第八章 立体几何初步 章末检测-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019)

第八章 章末检测 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 原圆柱的表面积增加了20，则原圆柱的侧面 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 积是 ( 目要求的 1,(2024·河南洛阳高一月考)工人师傅在检测 椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只 A.10m B.20m C.100m D.200m 需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交， 5.(2024·云南保山高一期中)如图，在直三棱 就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原 柱ABC-A1B,C1中，点E,F分别是棱A,C1,BC 理是 的中点，则下列结论中正确的是 A.两条相交直线确定一个平面 B.两条平行直线确定一个平面 C.四点确定一个平面 D.直线及直线外一点确定一个平面 2.(2024·福建三明高一期中)△A0B的斜二测 直观图△A'O'B'如图所示，则△AOB的面积是 A.AF与C,C异面 B.AE与C,C异面 C.EFC平面A,C,C D.AFC平面A,B,C 6.(2024·河南南阳高一月考)如图， D 在长方体ABCD-A,B,C,D,中，已 知AB=BC=2,AM1=5,E为BC 的中点，则异面直线BD与CE所 A.√2 B.42 C.22 D.4 成角的余弦值为 3.(2024·江苏扬州高一月考)下列说法正确 的是 A B③ C.3 D.3 34 26 13 A.若空间两直线没有公共点，则这两条直线 7.(2024·辽宁沈阳高一月考)如图，在边长为2 异面 的正方形ABCD中，E是AB的中点，点F是 B.与两条异面直线都相交的两直线可能是异 BC的中点，将△AED,△BEF,△DCF分别沿 面直线，也可能是相交直线 DE,EF,DF折起，使A,B,C三点重合于点A', C.空间三点确定一个平面 则A'到平面EFD的距离为 D.过直线外一点，有且只有一条直线与已知 直线垂直 4.(2024·江苏镇江高一期末)如图，将一个圆 柱4等份切割，再将其重新组合成一个与圆柱 等底等高的几何体，若新几何体的表面积比 A. B. D.2 必修第二册：RJ黑白题098 8.(2024·河南驻马店高一期末)已知正四面体 CB=1,C,B1⊥平面AABB,直线AC与 P-ABC内接于球O,E为底面三角形ABC中 边BC的中点，过点E作球O的截面，若存在 B,G所成的角的余弦值为 2,则下列说法正 半径为23的截面圆，则此四面体的棱长的取 确的是 ( 值范围为 ( A.[22,23] B.[23,26] C.[42,43] D.[43,46] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 A.BB1⊥平面AB,C 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 B.A,C=23 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分 C.三棱锥C-AB,B的外接球的体积为3m 9.(2024·黑龙江哈尔滨三中高一期末)设m,n 是不同的直线，α，B是不同的平面，则下列命 D.三棱锥C-AB,B的外接球的表面积为3π 题错误的是 ( 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 A.若a∥B,m∥α，则m∥B 15分. B.若m∥n,mCa,则n平行于a内的无数条 12.直线a∥b,a∥平面a,则b与a的位置关 直线 系是 C.若m⊥a,m⊥n,则n∥a 13.(2024·河北衡水高一期末)如图，线段AB, D.