10.1.2 事件的关系和运算-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

例如：1,2,3,4,5,6，可得m=n=3.5; 例如：1,1,1,1,1,7，可得m=1,n=2 例如：1,22,22,2，可得m=2,=故A错误 对于选项B:不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6, 可知，离的中位数等于1，，…，6的中位数，均为4 2 故B正确： 对于选项C:因为x1是最小值，x6是最大值，所以x2,x3,x4,x5的波 动性不大于1，x2,…,6的波动性，即x2,,x4,5的标准差不大于 为1,2，，x6的标准差， 例如：2,468,10,12，则平均数n=石×(2+46+8+10+12)=7，标准差， √石(2-7刃244-7024(6-7024(8-724(10-7)24(12-709]= 468,10,则平均数m=×(468+10)=7。 3 1 标准差2=√4×灯(4-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(10-7)2]=5， 足然0 3 >5,即s1>2,故C错误； 对于选项D:不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,则x6-x1≥x5x2,当且 仅当x1=2,x5=x6时，等号成立，故D正确。 6,解：(1)由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间 [0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]内的频率依次为0.1， 第十章 10.1随机事件与概率 10.1.1有限样本空间与随机事件 白题 基础过关 1.C解析：当a为实数时，Ia+11≥0是必然现象，其余3个均为随机 现象，所以是随机现象的有3个故选C. 2.D解析：由定义知A,B,C均正确.，随机事件是样本空间的子 集，，由子集的定义可知D错.故选D. 3.解：(1)这个试验的样本空间2={(-1,1)，(-1,2)，(1，-1)，(1,2)， (2,-1),(2,1). (2)由(1)易知这个试验样本点的总数是6. (3)“第1次取出的数是2”这一事件包含的样本点为(2，-1)，(2,1) 四易错提醒 列举样本点时要按照顺序写，保证不重不漏 4.D解析：对于A,若正方形边长为a,由面积公式可知其面积为a2, 这是必然事件，故A不合题意；对于B,真空中没有空气，在没有任何 辅助情况下，人不能在真空中生存，这是不可能事件，故B不合题意； 对于C,在一个标准大气压下，只有温度达到100℃，水才会沸腾，当 温度是80℃时，水不会沸腾，这是不可能事件，故C不合题意：对于 D,抛掷一枚硬币，结果可能是正面向上，也可能反面向上，这是随机 事件，故D符合题意. 5.ABD解析：袋中有大小、形状完全相同的5张红色卡片、2张蓝色卡 片，从中任取3张卡片，在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件， 故A正确；在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确： 在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误；在 D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正 确.故选ABD. 6.解：(1)必然事件是指在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验 中必然会发生的事件. 已知班级里有20名男生，18名女生，总人数为20+18=38（人）. 要使女生被抽到是必然事件，意味着抽取的人数α要足够多，使得在 抽取a个人时，不可能只抽到男生. 因为男生有20人，所以当a>20时，就不可能只抽到男生，必然会抽 必修第二册·RJ 0.15,0.2,0.25,0.15 所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立 方米的居民占45%.依题意，w至少定为3. (2)由用水量的频率分布直方图及题意，得该市居民该月用水费用 的数据分组与频率分布表如下： 组号 1 2 3 4 5 6 1 8 分组[2,4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,17](17,22(22,27 频率0.10.150.20.250.150.050.050.05 根据题意，该市居民该月的人均水费估计为4×0.1+6×0.15+8×0.2+ 10×0.25+12×0.15+17×0.05+22×0.05+27×0.05=10.5(元) 7.