9.2 用样本估计总体 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

9.2 阶段综合 9.3统计案例公司员工的肥胖情况调查分析（略） 黑题 阶段强化 限时：40min 1.(2025·江苏南京高一期末)下列统计量 动，参与者每人每天可以作答三次，每次作 中，能度量样本x1,x2,…,xn的离散程度的是 答20题，每题答对得5分，答错得0分，该单 位从职工中随机抽取了10位，他们一天中三 A.样本x1,2,…,xn的众数 次作答的得分情况如图： B.样本x1,x2,…,xn的中位数 +得分 100 95 第三次作答 C.样本x1,x2,…,xn的极差 90 ·一第二次作答 85 第一次作签 D.样本x1,x2,…,xn的平均数 0 2.(2025·四川德阳高一期末)已知甲、乙 70 655 两组数据分别为20,21,22,23,24,25和 0 12345678910职立编号 a,23,24,25,26,27,若乙组数据的平均数比甲 根据上图，估计该单位职工答题情况，则下列 组数据的平均数大3，则 ( 说法正确的是 () A.甲组数据的第70百分位数为23 A.该单位职工一天中各次作答的平均分保持 B.甲、乙两组数据的极差不相同 一致 C.乙组数据的中位数为24.5 B.该单位职工一天中各次作答的正确率保持 D.甲、乙两组数据的方差相同 一致 3.*(多选)(2025·海南海口高一期末)在一 C.该单位职工一天中第三次作答得分的极差 次对甲、乙两个工厂生产的相同数量的零件 小于第二次的极差 质量（单位：克）统计中，得到如下表： D.该单位职工一天中第三次作答得分的标准 差小于第一次的标准差 工厂 平均质量 中位数 众数 方差 5.*(多选)(2025·福建厦门高一月考)设样 甲厂 63 63 61 s 本数据x1,x2,x3的平均数为x,中位数为m, 乙厂 63 62 61 s 标准差为s,则 其中s<s子，根据统计数据，下列结论中正确 A.若x=m,则数据x好，好，好的平均数为 的是 ( m2+s2 A.甲厂生产的零件质量稳定性优于乙厂 B.甲厂生产零件质量的极差可能小于乙厂 B.() C.甲、乙两厂生产的零件中61克出现的次数 C.x,m,s不可能组成等边三角形的三边 相同 D.x,m,s有可能组成直角三角形的三边 D.甲厂生产的零件中质量大于63克的数量6.*(2025·江苏南通海门中学高一月考)若一 多于乙厂 组数据x1,x2,…,xn的平均值x=5,方差52=32， 4.*(2025·湖南长沙高一期末)某单位职工 若删去一个数之后，平均值没有改变，方差变为 参加某APP推出的“安全知识问答竞赛”活 40,则这组数据的个数n= 第九章黑白题119 7.#(2025·黑龙江绥化高一期末)有5人进 压轴挑战 行定点投篮游戏，每人投篮12次.这5人投中 熱(2025·福建厦门高一月考)给定样本数 的次数形成一组数据，中位数为10，唯一众数 据x1<x2<<xn,记样本均值为x,定义：f(c)= 为11，极差为3，则该组数据的第40百分位数 是 含(x)2为样本数据到实数。的偏差平方 8.(2025·安徽合肥高一期末)新高考模式 和，g(a)=含1年-a为样本数据到实数a的距 下，学生是否选择物理作为高考考试科目对 大学专业选择有着非常重要的意义某学校为 离和 了解高一年级1800名学生物理科目的学习情 (1)证明：名(x-)=0: 况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按 (2)证明：y=f(c)的最小值为f(x)； 照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80， (3)求当y=g(a)取最小值时，a的取值 90),[90,100]分成6组，制成如图所示的频率 分布直方图. 频率/组距 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0405060708090100分数/分 (1)求1800名学生中物理测试成绩在[50， 60)内的频数并补全频率分布直方图！ (2)学校建议，本次物理测试成绩不低于a分 的学生选择物理为高考考试科目，若学校 希望高一年级恰有70%的学生选择物理 为高考考试科目，试求a的估计值（结果 精确到0.1) (3)已知落在[60,70)的学生成绩的平均数为 x,方差s=4,落在[70,80)的学生成绩的 平均数为y,方差s3=6,若两组学生成绩 的平均数之差不大于6，求落在[60,80) 的学生成绩的方差s2的最大值 必修第二册·RJ黑白题120为3，所以×[(a-6)2+(6-6)2+(c-6)2+(d-6)2]=3,即(a-6)2+ (b-6)2+(c-6)2+(d-6)2=12,所以(a2+b2+c2+d2)-12(a+b+c+d)+ 36×4=12,则a2+b2+c2+d2=12+12×24-36×4=156, 现加入数据8和10，则其平均数为。