7.1.1 数系的扩充和复数的概念-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第七章复数 7.1复数的概念 7.1.1数系的扩充和复数的概念 白题 基础过关 限时：20min 题组1复数的基本概念 6.*(2025·安徽六安高一期中)若复数z= 1.*(2025·山东泰安高一月考)已知i是虚 a+(3+2a-a2)i的虚部大于0，则实数a的取 数单位，复数2+i的实部为 ( 值范围是 A.0 B.1 7.*(2025·辽宁葫芦岛高一月考)已知复 C.-1 D.i 数z=x+5+(x-3)i,x∈R. 2.(多选)下列复数是纯虚数的为( (1)若z为实数，求x的值； A.2+√7 众易 (2)若z为虚数，求x的取值范围； (3)若z为纯虚数，求x的值 C.8+5i D.(1-√3)i 3.*(2024·广东广州高一期中)若复数2-bi (b∈R)的实部与虚部之和为0，则b的值为 ( A.2 B.2 D.-2 4.(2025·河南南阳高一月考)以-√5+2i 的虚部为实部，以√5i+22的实部为虚部的复 数是 ( A.2-2i B.2+2i 题组2复数相等 C.-√5+√5i D.5+/5i 8.*(2025·江西南昌高一月考)若1-2i=a+ 5.*下列关于复数的命题中正确的个数为 bi(i为虚数单位)，其中a,b为实数，则a+b的 ( 值为 () ①若z是虚数，则z不是实数 A.1 B.3 ②若a,b∈R且a>b,则a+2i>b+i C.-1 D.-3 ③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数 9.*|人A教材变式方程(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i= 的实部等于零 0的实数解x= A.0 B.1 10.*已知集合A={0,m+(m2-1)i}(m∈R),B= C.2 D.3 {1,-2i},若A∩B={1},则m= 第七章黑白题043 7.1.2 复数的几何意义 白题 基础过关 限时：25min 题组1复数与复平面内点的对应关系 题组3复数的模及其应用 1.(2025·浙江湖州高一期中)设z=-3+i, 7.已知复数z在复平面内对应的点为(-2,1)， 则在复平面内z对应的点位于 ( 则1z12= A.第一象限 B.第二象限 A.3 B.3-4i C.第三象限 D.第四象限 C.5-4i D.5 2.*(2025·河北沧州高一期末)若复数-1+ 8.*(多选)(2024·广西柳州高一月考)已知 (1-a2)i在复平面内对应的点位于第二象限， i为虚数单位，复数z1=a+2i,2=2-i,且 则实数a的取值范围是 ( Iz,1=|z2l,则实数a的值为 () A.a>-1 A.0 B.1 C.-1 D.2 B.a<-1或a>1 9.*北师教材变式(2025·广东湛江高一期中) 已知复数z在复平面内对应的点为Z,则满 C.-1<a<1 足2<|z<3的点的集合组成的图形的面积是 D.a<1 （) 3.*(2025·湖南永州高一期中)在复平面 A.4π B.5π 内，复数z,对应的点与复数a2=1+i对应的点 C.6m D.9T 关于实轴对称，则z1= ( 10.*(2025·广东广州高一期中)若复数z在 A.-1+i B.-1-i 复平面内对应的点位于第二象限，且|z|=2, C.1-i D.1+i 则z等于 .(写出一个即可) 4.*（2025·广东东莞高一月考)已知复 题组4共轭复数 数z=-3+ai(a∈R)对应的点到原点的距离是 11.*(2025·四川南充高一月考)已知复 a+1,则实数a= 数z=-1+2i,则z的共轭复数的虚部为（)》 题组2复数与复平面内向量的对应关系 A.1 B.-1 5.·(2025·云南昭通高一月考)在复平面 C.2 D.-2 内，正方形OABC(O为原点)中，若OA对应的 12.*★(2025·江苏连云港高一期中)复数z满 复数为-1-3i,则BC对应的复数为 A.-1+3i B.1-3i 足=221+31，则= () C.1+3i D.3+i A.2+3i B.1-2i 6.*（2025·福建莆田高一期中)复平面内 C.-3i D.√3-3i 有A,B,C三点，点A对应的复数为2+i,BA对 13.*（2025·陕西西安高一期末)若复数z= 应的复数为1+2i,BC对应的复数为3-i,则点 a+1+(a-1)i的共轭复数是本身，则a C的坐标为 必修第二册·RJ黑白题04417.