第9章 统计 章末检测-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第九章 章 （时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分4 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1.*(2025·天津河东区高一月考)要完成下 列两项调查：①某社区有100户高收入家 庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从 中抽取100户调查有关消费购买力的某项指 标；②从某中学高一年级的10名体育特长生 中抽取3人调查学习情况：应采用的抽样方法 分别是 A.①用简单随机抽样，②用分层随机抽样 B.①②都用简单随机抽样 C.①用分层随机抽样，②用简单随机抽样 5 D.①②都用分层随机抽样 2.*(2025·广西玉林高一期末)王明正在筹 划班级迎新晚会，想知道该准备多少斤水果，他 最希望得到所有学生需要水果数量的( A.四分位数 B.中位数 C.众数 D.均值 3.·(2025·山东济宁高一月考)某工厂利用 随机数表对生产的50个零件进行抽样测试， 先将50个零件进行编号，编号分别为01， 02,…,50.从中抽取5个样本，下面提供随机 数表的第1行到第2行： 第1行：666740371464057111056509 9586687683203790 第2行：571603116314908445217573 8805905223594310 若从表中第1行第7列开始向右依次读取数 据，则得到的第5个样本编号是 A.09 B.05 C.65 D.71 第九章黑目 末检测 于错题本 分：150分)】 *(2025·福建福州高一期末)福清市某天 的5个时刻的气温如图所示，关于这5个时刻 的气温，下列说法错误的是 ↑气温 25℃24℃26℃ 30℃ 20℃ 22℃20℃18℃ 15℃ 10℃ 5℃ 0℃ 11点14，点17点20，点23点时间 A.23点的气温最低 B.这5个时刻的气温极差为8℃ C.平均气温为22℃ D.气温的中位数为23℃ *(2025·河北邯郸高一月考)某班50名 学生在一次百米测试中，成绩全部介于13s 与19s之间，将测试结果按如下方式分成六 组：第一组，成绩大于等于13s且小于14s;第 二组，成绩大于等于14s且小于15s;…;第六 组，成绩大于等于18s且小于等于19s.如图 是按上述分组方法得到的频率分布直方图.设 成绩小于17s的学生人数占全班总人数的百 分比为x,成绩大于等于15s且小于17s的学 生人数为y,平均成绩为z,则从频率分布直方 图中可分析出x,y,z的值分别为 () 频率/组距 0.34 0.18 8日 013141516171819成绩/s A.90%,35,15.86 B.90%,45,15.5 C.10%,35,16 D.10%,45,16.8 题121 6.*(2025·江西南昌高一期末)已知四个不 同的实数x1,x2,x3,x4,其中x1,x2,x3的方差 为s,1,x3,x4的方差为s,若s=s,则( A.x1+x2=x3+x4 B.X1+x3=x2+x4 C.x1-x2=x3-x4 D.x1+x3=x2-4 7.**(2025·湖南娄底高一期末)在一组数3， 3,8,11,28中插入两个整数m,n,使得新的一 组数的极差为原来极差的两倍，且众数和中 位数保持不变，则m+n的最大值为( A.57 B.58 C.60 D.61 8.整(2025·四川绵阳高二期末)哈希表是 种利用键值的映射关系，将数据存储在特定 位置的数据结构.常用的方法之一是“除留余 数法”例如，当除数为3时，键值为13的数据 因13÷3余1，应存放于位置1中，从而可直接 依据键值快速定位数据位置，多个数据可映 射到同一位置（如键值10和13均映射到同一 位置).现有一个容量为7个位置（编号0~6） 的哈希表，以除留余数法（除数为7）进行映 射，需要存储22个数据.设这7个位置存放的 数据个数分别为a,a1,a2,a3,a4,a5,a6,则下 列说法中正确的是 A.至少有1个位置存放了不少于5个数据 B.若这22个数据的键值恰好是0~44间的所 有奇数，则ao~a6的中位数为2 C.