解：(1)z=545+533+51+522+575+544+541+568+596+548 552.3, 10 7=536+527+543+530+560+533+52+550+576+536 541.3, 10 z=x-y=552.3-541.3=11, =x:-y:的值分别为9,6,8，-8,15,11,19,18,20,12， 10*[(9-1)2+(6-11)2+(8-12+(-8-11)2+(15-1)2+ 故s2= 0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=61 s2 /2 (2)由(1)知，=11,2√10=2v6=244,放D2√/0所以认 为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的 伸缩率有显著提高， 概率 到女生 所以a的取值范围是21≤a≤38(a∈Z). (2)随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量 重复试验中具有某种规律性的事件. 要使女生小雪被抽到是随机事件，则抽取的人数α要满足： 抽取的人数a至少为1人，因为如果a=0,那么不存在抽取的情况； 抽取的人数a最多为37人，因为如果a=38,那么所有人都会被抽 到，此时小雪被抽到就是必然事件，而不是随机事件， 所以a的取值范围是1≤a≤37(a∈Z). 10.1.2事件的关系和运算 白题 基础过关 1.A解析：事件“至少有一个黄球”的对立事件是“没有黄球”，即“都 是蓝球”，所以与事件“至少有一个黄球”互为对立的是“都是蓝球” 2.A解析：对于选项A,因为“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发 生，所以选项A正确：对于选项B,因为“甲站排头”与“乙站排尾”可 以同时发生，所以选项B不正确：对于选项C,因为“甲站排头”与 “乙不站排头”可以同时发生，所以选项C不正确；对于选项D,因为 “甲不站排头”与“乙不站排头”可以同时发生，所以选项D不正确. 3.D解析：对于A,当选到一男一女时，至少有1名男生和至少有1名 女生同时发生，既不互斥也不对立，A错误对于B,两名都是男生时， 至少有1名男生和全是男生同时发生，既不互斥也不对立，B错误对 于C,至少有1名男生和全是女生，是对立事件，C错误.对于D,恰有 1名男生和恰有2名男生，互斥而不对立，D正确： 4.D解析：两个事件M,N,则事件MUN表示的含义是事件M,N至少 有一个发生，故选D. 5.D析：因为甲、乙两个元件串联，电路没有故障，即甲、乙都没有故 障，即事件M和N同时发生，即M∩N.故选D. 6.ABC解析：对空中飞行的飞机连续射击两次，其样本点有：“两次都 击中飞机”“两次都没击中飞机”和“恰有一次击中飞机”，所以 D=A+C,AC正确：事件B和事件D的交集为⑦，且BUD=2,B正 确，D错 7.QCP解析：事件P={(1,3),(2,2),(3,1)},事件Q={(1,3), .Q二P.故答案为QCP. 黑白题080 8.解：(1)甲未中靶：A (2)甲中靶而乙未中靶：A∩B,即AB. (3)三人中只有丙未中靶：A∩B∩C,即ABC (4)三人中至少有一人中靶：AUBUC. (5)三人中恰有两人中靶：(ABC)U(ABC)U(ABC) 黑题应用提优 1.C解析：因为甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北 四个方向前进，每个方向一人，所以事件“甲向南”与事件“乙向北” 能同时发生，也能同时都不发生，故事件“甲向南”与事件“乙向北 是非互斥事件 2.C解析：从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空 间2={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}. 其中事件A包含的样本点有：(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共4个 事件B包含的样本点有(1,3)，(2,4)，共2个. 所以事件AUB包含的样本点有(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3， 4),共5个； 事件A∩B包含的样本点有(2,4)，共1个. 3.B解析：如图所示，集合E表示事件A,集合F表示事件B,对于 选项A,因为EUF不是全集，所以选项A错误；对于选项B,C,EU C,F=I,即AUB是必然事件，所以选项B正确：对于选项C,C,E∩C,F 不一定是空集，即A与B可以同时发生，所以选项C错误；对于选项 D,C,E∩C,F不一定是空集，即A与B不一定互斥，所以选项D错误 4.B解析：ABC+ABC+ABC+ABC是指三个事件都不发生或只发生 一个，因此事件A,B,C最多一个发生，选B. 5.ABC解析：对A:事件A与事件D二者不可能同时发生，交集为空 集，故A正确； 对B:对立事件表示两事件互斥且必定有一个发生.事件B和事件E 满足两个特点，故B正确： 对C:CUD表示至多参加一种科普活动，即为事件E,故C正确； 对D:C∩E表示只参加一种科普活动，但不一定是科技游艺活动，故 D错误 6.AUAB解析：因为只有第一道工序加工合格才进行第二道工序加 工，所以事件“产品不合格”包括第一道工序加工不合格和第一道工 序加工合格而第二道工序加工不合格，所以事件“产品不合格”可以 表示为AUAB. 