第8章 专题探究3 空间几何体的切、接问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

专题探究3空间儿何体的切、接问题 黑题 专题强化 限时：45min 题组1球与圆柱的切、接问题 形创意冰激凌与巧克力圆台容器的内壁及 1.*（2025·陕西西安高一期中)已知圆柱 上、下底面均相切（不考虑巧克力圆台容器的 01O2的轴截面是边长为2√2的正方形，且圆 厚度)，则该球形创意冰激凌的体积是() 柱O1O2上、下底面圆的圆周都在球O的球面 π立方厘米 A.3 B.16π立方厘米 上，则球O的表面积是 ( A.16π B.32m C.64π D.256m C. 56立方厘米 D.64π立方厘米 3 3 2.*(2025·山东菏泽高一月考)如图，在圆 6.*(2025·陕西咸阳高一月考)已知某圆台的 柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母 体积为(9+32)π，其上底面和下底面的面积分 线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱 别为3π，6π，且该圆台两个底面的圆周都在球0 的体积为 的球面上，则球O的表面积为 题组4球与棱柱的切、接问题 7.**已知正方体的内切球（球与正方体的六 个面都相切)的体积是，则该正方体的表 题组2球与圆锥的切、接问题 面积为 ( 3.**(2025·湖南株洲高一期末)） A.16 B.36 C.96 D.216 已知某圆锥的外接球的体积为 8.**(2025·山东泰安高一期中)如图，在正 3“,者球心到该圆锥底面的距离 三棱柱ABC-AB,C1中，AB=AA1=6,若存在 一个可以在三棱柱ABC-A,B,C,内任意转动 为4，则该圆锥体积的最大值为 的正方体，则该正方体棱长α的最大值为 A.9π B.27π C.18π D.48π 4.*（2025·广东惠州高一月考)现将一个高 为4，表面积为42π的实心圆柱铁锭冶炼熔化 后，浇铸成一个球，现要将此球放入一个高为 8的圆锥形容器中，则该圆锥形容器的底面半 径的最小值为 题组3球与圆台的切、接问题 A.1 B.√2 C.√3 D.2 5.*★(2025·湖北十堰高一期末) 9.*(2025·江西九江高一期中)已知正六棱 某甜品店推出一款球形创意冰激 柱ABCDEF-A,B1C1,D,E,F1的各个顶点都在 凌，将冰激凌球放置在特制的巧克力圆台容 球0的球面上，球心O到正六棱柱的上、下底 器中.已知巧克力圆台容器的上底面圆的半径 面的距离均为1，若AB=2,则球0的表面积 为8厘米，下底面圆的半径为2厘米，若该球 为 第八章黑白题093 10.*(2025·浙江杭州高二月考) 16.**（2025·安徽芜湖高一期中) 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧 若三棱台ABC-A,B,C1的上、下底 视频讲解 棱长为25，底面为等边三角形.若存在球0 面均是正三角形，侧面是全等的 与该三棱柱的各条棱都相切，则该直三棱柱 等腰梯形，且其各顶点都在表面积为260π 的外接球的体积为 的球0的表面上，AB=2A,B,=8√5，则三棱 题组5球与棱锥的切、接问题 台ABC-AB,C1的高为 11.★*(2025·山东临沂高一期中) A.23 B.8 已知三棱锥P-ABC的体积为 C.6或8 D.23或6 3m3,侧面积为2m2,底面积等于1m2,则这 题组7球与球的相切问题 个三棱锥内切球的体积为 17.*(2025·重庆南岸区高 A.36πm3 B.12T m 期末)如图所示的形状出现 4 C.108πm3 D.3m 在南宋数学家杨辉所著的 《详解九章算法·商功》中， 12.