7.1 复数的概念 阶段综合-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019)

7.1 阶段综合 黑题 阶段强化 限时：30min 1.(多选)(2024·河北沧州高一期中)已知复7.(2024·江苏南京师大附中高一期末)在复平 数z=3-√2i,则 面内，常把复数z=a+bi(a,b∈R)和向量0Z进 A.z的虚部为√2 行一一对应.现把与复数2+i对应的向量绕原 B.z是纯虚数 点0按顺时针方向旋转90°，所得向量对应的 C.z的模是/1 复数为 ( D.z在复平面内对应的点位于第四象限 A.1-2i B.-1-2i 2.在复平面内，以原点为起点，平行于虚轴的非 C.1+2i D.-1+2i 零向量所对应的复数一定是 8.若复数1=m2+1+(m3+3m2+2m)i,2=4m-2+ A.正数 (m2-5m)i,m为实数，且>a2,则实数m的取 B.负数 值集合为 C.实部不为零的虚数 9.若复数，=1+3i,2=3-i(其中i为虚数单位) D.纯虚数 所对应的向量分别为0Z和0Z,则△0Z,Z2 3.已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于 的面积为 虚部，则实数a的取值范围是 ( 10.(2023·山东青岛高一期中)在复平面内，0 A.-1或3 B.{ala>3或a<-1 C.{ala>-3或a<1} D.{ala>3或a=-1 是原点，向量0A对应的复数z,=m+(4-m2)i 4.设集合A={实数}，B=纯虚数}，C=复数}， (m∈R,i为虚数单位) 若全集S=C,则下列结论正确的是( (1)若点A位于第四象限，求m的取值范围； A.AUB=C B.A=B (2)若点A关于实轴的对称点为点B,求向 C.A∩(CB)=☑ D.(CA)U(CB)=C 量AB对应的复数； 5.(2024·四川成都高三月考)已知i为虚数单 (3)若2=2cos9+(A+4sin0)i,且a1=z2,求 位，a,beR,集合A=zlz=a+(2a-1)i},B= 实数入的取值范围 {zlz=b-2+bi,则A∩B= ( A.{2i B.{1+3i C.{3+5i D.{2+4i 6.(多选)如果一个复数的实部和虚部相等，则 称这个复数为“等部复数”.若复数z=a+i(a∈ R,i为虚数单位)为“等部复数”，则下列说 法正确的是 A.a=1 B.复数z对应的点在第一象限 C.=1-i D.复数(a-1)+(a2-1)i是纯虚数 必修第二册·RJ黑白题046 7.2复数的四则运算 7.2.1 复数的加，减运算及其几何意义 白题 基础过美 很时：30min 题组1复数的加、减运算 7.(2024·四川成都高一期中)如图所示，平行 1.(2024·浙江杭州高一月考)已知z-3i=4-i(i 四边形OABC,顶点O,A,C分别表示0,4+ 为虚数单位)，则复数：的虚部为 ( 3i,-3+5i. A.2 B.4 (1)求对角线C所表示的复数； C.-2 D.2i (2)求点B对应的复数. 2.(2024·河南郑州高一月考)复数名1=a+ 3i,2=-4+bi,a,b为实数，若1+2为实 数，1-22为纯虚数，则a+b= ( A.-7 B.7 C.-1 D.1 3.(2024·山东束庄高一期中)复数z满足 3z+2z=5+2i,则1z|= A.3 B.2 C.5 D.6 4.(2023·江西景德镇一中高二期中)若复数z 在复平面内对应的点的坐标为(-1，-2)， 题组3与复数的模有关的轨迹问题 则1z+2-2i1= ( 8.若复数z满足|z-31=1,则z在复平面内对应 A.4 B.√17 的点Z的轨迹为 () C.32 D./19 A.两个点 B.两条直线 题组2复数加、减运算的几何意义 C.一个圆 D.两个圆 5.(2024·湖南岳阳高一期末)设1=1+i,9.(多选)(2024·黑龙江哈尔滨高一期中)复 2=-2-2i,则在复平面内名，+名2对应的点位于 数z对应的点为Z,若1z-4-3i1=2,a=(2,0), ( 则o2·a的值可以是 ( A.第一象限 B.第二象限 A.2 B.7 C.第三象限 D.第四象限 C.9 D.15 6.在复平面内，复数-1+i,0,3+2i所对应的点分 10.