若a~a6的方差为s2,则s2的最小值为0， 最大值为2904 49 D.若a~a6的极差为5，则最多有2个位置没 有存放数据 必修第二册·RJ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分. 9.*(2025·福建三明高一月考)为比较甲， 乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标 值（满分为5分）.绘制了如图所示的六维能力 雷达图.例如，图中甲的数学抽象指标值为4， 乙的数学抽象指标值为5，则下列说法正确 的是 数学抽象 一学生甲 学生乙 数据分析 逻辑推理 数学运算 数学建模 直观想象 A.甲的逻辑推理指标值高于乙的逻辑推理指 标值 B.甲的数学建模指标值高于乙的直观想象指 标值 C.甲的数学运算指标值高于甲的直观想象指 标值 D.甲的六维能力整体水平低于乙的六维能力 整体水平 10.*(2025·广东深圳高一期末)有一组样 本数据x1,2,…,x,其平均数、中位数、方 差、极差分别记为a1,b1,c1,d1,由这组数据 得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中y:=x:+m (i=1,2,…,n且k≠0)，其平均数、中位数、 方差、极差分别记为a2,b2,c2,d2,则（) A.b2=kb+m B.c2=k2c C.d2=kd+m D.含=m+ne 黑白题122 11.(2025·山东青岛高一月考)在发生公 共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在 一段时间内没有发生大规模群体感染的标 志为“连续7天，每天新增疑似病例不超过 5人”过去7日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似 病例数据信息如下，则一定符合该标志的是 甲地：总体平均数x≤3，且中位数为0； 乙地：总体平均数为2，且标准差s≤2； 丙地：总体平均数x≤3，且极差c≤2； 丁地：众数为1，且极差c≤4. A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.*★(2025·黑龙江绥化高一期末)为了研 究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感 染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人 群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人数 比为4：3：3：2，现用比例分配的分层随机 抽样方法抽取一个样本量为n的样本，已知 样本中O型血的人数比AB型血的人数 多20，则n= 13.*(2025·辽宁朝阳高一期末)佩香囊是 端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些 中草药，有清香、驱虫的功效.经研究发现一 批香囊中一种草药甲的含量x(单位：克)与 香囊功效y之间满足y=15x-x2,现从中随机 抽取了6个香囊，得到香囊中草药甲的含量 的平均数为6克，香囊功效的平均数为15， 则这6个香囊中草药甲含量的标准差为 克 14.(2025·广东广州高一期末)在大数据 时代，由于整合不同来源的数据需要，以及 在数据量庞大的情况下为减少计算量，实际 第九章 上在计算机中计算方差是使用递推方法进 行计算的.先计算前面飞个数据的平均数x 和方差s,再计算前面(k+1)个数据的平均 数x+1和方差s1,计算s+1可利用递推 式：S+1=f(k)·s2+g(k)·(x+1-x)2,则 f(k)·g(k)= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 15.*(13分)高一年级期末考试成绩各分数 段[0,90)，[90,105)，[105,120)，[120， 135),[135,150]的频率分布如下图. 1351500 135 90 10% 15% 20% 90 120 25% 120 30% 105 105 (1)计算高一年级所有同学成绩的中位数； (2)用各分数段的中间值代替各分数段的平 均值，并且删去[0,90)，[135,150]两个 分数段，试估计高一年级期末考试成绩 的平均值. 