6.4.3 第3课时 三角形中的几何计算-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

V3;csC=a2+62-c2 2ab >0,即a2-5>0,解得a>√5.综上可得，√5<a< √13，即x的取值范围为(5，√13) 四方法总结 在三角形中，由余弦定理可得cosA与b2+c2-a2符号相同，所以可以 根据b2+c2-a2的正负情况，判断角A是锐角、直角或钝角 1 8.0解析：因为△ABC的面积S三2ah,2h。=2hc则a:日 5:4,b:c=6:5,故a:b:c=15:12:10,显然4为最大角，不妨 设c=10k(>0),则a=15k,b=12k,由余弦定理得csA=+c2-2。 2bc 144k2+100k2-225k219 240k2 240 9.D解折：因为8=号则=公24d2-2acsB,即c=a242-a,所以 (a-e)2=0,所以a=6,所以△MBc为等厦三角形又B=号，所以 △ABC为等边三角形. 10.B解析：由余弦定理得4c2+a2=b2=a2+c2-2 accos B,化简得 3c2=-2acco0sB>0,故cosB<0,从而△ABC的形状为钝角三角形. b2+c2-a 11.直角三角形解析：由余弦定理得cosA= ,则b=c· 2bc b2+c2-a2 ,所以c2=a2+b2,由此知△ABC为直角三角形 2bc 黑题 应用提优 1.ACD解析：依题可得in2A=6+c2- -=cos A,E 2sin Acos A=cos A, 2bc 则osA=0或血A子因为Ae(0,),所以A=名或号或要故 选ACD, 2.C解析：在△ABC中，由余弦定理得0-2+b-C_2a6csC 06P+c2-a22cos有，整理 得cosA=cosC,而A,C∈(0，π)，函数y=cosx在(0，π)上单调递减， 因此A=C,所以△ABC是等腰三角形. 3.C解析：根据题意，A,B分别是MS,NS的中点，所以MN=2AB,在 △AOB中，由余弦定理得AB2=OA2+OB2-20A·OB·cos∠AOB=3+ 4-2x3x2x -=1,所以AB=1,MN=2AB=2. 2 (6bccos A=-2accos B, 4.C解析：由题意得 {-2 accos B=-3 abcos C,所以 6bccos A=-3abcos C, (3bcos A=-acos B, 1a2-b2-2c2=0, 2cc0sB=3 beos C,由余弦定理得{a2+5b2-5c2=0,所以c2=2b2, 2ccos A=-acos C, a2-3b2-c2=0, 2+c2-a2b2+2b2-5b2 a2=5b2,由余弦定理得cosA= 1因 2bc 2b·√2b 为Ae(0,),所以A= 3π 5.AC解析：对于A,由a2+6<c2,可以得出csC=+62- -<0,所以 2ab C>?,故A正确： 对于B,由ab>e2,得cosC=a2+62-c2a6-b1 2ab >2=7,得0<C<牙，故 B错误； 对于C,假设G号则，，mG-≤0c2r识， 即≥a+a>a348,与a34=心矛盾c号放C正确； 对于D,取a=6=c2,满足a+b=2,此时C=牙，故D错误 参考答案 6.C解折：由余弦定理可知。2=62+2一号，在锐角三角形中又有 2b2 a2+b2>c2, b+e2-6betb>d, 5 -5b0. 即 → a2+c2>b2 b+e-6 berd>b. 12c2-6bc>0 5 5 3： 1·6>0, 7.(0,写）解析：由题意得-2bcos21<b2+d2-a2=2 bceosA,又2bc> 0,所以-c0s2A<c08A,所以2co82A+c08A-1>0, 所以(2c0sA-1)(cosA+1)>0.又A∈(0，m),所以cosA+1>0,所 以c心，所以01<号，即4的取值范周为(0，号） 8.解：(1)在△ABC中，4 acosB+6=4c,由余弦定理得4a.a+c2- -+b= 2ac 1 化，化简得e-2-,所以sAt心. 