第6章 专题探究1 平面向量的综合应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

专题探究1平面向量的综合应用 黑题 专题强化 限时：60min 题组1平面向量基本定理的应用 4.**如图，在四边形ABCD中，IAB1+IBD|+ 1.*(2025·江西宜春高一期中)如图，在 1D元1=4，AB.BD=BD.D元=0,1AB1 △ABC中，D,E分别是CB,CA的中点，点F 1BD1+IBD1·IDC1=4,则(AB+DC)·AC的 在AB上，且3AF=FB,M是△AFE(不含边 值为 ) 界)内的动点，满足DM=DB+kD正，则k的取 A.2 B.22 C.4 D.42 值范围为 0 （第4题) (第5题) R尽 5.*(2025·黑龙江哈尔滨高一期中）“圆幂 定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理， c.( n.) 它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆 2.*(多选)(2025·浙江杭州高一月考)在平 内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长 行四边形ABCD中，P是边BC上一点（不含端 的积相等.如图，已知圆0的半径为2，点P是 点)，AP=aAB+bAD,A0=bAB+aAD,AR= 圆O内的定点，且OP=√2，弦AC,BD均过点 (a-0.1)店+6，-(+0，则( P,则下列说法错误的是 A.PA.PC为定值 A.Q落在CD上 B.当AC⊥BD时，AB.CD为定值 B.S落在AC上 C.0A.0元的取值范围是[-4,0] C.R落在△ABC内 D.1AC1·1BD1的最大值为12 D.△ACP的面积等于△ACO的面积 6.*(2025·山东师大附中高一月考)如图， 题组2平面向量的数量积问题 在△ABC中，AB=2,AC=1,E,D分别是直 3.*(2025·江苏镇江高一期中)已知△ABC 线AB,AC上的点，A匠=2B2,CD=4AC,且 中，(BA+BC)·AC=0, AB AC BD.CE=-2,则∠BAC= 若P是线 =5, IACI 段DE上的一个动点，则B驴.C乎的最小值 则此三角形为 为 A.等边三角形 B.等腰非等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 第六章黑白题033 题组3向量与解三角形问题 9.*★（多选）(2025·江西景德镇 7.**(2025·江西景德镇一中高一期中)如 中高一期中)在三角形ABC所在平 图，在△ABC中，D为AB中点，P为CD上一 面内，点P满足AP=入( AB 点，且满足=tAC+,A店 mlABI AC (1)求t的值； ,其中入∈(0，+o),m,neR,m≠0， nlACI (2)若∠BAC=号，△ABC的面积为3 2,求 n≠0，则下列说法正确的是 () IAPI的最小值 A.当mlAB1=nlAC1时，直线AP一定经过三 角形ABC的重心 (3)若∠ACB=牙，CD=3,求△ABC面积的最 B.当m=n=1时，直线AP一定经过三角 大值 形ABC的外心 C.当m=cosB,n=cosC时，直线AP一定经过 三角形ABC的垂心 D.当m=sinB,n=sinC时，直线AP一定经过 三角形ABC的内心 题组5向量与其他模块知识的综合 10.#(2025·辽宁沈阳高一月考)函数y= am(牙)的部分图象如图所示，则(0A+ 0B)·AB= X二4 A.-6 B.14 C.3 D.6 11.禁如图，单位圆M与数轴相切于原点0， 把数轴看成一个“皮尺”，对于任意一个正数 a,它对应正半轴上的点A,把线段OA按逆时 针方向缠绕到圆M上，点A对应单位圆上 题组4用向量法研究三角形的性质 点A',这样就得到一个以点M为顶点，以MO 8.*(多选)(2025·江西吉安高一月考)在等 为始边，经过逆时针旋转以MA'为终边的圆 腰△ABC中，已知AB=4,CA=CB=8,若H,W, 心角a,该角的弧度数为a.