(2024·广东江门高一月考)已知z∈C, 别是A,B,C,则平行四边形ABCD的对角线 且1z-2-2i1=1,则1z+2-2i1的最小值是 BD的长为 ( A.5 B.√/13 A.2 B.5 C.15 D.√17 C.4 D.3 第七章黑白题047第七章 复数 7.1复数的概念 6.5解析：由复数的儿何意义可知，0元=x0i+y0成，即3-2i x(-1+2i)+y(1-i), 7.1.1数系的扩充和复数的概念 3-2i=yx)+(2xy)i,由复数相等可得=3，解得任引 (2x=y=-2. y=4 白题 基瑞过关 x+y=5.放答案为5 12 1.C解析：2=-1,1+2 -l放选c 7.C解析：因为z=1-3i,所以1=/个+(-3)=/10.故选C 8.BC解析：，1=2，√+4=√4+T,解得a=±1.故选BC 2.B解析：复数x=-1-2i的实部为-1.故选B 3.C解析：因为2+1=0，即2=-1，所以：=i.故选C. 9.D解析：在复平面内对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，S= 4m,故选D 4.A解析：由复数2-bi(beR)的实部与虚部之和为0，得2-b=0,即 10.D解析：因为：=(m-2024)-(m+1)i(m@R)为纯虚数，所以 b=2.故选A 5.A解析：复数3i-2的虚部为3，复数32+2i=-3+2i的实部为-3，故 (m-2024=0解得m=2024,所以：=-2025i,所以=2025L故 (-(m+1)≠0. 所求复数为3-3i故选A. 选D. 6.D解析：对于复数a+bi(a,b∈R),当a=0且b≠0时为纯虚数. 11.C解析：因为=2-6i,则=2+6i,所以玉的虚部为6.故选C. 在①中，若a=-1,则(a+1)i不是纯虚数，①错误： 12.D解析：，a+4i与3-i互为共轭复数，∴，a=3,b=4,则有1a+ 在②中，两个虚数不能比较大小，②错误： 在③中，只有当a,beR时，复数a+i的实部才为a,虚部为b, bi1=13+4il=√32+4=5.故选D. ③错误： 13.a=1,b=1(答案不唯一）解析：由三=-1可知复数：是纯虚数，即 在④中，i的平方等于-1，④正确.故选D. 7.解：(1)若复数：是实数，则m2-2m-15=0, 复数：=a-b+为纯虚数，则。0，所以只需满足a=b≠0即可， m+2+0, 解得m=5或m=-3 （2)若复数：是虚数，则2m15≠0，解得m≠5且m≠-3 答案不唯一，如取：a=1,b=1, m+2≠0. 7.1阶段综合 且m≠-2. 1m2-m-6=0. 果题 阶段强化 (3)若复数：是纯虚数，则{m+2≠0， 解得m=3. 1.CD解析：对于A,由虚部定义知z的虚部为-√2故A错误：对于B, m2-2m-15≠0， 四易错提醒 纯虚数要求实部为0，故B错误：对于C,z=√32+(-2)=厅， 故C正确：对于D,:在复平面内对应的点为(3，-2)，位于第四象 纯虚数要求实部为0，虚都不为0. 限，故D正确故选CD. 8.D解析：因为4，b后R,a+3i=-1+bi,所以a=-1,b=3.故选D. 2.D解析：由题意可设0立=(0，a)(a≠0)，所以对应复数为i(a≠ 9.AD解析：因为1=-3-4i,2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i(m,neR), 0),此复数为纯虚数，故选D. 且=，所以3m13解得子或a子，所以m+n=4 3.B解析：由已知可得a2>2a+3,即a2-2a-3>0,解得a>3或a<-1. m2-m-6=-4, (n=2 ln=-2, 因此实数a的取值范围是ala>3或a<-1}.故选B. 或0.故选AD 4.D解析：集合AB,C的关系如图，由图可知只有(CsA)U(CB)= 10.A解析：当x=y=1时x+yi=1+i显然成立，所以x=y=1是x+y1= C正确.故选D. 1+i的充分条件： 当x=i,y=-i时，x+i=1+i,则x=y=1是x+ni=1+i的不必要条件 故“x=y=1"是“x+yi=1+i”的充分不必要条件故选A 7.1.2复数的几何意义 白题基础过关 5.c解析：由题意得a+(2a-1)1=6-2+bi所以{g=6-2:解得 1,B解析：复数-1+2i在复平面内对应的点的坐标为(-1,2)，在第二 l2a-1=b, 象限故选B. 