×(ab+ed8+10)=石×(24+ 18)=7,则这6个数据的方差为二×[(a-7)2+(b-7)2+(c-7)2+ 6 (d-7)24(8-7y24(10-7)2]=石×[(a2+8+2++82+10) 14(a+6+cd+8+10)+49x6]=6×[(156+64+100)-14(24+8+10)+ 49x6]-号 4.2解析：由题意知元=4，x子+行+…+。=200，所以s= √后T6…+w时 √培场1m)- 200-160-2 10 5.D解析：由题图可得，D地区销量最稳定，所以D地区销量的方差 最小 6.110.解析：由频率分布直方图得抽取产品的质量指标值的样本平均 值为(100×0.010+110×0.020+120×0.035+130×0.030+140×0.005)× 10=120,.样本方差s2=[(100-120)2×0.010+(110-120)2×0.020+ (120-120)2×0.035+(130-120)2×0.030+(140-120)2×0.005]× 10=110. 重难聚焦 7.C解析：该班全体同学每周运动时间的平均数为1=了× 5 8×5.2+8× 4.4=47,方差为52=8×[5.65+(52-47)21+ -×[5.01+ 8 (4.4-4.7)2]=5.4. 8.3解析：由题意可得，1.966=800 5000×[1+(2.7-3)21+2000×[2+ 600 (3.1-3)2]+2000×[号+(3.3-3)2]，解得号=3. 黑题应用提优 1.C解析：平均数是所有数据之和再除以这组数据的个数，故平均数 有可能改变：中位数是按照顺序排列的一组数据中居于中间位置的 数，故中位数也可能改变：极差表示一组数据中最大值与最小值之 差，将x3,x,重复记录在数据中，最大值与最小值并未改变，所以极 差一定不变：众数是一组数据中出现次数最多的数，有可能改变. 2.C解析：A项，平均数为0×0.2+1×0.3+2×0.3+3×0.2=1.5，标准差为 √(0-1.5)2×0.2+(1-1.5)2×0.3+(2-1.5)2×0.3+(3-1.5)2×0.2= √1.05；同理B项，平均数为1.5，标准差为√1.85；C项，平均数为 1.5,标准差为√0.65；D项，平均数为1.5，标准差为√1.45. 3.B解析：由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为x1= 50,s好=50，所占权重为w(w>0.5),男员工的平均体重和方差分别为 x2=70,好=30，则所占权重为1-ω.则样本中全部员工的平均体重为 x=wx1+(1-0)x2=70-20w,依题意，方差为s2=w[s子+(x-1)2]+ (1-w）[+(x-x2)2]=w[50+(20-20w)2]+(1-w)[30+ (-20w)2]=-400w2+420w+30=120.化简得40w2-42w+9=0,解得 ù三0,75或w=03(舍).所以样本中女员工的人数为75为 0.75=63. 4,150解析：由题意可知，这10个数据的平均数a=43,力 0 解得a+a++o%=三0=150.故答案为150 参考答案 5.(6,6)(其他答案：(5,7)，（7,5)，(4,8)，（8,4))解析：设甲、乙两 组数据的平均数分别为元1,2，方差分别为s,子，，甲、乙两组数据 的平均数相等，.1+2+4+7+11=1+2+a+b+10,.a+b=12,x1=花2=5. :=x灯1-5)2+(2-5)2+(4-5)2+(7-5P+(-5)21= 5对(1-5)2+(2-5)2+(a-5)2+(6-5)2+(10-5)2],又>好， (a-5)2+(b-5)2<16.又a,beN*,满足条件的(a,b)可以是 (6,6),(5,7),(7,5),(4,8),(8,4),故答案可为(6,6)（其他答案 (5,7),(7,5),(4,8),(8,4)). 6.解：(1)由题意得x=10×(45×0.010+55×0.015+65×0.015+75×0.030+ 85×0.025+95×0.005)=71,所以样本的方差为s1=10×[(45-71)2× 0.010+(55-71)2×0.015+(65-71)2×0.015+(75-71)2×0.030+(85 71)2×0.025+(95-71)2×0.005]=194. +号。