若a⊥B,m⊥a,则m∥B BD在平面a内，∠ABD=120°，CA⊥a, 10.(2024·山东临沂高一月考)如图，在四面 且AB=1,BD=2,AC=3,则CD= 体ABCD中，点P,Q,M,N分别是棱AB,BC, CD,AD的中点，截面PQMN是正方形，则下 列结论正确的为 14.(2024·广西钦州高一期末)A是直线PQ外 一点，点M在直线PQ上（点M与P,Q两点 均不重合)，我们称如下操作为“由A点对 A.AC∥截面PQMN PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ外， B.异面直线PM与BD所成的角为60 C.AC⊥BD 记(P,Q;M)= APsin LPAM已知点M在正 AOsin∠MAQ D.BD⊥平面ACD 方体ABCD-A,B,C,D,的棱AB的延长线上， 11,(2024·广东汕头高一月考)如图，在三棱 且AB=2BM=2,由A1对AB施以视角运算， 柱ABC-A,B,C1中，四边形AA,B,B是矩形， 则(A,B;M)= 第八章黑白题099 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出17.(15分)(2024·福建福州高一期末)如图， 文字说明、证明过程或演算步骤 在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形， 15.(13分)(2024·四川南充高一月考)如图， 在正方体ABCD-A,B,C,D1中，S是B,D1的 P01平面A8CD,0为垂足，PE=PC,0E/ 中点，E,F,G分别是BC,DC,SC的中点， 平面PAD. 求证： (1)证明：△PCD为等腰三角形； (1)EG∥平面BDD,B; （2)若AB=8C=2,P0=6,△0D为等腰 (2)平面EFG∥平面BDD,B1, 直角三角形.设平面PAB与平面PCD的 交线为1，求二面角B-1-C的余弦值 16.(15分)(2024·湖南常德高一期中)如图， 在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，平 面ABCD是等腰梯形，AB∥CD,平面ABFE 是矩形，平面ABFE⊥平面ABCD,BC=CD= AE=a,∠DAB=60°. (1)求证：平面BDF⊥平面ADE; (2)若三棱锥B-DCF的体积为3 求a 的值. 必修第二册·RJ黑白题100 18.(17分)亭子是一种中国传统建筑，多建于园19.(17分)(2024·湖南长沙长那中学高一期 林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休 末)刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内 息、避雨、乘凉假设我们把亭子看成由一个 容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体 圆锥P-01与一个圆柱001构成的几何体2 顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角 (如图).一般地，设圆锥P-01中母线与底面 之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面 所成角的大小为a,当20°<α<35时，方能满 体的面角，角度用弧度制例如：正四面体每 足建筑要求.已知圆锥高为1.5米，底面半径 为2.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米. 个顶点均有3个面角，每个面角均为霄，故其 (1)求几何体2的体积； (2)如图，设E为圆柱底面半圆弧CD的三等 各个顶点的曲率均为2m-3×智=如图，在 分点，求圆柱母线EF和圆锥母线PB所 直三棱柱ABC-A,B,C,中，点A的曲率为 在异面直线所成角的正切值，并判断该 3N,M分别为AB,CC,的中点，且AB=AC. 2 亭子是否满足建筑要求， (1)证明：CN⊥平面ABB1A1 (2)若AA,=√2AB,求二面角B,-AM-C,的余 弦值 (3)表面经过连续变形可以变为球面的多面 体称为简单多面体关于简单多面体有著 名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为 D,棱数为L,面数为M,则有D-L+M=2 利用此定理试证明：简单多面体的总曲 率（多面体有顶点的曲率之和）是常数 第八章|黑白题101则SH=M=5,AM=3AM=2H=6.