2.BC解析：由题意知，：在复平面内对应的点的坐标为(m-1,m-2), a3所以AnB={3+5i.故选C. b=5, 该点在第四象限，则{m-1>0解得1<m<2故选BC 6.ABC解析：因为复数：=a+i(a∈R,i为虚数单位)为“等部复数” m-2<0, 可得a=1,所以A正确：由复数z=1+i.可得在复平面内复数：对应 四方法总结 的点为Z(1,1),位于第一象限，所以B正确：由复数x=1+i,可得= 1-i,所以C正确：由a=1,可得(a-1)+(a2-1)i=0∈R,所以D错误 复数的分类及对应点的位置何题都可以转化为复数的实部与虚部 故选ABC 应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部 满足的方程（不等式）组即可 7.A解析：设复数2+i对应的向量为0立，则0立=(2,1).设旋转后的向 3.B解析：由题意可得1对应的点为(1，-2)，该点关于虚轴对称的点 量为0成=(a,b)(a>0,b<0),则102=101=√22+1产=5，且0i. 为(-1，-2)，所以2对应的点为(-1，-2)，所以2=-1-2i.故选B. 成=0，所以{5·解得a=,所以向量成所对应的复数为 4.D解析：由题意可知，点A的坐标为(-1，-2)，则点B的坐标为 2a+b=0, b=-2, 1-2i.故迷A. （-1,2),放向量0对应的复数为-1+2i故选D. m3+3m2+2m=0, 5.A解析：由题意可得0=(3,4).0示=(-2,1)，所以M=0成-0成= 8.10解析：1>2 m2-5m=0, 解得m=0,实数m的取 (-2,1)-(3,4)=(-5,-3),所以向量M亦对应的复数为-5-31.故 (m2+1>4m-2, 选A. 值集合为0， 参考答案黑白题027 9.5解析：依题意，0Z=(1,3),0Z2=(3,-1),则10亿1=√1+3= 黑题 应用提优 √0,10Z1=√32+(-1)7=√0，而0Z.0Z2=3x1+(-1)×3=0, 1,A解析：依题意，z+w■4+3i.则：+w=4-3i,所以其虚部为-3.故选A 则010品，所以△0以名的面积为}0元1021=之×√而× 2.B解析：由题意，不妨设1=a+i,2=c+di,则1+2=a+bi+e+di (a+e)+(b+d)i, √/10=5.故答案为5. 若12是实数，则6+d=0,即6=-d,由于a,c不一定相等，故1， 10.解：(1)由题意知1=m+(4-m2)i的对应点A位于第四象限，放 不一定互为共扼复数，故充分性不成立： {m>0,。解得m>2,即m的取值范围为m>2 若1，互为共辄复数，则2=a-bi,故1+马2=2a是实数，故必要性 4-m2<0. 成立 (2)由题意，A(m,4-m2),则B(m,-4+m2),所以向量A店=(0,2m2- 因此“1场是实数”是“，互为共栀复数“的必要不充分条件故 选B. 8),所以向量A对应的复数为-2(4-m2)1 3.C解析：=3-4i.(4+i)=3-4i-4-i=-1-5i,(4+i)在复 (3)因为与=，所以m2os0、 即A=4gin20-4sin0= 平面内对应的点为(-1，-5)，在第三象限.故选C 4-m2=A+4sin8, 4.D解析：设x=a+bi(a,beR),则x-2+i=(a-2)+(6+1)i,由题意可 4血0-之）-1，曲-1≤如≤1，可知A=4血0习 -1e 得13，解得a5则11公+8a(而， (6=-1, 「-1.8]，故A的取值范周为[-1,8] √26)：故选D. 7.2复数的四则运算 5.ABC解析：复数1=2-2i在复平面内对应的点为P,(2,-2), 故A正确： 7.2.1复数的加、减运算及其几何意义 复数1=2-2i,所以复数1=2+2i,故B正确： 白丽 基础过关 设=x+n(x,yeR),则1-i=x+i-il= 1.A解析：因为x-3i=4-i,所以=4+2i,则：的虚部为2.