第6章 平面向量及其应用 章末检测-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

努 四易错提醒 转化为函数问题后，要先写出函数的定义域，再讨论取值范围，否则 容易出错 7.解：(1)在△ABC中，D为AB中点，则C,P,D三点共线，设D= mD元，.A-A=m(A花-A) 故-m花+(1-m访m花+宁(1-m)应又亦-衣+兮应，故 m=t, (2)(1)蜘萨}d+}应=应=(}花+}应) 号（花++2花.）=。(a花+2+21花1·店1. o0BAC))≥)(21A花·+21Ad1·前cs∠BAC),当且仅 当1A心1=A应1时取等号. 又x则号花1血∠c即g m号3成，=6，故团≥g(2x6+2x 6m号)=2：1≥万，即1的最小值为E,当且仅当 A花1=1A1=6时取等号. (3)Ci+C=2C⑦，故(C+C)2=C+2c.C+=4C=12. 令b=1Ci,a=1Cl,则b2+2 abcosLACB+a2=b2+ab+a2=12≥3ab, “ab≤4，当且仅当b=a=2时等号成立，则△ABC面积的S= 2 absin∠ACB5. 综上，△ABC面积的最大值为3. 8.ABC解析：A选项：H为垂心，为高线的交点，则A市.B元=0，选 项A正确. B选项：市.B配=成.花-砖.店=号花2-号12=32- 8=24,选项B正确： C选项衣.武-子（花+)·（花-）=子（花2-12）= 16,选项C正确； D选项：.B武=.A花-.A店=2·A心1-2·A店1=8，选项 D错误 9.AC解析：对于A,因为4亦=A A店A花 ,mlA1=nlAC1,设 mlABI nIACI 点D为BC的中点，所以市：入（店+衣)=2”办，所以直 mlABI mlABI 线AP一定经过三角形ABC的重心，故A正确； 对于B,当m=n=1时，A币= (A店A花 A1A花 ,因为店 为与AB方向 IAB AC 相同的单位向量， 为与花方向相同的单位向量，所以店 十 IACI IABI A交平分∠BMC,即直线AP一定经过三角形ABC的内心，故B lACI 错误； 对于C,当m=cosB,n=cosC时，A币=A AB AC IABIcos B IACI cos C 参考答案 所以破武（成，矿成） IABIcos B IACIcos C A(仁1c=B:成，a花1msC·底） =A(-1BC1+|Bd1)=0, IABIcos B IACIcos C 所以A⊥B武，所以直线AP一定经过三角形ABC的垂心，故C正确； 对于D,当m=sinB,n=sinC时，A巾=A IABIsin B IACIsin C 由正弦定理有 晴， 结合A选项分析可知直线P一定经过三角形ABC的重心，故 D错误， 10.D解析：在y=(子受)中，结合题图，令y=0,得=2， 点A的坐标为(2,0)：令y=1,得x=3,点B的坐标为(3,1) .0i=(2,0),0i=(3,1),.0i+0=(5,1),A店=(1,1)， .(0i+0)·A=(5,1)·(1,1)=6. 中6T解析：扇形0MA的面积S2R2子a6,解得a3 所议04=1.∠40=受-号后0：子所以， ai.-号a君-复 专题探究2余弦定理、正弦定理的应用 黑题 专题强化 1.B解析：20=6-a0sC,由余弦定理得 c=6-axa2+b2-c2 ,化 2ab 简得2+2-2=bc,心co8A=°2bc=2次=7又在△4BC中， 3,as4 0<A<,A=号：△ABC的外接圆直径为4， 3x 子2 2.A解析：由已知 m6后则在A4C中，由正孩定更可得 品测2--，即2宁公-的 又庙余弦定理可知mC子 2 2ab 2品2名+熟所以 mG元治=号当且仅当君-治即a=6时等号度之又 ≥ Ce(0,),所以C≤石即角C的最大值为君 9 9 3.ACD解析：因为2=ac,由正弦定理可得in2B=4 sin Asin C,所 以5）=今sin Asin C,即sinA·sinC=?,放A正确； 由余弦定理得62=a2+c2-2 accos B,即b2=a2+c2-ac,又62=9。 