放选D ,由余弦定理有DM=12+1-2×23×1×,=√7， 由于AB=BC,点D是AC中点，所以D⊥AC,由折叠关系可知PDI BD,PD=AD=25.又因为平面PBD上平面BCD.平面PBD∩平面 BCD=BD,PDC平面PBD,所以PD⊥平面BCD.因为DMC平面 BCD.DNC平面BCD,所以PD⊥DM,PD⊥DN 2 因为PD=AD=25,DN=√3，DM=V7,所以PN=√15，PM=√9 2.C解析：根据题意知，圆柱的刻面展开图是矩形，如图所示 在△PMN中.PN=√15，PW=√I9.MN= 矩形的高（即圆木长）为2丈=20尺，矩形的底边长为7×3=21（尺）， 1,由余弦定理有s∠PWN=19+-15 因此葛藤最少长√20+2下=29（尺）.故选C. 2x√19×1 5I9 38因为MW∥AB,所以异面直线PW 1 与AB所成角的大小等于∠PN,故所求 余滋值为结人 3.AD解析：由已知，在末折叠的原梯形中，AB∥DE,BE∥AD,所以6. .A解析：由题意可知，当AB⊥BC且AD⊥ 四边形ABED为平行四边形，所以BE=AD,折叠后如图所示，过点M DC时，三棱锥的表而积最大，则AD= 作P∥DE,交AE于点P, .:MPt平面DEC,DEC平面DEC,.MP∥平面DEC.连接NP DC=2,AC=22,如图.取BD的中点E.连 ,M.N分别是AD,BE的中点，六P为AE的中点.故NP∥AB 接AE,EC,AE⊥BD,CE⊥BD.AEC平 EC.NP丈平面DEC,ECC平面DEC,P∥平面DEC 面AEC,ECC平面AEC,EC门AE=E,可知 又PnNP=P,.平面MNP∥平面DEC.又 AMNC平面MNP,MN∥平面DEC,故A正确： DL平面C因为极=2，∠AD=号， 由已知.AE⊥ED.AE⊥EC.∴，AE⊥MP.AE⊥NP 四边形ABCD是菱形，所以△ABD是等边三角形，AB=2x 又MP∩NP=P,MP,PC平面MNP,AE⊥平 23 而MNP. △8C是等边三角形，m=2,E=5.Sr=宁×2万xy37 又MNC平面MNP,.MN⊥AE,故B正确： 假设MN∥AB.则MN与AB确定平面MNBA. 从而BEC平面MNBA,ADC平面MNBA,这与BE和AD是异面直线 E.所以o分c80=宁x2x22放选 3 矛盾.故C错误： 55m解析：等边△ABC的边长为2，D为BC的中点，则AD=5, 7 当EC⊥ED时，EC⊥AD,证明如下： 6 EC⊥EA,EC⊥ED,EA∩ED=E,EA,EDC平面ADE, 依题意，DA⊥DB,DA1DC,又∠BDC=年.则三棱锥D-ABC的棱 EC⊥平面ADE.又，ADC平面ADE,.EC⊥AD,故D正确.故 选ABD. DA.DB,DC两两垂直，如图. 4.D解析：如图，由∠A=60°，AB=1, 期以DA.DB,DC为共点的3条棱的长方体的外 AD=2,得BD2=AB2+A2-2AB·AD 接球即为三棱锥D-ABC的外接球， e60=1+4-2x1x2×7=3,Bm=v5 于是该球的直径2R=√(3)产+12+1户=5. 则AB2+BP=AD,所以AB⊥BD.又四边 卿R 2, 形ABCD为平行四边形，所以BD⊥CD. 因为平面A'BD⊥平面BCD,平面A'BD 所以过AB,C.D网点的球的体积v智号（停厂。 平面BCD=BD,CDC平面BCD,CD⊥BD,所以CD⊥平面A'BD.又因 为CDC平面A'CD,所以平面A'CD⊥平面A'BD 放答案为55π 6 在平面A'BD内.作BI⊥A'D于点H,因为平面A'CD⊥平而ABD,平 面A'CD门平面A'BD=A'D,所以BH⊥平面A'CD,则BH即为所求 : 第八章章末检测 点B到平面A'CD的距离. 