立体几何综合问题提升训练-2025届高三数学二轮专题复习

立体几何综合问题提升篇 明天成功的你一定会感谢今天努力的你------跫音未响 立体几何综合问题------提升篇 1． 空间角、距离的计算 例1. 如图所示，四边形都是直角梯形，，，二面角的平面角为，设分别为的中点. （1） 证明：； （2） 求直线与平面所成角的正弦值. 例2. 如图，直三棱柱的体积为，的面积为. （1） 求到平面的距离； （2） 设为的中点，，求二面角的正弦值. 练习1. 直三棱柱中，，为的中点，为中点，为中点. （1） 求证：； （2） 求直线与平面夹角的正弦值； （3） 求平面与平面夹角的余弦值. 练习2. 如图，四面体中，，为中点. （1） 证明：； （2） 设，点在上，当的面积最小时，求与平面所成角的正弦值. 练习3. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为的中点. （1） 求证：； （2） 从下面条件中选一个作为已知条件，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：；②：. 练习4. 如图，四棱锥的底面是矩形，，为的中点，且. （1） 求； （2） 求平面与平面夹角的正弦值. 2． 探索性、开放性问题 例1. 如图，在直三棱柱中，，分别是的中点，点在直线上运动，且. （1） 证明：无论取何值，都有； （2） 是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 练习1. 如图，在四棱锥中，. （1） 证明：； （2） 在线段上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值等于？ 3． 翻折问题 例1. 如图，四边形为正方形，分别为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且. （1） 证明：； （2） 求与平面所成角的正弦值. 练习1. 如图，在梯形中，，垂足为，，将沿翻折到，为线段的中点，且. （1） 求证：； （2） 设为线段上任意一点，当平面与平面的夹角最小时，求的长. 练习2. 如图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，将其沿折起使得重合，连接，如图2. （1） 证明：图2中的四点共面，且； （2） 求图2中的平面与平面的夹角大小. 4． 动态、最值与轨迹问题 例1. （多选）在棱长为的正方体中，是的中点，在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 三棱锥的体积为 C. 有且仅有两个点，使得 D. 有且仅有三个点，使得到平面的距离为 例2. （多选）如图，已知正方体的棱长为，为的中点，为所在平面内的一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若与平面所成角为，则点的轨迹为圆 B. 若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为 C. 若点到直线与到直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线 D. 若与所成角为，则点的轨迹为双曲线 例3. （多选）如图，点是棱长为的正方体的表面上一个动点，则（ ） A. 当在平面上运动时，四棱锥的体积不变 B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 当直线与平面所成角为时，点的轨迹长度为 D. 若是的中点，当在底面上运动，且满足时，长度的最小值为 练习1. 已知边长为的正方形与所在的平面互相垂直，点分别是线段上的动点（包括端点），.设线段的中点的轨迹为，则的长度为_____. 练习2. 在正四棱柱中，，为的中点，点满足，动点在侧面内运动，且，则的取值范围为______. 练习3. 已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为，则该正四棱锥的体积的取值范围为_____. 学科网（北京）股份有限公司 $$立体几何综合问题提升篇 明天成功的你一定会感谢今天努力的你------跫音未响 立体几何综合问题------提升篇 1． 空间角、距离的计算 例1. 如图所示，四边形都是直角梯形，，，二面角的平面角为，设分别为的中点. （1） 证明：； （2） 求直线与平面所成角的正弦值. 解析： 例2. 如图，直三棱柱的体积为，的面积为. （1） 求到平面的距离； （2） 设为的中点，，求二面角的正弦值. 解析： 练习1. 直三棱柱中，，为的中点，为中点，为中点. （1） 求证：； （2） 求直线与平面夹角的正弦值； （3） 求平面与平面夹角的余弦值. 解析： 练习2. 如图，四面体中，，为中点. （1） 证明：； （2） 设，点在上，当的面积最小时，求与平面所成角的正弦值. 解析： 练习3. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为的中点. （1） 求证：； （2） 从下面条件中选一个作为已知条件，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：；②：. 解析： 练习4. 如图，四棱锥的底面是矩形，，为的中点，且. （1） 求； （2） 求平面与平面夹角的正弦值. 解析： 2． 探索性、开放性问题 例1. 如图，在直三棱柱中，，分别是的中点，点在直线上运动，且. （1） 证明：无论取何值，都有； （2） 是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 解析： 练习1. 如图，在四棱锥中，. （1） 证明：； （2） 在线段上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值等于？ 解析： 3． 翻折问题 例1. 如图，四边形为正方形，分别为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且. （1） 证明：； （2） 求与平面所成角的正弦值. 练习1. 如图，在梯形中，，垂足为，，将沿翻折到，为线段的中点，且. （1） 求证：； （2） 设为线段上任意一点，当平面与平面的夹角最小时，求的长. 解析： 练习2. 如图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，将其沿折起使得重合，连接，如图2. （1） 证明：图2中的四点共面，且； （2） 求图2中的平面与平面的夹角大小. 解析： 4． 动态、最值与轨迹问题 例1. （多选）在棱长为的正方体中，是的中点，在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是（ BC ） A. 存在点，使得 B. 三棱锥的体积为 C. 有且仅有两个点，使得 D. 有且仅有三个点，使得到平面的距离为 例2. （多选）如图，已知正方体的棱长为，为的中点，为所在平面内的一动点，则下列说法正确的是（ ACD ） A. 若与平面所成角为，则点的轨迹为圆 B. 若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为 C. 若点到直线与到直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线 D. 若与所成角为，则点的轨迹为双曲线 例3. （多选）如图，点是棱长为的正方体的表面上一个动点，则（ AC ） A. 当在平面上运动时，四棱锥的体积不变 B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 当直线与平面所成角为时，点的轨迹长度为 D. 若是的中点，当在底面上运动，且满足时，长度的最小值为 练习1. 已知边长为的正方形与所在的平面互相垂直，点分别是线段上的动点（包括端点），.设线段的中点的轨迹为，则的长度为_____. 练习2. 在正四棱柱中，，为的中点，点满足，动点在侧面内运动，且，则的取值范围为______. 练习3. 已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为，则该正四棱锥的体积的取值范围为_____. 学科网（北京）股份有限公司 $$