第六章 专题微课 解三角形及其应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教A版）

专题微课　解三角形及其应用 [课时跟踪检测] 1.在△ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,已知cos 2A=cos(B+C),且b=2,c=6,则a= (　　) A. B.2 C. D.2 解析:选D　cos 2A=-cos A=2cos2A-1, 即2cos2A+cos A-1=0,解得cos A=-1(舍去)或cos A=. △ABC中,根据余弦定理a2=b2+c2-2bccos A=28,得a=2.故选D. 2.(2023·全国乙卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B-bcos A=c,且C=,则B= (　　) A. B. C. D. 解析:选C　因为acos B-bcos A=c,所以由正弦定理得sin Acos B-sin Bcos A=sin C=sin(B+A),则2sin Bcos A=0.在△ABC中,sin B≠0,则cos A=0,A=.所以B=π-A-C=π--=,故选C. 3.(多选)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=1,a2+c2-b2=ac,sin2B=3sin Asin C,则 (　　) A.B= B.ac= C.△ABC的面积为 D.△ABC的周长为+1 解析:选ABD　由a2+c2-b2=ac,有cos B==,得B=,A正确;因为sin2B=3sin Asin C,由正弦定理有b2=3ac,b=1,得ac=,B正确;△ABC的面积为acsin B=××=,C错误;因为a2+c2-b2=ac,所以b2=1=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac,解得a+c=,故△ABC的周长为+1,D正确.故选ABD. 4.在解三角形的问题中,其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a,b,c直接求三角形的面积.据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的,他得到了海伦公式即S=,其中p=(a+b+c).我国南宋著名数学家秦九韶也在《数书九章》里面给出了一个等价解法,这个解法写成公式就是S=. 这个公式中的Δ应该是 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　由余弦定理知=accos B,所以S=casin B=== =,所以Δ=.故选C. 5.线段的黄金分割点定义:若点C在线段AB上,且满足AC2=BC·AB,则称点C为线段AB的黄金分割点.在△ABC中,AB=AC,A=36°,若角B的平分线交边AC于点D,则点D为边AC的黄金分割点.利用上述结论,可以求出cos 36°= (　　) A. B. C. D. 解析:选B　设AB=2,AD=x,又AB=AC,所以CD=2-x.由黄金分割点的定义可得AD2=AC·CD,即x2=2·(2-x),解得AD=-1(舍负). 在△ABD中,由余弦定理得cos 36°===.故选B. 6.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为　　　　.  解析:由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B. 又∵b=6,a=2c,B=,∴36=4c2+c2-2×2c2×,∴c=2,a=4,∴S△ABC=acsin B=×4×2×=6. 答案:6 7.(5分)如图,在△ABC中,若AB=4,AC=7,BC边上的中线AD=,则BC=　　　　. 解析:设BD=DC=x. ∵∠ADB+∠ADC=π, ∴cos∠ADB+cos∠ADC=+=+==0,∴x=,∴BC=2BD=9. 答案:9 8.(5分)如图,无人机在离地面高300 m的A处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN为　　　　m. 解析:∵AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC=45°, ∴AC=AB=300 m,又∠MCA=180°-60°-45°=75°,∠MAC=15°+45°=60°, ∴∠AMC=45°,在△AMC中,由正弦定理得MC==300 m, ∴ MN=MCsin∠MCN=300sin 60°=450 m. 答案:450 9.(10分)已知△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)(sin A-sin B)=bsin C. (1)证明:A=2B;(5分) (2)若a=3,b=2,求△ABC的面积.(5分) 解:(1)证明:因为(a+b)(sin A-sin B)=bsin C, 所以(a+b)(a-b)=bc,即a2-b2=bc. cos B==,2sin Acos B=sin B+sin C,2sin Acos B=sin B+sin(A+B),sin(A-B)=sin B,所以A-B+B=2kπ+π或A-B-B=2kπ,k∈Z.又A,B∈(0,π),所以A=2B. (2)由(1)得a2-b2=bc,又a=3,b=2,所以c=. 由余弦定理可得 cos C===. 因为C∈(0,π),所以sin C==, 所以△ABC的面积S=absin C=×3×2×=. 10.(10分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin2A-(sin B-sin C)2=2sin Bsin-sin Bcos C. (1)求A;(6分) (2)若·=12,a=2,c>b,求b,c.(4分) 解:(1)在△ABC中,依题意,sin2A-(sin2B-2sin Bsin C+sin2C)=2sin Bsin Ccos+2sin Bcos Csin-sin Bcos C. 则sin2A-sin2B-sin2C+2sin Bsin C=sin Bsin C, 即sin2A-sin2B-sin2C=-sin Bsin C, 由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cos A==,而0<A<π,所以A=. (2)依题意,·=bccos A=bc=12,则bc=24.又b2+c2-a2=bc,a=2, 则有(b+c)2=3bc+28=100,即b+c=10. 又b<c,解得所以b=4,c=6. 11.(10分)记△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin(B+C)=b(sin B-sin C)+csin C. (1)求A;(5分) (2)若a=2,求△ABC的面积的最大值.(5分) 解:(1)由asin(B+C)=b(sin B-sin C)+csin C, 得asin A=bsin B+(c-b)sin C, 由正弦定理,得a2=b2+(c-b)c=b2+c2-bc. 由余弦定理,得cos A===. 又A∈(0,π),所以A=. (2)由余弦定理cos A==,a=2, 所以b2+c2-20=bc, 因为b2+c2≥2bc, 所以b2+c2-20=bc≥2bc-20, 所以bc≤20,当且仅当b=c=2时取等号. 所以△ABC的面积S=bcsin A≤5. 所以△ABC面积的最大值为5. 12.(10分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥AD,∠ABC=,AB=1. (1)若AC=,求△ABC的面积;(4分) (2)若∠ADC=,CD=2,求tan∠CAD.(6分) 解:(1)因为∠ABC=,AB=1,AC=,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2×AB×BC×cos∠ABC, 所以7=1+BC2+BC,即BC2+BC-6=0, 解得BC=2(舍负),所以S△ABC=×AB×BC×sin∠ABC=×1×2×=. (2)设∠CAD=θ,在△ACD中,由正弦定理得=,所以=　①, 在△ABC中,∠BAC=-θ,∠BCA=θ-, 则=, 即=　②, 由①②得=,即2sin=sin θ,∴2=sin θ,整理得2sin θ=cos θ,所以tan∠CAD=. 学科网（北京）股份有限公司 $