*把一个皮球放人由8根长均为20cm的 后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有 铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面 与8根铁丝都有接触点（皮球不变形），则皮 1个球，第二层有3个球，第三层有6个球， 球的半径为 第一、二层的每一个球均分别与其下一层相 ( 邻的三个球相切.现将“三角垛”放置在地面 A.103 cm B.10 cm 上，若每个球的半径均为1，则第一层的球的 C.10√2cm D.30 cm 表面上的点到地面的最大距离为() 13.**(2025·广东揭阳高一期中)已知正四 2W6 棱锥P-ABCD各顶点都在同一球面上，且正 A. +1 B.26 +2 3 3 四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面 4w6 c.3+1 46 D.3+2 积为 ( 18.整(2025·河南商丘高一期中) 4π A.9T B.36m C.4π D. 3 已知三棱锥P-ABC的棱长均为 14.*★(2025·山东潍坊高一期末) 4,先在三棱锥P-ABC内放入一 已知三棱锥P-ABC的三条棱PA 个内切球01，然后再放入一个球02，使得球 PB,PC两两垂直，且PA=PB=PC=1,则该三 O2与球O1及三棱锥P-ABC的三个侧面都 棱锥的外接球的表面积为 相切，则球O2的表面积为 () 题组6球与棱台的切、接问题 2π A B.5m C.67 D.7m 15.*(2025·湖南长沙高一期末)一个正四 19.籍将半径为r的5个球放人由一个半径不 棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，若 小于3r的球和这个球的内接正四面体A- 一个球与该正四棱台的各面均相切，则该球 BCD的四个面分割成的五个空间内，若此正 的体积为 ( 四面体的棱长为26，则r的最大 A. 67 B.② 2v2 37 C 3 D.2T 值为 必修第二册·RJ黑白题094面8c,故T1即放N=r+n--放BN=放 2 C正确； N T B0 0 对于D,由A的分析可得OG⊥PG,OG⊥OF,故OG为PG与OF的公垂 线，故直线OF上的点到直线PG的最短距离为即为OG= 1AC-B , D正确. 专题探究3 空间几何体的切、接问题 黑题专题强化 1.A解析：圆柱0102的轴截面是边长为22的正方形，且圆柱0,02 上、下底面圆的圆周都在球O的球面上， 则球0的半径为R=√00+(2)2=√2+2=2，则球0的表面积是 4m×22=16π. 2.54π解析：设圆柱的底面半径为T,球的半径为R由条件有R=r=3, 圆柱的高为2R,所以圆柱的体积为r2×2R=2r3=54π. 3.B解析：如图，设圆锥P0,的外接球0半径为R,则4R-0T靡 3 得R=5,所以圆锥P01的底面半径为r=√R2-42=√52-42=3，所 以当圆锥的高为R+4=5+4=9时，圆锥的体积最大，且其最大值为 3m×32×9=27m Y 0 0 B (第3题) (第4题) 4.6解析：设圆柱的底面半径为r1,则圆柱的表面积为2π+2mr1· 4=42π，解得r1=3或1=-7（舍去），故V侧性=r×4=36m,设球的 半径为r2,由 3π=36π，得2=3，若圆锥的底面半径最小，则需圆 4 锥与球相切， 如图，作出球与圆锥的轴截面图，设圆锥的底面半径为R,圆0与 △ABC的切点分别为G,E,H,则OE=OG=OH=3,OA=5,BG=BE= R,由AG⊥OG得，AG=4,所以AB=4+R=√R2+64,即R=6. 5.C解析：如图，设01,02分别是该圆台容器上、下底面圆的圆心，四 边形ABCD是该圆台容器的轴截面， 圆O是球形创意冰激凌的截面，E,F分别为圆0与AD,BC的切点， 则DE=D01=8,EA=A02=2. 