第6章 平面向量及其应用 真题演练-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

同理可得 PB AB AB T im（2-a】 sinLAPB"sin ZACB=2R=8, 所以PA+PB+PC=8(cos0+cosa+eoB)=8x（4+8+16)2 319）-23 11.B解析：由A.A店=4，得A在A店上的投 D(P) 4 影向量AA的模1AA。1=1.因为AD=2, 3 LBAD=号，所以在砧上的投影为 d1s号=2x号=1如图，得P4上，点P与点D重合，因 为AB=4,AD=2,∠BMD=3,所以BD2=AB+AD2-2B· =16+4-2x4x2×)=12,所以BD2+AD 所以AD⊥BD,所以Ad.B=A市.Bd=0. 12.区解析：过点Q作PR延长线的垂 AY P 14 线，垂足为D,连接PQ,如图所示由题意 可知T=2m6,则D0=2=3:∠03 3 Q 0口--- ∠RQD=π DR=D0am石 T-3x93,PR=月，Dp=2w月 PQ=VPD2+D02=√12+9=√2I. "sin∠PR0 sin LPOR'则sim∠POR=PR·ta∠PRQ. 由正弦定理可知，P? PR PO 3x3 ·图做 14 13.AD解析：如图，连接A1B2 依题意，4=25号-5（等里.面及4 0 5海里，LA1A2B2=60°，则△A1A2B2是正三 角形，所以∠A2A1B2=60°，A1B2=5海里. 在△A1B1B2中，∠B1A1B2=180°-750-60°= 45°，A1B1=5V2海里，由余弦定理得B1B2= B √JA1B+A1B3-2A1B1·A1B2c0s45°= √52)2+52-2x52x5x 2=5(海里)， 则有A1B3+B1B3=A1B,所以∠A1B2B1=90°，所以∠A1B1B2=45° 所以乙船的行驶速度是5=25（海里/时），放A正确，B不正确， 12 60 延长B1B2与A1A2交于点0，因为∠A1B2B1=90°，即A1B2⊥OB1, ∠A2A1B2=60°，所以易得0A1=10海里，0B2=5V5海里，0B1= 55+1)海里，甲铅认台交到点0用时4=岩号（小时），乙船从 出发到点0用时，-5(5+D3+(小时)，<，即甲船先到达 25 5 点O,所以甲、乙两船不可能相遇，C不正确，D正确， 14.1006解析：由题设可知在△ABC中，∠CAB=30°，∠ABC=105°， 由此可得LACB=45°.由正弦定理可得CB in30°sn45o,解得CB= 300√5m.又因为∠CBD=30°，所以CD=CBtan30°=100w6m. 参考答案 第六章章末检测 1.B解析：可设a=4,b=5,c=6,所以a<b<c,所以A<B<C,又cosA= 62+c2-a225+36-163 3 2bc 2x3x6=4,所以最小角的余弦值为子 2.B解析：1a|=2,1b1=2,a·b=2,1a-b12=(a-b)2=a2+ b2-2a·b=la12+lb12-2a·b=4+4-4=4,.1a-b1=2. 3.C解析：对于A,向量a与b满足Ia|=|b1且a∥b,若向量a与b反 向，则合合故A不符合题意： b 对于B,由a=-b,则 日奇做B不符合意： 对于C,由a=2b,则向量a与b同向，所以4 女故C特合恶意 对于D,向量a与b清满足a/B,若向量a与b反向，则合=治，故 D不符合题意， 4.C解桥：由题意有成-亦-应=之(+花)-市=2成+ 名成-动访成诚动 2 11 所以A+拟=22=0. 3.C解：标8二合日，可得Ac,的余放定理可得。 -c.g2+62-c2 b2+c2-a2 2bc 2b,整理可得(a2-c2)=(a2-c2)(a2+e2),即 (a2-c2)(a2+c2-b2)=0,所以a2-c2=0或a2+c2-b2=0,即a=c或 a2+c2=b2,所以△ABC的形状是等腰或直角三角形. 6.A解析：如图，∠PAD=∠DPA=45°，∠BAD=15°，∠QBC=45°， ∠PBC=75°，所以∠PAB=30°，∠BPC=15°，∠PBQ=30°，得 ∠PQB=135°. 在△ABP中，AB=BP=90.在△PQB中，由正弦定理得 BP sinL POB 20用n05-0解得P0 PQ 90sin30° 452,所以壕股 sin135° 塔的高为452m. (第6题) (第8题) A解析：由题意知，el=1e2=1,cos(e1,e2〉=-？，所以 e1·2-了，又向量a,b在0-斜坐标系中的坐标分别为(1,1)， 2 (2,-1),所以a=e1+e2,b=2e1-e2,所以a·b=(e1+e2)· 西，=266-2号1号 1 8.A解析：如图所示，连接MW,取MW中点为点O,则PM+P=2Pd 因为1PM+P1=8,所以P⑦1=4，所以PM.P成=(Pi+0M)·(Pi+ o=Pd2-12=16-子12. 