1 2bc=2bc=4 (2)在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A,由(1)知cosA= ，又a=6,则6=+2-分c=(+o2-2k-c,即6+ 1 3k=(6o 又6女66e则(e69,得0P 4 16,则b+c≤4，当且仅当b=c=2时等号成立，所以△ABC周长的最 大值为4+√6. 压轴挑战 3√10 5 解折：在等腰△ABC中，AB=AC,ms∠BMC=子，则BC2= AB+AC2-24B,ACoLB4C=2B2-2ABx于，即BC2=子AB, 5B,设AB=6,则BC= t.由∠PAB=∠PBC=∠PCA,结 5 合AB=AC知∠ABC=∠ACB,可得∠ABP=∠PCB,则△ABP∽△BCP,故 邵6S而BC3hB,AP=5,故BP=2,PC设LPBE √5 ∠PBC=∠PCA=a,在△ABP和△APC中，利用余弦定理可得 BP2=AP2+AB2-2AP·ABcos c,AP2=PC2+AC2-2PC·ACcos a,即2= 51-25,osea,5-亨f-2Xose,两式相玻，得omsa=65 5 在△BPC中，利用余弦定理可得PC2=BP2+BC2-2BP·BCeos&,即 4=2+22-22.2 5 √5 sa=2号-2万…65， 5·5,即得2=9， .t=3,则BC= 323√10 5 第2课时正弦定理 白题 基础过关 1.AC解析：由正弦定理可得血A-sinB_mC,设imA_imB。 a b c a b snC-k,则nA+sinB_a+ =k,故满足条件的为A,C选项. a+b 2D解析：在△MBc中，a=5,A=0,mC=,由正孩定理得 sin A sin C cs asin C v3x 2 a -=1. sinA√5 黑白题017 3.2√2解析：在△ABC中，A=45°，B=105°，c=2,则C=30°，由正弦定 理c即后子潮得-2反 理 22 4AB解析：由正孜定理可得月品A行-2，mA号因 2 为0°<A<180°，所以A=60°或A=120°. 5.A解析：由题意及正弦定理得6 in解得 2 mA=3又0<4+ 又 21 散0<，于是A=号或A=均符合 0<A<T, 题意 当A=号时，C=AB=受，由正弦定理得C 2 解得c=2W5; 当4时，C=-A-B=名=B,此时△ABC是等腿三角形，c b=√/3. 6.ABD解析：A选项，若A=60°，a=b=2,则B=A=60°，故C=60°，则 △ABC是边长为2的等边三角形，有一解，故A正确； 8品A品B即 B选项，若A=30°，a=2,b=45,由正弦定理得.a 2302,解得mB=3>1,无解，故B正确； C选项，若A=150°，a=3,b=4,由大边对大角可知B>A,此时三角形 中有2个钝角，不可能，则△ABC无解，故C错误； D选项，若A=45,a=2,6=5,由正弦定理得 b s咖Asi咖B,即 、5解得如B-有因为6>8，所以B=60或120，所以 △ABC有两解，D正确. 四易错提醒 已知三角形两边和其中一边的对角时，利用正弦定理求出另一边所 对角的正弦值后，需利用三角形中“大边对大角”来判断此角是锐 角、直角还是钝角，从而确定三角形是有两解还是只有一解. 1.(5,2）解折：由正弦定理可得Ag即血4=日又层 45°，a=2,所以sinA= 义2_巨因为△ABC有两解，所以simA= 2<1,且2=0>6，所以2<b<2,所以6的取值范围为(2,2)。 8.A解析：在△ABC中，因为bsin A=√3 acos B,所以由正弦定理可得 sinB·sinA=5sinA·cosB.因为Ae(0,π)，所以sinA≠0，故 血B=5casB,即mB=5,又因为Be(0,),所以B=号 9.5解析：在△ABC中，令内角A,B,C所对边分别为a,b,c,由 sinA+sinB=3inC,得a+b=√5c,而a+b+c=3+√3，所以AB= c=√3. 10.1:V5:2解析：因为A:B:C=1:2:3,且A+B+C=180°，所 以A=30°，B=60°，C=90°，所以a:b:c=sinA:sinB:sinC=1: √3：2. 11.A解析：aanB=banA,QB-A,在△ABC中，由正弦定 理得A=B asinB=bsin A,cosB=cosA.A,BE 必修第二册·RJ (0,T),∴.A=B,∴.