若扇形OMA'的面 G,I分别为△ABC的垂心、外心、重心和内心 积为石，则0.01= 则下列四种说法正确的有 ( A.AH.BC=0 B.A7,BC=24 C.AG.BC=16 D.Ai BC=12 3456 必修第二册·RJ黑白题034曲余孩定理omG-得S=子046(I c20)=4c21-a2y21-4w-(a24w-22 4a262J 16 由2ab≤a2+b2,得4a28≤(a2+62)月，所以S2.4a262-(a2+6-e2)2 16 (a2+b2)2-(a2+62-e2)2-(2a2+262-c2)c2_(2a2+262-c2)5c 16 16 80 (2a2+2b2-c2+5c2)2_(a2+b2+2c2)2 ,当且仅当2a2+2b2-c2=5c2时取 4×80 80 等号，所以400 a2+b2+2c2≤400x 12 805,则、ae Q2+62+2c2的最大值 为5 四方法总结 记△MBC面积为S,则S=2bsi血C= 2 acsin B= 1 1 2 bcsin A=2(at 少，其中，为三角形内切圆半径，R为三角形外接圆半 第4课时余弦定理、正弦定理应用举例 白题基础过关 1.D解析：由题意得∠BAC=180°-80°-70°=30°，∠ACB=90°-20°- 17°=53°. AB 由正弦定理得 sim∠ACBsin BAG,所以AB=Csin∠ACB_6x0.8 -BC sin∠BAC0.5 9.6(km). 2.3解析：在△ACD中，∠ACD=45°，∠ADC=67.5°，CD=23, .∠CAD=67.5°，则AC=CD=25. 在△BCE中，∠BEC=60°，∠BCE=75°，CE=√2，则∠CBE=45°.由正 sin45o“sin60,可得BC=CEsin60° 弦定理得CB BC ②x sin 450 2=5在 2 2 △ABC中，AC=2√5，BC=√3，∠ACB=180°-∠ACD-∠BCE=60°，由 余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos60°=9，因此AB=3千米. 3.B解析：在△ABC中，∠ACB=30°，∠BAC=75°-30°=45°，BC=60 则LA8c=180-45°-30=105，in1050=s(60°+45)=5x2 22 60x6+v2 子号-62因为2Gnc所以4c AC 4 4 √2 30(5+1),所以气球的高度为AC·in∠ACB=30(5+1)×2 15(3+1).故选B. 4.202解析：如图，在△ABC中，由题知 太阳光线 ∠BAC=60°-15°=45°，AC=20米，又旗杆 与水平面垂直，所以∠ACB=180°-75°= 105°，则∠ABC=180°-105°-45°=30° BC AC 由正弦定理知 n∠BAci∠ABC,得到 60 159 T BC=ACsin∠BMC 20sin 4 20x2 2 sin∠ABC 1 sin- 6 2 202(米). 5.C解析：如图，m∠ABG=m369°=子，4C=42厘米，BC=56厘 参考答案 米.又BD=50厘米，.CD=6厘米，根据勾股定理得AD=30W2厘米 至正午阳光 冬至正午阳光 表 北 化废至线圭B婆至线 BD AD 在△ABD中，根据正弦定理可知 sin BAD=sinABD'即 50 √2 6n（g-36.90)3,解得sin(0-36.9)= 2 5 6.30° 解析：设竹竿与地面所成的角为a,影子长为xm由正弦定理， 2 4w5 得m60n(120-a,解得x=3in(120°-a）. 又易知0°≤≤90°，可得30°≤120°-a≤120°，可知当120°-=90°， 即a=30时有最大位即竹竿与地面所成的角是30时，影子 最长 黑题 应用提优 1.C解析：在△PBC中，∠PCB=45°，∠BPC=75°-45°=30°，由正弦 PB BC 80w3x2 定理得 如PCBinBPG→PB=BC,sinPCB sin LBPC 1 2 8006(m).在△PAB中，∠PAB=60°，∠APB=180°-75°-60°=45°， sm乙APBPAB寸AB=P sinAP。 由正弦定理得，AB PB sin∠PAB 8006x2 5 -160(m）,所以DE=AB-AD-BE=1600-500-30= 2 800(m) 2.A解析：由题意有BD=21km,DC=20km,BC=31km.在△BDC中， 由余弦定理有cos∠BDC.BD2+DC2-BC2212+202-312 2BD·DC 2×21×20 ∠BDC+∠BDA=180°，所以cos∠BDA=cos(180°-∠BDC)= -oBDC=-7,所以sinBDA=V-os'ZBDA=45, 7, 所以sin∠DBA=sin[180°-（∠BDA+60)]=sin(∠BDA+60°）= sin∠BDAcos60°+cos∠BDAsin60°= 4w3、13、153 7x2+2x7=14 AD 又BD=21km,∠BAD=60°，在△ABD中，由正弦定理有 sin∠ABD 5w3 sinBAD,所以AD=BDsin∠ABD 21× BD 14 sin LBAD√5 =15(km) 2 3.B解析：在△ABC中，AB=100mm,BC=35mm,LACB=53.2°，因为 sin53.2°≈0.8，所以cos53.2°≈0.6.由余弦定理得AB2=CB2+ CA2-2CA·CB·cos53.2°，所以1002=352+CA2-2CA×35×0.6→CA2- 42CA-8775=0→CA=117或CM=-75(舍去).