解：(1)由题意作图如图①所示， 则∠PAC=45°，∠CBP=60°，∠BAC=45°-15°=30°，AC= tan ZPAC-300 m,BC= PC PC tan Z CBP=100/3 m. n∠ABG snBAC可得inLABC=5 AC BC 由正弦定理 2因此∠ABC= 60或120°， 当LABC=60°时，LACB=90°，猎豹与羚羊之间的距离为AB= √AC2+BC=2003m, 当LABC=120°，LACB=30°=∠BAC,猎豹与羚羊之间的距离 为AB=BC=100W5m. ① ③ (2)没有成功的可能.原因：由题意作图如图②所示， 设捕猎成功所需的最短时间为ts,在△ABQ中，BQ=30t,AQ= 40,AB=200V3,∠ABQ=120°.由余弦定理得16002=900r2+ (200W5)2-2×30e×200w5× 1 2 整理得72-605t-1200=0. /30V3 设ft)=72-605t-1200,显然f0)<0f7 <0,因猎豹能坚 持奔跑最长时间为800 40 20(s),且f20)=2800-12003-1200= 400(4-33)<0.∴.猎豹不能捕猎成功. 18.(1(i)证明：因为-号，所以0i-0i-子(-i,则0ò :号成号0成，整理得0市0+号成 5 (i)解：设BM=yB成，则A成=A应+B成=A应+yB成=成+y(A市-A成)= ,(2花-店)=(12花 又i=花+C成=花+：动=A花+：（市-）=花+x(}-d 2 子+(1-)花，所以 -y=5 1 得= 2y1-x, (2)证明：因为Ad=aD成，所以M市-M=a(M-M,则M市-Mi= a成n成.整理得励成。诚。 a+1 设励=成，代入上式得耐知应，成=0，记为0，同理可得 成=6成，市=e成，设证=种成，市=本诚，可得：成+ M应+bM元=0，记为②，cMi+rM+M元=0，记为③， 联立①②消去M店，联立①③消去M,可得(1-at)M+(s-ab)M元= 0,(ac-r)MB+(sc-1)MC=0, 又因为M,M成，M心中任意两个向量互不共线，所以有1-at=s-b= ac-r=s0-1=0, 由1-=0得=由-1=0得=又=6，放。=a6,即 abc=1. 参考答案 19.解：(1)由0到弦AB的距离是7，可得∠4B0=∠BA0=30°，放 ∠A0B=120° (i)由圆的几何性质得∠ACB=120°，AC1=1C1=1,故A花.C= ACIICxco(G,B=1x1xcos60= ()记劣弧AB的中点为D,如图， 易得成.成子成. Ar成.成=A-@成. 0i=a.oiu0亦=之u@, ①+②得0成.(i,0应)=之（Au),进 一步得：A+u=20元.(Oi+0)=20元.0i=2cos(0元，0， 其中0°≤(0元，0市)≤60°，故A+μ的取值范围为[1,2] (2)记∠40B=a,由13成-01≤号两边平方，得9产+0亦- 6a成.is5106mas2-1 wwadw.owus[gl月 (20i+0i)·(0A+0i)=3+3cos&,120i+0i1=√5+4co9a, 10i+0i1=√2+2cosa. 又20i+0成和向量0i+0的夹角为0， .c0s20= T(20A+0)·(0i+0)12 (3+3cos a)2 10A+0B112OA+0B (5+4cos a)(2+2cos a) 9(1+c0sx)9 1 2(5+4c0sa) 记x)= (15)显然)在=osae[，1上单 9 1 递增，所以当=m=名时，(o0/(）一碧 第六章真题演练 黑题 真题体验 1.B解析：因为(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,可得a2=b2,即1al=lbl, 可知(a+b)·(a-b)=0等价于lal=|bl. 若a=b或a=-b,可得1al=Ibl,即(a+b)·(a-b)=0,可知必要性 成立； 若(a+b)·(a-b)=0,即1al=Ib1,无法得出a=b或a=-b, 例如a=(1,0),b=(0,1),满足1a1=1b1,但a≠b且a≠-b,可知充 分性不成立 综上所述，“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充分条 件故选B. 2.A解析：由题意及题图得，视风风速对应的向量为n=(0,2)-(3, 3)=(-3,-1),视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行 风风速对应的向量之和，船速方向和船行风风速的向量方向相反. 