第6章 专题探究2 余弦定理、正弦定理的应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

专题探究2余弦定理、正弦定理的应用 黑题 专题强化 限时：50min 题组1正、余弦定理的简单应用 5.#(2025·福建福州高一期中)在锐角 1.（2025·安徽合肥高一期中)在△ABC △ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a, b,c,b=1且a(a-1)=c2-1,则C= 中，a,6,c分别为角A,B,C所对的边，且)亨 边长c的取值范围为 b-acos C,若△ABC的外接圆直径为 3 ,则a 6.**(2025·山东泰安高一月考)在△ABC 中，a,b,c为角A,B,C对应的边，S为△ABC 的值为 ( 的面积，且absin B--a2sinA=2s(1-sinC A.√3 C.23 sin B B.2 D.4 2.*★(2025·江苏扬州高一期中) (1)求A; (2)若a=2,求△ABC内切圆半径的最大值， 已知△ABC的内角A,B,C所对的 边分别为a,b,c,若 2sin C a- sin A+sin B c ,则角c 的最大值为( A.G B C.i 3 3.*(多选)（2025·湖南岳阳高一月考)在 △ABC中，内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若 日号=.则下列说法正确的是〈 题组2正、余弦定理的综合应用 A.sinA·sinC= 3 7.*(2025·江苏南通高一月考)在△ABC B.a2+e2=9 中，点D在边BC上，且满足AD=BD=2CD, ac 3tan2B-2tanA+3=0,则角B的大小为 C.sin'A+sinC=13 2 D.sin Atsin C C. n 8.(多选)在平面四边形ABCD中，已知B+ 4.**(2025·河南安阳高一期末)已知△ABC D=180°，AB=2,BC=4√2，CD=4,AD=2√5， 的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,记BC 下列四个结论中正确的是 () 边上的高为h,若A为锐角，b=√2 asin B,则h A.B=D=90° 的最大值为 ( B.四边形ABCD的面积为42+√5 B.②+1 C.3+1 D.3 C.AC=6 2 2 2 D.四边形ABCD的周长为6+4√2+2√5 第六章黑白题035 9.*在△ABC中，D为BC上一点，CD= 3BD,AC=2AD,则 AB 12.已知函数fx)=Asin(胥+p),xeR,A不 BC 若 0,0<p<2y=fx)的部分图象如图所示，P,Q sin LBAD_√2 sin∠CAD3,则cosB= 分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐 10.转(2025·福建福州高一期中)某同学在 标为(1，A),点R的坐标为(1,0)，∠PRQ= 学习和探索三角形相关知识时，发现了一个 ,则sin∠POR= 2T 有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外 接圆的三条圆弧（劣孤）沿着三角形的边进 行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一 点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形 三条高线的交，点).如图，已知锐角△ABC外 接圆的半径为4，且三条圆弧沿△ABC三边 题组4正、余弦定理的实际应用 翻折后交于点P. 13.*(多选)(2025·湖北荆州高一期中)如 (1)若AB=6,求cos∠PAC; 图，甲船从A,出发以每小时25海里的速度 (2)若AC:AB:BC=6:5:4,求PA+PB+ 向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线 PC的值， 航行当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西 75°方向的B1处，此时两船相距5√2海里.当 甲船航行12分钟到达A2处时，乙船航行到 甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相 距5海里，下面结论正确的是 A.乙船的行驶速度与甲船相同 B.乙船的行驶速度是152海里/时 C,甲、乙两船相遇时，甲船行驶了2小时 D.甲、乙两船不可能相遇 B 60 759 题组3正、余弦定理与其他模块知识的综合 (第13题) (第14题) 11.