黑白题123 16.**(15分)(2025·黑龙江双鸭山高一月 1 考)某次世界魔方大赛吸引世界各地共 900名魔方爱好者参加.本次大赛首轮进行 3×3阶魔方赛，组委会随机将爱好者平均分 到30个区域，每个区域30名同时进行比赛， 完成时间小于8秒的爱好者进入下一轮角 逐；如图是3×3阶魔方赛A区域30名爱好 者完成时间统计图 3×3阶魔方赛A区域爱好者完成时间条形图 ↑人数/名 10 0678910完成时间/秒 (1)A区域3×3阶魔方爱好者进入下一轮角 逐的有多少人？ (2)若A区域30名爱好者完成时间为9秒 的人数是7秒人数的3倍 ①求a,b的值； ②求完成时间的平均数， (3)若3×3阶魔方赛各个区域的情况大体 致，则根据A区域的统计结果估计在3× 3阶魔方赛后进入下一轮角逐的约有多 少人？ 必修第二册·RJ黑 7.*（15分)(2025·福建厦门高一期末)某 沙稻研究中心利用旱直播技术在沙漠试验 田种植甲、乙两个新品种水稻，随机各抽取 5块试验田，其亩产量数据（单位：10kg) 如下： 甲4751495053 乙4451605852 (1)利用均值和极差对甲、乙的产量进行 评价； (2)产量的变异系数(CV)是一个用于评估 产量稳定性和变异程度的指标，CV越 小，产量越稳定，生产的风险也越小，其 计算公式为CY-标准差×100%.根据产 均值 量的变异系数，你认为哪个品种更适合 推广？ 白题124 18.接(17分)(2024·山东聊城一中高一月1 考)已知某工厂一区生产车间与二区生产车 间均生产某种型号的零件，这两个生产车间 生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直 方图如图所示（每组区间均为左开右闭）. *频率/组距 频率/组距 0.024 0.024 0.020 0.020 0.016 0.016 0.012 0.012 0.008 0.008 0.004- 0.004 0405060708090100尺寸 0304050607080尺寸 一区生产车间 二区生产车间 尺寸大于M的零件用于大型机器中，尺寸小 于或等于M的零件用于小型机器中！ (1)若M=60,试分别估计该工厂一区生产 车间生产的500个该种型号的零件和二 区生产车间生产的500个该种型号的零 件用于大型机器中的零件个数 (2)若M∈(60,70]，现有足够多的来自一区 生产车间与二区生产车间的零件，分别用 于大型机器、小型机器各5000台的生产， 每台机器仅使用一个该种型号的零件」 方案一：直接将一区生产车间生产的零 件用于大型机器中，其中用了尺寸小于 或等于M的零件的大型机器每台会使得 工厂损失200元；直接将二区生产车间 生产的零件用于小型机器中，其中用了 尺寸大于M的零件的小型机器每台会使 得工厂损失100元. 方案二：重新测量一区生产车间与二区 生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配 型号，重新测量的总费用为35万元. 请写出采用方案一，工厂损失费用的估 计值H(M)(单位：万元)的解析式，并从 工厂损失的角度考虑，选择合理的方案， 第九章黑 .(17分)(2025·湖北武汉高一期末)统 计学中，协方差Cov(x,y)用来描述两组数据 x:x1,x2,…,xn和y:y1,y2,…,yn之间的总体 的洪差定义：协方若cm(,)=名化)· (y:-y).已知甲、乙两位同学五次考试（满分 5分)数学和物理成绩如下表： 甲 ① ② ③ ④ ⑤ 数学成绩x 1 2 3 4 5 物理成绩y: 1 3 3 3 5 x:+y: 2 U 6 10 乙 ① ② ③ ④ ⑤ 数学成绩x 3 3 4 5 5 物理成绩y: 3 4 xi+yi 4 6 9 9 (1)依据表格数据分别求出甲、乙的数学成 绩x与物理成绩y的协方差Cov(x,y)甲， Cov(x,y)z; (2)分别求出甲、乙两位同学数学成绩x:的 方差5.，52，以及物理成绩y的方 差s,2,并计算他们数学物理总成绩 x+y的方差s),sz根据计算结 果，猜想一般情况下sy,+s子和 Cov(x,y)之间的等量关系式（不需要证明）； (3)在一般情况下，证明：s2·s2≥(Cov(x,y))2. 