设真风风速对应的向量为n1,船行风风速对应的向量为n2,n=1+ n2,船行风风速：n2=-[（3,3)-(2,0)]=（-1,-3),∴n1=n-2= (-3,-1)-(-1,-3)=(-2,2),m11=√(-2)2+22=22≈2.828， ·由表得，真风风速为轻风 3.D解析：因为10i1=10成1=√2,1A1=2,由A花=0成-Oi两边平方可 得，1.0i=0,所以o,应=2 2C+A=2(0i-0)+0成-0i=0i+0-20元，10元1=√32+4平=5， 黑白题027 所以12Ci+A12=0+0+40衣-4(0i+0).0元=2+2+4×25- 4(0i+0i).0元=104-4(0+0i).0元 又1(oi+0).01≤10i+0110C1=2+2x5=10,即-10≤(0i+ 0).0C≤10，所以12Ci+A12e[64,144],即12C+A1∈[8,12]. 4.A解析：10A1=1,10P1=√2，则由题意可知∠AP0=45°，由勾股定 理可得PA=√OP2-0A7=1, 如图①，当点A,D位于直线P0异侧时，设∠0PC=a,0≤a<,则 ii-pi.iiem(a*）小1xocm(a+) 2 cos a- 2sin aca-sin arcos a=Itcs 2a 2 4≤2a-4< 牙当2a牙牙时，.市有最大值1 如图②，当点A,D位于直线P0同侧时，设L0PC=a,0≤a<年，则 i成=iiws(牙-a）Ix o cw(年-a） 2 4 不当2a+子-号时，网防布最大位 2 缘上可得，矿，防洲是大值为故选人 5.2解析：a-b=(1,1-2x),因为a1(a-b),则a·(a-b)=0,则x+ 1-2x=0,解得x=1.则a=(1,1),则1a1=√2， 6.√5解析：方法一：因为1a+b1=12a-b1,即(a+b)2=(2a-b)2,则 a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,整理得a2-2a·b=0.又因为1a-b1= √3，即(a-b)2=3,则a2-2a·b+b2=b2=3,所以1b1=√3. 方法二：设c=a-b,则Icl=√3，a+b=c+2b,2a-b=2c+b,由题意可得 (c+2b)2=(2c+b)2,则c2+4c·b+4b2=4c2+4e·b+b2,整理得c2= b2,即1b1=|cl=√3.故答案为5 7名子-15解桥：如图，因为成：成，所 以破-戒=（动-动，所以成号动子花 因为D为线段AB的中点，所以花=店+2花 6 1 又因为商=54Lm所u应-（合子）广'-云+号 9 b+g=25,正.ai-(行+号）小(a-b=g+a6 子=0，所以a2+3ab=462,所以a2+4ab=180, 必修第二册·R刷 子8=b公2+2a·b-w2)b(r+2a·b-2a2-ab) 立(-2-a=-15 8.A解析：由题意得csA=4B+1C2-BC_(6)2+(1+3)2-2 2AB·AC 2×W6×(1+W3) 2 ,又0°<4<180，所以A=450 9.C解析：由题意结合正弦定理可得sin Acos B-sin Bcos A=sinC, 即sin Acos B-sin Bcos A=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A,整理可 得sin Bcos A=0,由于B∈(0，π)，故sinB>0,据此可得cosA=0,A= 石元3故选C 子，则B=m4-c=m分号6 10.2解析：如图所示，记AB=c,AC=b,BC=a 方法一：由余弦定理可得22+b2-2×2×b× cos60°=6.因为b>0,解得b=1+√3.由 Sc=Sam+5oan可得×2xbxn60 子20xa30+宁0xxm30 解得AD=2.故答案为2. 方法二：由余弦定理可得22+b2-2×2×b×c0s60°=6.因为b>0,所以 b=1+√/5. √6 b 由正弦定理可得n60 sin Bsin C,解得咖B-6t2】 2 4 ac号 因为1+√3>√6>2，所以C=45°，B=180°-60°-45°=75° 又∠BAD=30°，所以∠ADB=75°，所以AD=AB=2.故答案为2. 11.解：(1)由余弦定理有a2+b2-c2=2 abeos C,对比已知a2+b2-c2= 2ab,可得cosC=2+62-c2_2ab2 2ab 2ab 2' 因为C∈(0，π)，所以sinC>0,从而sinC=√1-cos2C= 因为sinC=√2cosB,即cosB= 又因为8(0，)，所以B=号 (②()可得B=号omC=号ce(0,).从前C=子A= πT_5π 3412 而4=日m(?）