6.4.1 平面几何中的向量方法&6.4.2 向量在物理中的应用举例-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

若-号血9：个o0:专m9品8号矩形m 的两条对角线所成的锐角的正切值为？ 4 (x+y=-1, 11.解：(1)令n=(x,y),则 cs平-1 即 {-:故=或=0，=(-1,0)或n=(0,-1). x2+y2=1, (y=0 y=-1, 2=(me(任)）(m出） a=(1,0)aa=0=0,-1046=(as,） n+1=a亚-32西 4 e[0,】0≤m1,令4血，则y=-3r-2+5,对称 轴为直线：=了，又抛物线开口向下，当=0时，取到最大值5， 当=1时，取到最小值0,0≤1m+b1≤ 2 12.解：(1)因为C市=2Pi,Ai=xA应，A=yA花， 所以亦亦+}成-成兮（成-动=花+号成： 3 不号应又B,几，N三点共线所以号=1，即2y-3y:-1 3 3y3 (2)(1)因为M为B的中点，所以x=2,由(1)知，23=-1， 则y=子，即P为△ABC的重心，建立如图所示的平面直角坐标系， 则a00.c2.0A02同.所P(号29)月 所u（子2）元（2） 4 9 所以cos∠BPC= P成.P元。 7 1PB1PCi4,2w万 14’M 33 所以血Lc,所以is元 IPsin BPC IPBI 2万147 3 （i)建立与(1)相同的平面直角坐标系，所以A元=(2，-2w3), A店=(0，-25)，B武=(2,0)，所以AM=xA店=(0，-25x),所以A币= 号号（子25(12）).成号，成1=2所 以市®成：萨 AP.BC A.B武 2 1(2.BC)21 √4=4·42-（命.2 iu 即-)，所以号号1+2)2-引，即=或=-因为 0K1,所以x=又因为2-3-1，所以y号，则7号 13 参考答案 压轴挑战 AC解析：由题意可得BC=2,所以点P所走的总路程为2+2+1=5，所 以xe[0,5],故A正确； 以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴、y轴，建立如图①所示的 平面直角坐标系，其中LABC=60°， 则A(0,0),B(2,0),C(1,3),D(0,3),设P(m,n),则P元=(1-m, 3-n),Pi=(-m,5-n), 所以p元.Pi=-(1-m)m+(3-n)(3-n)=m2+n2-m-25n+3. 如图②所示： ①当xe[0,2]时，m=,n=0,所以)=-+3e[片，5]，即 f1)=3,故B错误； ②当e2,时，m=2-(分-13-子a=夏(-2》，所以 ()2✉29-(）小-4-8e0s: ③当x∈(4,5]时，m=5-x,n=3,所以f(x)=(5-x)2-(5-x)=x2- 920e 综上.可知)e【，5]故c正确，且)在区间[，]上单 调递减，在区间（分，2]上单调递增，在区问2，】 、9 上单调递减，在 区问(？，5]小上单调递增，共4个单调区间，故D错误 6.3 阶段综合 黑题 阶段强 1.B解析：由题意得A(2,-1),B(1,4),c(-1,之)，所以应= (-1,5),A错误； 因为0d=(1, ）,0=(2,-1),所以0=-20元，所以0，A,C三 点共线，B正确 又破-(-15)，花-（-3，），而-1x子-5x(-3)0,所以破花 不共线，从而A,B,C三点不共线，C错误； 0i0成=(3,3)≠3成=（3，号）D误 2.C解析：设与向量a=(1,-√3)垂直的单位向量是e=(x,y),由题意 可得a1e,1e1=1,所以ae=-3y=0,解得 x= 2’或 (lel=/2ty=1, y-2 x=- 放e=(停3)成=(5,3】 1 y-2 黑白题013 3.B解析：设b=(x,y)与a=(1,0)互为“等模整向量”，则√2+y= 1,所以x2+y2=1,令x=1,则y=0,则b=(1,0)(舍去)，令x=0,则 y=±1，则b=(0,1)或b=(0,-1),令x=-1,则y=0,则b=(-1,0), 故与向量a=(1,0)互为“等模整向量”的向量有3个 4.B解析：由已知0A=(3,1),0B=(1,√3)， ,c0s∠AOB= 0.AOBLAOB- 10i1.10i12 :P)为线段B上的动点∠B0Pe[0,石]，a亦(，. .p.B=x+3y,cos LBOP 0币.0成 ,则+3y 10P1.10B √2+y LBOP=2coBOP, 10P1 +3y+in0=2os0+sin0=5in（(0tp),其中cosp=5 √2+y 5 咖 25且p为锐角，则写4<受 当9=7p时，2ass如9的最大值为5. 