作AH⊥CD,垂足为H,则O1H=02A=2,AH=01O2,DH=D01- 01H=6. 因为AD=DE+EA=10,所以AH=√AD2-D=8,则001=002= 20102=4,即该球形创意冰激凌的半径为4，故该球形创意冰激2 x4.256(立方厘米. 的体积为4 3 O A O B (第5题) (第6题) 必修第二册·RJ 6.28m解析：如图，设该圆台的高为点，则(9+32)元=号(3m+ √3m×6m+6m),解得h=3. 由题意得，上底面圆的半径为BD=√3，下底面圆的半径为AC=√6， 设球心O到下底面的距离为t,即OA=t,则B0=3-t,由勾股定理得： 0A2+AC2=0B2+BD2,即t2+(√6)2=(3-t)2+(√3)2，解得t=1,则球 0的半径R=√2+6=√7，故球0的表面积为4mR2=28π 7.C解析：正方体住质知，内切球的直径等于棱长1由题意，号。 (告》-品，得14六正方体我积5-=必 8.D解析：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=A41=6,所以底面三角形 内切圆半径为×6x了=5 2 因为存在一个可以在三棱柱ABC-A1B,C1内任意转动的正方体，所 以正方体的外接球要在该正三棱柱中， 若正方体棱长最大，可知该球体直径√a2+a2+a2=√3a应为底面内 切圆直径，即3a=25,即a=2,此时三棱柱的高大于球的直径，符 合要求. 9.20m解析：因为AB=2,所以正六边形的ABCDEF的外接圆半径 r=2,所以球0的半径R=√22+12=√5，所以球0的表面积为S= 4πR2=20m. 10.287π解析：由题意，三棱柱ABC-AB,C1是正三棱柱，设点M,N 3 分别为棱柱的下底面和上底面的中心， 由对称性知，MN的中点即球O的球心，取AB中点E(为切，点)，则 OE=MB(MB等于点O到棱BB1的距离)， 设球O的半径为R,由正三角形的性质， D EM=DM=之BM=之R,MN与底面垂直， N B 则必与底面上直线EM垂直，故2- (宁）广=0N=(5,解得R=2 、2 0 又由对称性知，该直三棱柱的外接球球心即 点O,连接OA,AM,因AM=BM=2, E B 则OA=√AM2+OM2=√7，即该直三棱柱的 外接球的半径为7，放该球的体积为号r×(7)28万， 3 T. 11.A解析：因为三栊锥P-ABC的体积V=3S·7,其中S为三棱锥 P-ABC的表面积，r为其内切球的半径， 所以3=3×(2+1)·1→1=3，所以这个三棱维内切球的体积为 子r=手nxg=36（m). 4 12.B解析：如图，依题意可知该四棱锥是正四棱锥，且OS⊥平面AB CD,则OS⊥OA. 0A=0B=0C=0D=2AC=2×V202+202=102,0S= JAS2-0A2=√202-(102)2=102.，所以0A=0B=0C=0D= 0S=102,0到AB,BC,CD,AD的距离都是2AB=10,在等腰直角 三角形0AS中，0到SM的距离为2M=10,同理可得0到 SB,SC,SD的距离也是10，所以O是皮球的球心，且皮球的半径为 10cm. (第12题) (第13题) 黑白题060 13.B解析：如图，设P在底面ABCD的射影为H,则PH⊥平面ABCD, 且H为AC,BD的交点 因为正四棱锥底面边长为4，故底面正方形的面积为16，且AH= 4-=2,故兮×16=，散PH=4 21 由正四棱锥的对称性可知O在直线PH上，设外接球的半径为R 则OH=|4-R1,故R2=8+(4-R)2,故R=3,故正四棱锥P-ABCD的 外接球的表面积为4×π×9=36π. 14.3π解析：如图，因为三棱锥P-ABC的三条棱PA,PB,PC两两垂 直，且PA=PB=PC=1,可得把三棱锥P-ABC补成一个棱长为1 的正方体，则三棱锥P-ABC的外接球和所补成的正方体的外接球 为同一个球， 