94+78.√<6，所以 (2)由题得x-y=71-65=6,√12=√12 5所+ ≥12 ，所以有体验区的参观时长均值比没有体验区的参观时 长均值有显著提高. (3)从(2)中可知展区应该设置互动体验展区，这样可以吸引更多的 参观者进行观看与体验，使他们能更多地了解产品，并能更大程度地 激发中小学生的兴趣爱好.（合理即可） 9.2阶段综合 9.3统计案例公司员工的肥胖情况 调查分析（略） 黑题 阶段强化 1.C解析：由题意，平均数、众数和中位数均刻画了样本数据的集中趋 势，由极差的定义可知，极差是用来反映最大值与最小值之间的差 距，刻画一组数据的离散程度。 2.D解析：由题设得20+21+22+23+24+25_a+23+24+25+26+27 3. 6 6 解得a=28,甲组数据中6×70%=4.2，故第70百分位数为24，A 错误； 甲组数据的极差为25-20=5，乙组数据的极差为28-23=5，所以甲、 乙两组数据的极差相同，故B错误； 乙组数据从小到大为23,24,25,26,27,28，故其中位数为25+26 2 25.5,C错误； 甲组数据的平均数为20+21+2+23+24+25=2.5，乙组数据的平均 6 数为28+23+2425+26+7-25.5，所以甲组数据的方差为石× 6 35 1 (2.52+1.52+0.2+0.52+1.52+2.5)=2,乙组数据的方差为 (2.52+1.52+0.52+0.52+1.52+2.52)= 2,故两组数据的方差相同， 3 D正确： 3.AB解析：根据表格有s2<子，所以甲厂生产的零件质量稳定性优于 乙厂，故A正确； 根据平均数，中位数和众数不能判断极差，而2<子，所以甲厂生产零 件质量的极差可能小于乙厂，故B正确： 根据众数的定义可知，众数是出现次数最多的，不能判断甲、乙两厂 生产的零件中61克出现的次数相同，故C错误： 由于甲、乙两厂生产的零件的平均质量为63克，不能判断甲厂生产 的零件中质量大于63克的数量多于乙厂，故D错误 4.D解析：由题可得，该单位抽取的10位职工三次作答的得分分别为 1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号 职工职工职工职工职工职工职工职工职工职工 黑白题075 第一 次 65 80 85 80 90 90 90 85 90 90 作答 第二 次 80 85 % 90 95 90 95 90 95 95 作答 第三 次 85 90 95 95 100 100 100 95 100 100 作答 对于A:第一次作答的平均分为 0 ×(65+80+85+80+90+90+90+85+ 90+90)=845,第二次作答的平均分为0×(80+85+90+90+95+90+ 95+90+95+95)=90,5,第三次作答的平均分为。×(85+90+95+95 100+100+100+95+100+100)=96,故该单位职工一天中各次作答的 平均分不一致，故A错误； 对于B:第一次作答的1正确率为4,5x105x10%=84,5%,第二次 20×10 作答的正确率为0105x10%=905%,第三次作答的正确幸为 9090×100%=96%,放该单位职工-天中各次作答的正确率不 致，故B错误； 对于C:该单位职工一天中第三次作答得分的极差为100-85=15，该 单位职工一天中第二次作答得分的极差为95-80=15，故该单位职 工一天中第三次作答得分的极差等于第二次的极差，故C错误； 对于D:该单位职工一天中第三次作答得分的标准差为s?= √10x×[(85-96)2+(90-96)2+(95-96)2x3+(100-96)2x5]=2w6, 1 该单位职工一天中第一次作答得分的标准差为51= √10×刘(65-84.5)2+(80-84,5)2×2+(85-845)2x2+(90-84.5)2x5] I √57.25>√24=2√6，故该单位职工一天中第三次作答得分的标准 差小于第一次的标准差，故D正确 5.ABD解析：对于选项A: 平均数为=2+ 3 3,方差为2= 3×[(x1-)2+(2-x)2+ (西到]号+)号×指场)了×(+好 好)-2. 所以数据好，号，号的平均数为子×（好+号+写）=子+2，由于=m, 所以写×（好+场+号）=m2+2,A正确； 1 对于选项B:由A选项可知，3（好+号+号）=子+，而子≥0，所以 子≤2+，即子≤了（好+号+写），B正确： 对于选项C:举反例，比如x1=1 2%=1,43=1+ 6 2 ,此时x=1,m= 此例子满足x=m=s=1,能组成等边三角形，所以C错误； 对打选项D:取=-1=11，可求得平均数云了，中位数为m 1,标准差为s兮×[(1兮)+(1-号)+（写）门- 2此时满起（行）广+(29）°-1，此时三，m,:能组成直角三角 形，D正确。 