40c,所 c=an-ac,即a2t2=,故B错误； 久9 因为a2+e2=13 1ac,由正弦定理可得sin2A+sm2C=sin Asin C,所以 mA+inC=5x=5,放C正确： 4312 因为sinA>0,sinC>0,所以sinA+sinC-√(sinA+sinC)7= 黑白题023 VA际G2如如c√侣写号故D正确 4.B解析：因为b=√2 asin B,所以sinB=√2 sin Asin B.又sinB>0, 则i血A=?因为A为饶角，所以csA=月 2 2 由余弦定理可知a2=b2+c2-2 bccos A=b2+c2-√2bc(*). 电等面积法可知cm4之h,即子c=h,即一、。*》 1 将(*)代入(**)，则么 √2bc 2a2 2(b2+c2-√2bc) √2bc 2(62+2)-22e2(62+c2)-22 be 。高阳 仅当6：时聚等号，期女的最大位为 5 (停) 解析：b=1,a(a-1)=c2-1,故a(a-b)=c2-b2→ 2+6-2=b,所以cCa6-C--于又△AG为锐角三角 2ab 形，ce(0,号）：放C=号由正弦定理得品B品c即 1 C √3 -,所以c-2sinB sin- A=mB-C=号Be(0,号），解得Be(后号)，又因为△MBC 为锐角三角形，所以Be(o,号)综上Be(石号）， 所以sinB (合28e1,22(停所 以e(停a） 6.解：(1)因为absin B-a2si加A=2s1smC sin B ,所以absin B-a2sinA= aac出) 由正孩定理得ab-a=abc(-6）,整理得6+-2=bc 由余弦定理得c0sA=6+“=7,又AE(0,m),所以A=” 2bc 3 (2)设△ABC内切圆的半径为，则S=宁k血A=之ab+o),所以 r=bcsin A_36c a+b+c2(2+b+c) 又62+c2-4=bc,所以(6+e)2-4=3c,则1=22+be) √3bc √3[(b+c)2-4]3(b+c+2)(b+c-2)√ 6(2+b+c) 6(2+b+c) 6(6+c-2). (eP-4=欢≤3.e,得6c≤4，当且收当6=62时取行 号，所以= 气(+一2)≤.即△AC内切圆半径的最大值为停 7.C解析：设∠DAC=∠1.因为AD=BD,所以∠BAD=∠B,因为∠C= T-(∠A+∠B),所以∠1=T-2∠B-(T-∠A-∠B)=∠A-∠B. CD 《的正弦定理可知，AD=即品=名=(4+B) CD==sin(A-B) 品日品一合2，化简得■A及又因为 必修第二册·RJ 3tan2B-2tanA+3=0,所以有3tan2B-6tanB+3=0,解得tanB=1,又 因为Be(0,),所以B=牙 8.ACD解析：连接AC,在△ABC中，可得AC2=AB2+BC2-2AB· BC·cosB=4+32-2×2×4W2cosB,在△ACD中，可得AC2=AD2+ DC2-2AD·DC·c0sD=20+16-2×2√5×4cosD,可得36- 16√2cosB=36-16√5cosD,即V2cosB=√5cosD.因为B+D=180°，可 得cosB=-cosD,可得cosB=0,又因为B为三角形的内角，所以B 90°，所以B=D=90°，所以A正确； 1 1 1 由S四边形0m=S△Mc+Sacn=2AB·BC+2AD:DC=之×2x4W2+ 2×25×4=42+45,所以B不正确： 在直角△ABC中，可得AC=√AB2+BC=√22+(42)2=6，所以 C正确； 四边形ABCD的周长为I=AB+BC+AD+DC=2+4W2+2V5+4=6+ 4W2+25,所以D正确. Q.弓子解析：如图所示，在△4BD中，由余弦定理可得A0=AB+ BD2-2AB·BDcos B①，在△ABC中，由余弦定理可得4AD2= AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=AB2+16BD2-8AB·BDeos B②，联 立①2，消元可得AB=2BD,所以=2BD-1在△ABD中，由正弦 BC 4BD 2 BD AB 定理可得 sin LBAD sin L.ADB ③，在△ACD中，由正弦定理可得 CD AC sin∠CAD sin∠ADC ④，④÷③可得nLBAD.CD.AC sn∠CAD'BDABAC= √∑AB. :AC=万AB,BC=2AB,由余弦定理可得cosB=AB2+BC2-AC_3 2AB·BC 4 10.