设三棱锥P-ABC的外接球的半径为R,则2R=√2+12+1产=√3， 所以R=3 ,所以三棱锥的外接球的表面积为S=4mR2=4n× (第14题) (第15题)》 15.B解析：如图所示，作出正四棱台的过切点的轴截面，可知这个等 腰梯形的内切圆就是内切球的截面圆中最大的圆， 因为正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，所以CD= 1,AB=2,且球的球心到正四棱台各个面的距离均等于该球的半径， 设球的半径为R,在直角△BCH中，可得BC2=(2R)2+1 ,又由切 4 线长定理可得BC=CW+BM=FC+BE=三，所以R=号，故球的体积 3mR們=② 为= 7 16.C解析：设球0的半径为r,则42=260π，得r=√65， C A A C以Q M- M、 ② 设M1为△A1B1C1的中心，M为△ABC的中心， 由题意可知，三棱台ABC-A1B1C,为正三棱台，MM1为其高，球心0 在直线MM1上， 在A4G中，AM-写4品=4，在AAc中.BW= 3×AB=8, 故0M1=√P-B1M=7,0M=VP-BM证=1， 如图①，当0在线段M1M上时，M1M=OM1+OM=8,如图②，当0 在线段M1M的延长线上时，M1M=OM1-OM=6. 17.D解析：根据题意，连接顶层1个球和底层边缘3个球的球心，可 得到一个正四面体S-ABC,该正四面体的棱长为4，如图所示， 设底面△ABC的中心为E,连接BE并延长交AC于点D,则D为AC 的中点，连接SE,则SE为正四面体S-ABC的高，所以该“三角垛” 的高度为S5+2,由8m=V-725,可得8贴子045，所 3 以=（丁所以三角埃的离度为52 参考答案 (第17题) (第18题) 1 18.A解析：如图所示，依题意得Saac=2×4x4xsin60°=45，底面 48545 △ABC的外接圆半径为21=ein60=37 3 点P到平面C的睡肉为-(-所以 3x43x46163 33 所以Saac=SaPa=SAPAC=2X4x4xsin600=45, 设球01的半径为R,所以Vp-ABc=V0,PAs+Vo,-P4c+V01PBc+ 么，则2×44)R得5， 设球02的半径为，则上=P0_3 -2R-,46-2x 3 1RP0,46-R 3→ 4W6√6 3 33 2w6 后汉原得， 3 6,所以球0，的表面积为S=4n× 19.1解析：如图①，设△BCD的中心为O1,则正四面体的外接球球心 0在A01上，连接0D,01D. 则0，D-子x0x9-27,40,=Vm-m-4, 设外接球的半径为R,则R2=(A01-R)2+D0?,解得R=3 设正四面体A-BCD内切球的半径为1，根据等体积法可得}，× 26)2xm0x4=寸×子×(26)xn0X4,放1，根 1 1.1 据题意得R=3≥3r,r≤r1,所以r≤1. 0: ① 设001与球0的球面相交于点Q,如图②所示，画出截面图，01Q= R-001=2≥2r,故r≤1. 综上所述，r的最大值为1. 专题探究4空间线、面位置关系 黑题专题强化 1.AC解析：如图，对于A,因为A'NC平面A'CCA,C'∈平面A'C'C4, P平面A'CCA,且C年A'N,所以A'N,PC是异面直线，故A错误； 对于B,因为ACC平面A'CCA,A'∈平面A'CCA,P平面A'C'CA 且A'AC,所以A'P与AC为异面直线，故B正确： 对于C,连接MP,因为棱AB,BC的中点分别为点M,P,所以AC∥MP. 因为AC∥A'C',所以MP∥A'C',可得AB∩平面A'C'PM=M,故 C错误； 对于D,因为AB,AC的中点分别为点M,N,所以MN∥BC.因为MN￠ 平面BCCB',BCC平面BCC'B',所以MN∥平面BCCB'.因为 4AC/AC,AC=分4C=C,所以因边形ACCN为平行四边形，可 黑白题061