 【解析】(1)甲租车时间超过2小时,且不超过3小时的概率为：, 乙租车时间超过2小时,且不超过3小时的概率为：； (2)甲、乙两人所付的租车费用相同可分为租车费用都为元、元、元三种情况, 甲、乙两人租车费用都为元的概率为, 甲、乙两人租车费用都为元的概率为, 甲、乙两人租车费用都为元的概率为, 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为； (3)甲、乙两人所付的租车费用之和为元可能的情况是甲、乙的租车费用分别为： ①元、元,②元、元,③元、元, 所以甲、乙两人所付的租车费用之和为元的概率为： . 【变式6-1】(23-24高一下.福建福州.期末)目前低碳的生活理念流行,越来越多的年轻人加入自行车骑游行列.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过小时免费,超过小时的部分每小时收费元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游(各租一车一次),设甲、乙不超过小时还车的概率分别为,；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为,；两人租车时间互不影响且都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人租车时间超过2小时,且不超过3小时的概率； (2)若每位面试者共有三次机会,一旦某次答对抽到的题目,则面试通过,否则就一直抽题到第3次为止,求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 【解析】(1)设“甲答对3道题目”, “甲答对2道题目” “乙答对3道题目”, “乙答对2道题目”, 根据独立事件的性质,可得, ,    , ,     , 设为 “甲、乙两人共答对5道题目”,则, 因为与互斥,与,与分别相互独立, , 所以甲、乙两人共答对5道题目的概率． (2)C=“甲通过面试”,D=“乙通过面试”,与相互独立, , E=“甲、乙两人只有一人通过面试”,则,因为与互斥, 与,与分别相互独立, 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率. 【变式6-2】(24-25高一下.福建福州.期末)甲、乙两人参加某高校的入学面试,入学面试有3道难度相当的题目,甲答对每道题目的概率都是,乙答对每道题目的概率都是,对抽到的不同题目能否答对是独立的,且甲、乙两人答题互不影响； (1)求甲、乙两人共答对5道题目的概率． (2)若选择方案一,求甲获胜的概率. 【解析】(1)抛掷两枚质地均匀的骰子,设向上的点数为,则共有36种情况,如下： , , 其中两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1的情况有： ,共16种情况, 故选择方案一的概率为,则选择方案二的概率为,故方案二被选择的可能性更大. (2)若选择方案一,甲获胜包括三类情况： ①甲在前两局获胜,其概率为：； ②甲在第一局,第三局获胜,其概率为：； ③甲在第二局,第三局获胜,其概率为：, 因三类情况两两互斥,故选择方案一,甲获胜的概率为：. 【变式6-3】(24-25高一下.湖南衡阳.期末)甲、乙两人进行象棋比赛,已知每局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择,方案一：三局两胜制(先胜2局者获胜,比赛结束)；方案二：五局三胜制(先胜3局者获胜,比赛结束). (1)用抛掷骰子的方式决定比赛方案,抛掷两枚质地均匀的骰子,观察两枚骰子向上的点数,若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1,则选择方案一,否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更大,并说明理由； 【典例7】(24-25高一下.新疆巴州.期末)在一次抛掷硬币的试验中,共掷了100次,“正面朝上”的频数为48,则“反面朝上”的频率为(    ) A．48 B．0.48 C．52 D．0.52 【解析】由题意可得反面朝上的频数为52,所以其频率为.故选：D 【变式7-1】(25-26高一下.天津.期末)盒子中有四张卡片,分别写有“笔墨纸砚”四个字,有放回地从中任取一张卡片,直到“纸”“砚”两个字都取到就停止,用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数,分别用代表“笔墨纸砚”这四个字,以每三个随机数为一组,表示三次的结果,经随机模拟产生了以下组随机数： 343  432  314  134  234  132  243  331  112  324 342  241  244  342  124  431  233  214  344  434 由此可以估计,恰好第三次结束时就停止的概率为(    ) A． B． C． D． 【解析】根据题意,在组随机数中,恰好第三次结束时就停止有、、、、,共有组, 343  432  314  134  234  132  243  331  112  324 342  241  244  342  124  431  233  214  344  434 则恰好第三次结束时就停止的概率,故C正确. 题型七 频率估计概率 【解析】(1)因表中200个电子元件的寿命在(单位：h)内的频率为, 故由此估计元件的寿命在(单位：h)内的概率为； (2)因表中200个电子元件的寿命在以上的频率为, 故由此估计元件的寿命在以上的概率为. 【变式7-2】(24-25高一下.江苏盐城.期末)对200个电子元件的寿命(单位：h)进行追踪调查,情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)估计元件的寿命在(单位：h)内的概率； (2)估计元件的寿命在以上的概率． (3)从和两组中用分层抽样的方法共抽取了7人,再从这7人中随机抽取2人,求这两人来自不同的组的概率. 【变式7-3】(24-25高一下.湖南郴州.