5.ACD解析：对于A,B,由已知得a=(1,0),b=(-1,1),0币= (,+是）所以（耐.a)(耐.）=x(-x+k+2) (k-1)x2+2.因为(O·a)·(O币.b)为定值，所以k=1,故A正确， B错误； 对Tc由0可知，则s-2引，1o √2+x=√21x1,所以平行四边形0BPC四条边长度之积为 P812.1082=亭·22=8，放C正确， 对于D,平行四边形0BPC的面积为IPB1·三号·1=2， D正确. 6.ACD解析：已知0(0,0)，P1(-sina,-cosa),P2(sinB,cosB), P3(sin(a+B),cos (a+B)),P=(-sin a,-cos a),OP2= (sin B,cosB),OP3 =(sin (a+B),cos (a+B)),IOP= (-sin a)2+(-cos a)2=1,1OP2 1=sin2B+cos2B =1,1OP3 I= √Sin2(a+B)+cos2(a+B)=1,所以A正确。 PP2=(sin B+sin a,cos B+cos a),P P212=(sin B+sin a)2+ cos B+cos a)2=sin2B+sin2a+2sin Bsin a+cos2B+cos2a+2cos Bcos a, 由同角三角函数关系和余弦二倍角公式得1P1P212=2+2cos(a-B), 当且仅当a-B=2km(k∈Z)时，1P1P2=4,即1PPI=2,所以 B错误. AP3 (sin (a+B),cos (a+B)-2),IAP312 =sin2(a+B)+ (cos(a+B)-2)2=sin2(a+B)+cos2(a+B)-4cos(a+B)+4=5-4cos(a+B), 因为-1≤cos(a+B)≤1，所以1≤1AP12≤9，所以1AP1的范围是 [1,3],所以C正确. 当B∈R时，点P1与点P3之间没有关联，则两点都在单位圆上 运动， 当点P1与点P3重合时，∠PAP3最小为 0:如图所示，当AP1,AP3都与单位圆相切 时，∠P1AP3最大， 此时0P,=1,40=2,∠0P4=受，所以 ∠0MP,=石，同理可得，∠0AP,=石，此 必修第二册·RJ 时LPAC,=号，所以D正确 7.5解析：因为点A(0,1),B(2,0),C(3,2),所以A花=(3,1)，B武= a2wa0高s号n动： 个-omZ0竖则成=dd1n(配，脑=而× 5x2=5 2 8 32 解析：如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴正半轴，垂直 于AB方向为y轴正半轴建立平面直角坐标系， 则40,0,81,0，c(分号）( )花（分）应花（分 )得E(分)。 以威（任百）所以破，励-（分小( (停小停)小， 成=（行1）成(）成.成+ 又威(-1,0)，所以成.威子+1，则成.成+成.成 4-2 3 成成成厨3 2 号()广品当A时原默有最大位员 9.解：(1)由D=xDC,Cd=AC成，且AB=3,4D=2,得1D1=A1Dd1= 3,1Cd1=a1C1=2,1B1=2-2X, 所以A亦.A戒=(A市+D币)·(A成+B)=A市.A店+A市.或+D币.A成+ D币.B或=0+2(2-2)+3A×3+0=5入+4. 因为0≤A≤1，所以A证.A0∈[4,9]. (2)如图①所示，以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴、 y轴，建立平面直角坐标系， ① 设∠01B=ae[0,],0≤m&≤子，则0(3,3um). p(2m(子），2)，亦.0=6m(年-a)+ama=6× 1-tan a 1+tan a 2·(ma+1)-12=12万-12=12（万-1），当且仅当 12入√1+tana 1+tan tn r+L,即tma=万-1时等号成立，所以.A衣的最小 2 值为12（万-1） 黑白题014 (3)存在如图②所示，以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴， y轴，建立平面直角坐标系， B ② 1 由题意可得P(2,2),Q(3,1),心=2AD=1,即T(3,3),假设存在 点红，使得∠m0最大，由∠m0=[0,受），即有∠m0最大， 设BH=a,当a=0时，角度为0，此时∠THQ不可能最大，故a≠0，则 tan H0=tam(LTHB-∠QHB)=1+mnLTHB·tanQ1B tan∠THB-tan∠QHB TB OB BHBHBH.