故选A. √星+(y1)了=1，即复数2在复平面内对应的 点到(0,1)的距离为1，所以2在复平面内对应 2.A解析：因为1+2=a-4+(3+b)i为实数，所以3+6=0，即6=-3， 的点P2的轨迹为以(0,1)为圆心，以1为半径 又=a+4+(3-6)i为纯虚数，所以{4=0即a=-4且6≠3.综 的圆，如图。 13-b≠0， 又12表示的是复数1和2在复平面内对 上可知=-4所以a+6=-7故选A 应的两点之间的距离，即1PP21. b=-3. 而IPP3I的最大值是IP,CI+?= 3.C解析：设x=a+bi(a,beR),因为复数：满足2+3z=5+2i,即2(a+ √(2-0)2+(-2-1)户+1=3+1；1PP21的最 6i)+3(a-6i)=5a-i=5+2i,可得a=1且6=-2，故1zl=√a+b= 小值是1P,C1-r=/13-1.所以11-21的最大值为13+1，最小值为 √5故选C. √3-1，故C正确，D错误故选ABC 4.B解析：由题意可得x=-1-2i,则z+2-2i=1-4i,所以1z+2-2i1= 6.-1-4i解析：因为复数1=x+i,2=3+yi,而12=5+6i,其中x,y为实 +(-4)=√17.故选B 5.C解析：1+场=-1-i,则1+22对应的点为(-1，-1)，在第三象限放 数，所以+3=5解得{任=则1=2i,=3+51,所以12=- 1+y=6, {y=5. 选C 4i故答案为-1-41 6.B解析：BA对应的复数为-1+i,BC对应的复数为3+2i 7.3+32解析：由题得1+2=3+3i,f八1+2)=f八3+3i)=3+13+ :币=B+武，.d对应的复数为(-1+i)+(3+2i)=2+31 3il=3+3v2.故答案为3+32. D的长为√2+3=3. 8.43解析：设1=a+bi(a,beR),2=c+di(c,deR),所以1t2=a+ bi+c+di=(a+c)+(b+d)i. 1.解：(1)因为C=0-0元，所以C所表示的复数为(4+3i)-(-3+5i)= 又11=2l=lt21=4,所以a2+b2=16,c2+2=16,(a+c)2+(b+ 7-2i. d)2=a2+b2+2ac+c2+d2+2bd=16,所以2ac+2bd=-16. (2)因为0=+店=O+0,所以0丽所表示的复数为(4+3i)+ 又1-=a+bi-(c+)=(a-c)+(6-d)i,所以1-1= (-3+5i)=1+8i,即点B对应的复数为1+81. √(a-c)+(b-d)=√a+b-2c+e+d-2bd=45.故答案为4W3. 8.C解析：设复数：=x+i(x,y∈R),则z-3=x-3+i,所以1-31= 9.解：(1)=(a,1)-(1,2)=(a-1,-1),C⑦=(-1，b)-(2,3)= √(x-3)+y=1,即复数：对应的点到(3,0)的距离为1，所以z在 (-3,6-3), 复平面内对应的点Z的轨迹为以(3,0)为圆心，以1为半径的圆. 1=(a-1)-i,=-3+(6-3)i,.1均=(a-4)+(6-4)i 9.BC解析：设：=x+i(x,y∈R),则由1-4-3i1=2可得，点Z(x,y)在 fa-4=1,.fa=5, 以(4,3)为圆心，2为半径的圆上，所以2≤x≤6，则0·a=2红e[4, 又场=1+i2{6-4={6=5,=4-i西-3421 12],所以0立，a的值可以是7或9.故选BC (2)由(1)得1+2=(a-4)+(6-4)i,12=(a+2)+(2-b)i 10.D解析：设：=x4i(x,y∈R),满是Iz-2-2il=1的点P(,y)均在 1-24为按数一0{ 以A(2,2)为圆心，以1为半径的圆上，如图所示，所以1：+2 10.解：(1)依题意，41=(m2-m)+(m2-2)i,而1-3在复平面内对 2i1=1:-(-2+2i)1可以看成P(x,y)到定点B(-2,2)的距离，可知 最小值为4-1=3.故选D. 应的点位于第三象限，则m0解得0<mc1,所以m的取值范 m2-2<0. 围为(0,1). (2)依题意，0=(m2+m,m2-1),0成=(2m,1),由0.0=0， 得2a(2m)+m2-1=(a+1)(2m-1)=0,解得m=宁或m=-1, -2-10 12.3 当m=-1时，A(0,0)为原点，不符合题意，因此m=244 3 必修第二册·RJ黑白题028