解：(1)设外接圆半径为R,则R=4,由正弦定理可得m∠ACB AB sin ZACB=2R=8,sin LACB=6=3 6 84 由题意可知P为△ABC的垂心，即AP⊥BC,所以∠PAC=T 3 ∠ACB,所以cosLPAC=sin∠ACB=4 (2)设∠CAB=0,∠CBA=a,∠ACB=B, 由于AC:AB:BC=6:5:4,不妨设AC=6,AB=5,BC=4. 由余弦定理可得cos0 62+52-423 42+52-621 2×6×5 =4,c08a= 2×4×58’ c0sg=42+62-529 2×4×616 因为P是垂心，则LPMC=号-B,LPC -0,∠PAB= T 2a,如图， PC 则∠APC=T-∠CPD=T-∠EBC=T-∠ABC,所以一 (g】 PA AC AC ,siL∠APCsin∠ABC=2R=8, 黑白题024 同理可得 PB AB AB T im（2-a】 sinLAPB"sin ZACB=2R=8, 所以PA+PB+PC=8(cos0+cosa+eoB)=8x（4+8+16)2 319）-23 11.B解析：由A.A店=4，得A在A店上的投 D(P) 4 影向量AA的模1AA。1=1.因为AD=2, 3 LBAD=号，所以在砧上的投影为 d1s号=2x号=1如图，得P4上，点P与点D重合，因 为AB=4,AD=2,∠BMD=3,所以BD2=AB+AD2-2B· =16+4-2x4x2×)=12,所以BD2+AD 所以AD⊥BD,所以Ad.B=A市.Bd=0. 12.区解析：过点Q作PR延长线的垂 AY P 14 线，垂足为D,连接PQ,如图所示由题意 可知T=2m6,则D0=2=3:∠03 3 Q 0口--- ∠RQD=π DR=D0am石 T-3x93,PR=月，Dp=2w月 PQ=VPD2+D02=√12+9=√2I. "sin∠PR0 sin LPOR'则sim∠POR=PR·ta∠PRQ. 由正弦定理可知，P? PR PO 3x3 ·图做 14 13.AD解析：如图，连接A1B2 依题意，4=25号-5（等里.面及4 0 5海里，LA1A2B2=60°，则△A1A2B2是正三 角形，所以∠A2A1B2=60°，A1B2=5海里. 在△A1B1B2中，∠B1A1B2=180°-750-60°= 45°，A1B1=5V2海里，由余弦定理得B1B2= B √JA1B+A1B3-2A1B1·A1B2c0s45°= √52)2+52-2x52x5x 2=5(海里)， 则有A1B3+B1B3=A1B,所以∠A1B2B1=90°，所以∠A1B1B2=45° 所以乙船的行驶速度是5=25（海里/时），放A正确，B不正确， 12 60 延长B1B2与A1A2交于点0，因为∠A1B2B1=90°，即A1B2⊥OB1, ∠A2A1B2=60°，所以易得0A1=10海里，0B2=5V5海里，0B1= 55+1)海里，甲铅认台交到点0用时4=岩号（小时），乙船从 出发到点0用时，-5(5+D3+(小时)，<，即甲船先到达 25 5 点O,所以甲、乙两船不可能相遇，C不正确，D正确， 14.1006解析：由题设可知在△ABC中，∠CAB=30°，∠ABC=105°， 由此可得LACB=45°.由正弦定理可得CB in30°sn45o,解得CB= 300√5m.又因为∠CBD=30°，所以CD=CBtan30°=100w6m. 参考答案 第六章章末检测 1.B解析：可设a=4,b=5,c=6,所以a<b<c,所以A<B<C,又cosA= 62+c2-a225+36-163 3 2bc 2x3x6=4,所以最小角的余弦值为子 2.B解析：1a|=2,1b1=2,a·b=2,1a-b12=(a-b)2=a2+ b2-2a·b=la12+lb12-2a·b=4+4-4=4,.1a-b1=2. 3.C解析：对于A,向量a与b满足Ia|=|b1且a∥b,若向量a与b反 向，则合合故A不符合题意： b 对于B,由a=-b,则 日奇做B不符合意： 对于C,由a=2b,则向量a与b同向，所以4 女故C特合恶意 对于D,向量a与b清满足a/B,若向量a与b反向，则合=治，故 D不符合题意， 4.C解桥：由题意有成-亦-应=之(+花)-市=2成+ 名成-动访成诚动 2 11 所以A+拟=22=0. 3.C解：标8二合日，可得Ac,的余放定理可得。 -c.g2+62-c2 b2+c2-a2 2bc 2b,整理可得(a2-c2)=(a2-c2)(a2+e2),即 (a2-c2)(a2+c2-b2)=0,所以a2-c2=0或a2+c2-b2=0,即a=c或 a2+c2=b2,所以△ABC的形状是等腰或直角三角形. 6.A解析：如图，∠PAD=∠DPA=45°，∠BAD=15°，∠QBC=45°， ∠PBC=75°，所以∠PAB=30°，∠BPC=15°，∠PBQ=30°，得 ∠PQB=135°. 在△ABP中，AB=BP=90.在△PQB中，由正弦定理得 BP sinL POB 20用n05-0解得P0 PQ 90sin30° 452,所以壕股 sin135° 塔的高为452m. (第6题) (第8题) A解析：由题意知，el=1e2=1,cos(e1,e2〉=-？，所以 e1·2-了，又向量a,b在0-斜坐标系中的坐标分别为(1,1)， 2 (2,-1),所以a=e1+e2,b=2e1-e2,所以a·b=(e1+e2)· 西，=266-2号1号 1 8.A解析：如图所示，连接MW,取MW中点为点O,则PM+P=2Pd 因为1PM+P1=8,所以P⑦1=4，所以PM.P成=(Pi+0M)·(Pi+ o=Pd2-12=16-子12. 由图可知，当MW⊥h时，1M1最小，作PW⊥2交l1于点M,由题 意可知，PM=l,PW'=3,所以MNin=3-1=2, 即减成.成=16子2≤16-子×2=15，综上可得，成.成的 黑白题025第六章 章末检测 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.6.*(2025·浙江嘉兴高一期中)壕股塔是嘉 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 兴著名景点，某同学为了测量壕股塔PQ的 目要求的 高，他在山下A处测得塔尖P的仰角约为45°， 1.·(2025·重庆西南大学附中高一期中) △ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对 再沿倾斜角为15°的斜坡向上走90m到达B 边，a:b:c=4:5:6,则最小角的余弦值为 处，测得塔尖P的仰角为75°，塔底Q的仰角 为45°，那么壕股塔的高约为 () c.-5 u. A.45√2m B.453m 2.·(2025·江苏苏州高一月考)若向量a,b C.45m D.25(w2+6)m 满足1al=2,Ib1=2,a·b=2,则1a-b1= 7.★*(2025·江西赣州高一期中)如图，不共 ( 线且不垂直的单位向量e1,e2的夹角为0，以点 A.2 B.2 C.23 D.4 3.*(2025·重庆江北区高一月考)设a与b 0为原点，e1,e2的正方向分别为x轴、y轴建 都是非零向量.下列四个条件中，使日=b 立坐标系，该坐标系称为0一斜坐标系.若 lal 1bl 0P=x1+ye2,则称(x,y)为0P在0-斜坐标系 成立的充分条件是 ( A.Ial=Ib1且a∥b B.a=-b 中的坐标若cos0=-了，向量a,b在0一斜坐 C.a=2b D.a∥b 标系中的坐标分别为(1,1)，（2，-1)，则a·b= 4.*(2025·山东济宁高一期中)如图，在平 面内，不共线向量AB与C⑦构成的四边形 ABCD中，E,F分别是AD,BC的中点.若EF= A. B 0 入AB+uCD,则A+w= ( A.2 B.1 C.0 D.-1 (第7题) (第8题) 8.装(2025·河南南阳高一月考)如图所示， (第4题) (第6题) 在同一平面内，点P在两平行直线1,2的同 5.(2025·天津和平区高一期中)在△ABC 侧，且点P到直线1,2的距离分别为1,3， 中，若osA=C,则△4BC的形状是 cos C a ( 点M,N分别在直线11,2上，IPM+P1=8,则 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 PM·P的最大值为 ( C.等腰或直角三角形D.等边三角形 A.15 B.13 C.12 D.10 第六章黑白题037 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 12.