△ABC是等腰三角形 12.B解析：设△ABC外接圆的半径为R,若AB=2R,由正弦定理可得 C2R,所以血C=L因为C∈(0，m),可得C=7,所以△ABC AB 2 为直角三角形 黑题 应用提优 1.B解析：由题意可知，因为A+B+C=T,A+B=2C,所以C= 3 又因为c0sA=Y6。 a=3,所以Ae(0,受)，所以血A= /3 3 由正弦定理得。 a asin C sin C sin A→c= sin A 2号，放=号放选B 3 3 2.A解析：由题意可知a+b+c= asin B sin A+sin B-sin C' 由正弦定理得a+h+c=ab =a+b-e即(a+bc)(a+b-c)=b,整理得a2+ -,余接定形c-遮日又0c 2ab -=2ab 2故选A 所以C= 3.C解析：由mA=手，amB=亏，A,B∈(0，)，得0<AB<牙，所以 1 3 tan A+tan B a<b,tan C=tan[T-(A+B)]=-tan(A+B)=- -tanA·tanB= 13 45 =-1,且0<C<m,故C=3T,所以a<6<c,则c=34,a为 13 4 4 5 (sin A 1 最短边，由tanA= 则a4 得如4：石，由正孩 (sin2A+cos 2A=1, √/17 定理得a2网× =2 2 2 4.A解析：因为用3个全等的小三角形拼成如题图所示的边长为21 的等边三角形ABC,所以∠ACB=子，CA=21,BF=DB=DR,且设 CB=A=4因为LACF=冬，所以由同角三角函数的基本关系 得in∠ACF-35因为EF=DE=DF,所以△DEF是等边三角形，故 14 ∠DE=号，可得LAPC=行，由正弦定理得解得1=9， 3V3√3 142 设EF=x,由余弦定理得- 1_92+(x+9)2-212 2 2x9x(x+9),解得x=6(负根含 去)，故A正确. 5.A解折：在△MBC中，由n(行-24）R,得esB=s24, 由A8,4+8e(0,m),得2A+8<2,则B=24,C=T-3M,0A<号 由正弦定理AC。AB BPCC,得4Cc-C=如B-nA AB sin C sin 2A-sin A 2sin Acos A-sin A= 2sin Acos A-sin A sin(T-3A) sin(24+A) sin 2Acos A+cos 2Asin 2o82A2aA由4e(0,号），得om4e 2c0sA-12c08A-11 黑白题018 (分)小则A(行），所以CC的取值范围是 AB (3)】 6,AC解析：在△ABC中，由cosA+aoC=}?及正弦定理，得 biBsin Ceos A+sin Acos C=sin(C)=sin B,in 4,由正弦定理得imB=bsin A_22 a 对于A,由△ABC不存在，得 >1,解得0<a<22,A正确； a 对于B,当a=2时，血B=1,B=受，△4C唯-，B结误： 对于C,存在两个符合条件的△ABC,则2<1且b>a,解得2<a< 4,C正确； 对于D,当4a<42时，a6,则8<1=子，c=受，△48C为能 角三角形，D错误 1.号 解析：利用正弦定理，则sin2B+2sin2A-sin2C=0可化简为 62+2a2-c2=0,则csC=02+62-e2-02」 2ab2ab226<0 又Ce(0,m),则ce（2,m,则amC≠0， 又anB=anC,则利用正弦定理和余弦定理有x=amB tan C ，6.2+2-c2 sin Bcos C 2aba2+b2-c2a2+b2-(b2+2a2)-a21 6m6.e804-g4(0*2a)-30方 2ac 8.解：(1)因为csin B+√3 beos C=√3a,由正弦定理可得sin Csin B+ √3 sin Bcos C=√3sinA,且sinA=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, 则sin Csin B+√3 sin Bcos C=√3(sin Bcos C+cos Bsin C),可得 sin Csin B=3 cos Bsin C. 因为Ce(0,π)，则sinC≠0，可得sinB=√3cosB,即tanB=√3，且 Be(0,),所以B=号 (2)设∠BwC=a,则∠BCW=行-，因为△CW为锐角三角形，则 0<02' 解得g<受 6 2, BC BM 由正弦定理可得 咖B则BM。 