1.A解析：由于连接对“脚“的两条线段，看它们是否相交，就知道它 在直角三角形D中，A'BLD,又朗1AD,所以子D·BM= 们是否合格，所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一 子B:=m:g:即G 个平面”.故选A. 2,D解析：依题意，由斜二测画法规则知，△A0B的底边OB A'D “了，所以点B到平面ACD的距离为 ),即点B到平面ACD的距离为，3放选D. 0B=2.边0B上的高A=2x2,所以△A0B的面积S=2·0B·h日 4.故选D 5.A解析：如图，过点M作N∥AB交AG于点N,所以MCCX 3.B解析：对于A,若空间两直线设有公共点，则这两条直线平行或异 AB BC CA' 面，故A错误： 因为AM为线段BC上靠近点C的四等分点，AB=BC=4,所以MN=4× 对于B,与两条异面直线都相交的两直线如果是交于不同的四个点， 4=L,CW=1,而AC=24B(180-120 =2AB%30°=43， 则两直线为异而直线，若交于三个点，则两直线为相交直线，故 2 B正确： 对于C,由平面的基本性质可知，空间不共线的三点可以确定一个平 所以GN=4×45=3,而D是AC的中点.所以DN=DC-CN=23- 面，故C错误： 5=3,在△Dwc中，DC=25,CM=l,∠MCD=180,120 对于D,过直线外一点，有无数条直线与已知直线垂直，故D错误 2 =30°， 故选B. 参考答案黑白题059 4.B解析：设圆柱的底面圆半径为「，高为，则原圆柱的表面积： AC:PQC平面POMN,AC丈平面PQMN,∴AC∥截面PQMN 为22+2mh,新几何体的表面积为2m2+2πh+2h,故2h=20,原 故A正确。 周柱的侧面积为2h=20x.故选B. 对于选项B:点Q,M分别是棱C,GD的中点，∴.MQ∥BD 5.A解析：连接AE,AF,如图.在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AM1∥ ∴∠PQ为异面直线PM与BD所成的角.：成面PQMN是正方 CC1,AH,CC1C平面AACC,AF∩AA,=A,且AFC平面M,C,C.CE 形，.∠PMQ=45°，即异面直线PM与BD所成的角为45°.故 AF,所以AF与C,C异面.故A正确： B错误. 是然AEC平面AM,C,C.C,CC平面AM,G,C,故AE与C,C共面，故 对于选项C::截面POMN是正方形，MN⊥QM.又：点P,Q,M,N B错误： C 分别是棱AB,BC,CD,AD的中点，.MN∥AC,OM∥BD,AC⊥BD. 因为F=平面A1G,G,所以EF￠平面A,C,C,故 做C正确 C错误： 对于选项D:若要使BD⊥平面ACD,则需要BD⊥AC,BD⊥DC,但由 在直三棱柱ABC-AB,C,中，平面ABC∥平 题意知BD⊥DC不一定成立，故D错误故选AC. 面A,B,C,AFC平面ABC,所以AF∥平面A飞 11.AC解析：根据题意，因为CB,⊥平面A4B,B,A,B,,BB,C平 AB,C,显然AF￠平面A,B,G,故D错误故 面AMBB,所以C,B1⊥AB,C,B,⊥BB 选A 又因为四边形AMB,B是矩形，所以BB,⊥AB·又C,B,C平 6.C解析：取C1D1的中点F,连接EF,CF,B,D1,易知EF∥B,D1∥ 面A,BG1AB,C平面AB,C1.且C,B,∩AB1=B,所以BB,⊥平 BD,所以LCEF为异面直线BD与CE所戒的角或其补角.因为EF= 面A,B,C1即A正确. 2B,0,=2.CE=CF=√C+C区=V25=2不，所以由余弦 可得B,B,CB,AB两两垂直，所以三棱锥C-AB,B外接球的直径等 于A,C 定理得ms∠CBF.E3+6C-CP.2+26-26.1 又因为B,C,∥BC,所以直线A,C与B,G所成的角等于直线A,C 2EF·EC2×wW2×√262×√/2626 选C 与C所皮的角或其补角，所以化-手由C团=1可得，C=店， 7.B解析：由折叠不变可知，三棱雏A'-EFD中A'E,A'F,A'D两两相 所以B错误： 互垂直，所以rm=om宁5a·=1X1X2 设三棱锥C-AB,B的外接球的半径为R,则满足4R?