必修第二册·RJ 6.5解析：由题意得到删去一个数之后，平均值没有改变，所以删除的 数为5，由题意子儿-5P=32得-52=32，期除 n i=1 个数后的方差为 1 (x-5)2-(5-5)2 =40,得32 -1 =40,解得 n=5. 7.9.5解析：设这5个数据从小到大为a≤b≤c≤d≤e, 已知中位数为第三个数，故c=10; 唯一众数为11，故d,e至少含11，且11出现的次数至少为2次，故 d=e=11: 极差为3，即e-a=3→a=8; 若b=10,则10和11均出现2次，众数不唯一：若b=8,则8和11均 出现2次，众数不唯一.因此b=9. 综上，该组数据为8,9,10,11,11. 根据百分位数公式：设数据个数为n,第p%百分位数的位置i=n× p%.已知n=5,p=40,故i=n×p%=5×0.4=2.当i为整数时，第p%百 分位数为第：项与第(1)项的平均值，即095 8.解：(1)由频率分布直方图可得物理测试成绩在[50,60)的频率为f= 1-10×(0.010+0.015+0.030+0.025+0.005)=0.15,频数为1800× 0.15=270,所以1800名学生中物理测试成绩在[50,60)内的频数 为270，补全频率分布直方图如图所示. ↑频率/组距 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010外 0.005 0405060708090100分数/分 (2)易得前两段频率之和为0.25<0.3，前三段频率之和0.4>0.3，则有 ae[60,70)满足(a-60)×0.015=0.3-0.25=0.05,所以a≈63.3（分） (3)成绩在[60,70)的颜数为270人，x=, ∑，成绩在[70,80)的 270 .140 频数为540人，540名 ：，所以[60,80)的学生成绩的平均值为2= +由方公式知，20- 270540 ，(x-)2, 540=觉 所以该蕴成线的方类为产品 (-)2+ 506s2同气m-司小2n时s0+2m0, 50(-+号+写(-2+号(-=i+号+ 子（列≤9，所以子的最大值为 3 压轴挑战 (1)证明：由(x,-)=(x-)+(x2)+(-)++(,)=(名1+ x2t…+xn）-nx=nx-nx=0. （2证明：由c)=2(-e)2=(-e)2+(e)2+(-c)2++ (x,-c)2=nc2-2c(x1+x2+3+…+xn)+x好+号+…+经= 。名1t2t…tn2 nc-- +K=n(c-)2+K,其中K为常数，所以当c=x时， 函数f(c)取得最小值f(x). 黑白题076 (3)解：因为数据x1<x2<…<m, 当n为偶数时，设a为数据x1,x2,…,xn的中位数，则x号≤a≤x号1， 由g(@)=lx,-al=(a-x)+(a-)++(a-*号)t(xg1-a)++ (x-1-a)+(xn-a)=(x1-x1)+(x号2-x2)++(xn-x号)=M(其中M 为常数)， 任取实数b,当b≤a时， 若6<1，则1-b1=(-b)+(名b)++(x号-b)+(x经1-b)++ (xn-1-b)+(x,-b)≥(b-x1)+(6-2)++(b-x经)+(x号1-b)++ (.-b)=(g1)(分2)*+(*号)=1-a1=M: 若6≥则存在（≤≤分），使得≤6≤，则宫1气-1=(6 x1)+(b-x2)+…+(b-x)+(x41-b)+…+(x-b)+(x1-b)+…+(xn- b)≥(b-x1)+(b-x2)++(6-x)+(6-x1)+…+(b-x号)+(x号+1-b)+ (-80=(a空1西)（经2）+(，号)卢公1a=M, 所以∑lx-b1≥∑1x,-a, i=】 同理可证当>。时，满足言比-b1≥名a: 当n为奇数时，设a为数据x1,x2,…,xn的中位数，则a=xm, 由go)=名a=(a-)*(a-）++(a-号*（字-a+ (xn-1-a)+(xn-a)=(x1-名1)+(xg+2-x2)+…+(x-x号)=M(其中M 为常数)， 同理可证∑lx,-b1≥∑x-al, 号+x经1 综上可得，当n为偶数时，a= 2 时，y=g(a)取得最小值； 当n为奇数时，a=x+1时，y=g(a)取得最小值. 