白题125(3)解：因为数据x1<x2<…<m, 当n为偶数时，设a为数据x1,x2,…,xn的中位数，则x号≤a≤x号1， 由g(@)=lx,-al=(a-x)+(a-)++(a-*号)t(xg1-a)++ (x-1-a)+(xn-a)=(x1-x1)+(x号2-x2)++(xn-x号)=M(其中M 为常数)， 任取实数b,当b≤a时， 若6<1，则1-b1=(-b)+(名b)++(x号-b)+(x经1-b)++ (xn-1-b)+(x,-b)≥(b-x1)+(6-2)++(b-x经)+(x号1-b)++ (.-b)=(g1)(分2)*+(*号)=1-a1=M: 若6≥则存在（≤≤分），使得≤6≤，则宫1气-1=(6 x1)+(b-x2)+…+(b-x)+(x41-b)+…+(x-b)+(x1-b)+…+(xn- b)≥(b-x1)+(b-x2)++(6-x)+(6-x1)+…+(b-x号)+(x号+1-b)+ (-80=(a空1西)（经2）+(，号)卢公1a=M, 所以∑lx-b1≥∑1x,-a, i=】 同理可证当>。时，满足言比-b1≥名a: 当n为奇数时，设a为数据x1,x2,…,xn的中位数，则a=xm, 由go)=名a=(a-)*(a-）++(a-号*（字-a+ (xn-1-a)+(xn-a)=(x1-名1)+(xg+2-x2)+…+(x-x号)=M(其中M 为常数)， 同理可证∑lx,-b1≥∑x-al, 号+x经1 综上可得，当n为偶数时，a= 2 时，y=g(a)取得最小值； 当n为奇数时，a=x+1时，y=g(a)取得最小值. 第九章章末检测 1.C解析：因为有关消费购买力的某项指标受家庭收入的影响，而社 区家庭收入差距明显，所以①用分层随机抽样：从10名体育特长生 中抽取3人调查学习情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较 小，所以②用简单随机抽样」 2.D解析：四分位数在统计学中把数值由小到大排列并分成四等份， 处于三个分割点位置的数值：中位数是按顺序排列的一组数据中居 于中间位置的数；众数是一组数据中出现次数最多的数值；平均数是 表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再 除以这组数据的个数.所以选择均值较理想. 3.A解析：第一行第7列为3，依次往右读，37,14,05,11,09.09为第 5个样本编号. 4.D解析：A选项，根据统计图可知，23点的气温最低为18℃，A正 确；B选项，这5个时刻的气温极差为26-18=8（℃），B正确： C选项，平均气温为24+26+2+20+18=22（℃），C正确：D选项，从 5 小到大，选取第3个数据作为中位数，故气温的中位数为22℃， D错误 5.A解析：由频率分布直方图可得，x=[1-(0.06+0.04)]×100%= 90%,y=50×(0.36+0.34)=35, 第一组的频率为0.02，第二组的频率为0.18，第三组的频率为0.36， 第四组的频率为0.34，第五组的频率为0.06，第六组的频率为0.04， 则z=13.5×0.02+14.5×0.18+15.5×0.36+16.5×0.34+17.5×0.06+18.5× 0.04,即z=15.86. B解折：-[()+（✉）+( 参考答案 ）门号{g2-()2+g24-(*2+ 3 号[24-(+12}-=7(6+6+6G-6-6m-6) 2 2 （好+号+号-12西1），同理号=g（好+号+好-14 x4x1),由题意得x+x2+x3-x1x2-x2x3-x3x1=x行+x3+x4-x1x3-x3x4- x4x1,即x号-1x2-x2x3=x好-x3x4-x41,整理可得(x2一x4)[(x2+x4)- (x1+x3)]=0,因为x2≠x4,所以x2+x4=x1+x3 7.C解析：若插入两个整数后众数不变，则插入的数可以是“两个都 是3”，或是“一个为3，另一个不是3”，或是“两个不等的且不是3,8 11,28” ①因为新的一组数的极差为原来的两倍，所以插入的两个数不可能 都是3； ②因为中位数保持不变，若插人的数“一个为3，另一个不是3”，则一 个为3，另一个数不小于8，又因为极差为原来的两倍，则另一个数为 53,此时m+n=56; ③若插入的两个数是不等的且不是3,8,11,28，且极差为50，中位数 