CM sin∠BMC sin ZBCM BC·sin∠BCM 2m(） sin0+√3cos0√3 sin∠BMC sin sin tan +1,CM BC·sinB√3 sin∠BMC sin 0' 所以2CM+BM 2w5n0+5cos0_(2+os0)+1, sin sin 6 sin 0 将能9-B2,18(石号），可知o在（后·号）上 sin 0 单递减.且/（石）=45+4/（三）=25+1，可得25+1<0）< 4W3+4,所以2CM+BM的取值范围为(23+1,4√3+4). 参考答案 第3课时 三角形中的几何计算 白题 基础过关 BC2+CD2-BD2 1.A 解析：在△BCD中，由余弦定理得cosC= 2BC·CD 2x2×28因为∠ABC=2 4+4-17 ,所以C为锐角，所以inc= √-（仔-在Ac中，mA:a(GC=ac 2c6ec:号-7放法大 2.166 3 解析：如图，在△ABD中，由余弦定理 得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠BDA,即 196=100+BD2-10BD,解得BD=-6(舍去)或 BD=16.:AD⊥CD,LBDA=60°，∠BDC= 30°.又∠BCD=120°，.∠DBC=30°，BC= D CD.在△BCD中，BD2=BC2+CD2-2BC·CDeos∠BCD=3BC2= 162,BC=163 3 AD 3.(1)证明：在△ACD中，由正弦定理得 寻inLACD sin D,即AD· sinD=AC·sin∠ACD.因为AB∥CD,所以∠ACD=∠CAB,所以 AD·sinD=AC·sin∠CAB. 在Ac中，由正孩定理和mC西即AC·血LC8 BC BC·sinB,所以AD·sinD=BC·sinB.又AD·sinD=2CD·sinB, 所以BC·sinB=2CD·sinB,即BC=2CD. (2)解：由(1)知c0=2C=1 在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CD· 1 sL4DC=22+12-2x2x1×(-2)=7,故AC=7, CD2+AC2-AD212+7-222W7 所以cOs∠CAB=cos∠ACD= 2CD·AC2x1x77 在△ABC中，由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cOS∠CAB, 即22=7+AB2-2x7x4Bx27,整理可得AB2-4hB+3=0,解得AB= 1或3.又因为四边形ABCD为梯形，所以AB=3. 4A解折：因为在△ABC中，a=2,c=月，B=石，所以△MBC的面积为 cn8=子x2xw5x如g= 1 621 5.D解析：.'sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C,.a2+b2-ab=c2,cosC= b2+a2-c21 2ab =分Ce(0,)C=号，可得snC=。246-h= (a+b)2-3b=c2,a+b=4,c=2,b=4,三角形的面积S=2b· 6.4√5解析：因为a+b=8,所以8=a+b≥2√ab→ab≤16（当且仅当 a=b=4时取“=”). 由余弦定理得cosC= 241 a+62-c2(a+b)2-c2-2ab_24-1≥ 2ab 2ab 16 分放血C≤， *16x 下2，所以△ABC的面积s=2 absin C≤又× 2 43(当且仅当a=b=4时取“=”) 黑白题019第3课时三角形中的几何计算 子错题本 白题 基础过关 限时：35min 题组1几何中的边角计算问题 5.*(2025·安徽阜阳高一月考)记△ABC的 1.(2024·山东潍坊高一月考)如图，△ABC 内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sin2A+ 满是∠ABC-,BC=DC=2,BD=1,则csA sin'B-sin Asin B=sin2C,a+b=4,c=2, △ABC的面积为 () ( A.1 B.2 C.√2 D.3 6.