(TB-QB)a(3-1)2a 2 ,TB QB BH+TB·QBa2+3×1a2+3 1+B班B册 是5当 a十 且仅当a= ,即a=3时等号成立，即存在一点A,使得∠70最 大，且此时BH=√了 压轴挑战 解：(1)A(3)与B(3)互为“正交点列”.理由：依题意可得A1A,=(1,2), A243=(2,-2),B1B2=(2,-1),B2B3=(1,1),所以A1A2·B1B2= 1×2+2×(-1)=0,A2A3·B2B3=2×1+(-2)×1=0,所以A1A2⊥B1B2, A2A3 1B2Bs. 又A(3)与B(3)的起点和终点分别相同，所以A(3)与B(3)互为“正交 点列” (2)(i)依题意可得P1P2=(2,2),P2P=(2,-2),P3P=(2,2), P1P4=(6,2), 因为P(4)与Q(4)互为“正交点列”，所以可设Q1Q2=x(-1,1),Q2Q3= y(1,1),03Q4=z(-1,1), Q1Q4=x(-1,1)+y(1,1)+z(-1,1)=(-x+y-z,x+y+z). 由0,0-P,已=(6,2)，得+-6解得y=4,所以0,0=(4,4. (x+y+z=2, (i)因为Q1Q2=x(-1,1),Q1(0,0),所以Q2(-x,x),已知Q2的横、纵 坐标都取自集合M={-2,-1,0,1,2},那么 ①当x=1时，由y=4得z=-3,此时Q1Q2=(-1,1),Q2Q3=(4,4), Q3Q4=(3,-3),即Q1(0,0),Q2(-1,1),Q3(3,5),Q4(6,2),所以 Q(4):Q1(0,0),Q2(-1,1),Q3(3,5),Q4(6,2). ②当x=-1时，由y=4得z=-1,此时Q1Q2=(1,-1),Q2Q3=(4,4), Q3Q=(1,-1),即01(0,0)，Q2(1,-1),Q3(5,3),Q4(6,2),所以 Q(4):Q1(0,0),Q2(1,-1),Q3(5,3),Q4(6,2). ③当x=2时，由y=4得z=-4,此时Q1Q2=(-2,2),Q2Q3=(4,4), Q3Q=(4,-4),即Q1(0,0),Q2(-2,2),Q3(2,6),Q4(6,2),所以 Q(4):Q1(0,0),Q2(-2,2),Q3(2,6),Q4(6,2). ④当x=-2时，由y=4得z=0,此时Q1Q2=(2,-2),Q2Q3=(4,4), Q3Q=(0,0),即Q1(0,0),Q2(2,-2),Q3(6,2),Q4(6,2),此时 Q2(2,-2),Q3(6,2),Q4(6,2)三点共线，不合题意，舍去. ⑤当x=0时，Q1Q2=(0,0),此时Q1(0,0),Q2(0,0),Q3(x3,y3)三点共 线，不合题意，舍去 参考答案 综上所述，符合条件的有序整点列Q(4)有Q(4):Q1(0,0),Q2(-1,1), Q3(3,5),Q4(6,2);Q(4):Q1(0,0),Q2(1,-1),Q3(5,3),Q4(6,2); Q4):Q1(0,0),Q2(-2,2),Q3(2,6),Q4(6,2). 6.4平面向量的应用 6.4.1平面几何中的向量方法+ 6.4.2向量在物理中的应用举例 白题 基础过关 1.D解析：在△ABC中，点D在BC边上且BD=子BC,=成+励： 应花=}花号应，又1=1，成1=2，∠Mc=6,则 成-√t子√兮d号号t- √4号1号x10x号，即0的长度为 3 2.②7 14 解析：如图，以A为原点建立平面直角坐标从 系，则81.0.c(3）设00成 (3)成(，小由c10知 成d成成子（停0解 得t=33,即D(0,33),∴.BD=(-1,33) 33 .∴.cos∠CBD=- d.励2+2×3,5 √2I 1B元1·1B⑦1√3·√28 14 3.证明：因为AB=2AD=2CD,且四边形ABCD为直角梯形，所以E克 成-号应因为M为cE中点，所以n成：（成+)=子（成+ 2 应)=应，所以D成，铁线，即D,M,B三点共线 4.A解析：因为一架飞机向西飞行400km,再向东飞行500km,则飞 机飞行的路程s=400+500=900(km),位移为向东500-400= 100(km),所以1al=100km,所以s-1al=900-100=800(km).故 选A. 5.C解析：如图所示： A30 由题意知1A花1=50m/s,所以A1= IAC11005 c0s30° -m/s. 6.D解析：由题意可得质点P位移为A市=A+B武+C,所以1A1= √(AB+BC+C2= √AB12+1BCi2+1C12+2AB.B元+2B元.C+2A.Cd. 