由图可知，当MW⊥h时，1M1最小，作PW⊥2交l1于点M,由题 意可知，PM=l,PW'=3,所以MNin=3-1=2, 即减成.成=16子2≤16-子×2=15，综上可得，成.成的 黑白题025 最大值为15. 9.ABD解析：由a=(1,3),b=(2,-4),可得3×2-(-4)×1=10≠0，所 以a,b不共线，所以a,b能作为平面内所有向量的一组基底」 故A正确： 由a=(1,3),b=(2,-4),所以a+b=(1,3)+(2,-4)=(3,-1),所以 (a+b)·a=(3,-1)·(1,3)=0,所以(a+b)⊥a,故B正确； a+2b=(1,3)+2(2,-4)=(5,-5),所以1a+2b1=√52+(-5)7= 5V2,故C错误； 后设5停数ab的来海为宁依D a·b -10 正确 10.AD解析：因为血(A石) =cOsB且△ABC为锐角三角形，所 根据三角形的内角和定理，得G=号，放A正确 由余放定理得2=a246-2aba号-d2+62-a6,即9=a2+4-2a整 理得42-2a-5=0,又0>0，所以a-2+v+2D-=1+6,放B错误： 2 8品cmA:恤c.1v6x号 根据正弦定理得=。 3 5(1+6),故C错误； 6 因为sac=dsnG=x(1+,6)x2x-516 2 2 82,放D正晚 1.ACD解析：设a6=a:b-1a1c0_①，b。a b·a b2= 1b1 m 6会②因为90，牙]，所以号≤s01,断以 lal m 2≤cos20≤1.又1a≥1b1>0,所以m1≥n>0, D②相乘铅e0即2≤ m2, 对于A,当m=1时，2≤n1m≤1，而a。b和b。a都在集合 {mmeZ,neZ}中，也就是m,都是整数，故1=m=1,所 n 以a。b+b。a=1+1=2,故A正确； 对于B,当m=2时，)≤≤1→2≤nn2≤4，又n1,2是整数 当=1时，有e2,34,即a6e{1,子，2当%=2时， 有n1=2,aob=1,故B错误； ,≤"g≤1→≤a≤9，即n≥ 对于C,当m=3时，2≤9 9 291≥3 9 1≥3，即3≤m1≤9，所以ab的取值个数最多有 9-3+1=7(个)，当且仅当n2=1时，a。b的取值个数最多，故 C正确； 对于D.当m=224时，2≤2024≤1→200 2 -≤n1n2≤20242，即 n1≥%4≥20243 ●2→1≥2024→n1≥1432，即1432≤%1≤2024 必修第二册·RJ 所以a。b的取值最多有20242-1432+1=(20242-1431)（个）.故 D正确. 1 12.牙解析：由1a-b1=la,可得a2-2a·b+b2=a,解得a·b=之 a·b1 则cos(a,b)=aib2叉(a,b>e[0,m],所以a与b的夹角 为 3 13.2解折：因为感._底.，所以11s∠B01=1应1· IDAI IDBI cos∠EDB,所以点E在LADB的平分线上.如图，因为D应=xDi+ yD成，且x+y=1,所以A,E,B三点共线因为DA=DB,所以△ABD是 等膜三角形，即点E为AB的中点故始-2 14.6 解析：在△ABC中，由余弦定理可得∠BMC= AC-BC=895-经，因为0<∠BMC<m,则∠BMC=子 2AC·AB2×22x32 设EF=x,则DG=DE=AE=x,AD=√2x,CD=2W2-√2x,由题意可得 (AD<AC, (2x<2w2, .3 AE+EF<AB, 即2x<3,可得0r<2 （x>0, 因为Dc∥AB,则LcDG=,在△CDG中，由余弦定理可得cC- 0e+02-200.c0m年=24(2-E-2(2-） 号时等号成立，所以当EF-日时，线段CG长度最小 15.解：(1)因为a=(2,0),b=(1,1),c=(1,-1),可得(a+b)=(2, 0)+入(1,1)=(2+入，入) 因为(a+Ab)⊥b,所以(a+Ab)·b=(2+入，入)·(1,1)=2+2入=0， 解得入=-1. (2)因为a=(2,0),b=(1,1),c=(1,-1),可得(xa+yb)=(2x,0)+ (y,y)=（2x+y,y). 又因为(xa+yb)∥c,所以2x+y+y=0,可得2x=-2y. 因为x,y为非零实数，所以无=-1. 16.解：(1)在△ABC中，由bsin C+√3 ccos B=√3a及余弦定理得 6sinC+w5e.a2+2--5a,化简得2 2abiC=5(a2+b-g2),所 2ac 以sinC=√3cosC,即tanC=√3.因为△ABC中，C∈(0，π)，故 6 (2)在△ABC中，由余弦定理可得，c2=12=a2+b2-2 abcos C=a2+ b2-ab=a2+b2-8,所以a2+b2=20. 