期末)为了进一步推动体育强国和健康中国的建设,国家体育总局办公厅印发了《2025年群众体育工作要点》,为了解某地高中学生体育锻炼时长,从该地区28000名学生中抽取500人,得到日均体育锻炼时长的频率分布表,如下： 分组 频数 频率 120 0.24 160 155 0.31 35 30 0.06 合计 500 1 (1)求和的值； (2)估计该地区高中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1)； (3)两组频率之比为,共抽取7人, 由分层抽样可知：组抽取3人,组抽取4人, 设组的3人分别为,,,组的4人分别为,,,, 从7人中随机抽取2人的所有基本事件有： ,,,,,,,, ,,,,,,,, ,,,,共21个, 其中两人来自不同组的基本事件有： ,,,,,,, ,,,,共12个, 所以两人来自不同组的概率. 【解析】(1)根据频率分布表,结合频率的计算,得,； (2)根据样本平均数公式可得 , 所以估计该地区高中学生日均体育锻炼时长约为0.9小时； 1．(24-25高一下.江苏无锡.阶段检测)抛掷两枚质地均匀的骰子,则两个点数相等的概率为(    ) A． B． C． D． 【解析】抛掷两枚质地均匀的骰子有种情况, 则两个点数相等的情况有6种, 所以两个点数相等的概率为.故选：A. 2．(24-25高一下.福建福州.期末)已知随机事件和互斥,和对立,且,则(    ) A． B． C． D． 【解析】由和对立,可得,则. 又随机事件和互斥, 所以.故选：A. 3．(24-25高一下.山东泰安.期末)甲,乙两人练习射击,击中目标的概率分别为和,若甲,乙两人各射击一次,则目标恰好被击中一次的概率为(    ) A． B． C． D． 【解析】射击一次： 甲中乙不中：, 甲不中乙中：, 目标恰好被击中一次的概率为：故选：C 期末基础通关练(测试时间：10分钟) 【解析】红色出现的频率为,所以红球出现的概率应接近, 设袋子中红球的个数为, 当时,, 当时,, 当时,, 当时,最接近, 所以袋中红球最有可能有3个. 5．(24-25高一下.吉林.期末)已知随机事件与对立,与相互独立,若,则___________. 【解析】因为与对立,所以, 又与相互独立,所以． 4．(24-25高一下.广东广州.期末)在一个袋子中装有大小与质地均相同的红色和黄色小球共5个,小明每次从中抽取一个观察颜色后并放回,进行100次后统计发现,红色小球出现了58次,黄色小球出现了42次．则袋中红球最有可能有__________个． 【解析】因为,所以, 而互相独立,得, 则. 期末重难突破练(测试时间：10分钟) 1．(24-25高一下.湖南长沙.期末)设样本空间含有等可能的样本点,若事件是的子集,且互相独立,其中 则=_____. C．事件发生的概率为 D．事件发生的概率为 【解析】对于A,由“第一次向下的数字为或”,事件“两次向下的数字之和为偶数”, 而发生同时也有可能发生,故不是互斥事件,A错误; 对于B,因为,而, 故,即事件与事件相互独立,B正确； 对于C,因为事件与事件相互独立所以事件与事件相互独立, ,C正确； 对于D,事件发生的概率,D错误； 故选：BC. 2．(24-25高一下.江苏常州.期末)(多选)一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字,抛掷该正四面体两次,记事件“第一次向下的数字为或”,事件“两次向下的数字之和为偶数”,则下列说法正确的是(   ) A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 (2)求李明最终通过面试的概率． 【解析】(1)设表示“李明答对第道题目”,．设表示“李明第二次答题后结束面试”, 则,且,互斥． 因为每道题目是否答对是独立的,所以与．相互独立,与相互独立, 于是． (2)设表示“李明最终通过面试”,则且互斥, 所以 ． 因此,李明最终通过面试的概率是． 3．(24-25高一下.福建南平.期末)某高校“强基计划”自主招生的面试中有三道不同的题目,每位面试者依次作答．若答对两道题目,则面试通过,结束面试；若答错两道题目,则面试不通过,结束面试．已知李明答对第一道题目的概率为,答对第二道题目的概率为,答对第三道题目的概率为,假设每道题目是否答对是独立的． (1)求李明第二次答题后结束面试的概率； A． B． C． D． 【解析】用1,2,3,4,5,6表示6个主题,甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表： 乙甲 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有36个不同结果,它们等可能, 其中甲乙抽到相同结果有,共6个, 因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个,概率.故选：A 期末综合拓展练(测试时间：15分钟) 1．(2023.全国乙卷.高考真题)某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为(    ) 2．(2023.天津.高考真题)把若干个黑球和白球(这些球除颜色外无其它差异)放进三个空箱子中,三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球,则三个球都是黑球的概率为_________；若把所有球放在一起,随机摸出一球,则该球是白球的概率为_________． 【解析】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为,所以总数为, 所以甲盒中黑球个数为,白球个数为； 乙盒中黑球个数为,白球个数为； 丙盒中黑球个数为,白球个数为； 记“从三个盒子中各取一个球,取到的球都是黑球”为事件,所以, ； 记“将三个盒子混合后取出一个球,是白球”为事件, 黑球总共有个,白球共有个, 所以,． 故答案为：；． (3)现从150人中任意抽选1人,记抽到的学员年龄在为事件,记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由. 【解析】(1)年龄段占总体比例为： ,则抽取人数为：； (2)由题可得人的平均年龄为：； (3)由题可得,,, 注意到,则事件A与事件B不相互独立. 3．(2026.上海.高考真题)某兴趣班共150人,年龄分布及兴趣爱好统计如下： 年龄 剪纸 摄影 画画 人数 8 45 10 55 6 50 (1)现采用分层抽样抽取30人,其中抽到年龄在岁的有多少人？ (2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？ $