因为AB=4,BC=2,CD=3,AB.B元=-2，AB∥CD,所以A店.C=12. 设A,B武的夹角为日，所以A店.BC=1A1B元1cos日=-2→cos0= 冬因为B/cCD,所以成.励=1成1市1w0=2x3x (4）-冬所动=v6 7.①③解析：设水的阻力为∫，绳的拉力F与水平方向夹角为 0(0cc号）则IF1ms0=P1=。0增大，m0谈 小，∴.1F1增大，IF1sin0增大，∴.船的浮力减小. 黑白题0156.4平面向量的应用 6.4.1平面几何中的向量方法+6.4.2 向量在物理中的应用举例 白题 基础过关 限时：30min 题组1平面几何中的向量方法 5.*一只鹰正以与水平方向成30°角的方向 1.*已知在△ABC中，AB=1,AC=2,∠BAC= 向下飞行，直扑猎物，太阳光垂直于地面照射 60,点D在Bc边上且0=5C,则AD的张 下来，鹰在地面上影子的速度是50m/s,则鹰 的飞行速度为 () 度为 ( 50 50√3 8.③ C.3 D.26 3 m/s A. B. A.3 3 m/s 3 3 2.*已知平面四边形ABCD中，AB⊥AD,BC⊥ C.1003 100 3 m/s D. 3 m/s CD,AB=1,BC=√3，∠ABC=150°，则 6.*(2025·四川成都七中高一期中)如图所 cos∠CBD= 示，质点P从点A出发，沿AB,BC,CD运动至 3.如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥ 点D,已知AB∥CD,AB=4,BC=2,CD=3, AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于点 AB·BC=-2,则质点P位移的大小是() E,M为CE的中点，求证：D,M,B三点共线. A.9 B.2/15 C.2√/13 D.√46 7.*如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水 中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀 速靠岸过程中，下列说法中正确的 是 .(写出所有正确答案的序号) 题组2向量在物理中的应用举例 4.*(2024·广东茂名高一期中)如果一架飞 机向西飞行400km,再向东飞行500km,记飞 机飞行的路程为s,位移为a,那么s-Ial= ①绳子的拉力不断增大； ②绳子的拉力不断变小； ( A.800 km B.700 km ③船的浮力不断变小； C.600 km D.500 km ④船的浮力保持不变. 第六章黑白题023 黑题 应用提优 限时：30min 1.点P在平面上做匀速直线运动，速度v= 5.人A教材变式如图所示，无弹性细绳OA, (4,-3),设开始时点P的坐标为(-10,10)， OB的一端分别固定在A,B处，同样的细绳 则5秒后点P的坐标为 ( OC下端系着一个秤盘，且使得OB⊥OC,则 A.(-2,4) B.(-30,25) OA,OB,OC三根细绳受力最大的是 C.(10,-5) D.(5,-10) 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= B 1,D是CB边的中点，过点C作CE⊥AD于点 E,延长CE交AB于点F,则BF= ( 6.接已知点C,D在△PAB的边AB上，且AC= BD,若∠CPD=90°，且PA2+PB2=8,则AB+CD 的最大值为 7.已知e1=(1,0),e2=(0,1),一动点P从 B. 5 2 C. D. 4 3 3 P。(-1,2)开始，沿着与向量e,+e2相同的方向 每秒运动1e1+e2I个单位长度.另一动点Q从 3.**已知菱形ABCD中，AC=2√2，BD=2,点E Q(-2,-1)开始，沿着与向量3e1+2e2相同的 为CD上一点，且CE=2ED,则∠AEB的余弦 方向每秒运动13e,+2e2I个单位长度，设P,Q 值为 25 在t=0s时分别在P,Q。处，问当PQ1PQ .5 时，所需的时间t为多少？ c D.③ 3 4.*(多选)一个物体受到3个力的作用，其 中重力G的大小为2N,水平拉力F,的大小为 1N,力F2未知，则 A.当该物体处于平衡状态时，IF,I=√5N B.当物体所受合力为F,时，IF2I=√5N C.当IF2I=1N时，(W5-1)N≤IF1+F2+G1≤ (W5+2)N D.当1F2I=1N时，必存在实数入，使得G= F2+λF1 必修第二册·RJ黑白题024