因为135-117=18，所 以AoA=18mm.故选B. 4.A解析：∠CAB=a,∠CBA=B,.∠ACB=T-a-B. AC AB AB·sinB√2R·sinB sin Bsin(a-B)AC-sin(a-B)sin(tp) 在△A0C中，L0AC=a+4, T 黑白题021 0C+CA-20CAc 0C2sinB2 V2R·sinB sin2(a+B) sin(a+B) 0c√R2+2R, 2W2R2·sinB·cos sin2(a+β) sin(a+B) 5π 312=4 2x2.·(】 .0C= R2+ =√/4+3R 1 2 2 5解折：由mL08 2则a∠408=爱又0M=0B=12 23 3 则AB=0A2+0B2-20A,0Bx32=238-2x12x12x32 81,即AB=9. 物距：像距=6：1，则N8"=(×8=子即像高为子 1 3 ,故答案 为3 6、16 解析：如图所示，作DM∥AC交BE A60B120C 65 于N,交CF于M,作FH∥AC交BE于H. 120 200 150 由题中所给数据得DF=√MF2+DM2= √302+1802=30√37(m),DE= H √DW+EW2=√602+80=100(m),EF= √EH+FH=√502+1202=130(m). 在△DEF中，由余弦定理，得cos∠DBF-DE+EF2-DF2 2DE·EF 1002+1302-302×3716 2×100×130 65 专题探究1平面向量的综合应用 黑题专题强化 1.D解析：如图，分别取BD,AE的中点G,N,连接GN交EF于H, D,E分别是CB,CA的中点，.DE∥AB∥GW :成成+成-成+h成k成=成-成-威，则M在线 段HW(不含端点)上 GN-DEAB.cGN- 则耐成+耐诚成同理成成+ 2 成=子成耐=成+2成？<子，即上的取值范周为 () 、h B (第1题) (第2题) 2.ABD解析：如图，因为P是边BC上一点（不含端点），A市=aA店+ bAi,所以a=1,0<b<1.由A0=bAB+aAi得，Q落在CD上，故A 选项正确； 必修第二册·RJ 店（动）=2(*动=2花，其中子<1，所以s 落在AC上，故B选项正确： A求=0.9A成+bA心，当0.9<b<1时，显然R会落在△ACD内，故C 选项错误； 因为1C1=(1-b)1BC1,1Cd1=(1-b)1C1,设平行四边形ABCD中 BC边上的高为41，DC边上的高为，所以SA=宁(1-6) 武xh,Se=子(1-b)1市1×又因为1X=1动1× h2=SBABCD,所以S△APc=S△Aoc,故D选项正确。 3.A解析：若D是AC的中点，则励=之(+)，故(+B心· A元=2Bi.A花=0，所以BD⊥AC,显然△ABC为等腰三角形，即BA= BC.由 A成，A花 (ABA元)2 +√ =√1+2c0sA+1=√3， 可得cosA= 又01<，放A=写，故△MBC为等边三角形 2 4.C解析：由 《+)+动4，解得+d=2,因 （(1A+D1)·1B=4,(1B=2. 为A成.B励=励，D元=0，所以店1币，B市1D结合图象可得与 D心方向相同，所以1+1D心1=1A店+D元1，所以（店+D心）·A花= 1Ai+D元11At1cos∠C4B=1A店+DC12=4 5.D解析：如图，过0，P作直径EF,依题意，P.P元=-P11P元1= -1P11P21=-(10凉1-101)(10求1+101)=-(10凉2- 1O12)=-2,为定值，A正确； 若AC1BD,则P店.C=市.P市=0，则A店.Ci=(A+P)·(C+ P市)=A市.C市+P市.C市+A市.P币+P.p,又p.P元=-2，则a, C=-2,同理可得P.Pi=-2,故A店.C=-4,B正确； 若M为AC中点，连接OM,则Oi.O元= (OM+M)·(OM+M心)=o办+0成.(M+ M心)+M.M元=0-(4-07)=207-4， 0 由题意0≤0办≤0=2，则0.0元e[-4, 0],C正确； 因为1AC1≤4,1BD1≤4，则有1AC·1Bi1≤16，D错误 6子头解折正=2成，市=4衣店=2成，=5花 励.c成=-2，（市-）·（应-A花）=(5A花-)·(2店 A花)=11AB.A花-5A衣-2A=11x2×1×cos∠BAC-5×1-2× 4=2mLG-1B=-2,解得m∠BMC=子：∠MCe(0,, ∠BMC=牙 设励=A励，e[0,1],前.市=（成+）·（市+币）= [片破+（动-应]·[子动(1-(-]-（分A） 1-+n(写)迹+(0.2市.应=16（分 )1A0+25a(A写）片(0A022）5x4a号-2a2 12以+7=21（人）广+引当A=员时，成.有最小值 黑白题022