=AB+BB+ 3 子，△EFD的三边长分别为，5,5.5，所以S6m=立 Cm=4,C心=3.所以骨=所以三棱锥C-B,B的外接球的体积 因为m,设A到平面FD的距离为d.所以了Sn 为停）广表面积为 2 =3π.所以C正确.D错 误故选AC 写解得子故选B 12.b∥a或bCa解析：如图，b与a的位置关系为6∥c或bCa,故答 8.C解析：如图，在正四面体P-ABC中，设 案为b∥a或bCa 顶点P在底面的射影为0，则球心0在 m,上.，0在上.且0=号，连接 OE.0A. 设正四面体的棱长为a,则6= 2A0,= (第12题) (第13题) 子 13.4解析：连接AD,如图，在△ABD中，根据余弦定理有AD 3 ,则正四面体的高P0,=√P-A矿= √AB+BD2-2AB·B0 oe LABD=√T+4-2×1×2a120F=√7. 因为AC⊥a.ADCa,所以AC⊥AD,所以CD=√AC+AD=√+7= -（停）一.设外接球半径为R.在△0，A中，0 6 4故答案为4 14.-3解析：在正方体ABCD-AB,C,D 4,在 中.AM1⊥AB,如图.由AB=2BW=2,得AM= 3.AB=22,A,M=√/13，则sin∠A41B= m∠M,B=2 ，m∠4，M=3 13 过E点作外接球O的截面，只有当E垂直于截面圆所在的平面时 截面圆的面积最小，此时截面国的半径为r■√R-OE= 0s∠4，M=2 13,m∠M,B=s血（∠M,M √厂（大面调为过球心大属半轻为 33223226 ∠AM,B)= 132132=26 分，由题设行在半径为25的酸面调子≤2厅≤ 4a,解得 A1Asin∠4，aM 2x3/T3 13 所以(A,B:)= =-3故答案为-3 42≤a≤43，故选C. A,Bsin∠MA,B 2/x26 9.ACD解析：对于A,因为a∥B,m∥a,所以mCB或m∥B,故 26 A错误： 15.证明：(1)如图，连接SB,E,G分别是 对于B,因为m∥a,mCa,所以n∥a或nC,所以n平行于a内的 BCSC的中点，.EG∥SB 无数条直线，故B正确： 又：SBC平面BDD,B,EGC平面BD,B, 对于C,若m⊥a,m⊥n,则nCa或n∥a,故C错误； EG∥平面BDD,B- 对于D,若a⊥B,m⊥，则mCB或m∥B,故D错误故选ACD. (2)连接SD.F,G分别是DC.SG的中点， 10.AC解析：对于选项A::点P.Q分别是棱AB,BC的中点，.PQ∥ .FG∥SD. 必修第二册·RJ黑白题060 又：SDC平面BDD,B,.FG过平面BDD,B1FG∥平面BDDB, 所成的角 由(I)知.G∥平面BDD,B,,且GC平面EG.FGC平面EFG, B01=25(米)，P01=1.5(米).PB= EGOFG=G.,平面EFG∥平面BDD1B, 16,(1)证明：因为四边形ABFE是矩形，所以EA⊥AB. Vm所+m. (米)..tn∠BPO1= 2 又因为平面ABFE⊥平面ABCD,平面ABFE∩平面ABCD=AB,AEC 2.55 平面ABFE,所以AE⊥平面ABCD.又因为BDC平面ABCD,所以 5子心圆柱每线F和圆锥母线PB “0- AE⊥BD. 5 在等腰梯形ABCD中，∠DAB=60°，所以∠ADC=∠BCD=12D, 所在异面直线所成角的正切值为 因为BC=CD,故∠BDC=30,∠ADB=120°-30°=90°，即AD⊥BD P011.533 sin a= =0.5145,又sin350=0.5736. 义因为AE∩AD=A.所以BD⊥平而ADE, PB 34 34 因为BDC平面BDF,所以平面BDF⊥平面ADE (2)解：△D的面积为5m-子血m-2,周为E/ ,30°<a<35°.故该亭子满足建筑要求， 19.(1)证明：因为在直三棱柱ABC-AB,C,中，AM,⊥平面ABC FB,AE⊥平面ABCD,所以BF⊥平面ABCD,所以V-r=V-D= AC,ABC平面ABC,所以4，上AC,4,⊥AB,所以点A的曲率 为2-2x空∠BG-至得∠4G=票因为粉=AC,所以△ABC 3 17.