7.4解析：事件ABC表示参加数学兴趣小组且参加语文兴趣小组，但 不参加英语兴趣小组，故表示的区域为4.故答案为4. 8.解：(1)A∩B∩C={2025年或2025年前出版的中文版的数学书}. (2)在“图书室中所有数学书都是2025年后出版的且为中文版”的 条件下，才有A∩B∩C=A. (3)是，A=B意味着图书室中的书除数学书以外都是中文版的，而且 所有的中文版的书都不是数学书，同时A=B又可化成B=A,因而也 可解释为图书室中所有的数学书都不是中文版的，而且所有不是中 文版的书都是数学书. 10.1.3古典概型 白题基础过关 1.D解析：概率是千分之一，是指事件发生的可能性为千分之一，每 次发生都是随机的，每一次可能发生，也可能不发生，1000次中有可 能发生1次. 2.D解析：投篮命中率只是一个比例关系，在实际过程中，并不是严格 按照百分比得分，故A错：投篮的命中率只是说明投中的可能性的大 小，与实际结果没有直接关系，故B错；掷一枚质地均匀的硬币，下一 次出现反面向上的概率与试验次数无关，概率是0.5，故C错，D对. 故选D. 3.D解析：在①中，由随机试验的定义知，试验中所有可能出现的基本 参考答案 事件只有有限个，故①正确：在②中，由随机试验的定义知，每个基本 事件出现的可能性相等，故②错误：在③中，由随机试验的定义知，每 个基本事件出现的可能性相等，故③正确；在④中，基本事件总数为 ,随机事件A若包含k个基本事件，则由古典概型及其概率计算公 式知P(4)=长，故④正确故选D. n 4.B解析：对于A,“发芽”或“不发芽”概率不同，不满足等可能性， 故A错误；对于B,任取一球的概率相同，均为，故B正确；对于 C,基本事件有无限个，不满足有限性，故C错误：对于D,由于射击运 动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中 0环的概率不等，不满足等可能性，故D错误 5.B解析：抛掷一枚骰子，共有6种可能出现的结果，正面向上的点数 大于3的结果有3种，因此出现“正面向上的点数大于3”的概率为 3 1 6=2 6.C解析：将2,3,4这3个数组成一个没有重复数字的三位数的情况 有234,243,324,342,423,432，共6种，其中偶数有234,324,342， 432,共4种，所以事件“这个三位数是偶数”发生的概率为4=2 -3 7.D解析：点P的坐标可能为(-1，-1)，(-1,0)，(-1,1)，(0，-1)， (0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),其中在第一象限的有(1,1)， 则点P落在第一象限的概率为。 8.C解析：不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19，随机选取两个 不同的数共有28种情祝，其中和等于30的有11+19,13+17这两种 情况，所以所求概率为号六 9.D解析：设高一年级的3名学生为a,b,c,高二年级的2名学生为 1,2,则从这5名学生中随机选2名组织校文艺汇演包含的基本事件 有(a,b),(a,c),(a,1),(a,2),(b,c),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2), (1,2),共10个，其中这2名学生来自不同年级有(a,1),(a,2),(b, 1),(b,2),(c,1),(c,2),共6个，所以这2名学生来自不同年级的 车为合号 10.B解析：由题图可知有0根阳线的有一卦，1根阳线的有三卦，2根 阳线的有三卦，3根阳线的有一卦，记1根阳线的分别为a,b,c,2根 阳线的分别为A,B,C,3根阳线的为3，从八卦中任取两卦，不需要 考虑两卦的顺序，将样本点两两合并，一共有3728（种）取法，其 中满足阳线之和为4的有(a,3),(b,3),(c,3),（A,B),(A,C), (B,C),共6种，故两卦中阳线之和为4的概率P=,6=3 2814 11,。解析：由题意可知基本事件的总数为64，只有一面涂漆的有 4×6=24(个)，有两面涂漆的有2×12=24（个），有三面涂漆的有 8个，所以至少有一面涂漆包含的基本事件的个数为24+24+8=56， 所以从中任取一块，则这1块至少有一面涂漆的概率为56-7. 648 ·解析：若方程x2+ax+b=0没有实数根，则△=a2-4b<0.一枚骰 子连续抛掷两次，得到的点数依次为a,b,记为(a,b),所有可能共 36种，其中满足题意的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，（1,4)，(1,5)，(1， 6),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3 6),(4,5),(4,6),共17种.故使得关于x的方程x2+ax+b=0没有 实数根的概率为号 13.解：(1)设甲公司的3款无人机为a1,a2,a,乙公司的2款无人机为 b1,b2,丙公司的1款无人机为c,则样本空间2={a1a2,a1a3,a1b1, a1b2,ac,aza3,a2b1,a262,azc,a361,a362,a3c,6162,b1c,b2c (2)由已知可得A={a1b1,a1b2,a1c,a2b1,a2b2,a2c,a3b1,a3b2, 黑白题08110.1.2事件的关系和运算 白题 基础过关 限时：25min 题组1事件之间的关系 6.