因为CT为AB边上的中线，所以C齐=了(+C),所以C办= Chc(wc)- 子(c242+ad)=子×(20+8)=7，放=7.即4B边上中线c7 的长为√7. 黑白题026 17.解：(1)由题意作图如图①所示， 则∠PAC=45°，∠CBP=60°，∠BAC=45°-15°=30°，AC= tan ZPAC-300 m,BC= PC PC tan Z CBP=100/3 m. n∠ABG snBAC可得inLABC=5 AC BC 由正弦定理 2因此∠ABC= 60或120°， 当LABC=60°时，LACB=90°，猎豹与羚羊之间的距离为AB= √AC2+BC=2003m, 当LABC=120°，LACB=30°=∠BAC,猎豹与羚羊之间的距离 为AB=BC=100W5m. ① ③ (2)没有成功的可能.原因：由题意作图如图②所示， 设捕猎成功所需的最短时间为ts,在△ABQ中，BQ=30t,AQ= 40,AB=200V3,∠ABQ=120°.由余弦定理得16002=900r2+ (200W5)2-2×30e×200w5× 1 2 整理得72-605t-1200=0. /30V3 设ft)=72-605t-1200,显然f0)<0f7 <0,因猎豹能坚 持奔跑最长时间为800 40 20(s),且f20)=2800-12003-1200= 400(4-33)<0.∴.猎豹不能捕猎成功. 18.(1(i)证明：因为-号，所以0i-0i-子(-i,则0ò :号成号0成，整理得0市0+号成 5 (i)解：设BM=yB成，则A成=A应+B成=A应+yB成=成+y(A市-A成)= ,(2花-店)=(12花 又i=花+C成=花+：动=A花+：（市-）=花+x(}-d 2 子+(1-)花，所以 -y=5 1 得= 2y1-x, (2)证明：因为Ad=aD成，所以M市-M=a(M-M,则M市-Mi= a成n成.整理得励成。诚。 a+1 设励=成，代入上式得耐知应，成=0，记为0，同理可得 成=6成，市=e成，设证=种成，市=本诚，可得：成+ M应+bM元=0，记为②，cMi+rM+M元=0，记为③， 联立①②消去M店，联立①③消去M,可得(1-at)M+(s-ab)M元= 0,(ac-r)MB+(sc-1)MC=0, 又因为M,M成，M心中任意两个向量互不共线，所以有1-at=s-b= ac-r=s0-1=0, 由1-=0得=由-1=0得=又=6，放。=a6,即 abc=1. 参考答案 19.解：(1)由0到弦AB的距离是7，可得∠4B0=∠BA0=30°，放 ∠A0B=120° (i)由圆的几何性质得∠ACB=120°，AC1=1C1=1,故A花.C= ACIICxco(G,B=1x1xcos60= ()记劣弧AB的中点为D,如图， 易得成.成子成. Ar成.成=A-@成. 0i=a.oiu0亦=之u@, ①+②得0成.(i,0应)=之（Au),进 一步得：A+u=20元.(Oi+0)=20元.0i=2cos(0元，0， 其中0°≤(0元，0市)≤60°，故A+μ的取值范围为[1,2] (2)记∠40B=a,由13成-01≤号两边平方，得9产+0亦- 6a成.is5106mas2-1 wwadw.owus[gl月 (20i+0i)·(0A+0i)=3+3cos&,120i+0i1=√5+4co9a, 10i+0i1=√2+2cosa. 又20i+0成和向量0i+0的夹角为0， .c0s20= T(20A+0)·(0i+0)12 (3+3cos a)2 10A+0B112OA+0B (5+4cos a)(2+2cos a) 9(1+c0sx)9 1 2(5+4c0sa) 记x)= (15)显然)在=osae[，1上单 9 1 递增，所以当=m=名时，(o0/(）一碧 第六章真题演练 黑题 真题体验 1.B解析：因为(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,可得a2=b2,即1al=lbl, 可知(a+b)·(a-b)=0等价于lal=|bl. 若a=b或a=-b,可得1al=Ibl,即(a+b)·(a-b)=0,可知必要性 成立； 若(a+b)·(a-b)=0,即1al=Ib1,无法得出a=b或a=-b, 例如a=(1,0),b=(0,1),满足1a1=1b1,但a≠b且a≠-b,可知充 分性不成立 综上所述，“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充分条 件故选B. 2.A解析：由题意及题图得，视风风速对应的向量为n=(0,2)-(3, 3)=(-3,-1),视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行 风风速对应的向量之和，船速方向和船行风风速的向量方向相反. 