**(2025·江苏苏州高一月考)在平行四 14.*(2025·湖南常德高一期中)如图，一辆 边形ABCD中，已知AB=4,AD=2,A=60°，点 汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A P在CD边上，满足AP.AB=4,则AP.B乎= 处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的 方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶 在西偏北75的方向上，仰角为30°，则此山的 A.- B.0 C.-1 D.1 高度CD= m. 必修第二册·RJ黑白题0360C+CA-20CAc 0C2sinB2 V2R·sinB sin2(a+B) sin(a+B) 0c√R2+2R, 2W2R2·sinB·cos sin2(a+β) sin(a+B) 5π 312=4 2x2.·(】 .0C= R2+ =√/4+3R 1 2 2 5解折：由mL08 2则a∠408=爱又0M=0B=12 23 3 则AB=0A2+0B2-20A,0Bx32=238-2x12x12x32 81,即AB=9. 物距：像距=6：1，则N8"=(×8=子即像高为子 1 3 ,故答案 为3 6、16 解析：如图所示，作DM∥AC交BE A60B120C 65 于N,交CF于M,作FH∥AC交BE于H. 120 200 150 由题中所给数据得DF=√MF2+DM2= √302+1802=30√37(m),DE= H √DW+EW2=√602+80=100(m),EF= √EH+FH=√502+1202=130(m). 在△DEF中，由余弦定理，得cos∠DBF-DE+EF2-DF2 2DE·EF 1002+1302-302×3716 2×100×130 65 专题探究1平面向量的综合应用 黑题专题强化 1.D解析：如图，分别取BD,AE的中点G,N,连接GN交EF于H, D,E分别是CB,CA的中点，.DE∥AB∥GW :成成+成-成+h成k成=成-成-威，则M在线 段HW(不含端点)上 GN-DEAB.cGN- 则耐成+耐诚成同理成成+ 2 成=子成耐=成+2成？<子，即上的取值范周为 () 、h B (第1题) (第2题) 2.ABD解析：如图，因为P是边BC上一点（不含端点），A市=aA店+ bAi,所以a=1,0<b<1.由A0=bAB+aAi得，Q落在CD上，故A 选项正确； 必修第二册·RJ 店（动）=2(*动=2花，其中子<1，所以s 落在AC上，故B选项正确： A求=0.9A成+bA心，当0.9<b<1时，显然R会落在△ACD内，故C 选项错误； 因为1C1=(1-b)1BC1,1Cd1=(1-b)1C1,设平行四边形ABCD中 BC边上的高为41，DC边上的高为，所以SA=宁(1-6) 武xh,Se=子(1-b)1市1×又因为1X=1动1× h2=SBABCD,所以S△APc=S△Aoc,故D选项正确。 3.A解析：若D是AC的中点，则励=之(+)，故(+B心· A元=2Bi.A花=0，所以BD⊥AC,显然△ABC为等腰三角形，即BA= BC.由 A成，A花 (ABA元)2 +√ =√1+2c0sA+1=√3， 可得cosA= 又01<，放A=写，故△MBC为等边三角形 2 4.C解析：由 《+)+动4，解得+d=2,因 （(1A+D1)·1B=4,(1B=2. 为A成.B励=励，D元=0，所以店1币，B市1D结合图象可得与 D心方向相同，所以1+1D心1=1A店+D元1，所以（店+D心）·A花= 1Ai+D元11At1cos∠C4B=1A店+DC12=4 5.D解析：如图，过0，P作直径EF,依题意，P.P元=-P11P元1= -1P11P21=-(10凉1-101)(10求1+101)=-(10凉2- 1O12)=-2,为定值，A正确； 若AC1BD,则P店.C=市.P市=0，则A店.Ci=(A+P)·(C+ P市)=A市.C市+P市.C市+A市.P币+P.p,又p.P元=-2，则a, C=-2,同理可得P.Pi=-2,故A店.C=-4,B正确； 若M为AC中点，连接OM,则Oi.O元= (OM+M)·(OM+M心)=o办+0成.(M+ M心)+M.M元=0-(4-07)=207-4， 0 由题意0≤0办≤0=2，则0.0元e[-4, 0],C正确； 因为1AC1≤4,1BD1≤4，则有1AC·1Bi1≤16，D错误 6子头解折正=2成，市=4衣店=2成，=5花 励.c成=-2，（市-）·（应-A花）=(5A花-)·(2店 A花)=11AB.A花-5A衣-2A=11x2×1×cos∠BAC-5×1-2× 4=2mLG-1B=-2,解得m∠BMC=子：∠MCe(0,, ∠BMC=牙 设励=A励，e[0,1],前.