*(多选)(2025·海南海口高二期中)对空 1.*(2025·安徽安庆高二月考)从装有3个 中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚 黄球和4个蓝球的口袋内任取2个球，下列事 炮弹，记事件A为“两次都击中飞机”，事件B 件中与事件“至少有一个黄球”互为对立的是 为“两次都没击中飞机”，事件C为“恰有一次 ( 击中飞机”，事件D为“至少有一次击中飞 A.都是蓝球 B.都是黄球 机”，则 () C.恰有一个蓝球 D.至少有一个蓝球 A.ACD B.BnD=⑦ 2.*(2025·吉林省实验中学高二月考)若干 C.A+C=D D.A-C=B+D 人站成一排，其中为互斥事件的是( )7.*抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，所得点 A.“甲站排头”与“乙站排头” 数分别为x,y,样本空间2={(x,y)1x, B.“甲站排头”与“乙站排尾” y∈N,x,y≤6}，事件P=“x+y=4”,事件Q= C.“甲站排头”与“乙不站排头” {(1,3)},则事件P与事件Q的关 D.“甲不站排头”与“乙不站排头” 系是 3.。(2025·河北唐山高一期末)某小组有8.在试验“甲、乙、丙三人各射击1次，观察 4名男生和2名女生，从中任选2名同学去参 中靶的情况”中，事件A表示随机事件“甲中 加歌咏比赛，下列选项中是互斥而不对立的 靶”，事件B表示随机事件“乙中靶”，事件C 两个事件的是 ( 表示随机事件“丙中靶”，试用A,B,C的运算 A.至少有1名男生和至少有1名女生 表示下列随机事件： B.至少有1名男生和全是男生 (1)甲未中靶； C.至少有1名男生和全是女生 (2)甲中靶而乙未中靶； D.恰有1名男生和恰有2名男生 (3)三人中只有丙未中靶； 题组2事件的运算及其含义 (4)三人中至少有一人中靶； 4.·对于两个事件M,N,则事件MUN表示 (5)三人中恰有两人中靶. 的含义是 ( A.M与N同时发生 B.M与N不能同时发生 C.M与N有且仅有一个发生 D.M与N至少有一个发生 5.*(2024·山东枣庄高一期末)如图，甲、乙 两个元件串联构成一段电路，事件M=“甲元 件故障”，N=“乙元件故障”，则表示该段电路 没有故障的事件为 甲 A.MUN B.MON C.MUN D.MON 第十章黑白题129 黑题 应用提优 限时：30min 1.*(2025·陕西西安高一月考)有一个游 6.*人A教材变式已知生产某种产品需要两道 戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点 工序，设事件A=“第一道工序加工合格”，事 随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方 件B=“第二道工序加工合格”，只有第一道工 向一人，事件“甲向南”与事件“乙向北”是 序加工合格才进行第二道工序加工，那么事 件“产品不合格”可以表示为 A.互斥但非对立事件B.对立事件 7.如图是某班级50名 C.非互斥事件 D.以上都不对 学生参加数学、语文、英 2.*从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求 语兴趣小组的情况，设事 和，若“这2个数的和大于4”为事件A,“这 件A=“参加数学兴趣小 2个数的和为偶数”为事件B,则AUB和A∩ 组”，事件B=“参加语文兴趣小组”，事件C= B包含的样本点数分别为 “参加英语兴趣小组”.现从这个班任意选择 A.1,6 B.4,2 一名学生，则事件ABC所代表的区域 C.5,1 D.6,1 是 .(注：事件A的对立事件用符号 3.**(2025·山东济宁高二月考)如果事件A, A表示)》 B互斥，记A,B分别为事件A,B的对立事件， 8.从某大学数学系图书室中任选一本书， 那么 设A={数学书}，B={中文版的书}，C= A.AUB是必然事件 B.AUB是必然事件 {2025年后出版的书}，问 C.A与B一定互斥 D.A与B不可能互斥 (1)A∩B∩C表示什么事件？ 4.*设A,B,C为三个随机事件，用A,B,C的 (2)在什么条件下，有A∩B∩C=A? 运算关系表示下列各事件，则事件ABC+ (3)如果A=B,那么是否意味着图书室中的所 ABC+ABC+ABC包含的含义是 有的数学书都不是中文版的？ A.事件A,B,C至少一个发生 B.事件A,B,C最多一个发生 C.事件A,B,C不多于两个发生 D.事件A,B,C至少有两个发生 5.(多选)某学校为了丰富同学们的课外活 动，为同学们举办了四种科普活动：科技展 览、科普讲座、科技游艺、科技绘画.记事件A: 只参加科技游艺活动；事件B:至少参加两种 科普活动；事件C:只参加一种科普活动；事件 D:一种科普活动都不参加；事件E:至多参加 一种科普活动，则下列说法正确的是( A.A与D是互斥事件B.B与E是对立事件 C.E=CUD D.A=C∩E 必修第二册·RJ黑白题130