设真风风速对应的向量为n1,船行风风速对应的向量为n2,n=1+ n2,船行风风速：n2=-[（3,3)-(2,0)]=（-1,-3),∴n1=n-2= (-3,-1)-(-1,-3)=(-2,2),m11=√(-2)2+22=22≈2.828， ·由表得，真风风速为轻风 3.D解析：因为10i1=10成1=√2,1A1=2,由A花=0成-Oi两边平方可 得，1.0i=0,所以o,应=2 2C+A=2(0i-0)+0成-0i=0i+0-20元，10元1=√32+4平=5， 黑白题027第六章 真题演练 黑题 真题体验 限时：60min 考点1平面向量 3.*(2025·北京)在平面直角坐标系x0y 1.(2024·北京)设a,b是向量，则“(a+ 中，1OA1=10B1=√2，IAB1=2.设C(3,4), b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的( 则I2CA+AB1的取值范围是 ( A.充分不必要条件 A.[6,14] B.[6,12] B.必要不充分条件 C.[8,14] D.[8,12] 视频讲解C C.充要条件 4.(2023·全国乙理)已知⊙0的半径为1， D.既不充分也不必要条件 直线PA与⊙0相切于点A,直线PB与⊙0交 2.(2025·全国一卷)帆船比赛中，运动员 可借助风力计测定风速的大小和方向，测出 于B,C两点，D为BC的中点，若IPOI=√2， 的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对 则PA·PD的最大值为 () 应的向量是真风风速对应的向量与船行风风 A.1+2 B.1+22 2 C.1+√2 D.2+√2 速对应的向量之和，其中船行风风速对应的 向量与船速对应的向量大小相等、方向相反， 5.*(2025·全国二卷)已知平面向量 图①给出了部分风力等级、名称与风速大小 a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则 的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得 |a|= 的视风风速对应的向量与船速对应的向量如6.**(2023·新课标全国)已知向量a,b满足 图②所示（线段长度代表速度大小，单位： Ia-b1=√3，la+b1=I2a-b1,则1b1= m/s),则该时刻的真风为 ( 7.(2025·天津)△ABC中，D 级数名称 风速大小（单位：m/s) 为MB边中点，C店=C成，店=a, 视频讲解 2 轻风 1.6～3.3 3 微风 3.4~5.4 AC=b,则A正= （用a,b表示)，若 和风 5.5～7.9 IAE1=5,AE⊥CB,则A.CD= 劲风 8.010.7 考点2解三角形 5 8.*(2025·全国二卷)在△ABC中， ① BC=2,AC=1+√3，AB=√6，则A=（） 3颍贰风速 A.45°B.60° C.120°D.135° 船速 9.*(2023·全国乙文)在△ABC中，内角A, B,C的对边分别是a,b,c,若acos B- 3 ② ,则B bcos A=c,且C=T A.轻风 B.微风 T C.和风 D.劲风 C.3m 2T D. 10 5 第六章黑白题041 10.*★（2023·全国甲理）在△ABC中，13.*(2025·天津)在△ABC中，角A,B,C的 ∠BAC=60°，AB=2,BC=√6，∠BAC的平分 对边分别为a,b,c.已知asin B=√3 bcos A, 线交BC于点D,则AD= c-2b=1,a=√7. 11.*(2024·新课标全国I)记△ABC的内 (1)求A的值； 角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC= (2)求c的值； √2cosB,a2+b2-c2=√2ab. (3)求sin(A+2B)的值. (1)求B; (2)若△ABC的面积为3+√/3，求c 12.*(2024·新课标全国Ⅱ)记△ABC的内 14.(2025·北京)在△ABC中，c0sA=- 角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+ √3cosA=2. asin C=4√2. (1)求A. (1)求c的值 (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件 (2)若a=2,√2 bsin C=csin2B,求△ABC的 中选择一个作为已知，使得△ABC存在， 周长 求BC边上的高 条件0：a=6;条件②：asin B=102 3条 件③：△ABC的面积为10√2. 频讲解 必修第二册·RJ黑白题042