第九章章末检测 1.C解析：因为有关消费购买力的某项指标受家庭收入的影响，而社 区家庭收入差距明显，所以①用分层随机抽样：从10名体育特长生 中抽取3人调查学习情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较 小，所以②用简单随机抽样」 2.D解析：四分位数在统计学中把数值由小到大排列并分成四等份， 处于三个分割点位置的数值：中位数是按顺序排列的一组数据中居 于中间位置的数；众数是一组数据中出现次数最多的数值；平均数是 表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再 除以这组数据的个数.所以选择均值较理想. 3.A解析：第一行第7列为3，依次往右读，37,14,05,11,09.09为第 5个样本编号. 4.D解析：A选项，根据统计图可知，23点的气温最低为18℃，A正 确；B选项，这5个时刻的气温极差为26-18=8（℃），B正确： C选项，平均气温为24+26+2+20+18=22（℃），C正确：D选项，从 5 小到大，选取第3个数据作为中位数，故气温的中位数为22℃， D错误 5.A解析：由频率分布直方图可得，x=[1-(0.06+0.04)]×100%= 90%,y=50×(0.36+0.34)=35, 第一组的频率为0.02，第二组的频率为0.18，第三组的频率为0.36， 第四组的频率为0.34，第五组的频率为0.06，第六组的频率为0.04， 则z=13.5×0.02+14.5×0.18+15.5×0.36+16.5×0.34+17.5×0.06+18.5× 0.04,即z=15.86. B解折：-[()+（✉）+( 参考答案 ）门号{g2-()2+g24-(*2+ 3 号[24-(+12}-=7(6+6+6G-6-6m-6) 2 2 （好+号+号-12西1），同理号=g（好+号+好-14 x4x1),由题意得x+x2+x3-x1x2-x2x3-x3x1=x行+x3+x4-x1x3-x3x4- x4x1,即x号-1x2-x2x3=x好-x3x4-x41,整理可得(x2一x4)[(x2+x4)- (x1+x3)]=0,因为x2≠x4,所以x2+x4=x1+x3 7.C解析：若插入两个整数后众数不变，则插入的数可以是“两个都 是3”，或是“一个为3，另一个不是3”，或是“两个不等的且不是3,8 11,28” ①因为新的一组数的极差为原来的两倍，所以插入的两个数不可能 都是3； ②因为中位数保持不变，若插人的数“一个为3，另一个不是3”，则一 个为3，另一个数不小于8，又因为极差为原来的两倍，则另一个数为 53,此时m+n=56; ③若插入的两个数是不等的且不是3,8,11,28，且极差为50，中位数 保持不变，则两个数可以为 m=7,m=6,m=5,m=4,人m=2,{m=l,{m=0,所以m+n ln=53,ln=53,ln=53,（n=53,ln=52,ln=51,ln=50, 的最大值为60 8.D解析：设a:为数据除以7的余数为i(i=0,1,2,3,4,5,6)的数的 个数， 对于A选项，22=7×3+1，不妨假设这7个位置存放的数据个数分别 为3,3,3,3,3,3,4，A错误； 对于B选项，由题意可知，这些奇数分别为1,3,5,7,9,11,13,15,17， 19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43, 这些数据除7的余数分别为1,3,5,0,2,4,6,1,3,5,0,2,4,6,1,3,5， 0,2,4,6,1, 所以a0=3,a1=4,a2=3,a3=3,a4=3,a5=3,a6=3, 将a0~a6这7个数由小到大排列依次为3,3,3,3,3,3,4，中位数为 3,B错误； 对于C选项，由题意可知，60~6这7个数的平均数为=号，且3< 因为aeN=01,235,0.2-号(e号）当，这 7个数中有6个3,1个4时，2取最小值，即()=[6x(3 )(4]。 当a0~a6这7个数中有6个0,1个22时，s2取最大值，即(s2)mx= x(号}-(a-号门2c 对于D选项，不妨设a~a6这7个数依次为1,6,3,3,3,3,3，满足极 差为5，此时，所有位置都有数据， 若存在一些位置没有数据，则ao~a6这7个数据中的最大值为5，最 小值为0， 因为22=5×4+2，此时，至少需要5个位置存放数据，则至多有2个位 置没有存放数据，D正确. 9.AD解析：对于A选项，甲的逻辑推理指标值为4，乙的逻辑推理指 标值为3，所以甲的逻辑推理指标值高于乙的逻辑推理指标值，故 选项A正确； 对于B选项，甲的数学建模指标值为3，乙的直观想象指标值为5，所 以乙的直观想象指标值高于甲的数学建模指标值，故选项B错误； 对于C选项，甲的数学运算指标值为4，甲的直观想象指标值为5，所 以甲的数学运算指标值不高于甲的直观想象指标值，所以选项 C错误； 对于D选项，甲的六维能力指标值的平均值为4+3+4+5+3+4_23， 6 6 黑白题077