市=（成+）·（市+币）= [片破+（动-应]·[子动(1-(-]-（分A） 1-+n(写)迹+(0.2市.应=16（分 )1A0+25a(A写）片(0A022）5x4a号-2a2 12以+7=21（人）广+引当A=员时，成.有最小值 黑白题022 努 四易错提醒 转化为函数问题后，要先写出函数的定义域，再讨论取值范围，否则 容易出错 7.解：(1)在△ABC中，D为AB中点，则C,P,D三点共线，设D= mD元，.A-A=m(A花-A) 故-m花+(1-m访m花+宁(1-m)应又亦-衣+兮应，故 m=t, (2)(1)蜘萨}d+}应=应=(}花+}应) 号（花++2花.）=。(a花+2+21花1·店1. o0BAC))≥)(21A花·+21Ad1·前cs∠BAC),当且仅 当1A心1=A应1时取等号. 又x则号花1血∠c即g m号3成，=6，故团≥g(2x6+2x 6m号)=2：1≥万，即1的最小值为E,当且仅当 A花1=1A1=6时取等号. (3)Ci+C=2C⑦，故(C+C)2=C+2c.C+=4C=12. 令b=1Ci,a=1Cl,则b2+2 abcosLACB+a2=b2+ab+a2=12≥3ab, “ab≤4，当且仅当b=a=2时等号成立，则△ABC面积的S= 2 absin∠ACB5. 综上，△ABC面积的最大值为3. 8.ABC解析：A选项：H为垂心，为高线的交点，则A市.B元=0，选 项A正确. B选项：市.B配=成.花-砖.店=号花2-号12=32- 8=24,选项B正确： C选项衣.武-子（花+)·（花-）=子（花2-12）= 16,选项C正确； D选项：.B武=.A花-.A店=2·A心1-2·A店1=8，选项 D错误 9.AC解析：对于A,因为4亦=A A店A花 ,mlA1=nlAC1,设 mlABI nIACI 点D为BC的中点，所以市：入（店+衣)=2”办，所以直 mlABI mlABI 线AP一定经过三角形ABC的重心，故A正确； 对于B,当m=n=1时，A币= (A店A花 A1A花 ,因为店 为与AB方向 IAB AC 相同的单位向量， 为与花方向相同的单位向量，所以店 十 IACI IABI A交平分∠BMC,即直线AP一定经过三角形ABC的内心，故B lACI 错误； 对于C,当m=cosB,n=cosC时，A币=A AB AC IABIcos B IACI cos C 参考答案 所以破武（成，矿成） IABIcos B IACIcos C A(仁1c=B:成，a花1msC·底） =A(-1BC1+|Bd1)=0, IABIcos B IACIcos C 所以A⊥B武，所以直线AP一定经过三角形ABC的垂心，故C正确； 对于D,当m=sinB,n=sinC时，A巾=A IABIsin B IACIsin C 由正弦定理有 晴， 结合A选项分析可知直线P一定经过三角形ABC的重心，故 D错误， 10.D解析：在y=(子受)中，结合题图，令y=0,得=2， 点A的坐标为(2,0)：令y=1,得x=3,点B的坐标为(3,1) .0i=(2,0),0i=(3,1),.0i+0=(5,1),A店=(1,1)， .(0i+0)·A=(5,1)·(1,1)=6. 中6T解析：扇形0MA的面积S2R2子a6,解得a3 所议04=1.∠40=受-号后0：子所以， ai.-号a君-复 专题探究2余弦定理、正弦定理的应用 黑题 专题强化 1.B解析：20=6-a0sC,由余弦定理得 c=6-axa2+b2-c2 ,化 2ab 简得2+2-2=bc,心co8A=°2bc=2次=7又在△4BC中， 3,as4 0<A<,A=号：△ABC的外接圆直径为4， 3x 子2 2.A解析：由已知 m6后则在A4C中，由正孩定更可得 品测2--，即2宁公-的 又庙余弦定理可知mC子 2 2ab 2品2名+熟所以 mG元治=号当且仅当君-治即a=6时等号度之又 ≥ Ce(0,),所以C≤石即角C的最大值为君 9 9 3.ACD解析：因为2=ac,由正弦定理可得in2B=4 sin Asin C,所 以5）=今sin Asin C,即sinA·sinC=?,放A正确； 由余弦定理得62=a2+c2-2 accos B,即b2=a2+c2-ac,又62=9。 40c,所 c=an-ac,即a2t2=,故B错误； 久9 因为a2+e2=13 1ac,由正弦定理可得sin2A+sm2C=sin Asin C,所以 mA+inC=5x=5,放C正确： 4312 因为sinA>0,sinC>0,所以sinA+sinC-√(sinA+sinC)7= 黑白题023