保持不变，则两个数可以为 m=7,m=6,m=5,m=4,人m=2,{m=l,{m=0,所以m+n ln=53,ln=53,ln=53,（n=53,ln=52,ln=51,ln=50, 的最大值为60 8.D解析：设a:为数据除以7的余数为i(i=0,1,2,3,4,5,6)的数的 个数， 对于A选项，22=7×3+1，不妨假设这7个位置存放的数据个数分别 为3,3,3,3,3,3,4，A错误； 对于B选项，由题意可知，这些奇数分别为1,3,5,7,9,11,13,15,17， 19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43, 这些数据除7的余数分别为1,3,5,0,2,4,6,1,3,5,0,2,4,6,1,3,5， 0,2,4,6,1, 所以a0=3,a1=4,a2=3,a3=3,a4=3,a5=3,a6=3, 将a0~a6这7个数由小到大排列依次为3,3,3,3,3,3,4，中位数为 3,B错误； 对于C选项，由题意可知，60~6这7个数的平均数为=号，且3< 因为aeN=01,235,0.2-号(e号）当，这 7个数中有6个3,1个4时，2取最小值，即()=[6x(3 )(4]。 当a0~a6这7个数中有6个0,1个22时，s2取最大值，即(s2)mx= x(号}-(a-号门2c 对于D选项，不妨设a~a6这7个数依次为1,6,3,3,3,3,3，满足极 差为5，此时，所有位置都有数据， 若存在一些位置没有数据，则ao~a6这7个数据中的最大值为5，最 小值为0， 因为22=5×4+2，此时，至少需要5个位置存放数据，则至多有2个位 置没有存放数据，D正确. 9.AD解析：对于A选项，甲的逻辑推理指标值为4，乙的逻辑推理指 标值为3，所以甲的逻辑推理指标值高于乙的逻辑推理指标值，故 选项A正确； 对于B选项，甲的数学建模指标值为3，乙的直观想象指标值为5，所 以乙的直观想象指标值高于甲的数学建模指标值，故选项B错误； 对于C选项，甲的数学运算指标值为4，甲的直观想象指标值为5，所 以甲的数学运算指标值不高于甲的直观想象指标值，所以选项 C错误； 对于D选项，甲的六维能力指标值的平均值为4+3+4+5+3+4_23， 6 6 黑白题077 乙的六维能力指标值的平均值为+4+345+43-4>2分，所以乙的六 6 维能力指标值整体水平高于甲的六维能力指标值整体水平，所以 选项D正确。 10.ABD解析：对于A,设x1,x2,…,x已经从小到大排列好了，则1， 2,…,yn是从小到大排列的或从大到小排列的， 若n是偶数，则b1= 2一，而无论如何最中间两个数总是y号， 号+y经1xg+m++1+m，x经+x受 y经1，b2= 2 -+m=b1+m; 2 若n是奇数，则b1=x,而无论如何最中间的数总是y!,所以 b2=y=kxn+1+m=b1+m,所以b2=b1+m,故A正确； 对于B,由方差的性质可得，c2=2c1,故B正确； 对于C,当k>0时，d2=yn-y1=(xn+m)-(1+m)=k( x1)=d1,当k<0时，d2=y1-yn=-(低n+m)+(c1+m)=-k(xn x1)=-d1,故C错误； 对于D,ne=2(ai)2=2号-2a12+nai=2号-2nai+nai= 含好-na,所以宫好=na+n1,故D正确 11.CD解析：甲地：满足总体平均数x≤3，且中位数为0，举例7天的 新增疑似病例为0,0,0,0,5,6,7，则不符合该标志； 乙地：若7天新增疑似病例为1,1,1,1,2,2,6，满足平均数为2，标 淮差s=Λ 4x1-22+2x2-22+(6-2y<2, 7 但不符合该标志； 丙地：由极差c≤2可知，若新增疑似病例最多超过5人，比如6人， 那么最小值不低于4人， 那么总体平均数x≤3就不正确，故每天新增疑似病例低于5人，故 丙地符合该标志； 丁地：因为众数为1，且极差c≤4，所以新增疑似病例的最大值≤5 所以丁地符合该标志 12.120解析：因为感染人群中0型血、A型血、B型血、AB型血的人 数比为4：3：3：2，所以抽取样本量为n的样本中，0型血的人数 为的了AB是血的人数为n7合所以号名 名-20，解将a=120 13.√39解析：设抽取的6个香囊中草药甲的含量分别为x:克，香囊 功效分别为y,i=1,2,…,6. 