(1)证明：如图，取CD的中点F,连接EF,PF,0F 为等边三角形因为N为AB的中点，所以GNAB 因为E为PC的中点，所以EF∥PD 因为AA,⊥平面ABC,CNC平面ABC,所以AA1⊥CV, 又因为EF￠平面PAD,PDC平面PD,所以EF∥平面APD. 因为AM,∩MB=A,AM:,ABC平面ABB,A1,所以CN⊥平面ABB141: 因为OE∥平面PAD.OE∩EF=E,OE,EFC平面DEF.所以平面 (2)解：取AC,的中点F.连接B,F,MF, OEF∥平面PAD. 因为△A,B,G,为等边三角形，所以B,F1A,C 因为平面ABCD∩平面OEF=OF,平面ABCDO平面PAD=AD.所以 因为三棱柱ABC-A,B,C,为直三棱柱，所以平面M,C,C1平 OF∥AD. 面A,B,C 因为AD⊥CD.所以OF⊥CD 因为平面AM,C,Cn平面A,B,C,=A,G,B,FC平面A,B,C,所以 由PO⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,可得PO⊥CD BF⊥平面A4,C,C. 又因为POOOF=0.P0.OFC平而POF.所以CD⊥平面P0F.PFC 因为AM.MFC平面AA,C,C,所以B,F⊥AM.BF⊥MF 平面POF,从面PF⊥CD, 设AB=2,则A41=2,AM=B,M=√3.AB1=6, 因为PF是CD的中垂线，所以PC=PD.△PCD为等腰三角形 所以A/P+B,AM2=AB,所以AM⊥B,M. 因为B,F∩B,M=B,,B,F,B,MC平面BFM,所以AM⊥平面 B,FM,因为MFC平面B,所以AM⊥MF.所以∠FB,为二面角 B,-AM-C1的平面角. 因为r=(）：=，所以在△N, (2)解：如图，延长FO交AB于点G.连接PG FM2 由PO⊥平面ABCD,GF,OD,OCC平面ABCD,则PO⊥GF,PO⊥ 中，mLF3B= 号所以二商角月W-G的余弦值为号 0D.P0⊥0C 因为AB∥CD.ABC平面PAB.CD文平而PAB,则CD∥平面PAB. 且CDC平面PCD.平面PABn平面PCD=L,则CD∥L.即AB∥CD∥L. 因为△OCD为等腰直角三角形.F为CD的中点，所以OF⊥CD,且 0C=00=√2,0F=1. 且P0=6,可得P℃=PD=22,则PF=√P℃-DF=T. 又因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD,可知GF∥AD,则四边 (3)证明：设多面体有M个面，给组成多面体的多边形缩号，分别为 形ACFD为矩形，则GF=AD=4, 1,2,…,号，设第号(1≤i≤M)多边形有L,条边，则多面体共有 可得G0=3.PG=√P0+C0=T5 L山…+条棱 由(1)可知.PF⊥CD.则PF⊥1， 且CD⊥GF,PF∩GF=F,PF,GCFC平面PGF,则CD⊥平面PGF, 由题意，多面体共有D=2-M+=(2-M+山++ 个顶点， 且PGC平面PGF,可得CD⊥PG,即PG⊥I.可知∠FPG即为二面角 2 B--C的平面角 :号多边形的内角之和为L,-2π 可得os∠F6=F+c-6F.7+15-16.05 所以所有多边形的内角之和为T(L,+2++Lg)-2mM 2PF·P心27x535,所以二面角 所以多面体的总曲率为2D-[云(L,+L2+…+Lw)-2]=2π B--C的余弦值为5 2-Mh++hw 2 -[r(L,+L2+…+Lu)-2rM]=4m. 所以简单多面体的总曲率为常数4石 18,解：(1)圆柱的体积，=2h=行×22×3=12示（立方米），圆锥的体 积5=号·术%，=号25x15m=3125(立方米). 第八章」 真题演练 ÷几何体2的体积V=,+V2=15.125m(立方米). 黑题 直题体验 (2如图.连接P01.B01, 1.B解析：设园锥的母线长为1，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧 根据题意可得PO,∥FE,∠BPO,为圆柱母线EF和圆锥母线PB 长.则π=2π×√2，解得1=22.故选B. 参考答案黑白题061