(2025·广东深圳高一月考)已知单位 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 向量a,b满足1a-b1=Ial,则a与b的夹角 得0分 为 9.*(2025·安徽滁州高一期中)已知向量a= 13.*(2025·四川成都高一月考)在平行四 (1,3),b=(2,-4),则下列选项正确的是( 边形ABCD中，DA=DB,E是平行四边 A.a,b能作为平面内所有向量的一组基底 形ABCD内（包括边界）一点， D2.D4 B.(a+b)⊥a IDAI C.1a+2b1=10 D.a,b的夹角为3 成，D丽若D成=i+yD成，则当x+y=1时， 4 IDBI 10.(2025·云南昆明高一月考)锐角三角 AB AE 形ABC中，角A,B,C所对的边分别是a, 14.(2025·江苏宿迁高一期中)如图，已知 bc,已知sim(A-石）=cusB,6=2,c=3,则 6 在△ABC中，AB=3,AC=2√2，BC=√5，D是 线段AC上的动点，E,F是线段AB上的动点 LG=写 (F在E的右侧)，且四边形DEFG是正方 形，当EF= 时，线段CG长度最小. B.a=√2+√3 C.sin= 6 D.△MBC的面积为32+3 2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 11.装(2025·广东东莞高一月考)对任意两 文字说明、证明过程或演算步骤， 个非零的平面向量α和B,定义α。B= 15.（13分)(2025·江苏宿迁高一期中)已 知向量a=(2,0),b=(1,1),c=(1,-1) B,若平面向量a,b满足1a≥1b1>0,a (1)若(a+入b)⊥b,求实数入的值； β·B 与6的夹角0=0， ,且a。b和b。a都在 (2)若(xa+yb)∥c,且x,y为非零实数，求x 的值 集合mz,ae 中.给出以下命题，其 中一定正确的是 A.当m=1时，则a。b+b。a=2 B当m=2时，则abe行1，，2 C.当m=3时，则a。b的取值最多有7个 D.当m=2024时，则a。b的取值最多有 (20242-1431)个 必修第二册·RJ黑白题038 16.*★(15分)(2025·湖北襄阳高一月考)设17.*(15分)(2025·福建漳州高一期中)人 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲 已知bsin C+√3 ccos B=√3a. 大草原点C处正上空300m的点P处，一架 (1)求C的大小； 无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进 (2)若AB=2√3，且ab=8,求AB边上中线 行航拍.已知位于点C西南方向的草丛A处 CT的长 潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏 北15°方向上点B处的一只羚羊，且无人机 拍摄猎豹的俯角为45°，拍摄羚羊的俯角为 60°，假设A,B,C三点在同一水平面上 (1)求此时猎豹与羚羊之间的距离AB的 长度 (2)若此时猎豹到点C处比到，点B处的距离 更近，且开始以40m/s的极限速度出 击，与此同时机警的羚羊以30m/s的速 度沿北偏东15°方向逃跑，已知猎豹受耐 力限制，最多能持续奔跑800m,试问猎 豹这次捕猎是否有成功的可能？请说明 原因. 第六章黑白题039 18.整(17分)(2025·江西赣州高一期中)如19.熱(17分)(2025·江苏南京高一月考)如 图，在△ABC中，点D,E,F分别在边AB, 图，A,B是单位圆（圆心为O)上两动点，C是 BC,AC上，且AE,BF,CD交于点M. 劣弧AB(含端，点)上的动点.记O元=入OA+ )已知i-号证 uOB(入，均为实数) (1)若O是△ABC所在平面内任意一 （1)若0到弦8的题离是 点，证明：0i-0i+oi, (i)当点C恰好运动到劣弧AB的中点 (i)若=C,C成=x而，求的值 时，求AC.C的值； (ⅱ)求入+w的取值范围. (2)若AD=aD,B正=bE元，C=cF,证明： abc=1. (2)若130-01≤2，记向量20i+0店和向 量0+0的夹角为日，求cos20的最小值 必修第二册·RJ黑白题040