草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，即x1+x2+ …+x6=36,1+y2++y6=15(x1+x2t…+x6）-(x好+x号+…+x号)=90， 号+…+场=450，则这6个香囊中草药甲含量的方差 [(名-6)2+（名-62++(%-6）2]=石×[(+号+…+2) 12(g1+2t++6)+6x36]=6×(450-12x36+6x36)=39, 所以这6个香囊中草药甲含量的标准差为√39克 14.k+1 解析：前k个数据的方差为s=工∑（x:-), 前(k+1)个数据的平均数为x+1= +51,得1一1=(1 k+1 x), 三（2+（P=店 (x-x)2+ 必修第二册·RJ 2(4-元1）. k+1 因为名（✉）-名三=或国=0，所以乐对 1 +立(（属+ 茗+品名 +1（国14)2=， 宫合4品后三a t到产点 k 2 结合题意得，代)=中1()=，故·g)种·k 15.解：(1)由题图可知[0,90)和[90,105)分数段内的人数占总人数的 40%,故中位数在[105,120)分数段内从低到高号处，则中位数为 105+15×写-10（分） (2)[90,105),[105,120),[120,135)三个分数段的中间值分别为 97.5,112.5,127.5,人数比为25%：30%：20%=5：6：4，则估计高 一年级期末考试成绩的平均值为97.5x5+125x6+127.5x4_ 5+6+4 111.5(分). 16.解：(1)由题图知1人的完成时间是6秒，3人的完成时间是7秒， 完成时间小于8秒的爱好者共有4人， 所以A区域3×3阶魔方爱好者进人下一轮角逐的有4人. (2)①根据A区域30名爱好者完成时间为9秒的人数是7秒人数 的3倍，得b=3×3=9,则a=30-4-9-10=7. ②完成时间的平均数是6x1+7x3+8×7+9x9+10x10=8.8(秒. 30 (3)90x司=120（人）.所以估计在3x3阶魔方赛后进人下-轮角 逐的约有120人. 17.解：(1)甲品种产量样本的平均值x甲 47+51+49+50+53=50,极差 5 为53-47=6： 乙品种产量样本的平均值2=44+51+60+58+52=53，极差为60 5 44=16. 所以甲品种的产量略低于乙品种，但比较稳定；乙品种的产量较高， 但波动较大 (2)甲品种的样本方差s= (47-50)2+(51-50)2+(49-50)2+(50-50)2+(53-50)2=4, 5 所以甲品种产量的变异系数C出，一得x100%=4%: 乙品种的样本方差2= (4-53)2+(51-53)2+(60-53)2+(58-53)2+(52-532=32, 5 所Z品种产量的变异系数C,=受x100%-经×10%一 53 10.7%. 因为CY,<CV2,所以甲品种的产量更稳定，生产的风险也更小，更适 合推广， 18.解：(1)一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为(0.020+ 0.024+0.020+0.020)×10=0.84, 则该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机 器中的零件个数为500×0.84=420： 二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为(0.024+0.016)× 10=0.4, 则该工厂二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机 器中的零件个数为500×0.40=200. (2)一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率为 0.004×10+0.012×10+0.02×(M-60)=0.02M-1.04. 黑白题078 二区生产车间生产的零件尺寸大于M的频率为 0.024×(70-M)+0.016×10=1.84-0.024M. 故H(M)=(0.02M-1.04)×0.02×5000+(1.84-0.024M)×0.01× 5000=0.8M-12. 因为M∈(60,70]，所以H(M)∈(36,44]. 