*(2025·江西吉安高一月考)设△ABC的 三边a,b,c满足关系a+b=2c=8,则△ABC面 A.7435 B7-35 积的最大值是 16 16 C.73 题组3利用三角形面积公式解三角形 16 D.8 7 7.★（多选）(2025·陕西西安高一月考)在 2.*★在四边形ABCD中，已知AD⊥CD,AD= △ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 10,AB=14,∠BDA=60°，∠BCD=120°，则BC 的长为 若△ABC的面积为2，且6=2，c=5,则角A 3.*如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,AD· 的大小可能是 sinD=2CD·sinB. A.30° B.60° C.150°D.120° (1)求证：BC=2CD; 8.*(2025·江西南昌高一期中)△ABC中， (2)若AD=BC=2,∠ADC=120°，求AB的 长度 3,6=1, 角A,B,C的对边分别为a,b,c,A= △ABC面积为3，则， a-26 sin A-2sin B 239 A. B.39 3 3 C.23 D.23 3 3 题组2三角形面积的计算 9.*(2025·山西阳泉高一期中)记△ABC的 4.*(2025·湖南邵阳高一月考)△ABC内 内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,c= 2 △ABC的面积S=2(b2+c2-a2),则tanA= 5,B=石，则△ABC的面积为 ( ( 4. B.③ C.3 D.23 2 A. 3 B.2 3 C.1 4 D. 3 第六章黑白题029 黑题 应用提优 限时：35min 1.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为6装(2025·江苏无锡高一期中)古希腊数学 家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角 ,b,c已知a=3,b=1,cosC=-3则边c上 度大于180°的四边形)进行研究，终于有重大 的高为 发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和 不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共 B. 2 D.3 圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边 2.(2024·山东泰安高一月考)如图，在平 长，四点共圆时四边形的面积最大根据上述 面四边形ABCD中，AB⊥AD,∠ABC= 3m 材料，解决以下问题，如图，在凸四边形 4 ABCD中， ∠ADC= 6,AB=1,CD=4,则an∠CAD= (I)若AB=2,BC=1,∠ACD=2,AC=CD ( (图①)，求线段BD长度的最大值； A.1 B.3 C.2 D.4 (2)若AB=2,BC=6,AD=CD=4(图②)，求四 边形ABCD面积取得最大值时角A的大 小，并求出四边形ABCD面积的最大值； (3)在满足(2)的条件下，若点P是△ABD外 (第2题) (第3题) 接圆上异于B,D的点，求PB+PD的最 3.*(2025·浙江温州高一月考)如图，P为 大值 △ABC内一点，AP⊥PC,AB=PC,AP=BP, ∠APB=120,则BC ( C A.2 B.√2 c ② 2 4.*（2025·广东深圳高一期中)在△ABC 中，∠ABC=7,D,E分别是AC上的三等分点 (点D靠近点A),记∠ABD=a,∠DBE=B, ∠EBC=y,则 sin B ( sin asin y A.33 压轴挑战 B.3 C.23 D.2 5.整(2025·江西景德镇一中高一期末)在 禁(2025·山东枣庄高一月考)在 △ABC中，∠BAC的平分线为AD,AD与BC △ABC中，角A,B,C所对的边分别 为a,b,c,且外接圆半径R=5,则 3 交于点D,c0s∠BAC=4,AB=5,AC=2, abc a2+b2+2c 的最大值为 则AD= 必修第二册·RJ黑白题030