-号经-6， 4 正弦定理有人从而06+22c T 4 6a 由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为S△ABc= c号， 1 黑白题028 由已知△4c然面积为34自，可得=3何，所以e27 12,解：(1)由血45mA=2可得号血A +2c0sA=1, 即m(4+写)1， 由于4e(0,)+号e(行)，放什号=受解得4=石 (2)由题设条件和正弦定理得√2 bsin C=csin2B曰w2 sin Bsin C= 2sin Csin Bcos B, 又B,Ge(0,),则血BnC≠0，进而osB=受，得到B=,于 是C=T-A-B=7π -12 sin C=sin(A-B)=sin(A+B)=sin AcosB+sin BoosA 4 c即2 由正弦定理可得.“ -=-c ,解 得b=2W2,c=√6+√2，故△ABC的周长为2+V6+3W2. 13.解：(1)已知asin B=3 boA,由正弦定理a=6 sin A sinB,得asin B= bsin A=V3 beos A,显然cosA≠0，得tanA=V5,由0<A<m,故A=T 31 (2)由(1)知csA=,且e=20+1,a=万，由余孩定里 b2+c2-2bcc0sA,则7=b2+(2b+1)2-2x 2b(2b+1)=36+36+1,解 得b=1(b=-2舍去)，故c=3. (3)由正弦定理 sin Asin B'且6=1，a=7,im4=5 b ,得s咖B= 4-石，且o6,则B为税角， 故sB=各7，放h28=2nBsB:55 14 且cs2B=1-2in2B=1-2x4=4>放i血(4+2B)=siA 第七章 7.1复数的概念 7.1.1数系的扩充和复数的概念 白题基础过关 1.C解析：易知2+i=-1+i,所以其实部为-1. 2.BD解析：由纯虚数的定义得纯虚数实部为0，虚部不为0，而A,C 实部不为0，B,D实部为0且虚部不为0，故子1，(1-月)i是纯虚数。 故B,D正确. 四易错提醒 纯虚数要求实部为0，虚部不为0 3.A解析：由复数2-bi(b∈R)的实部与虚部之和为0，得2-b=0,即 b=2.故选A 4.A解析：-√5+2i的虚部为2，V5i+2i2=-2+√5i的实部为-2，所以所 求复数的实部为2，虚部为-2，复数为2-2i. 5.B解析：对于①，根据虚数的定义，正确；对于②，虚数不能比较大 小，错误；对于③，一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部 参考答案 cos 2B+cos Asin2x1154 2142147 14.解：(1)因为co8A= 3,Ae(0,m),所以simA=V1-8牙2 3 由正孩定理有amC=血4：2.4，解得e6 (2)如图所示，若△ABC存在，则设其BC边上的高为AD, 若选①，a=6,因为c=6,所以C=A,因C 1 为osA=-弓<0，这表明此时三角 D 形ABC有两个纯角，而这是不可能的， 所以此时三角形ABC不存在，故BC边上的高也不存在； 10w2 若选2，am月=102，由si血C=45有血Ag与 3 sin C42 6,由正弦定 理得6、5 c ,所以b=5,所以由余弦定理得a=√62+c2-2 bccos A= 6 25+36-2×5×6× 1 3 】=9,此时三角形ABC是存在的，且唯一 确定 所以S△ABC=- m4分c·A0即×5x6x22-号 1 1 3=2×9AD,所 以BC边上的高AD=202, 9: 若选③，△M0C的面积是10反，则5A版=之k血A=宁bx6X 25=102,解得6=5，由余弦定理可得a=√+c-2 A= 1 25+36-2×5×6× =9,可以唯一确定三角形ABC,进一步 3 由余弦定理可得cosB,cosC,即B,C可以唯一确定， 这表明此时三角形ABC是存在的，且BC边上的高满足SAABC= 2a·AD= 2A0=102,即40=202 9 复数 等于零且虚部不等于0，错误 6.(-1,3)解析：由复数z的虚部大于0，得3+2a-a2>0,解得-1<a<3 7.解：(1)由z为实数，得x-3=0,所以x=3. (2)由z为虚数，得x-3≠0，解得x≠3， 所以x的取值范围为(-0,3)U(3,+0). (3)由z为纯虚数，得x+5=0且x-3≠0，所以x=-5. 8.C解析：因为1-2i=a+bi,所以6-2，所以a+6=-1. 9.2解析：由(22-3x-2）+(-5x+6)1=0,得2-3x-2=0,解得 x2-5x+6=0, x=2. 10.1解析：由集合A={0,m+(m2-1)i}(m∈R),B={1,-2i}, 且AnB=1},得m+(m2-1)i=1,因此{m, (m2-1=0, 所以m=1, 当m=1时，A={0,1},又B={1,-2i},故AnB={1},符合题意. 7.1.2复数的几何意义 白题 基础过关 1.B解析：因为z=-3+i,所以对应复平面内点的坐标为(-3,1)，所以 黑白题029