又因为采用方案二重新测量的总费用为35万元 所以从工厂损失的角度考虑，应选择方案二 19.（1)解：甲-1+2+344+5=3,7甲-143+34345-3， 5 5 甲的数学成绩x与物理成绩y的协方差：Co(,)甲=×灯(1- 3)(1-3)+(2-3)(3-3)+(3-3)(3-3)+(4-3)(3-3)+(5-3)(5- 3]=z-3355-4,7z-153+344-, 5 5 乙的数学成绩x与物理成绩y的协方差：Cov(x,y)2=了×[(3- 4)(1-3)+(3-4)(3-3)+(4-4)(3-3)+(5-4)(4-3)+(5-4)(4- 3 (2)解：甲的数学成绩x与物理成绩y的方差为甲= [1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-32+(5-3)2]=2,p= 5 [1-3)2+(3-3)2+(3-3)2+(3-3)2+(5-3)21_8 5 5 乙的数学成绩x与物理成绩y的方差为z= （3-4+3-4244-4*5-42+5-4=÷,2 [(1-3)2+(3-3)2+(3-3)2+(4-32+(4-3)2]-6 5 5 甲的数学与物理总成绩：=245+67410=6，品p [(2-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(10-6)2]_34 5 5 乙的数学与物理总成绩：中=46+74949=7，品2 5 [(4-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(9-7)2]_18 Γ5 由甲、乙同学成绩数据可知子+y=s2+s子+2Cov(x,y). (3)证明：欲证经·号≥(Cv(x,y)2,只需证1立(x-)2· 三=片含x7] 即证2·列2=[6)]（） 以下证明（※）式： ①当宫（气网0：列=0时，(*)式显然成立 ②当宫（%)(x列0时，由均值不等式 a宫0 (1)2 2 [言，列] 三x7 （x1-)(1-y) ≥2× (x1-x)(1-y) 2(x-)() i= (x-)(0:） 1 (2)22(-列2 (2)2 [含列] 2(-)2 参考答案 (x2-)(y2-y) （x2-x)(y2-y) 立（)0，列 ≥2× i 含%列 … (x-)2∑(y:-)2 i=1 （yn-)2 [宫]宫列 =1 (xn-)(yn-y） 2 (xn-x)(yny) 豆-(： ≥2x (x)(刃 1 则上述n个不等式相加可得 -26列 (-)2()2 +…+ [含x] [三xG列] (1-y)2 (y2-y)2 +… [-] 立72 （.-y)2 [【4-+(42+]-列2 w7 喜30c列 1≥2， 2(x-)2…】 所以 (-) 12 ≥1则（※）式成立，所以s经·5子≥ [含a-6 (Cov(x,y)2成立. 第九章真题演练 黑题 真题体验 1.A解析：首先设新农村建设前的经济收入为M,根据题意，得到新农 村建设后的经济收入为2M,之后从题图中各项收入所占的比例，得 到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到相应的关 系，从而得出正确的选项 2.D解析：由频率分布直方图可知，评分在区间[82,86)内的影视作 品数量为400×0.05×4=80. 3.C解析：样本数据2,8,14,16,20的平均数为2+8+14+16+20- 5 g=2 4.C解析：对于A,根据题中频数分布表可知，6+12+18=36<50，所以 亩产量的中位数不小于1050kg,故A错误； 对于B,亩产量不低于1100kg的频数为24+10=34，所以低于 1omg的眉田占比为D×10%-66%,放B紫误： 对于C,稻田亩产量的极差最大为1200-900=300(kg),最小为 1150-950=200(kg),故C正确； 对于D,由题中频数分布表可得，平均值为100×(6×925+12x975+ 18×1025+30×1075+24×1125+10×1175)=1067(kg),故D错误 故选C. 5.BD解析：对于选项A:设2，x3,x4,x的平均数为m,x1,x2,,6 的平均数为n,则n-m=+,++_,西。 6 4 2(1t)-(,++4因为没有确定2(+6)，5+2++4的 12 大小关系，所以无法判断m,n的大小， 黑白题079