6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.3.5平面向量数量积的坐标表示 白题 基础过关 限时：25min 题组1数量积的坐标运算 8.*(多选)(2025·黑龙江绥化高一月考)在 1.*(2025·重庆渝北区高一期中)已知向量 平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知向量 a=(1,-1),b=(-2,3),c=(1,1),则(a+ 0A=(1,-3),0B=(2,-1),0C=(k+1,k-1),若 b)·c= ( ∠BAC为锐角，则实数k的值可以是（) B.-1 A.1 B.0 C.-1 D.-2 A.-2 C.1 D.2 9.*(2025·湖北恩施高一期末)已知非零向 2.*(2025·安徽芜湖高一期中)已知A(2,1), 量a=(m,0),b=（1,1),若b-a与b的夹角为 B(3,1),C(1,5)三点，则AB·BC等于( A.-15 B.-13 C.-2 D.1 4,则m 3.*已知向量a=(3,1),b是不平行于x轴的 题组4向量垂直的坐标运算 10.*已知向量a=(1,0),b=(-1,1),则以下 单位向量，且a·b=√3，则向量b的坐 与a+2b垂直的向量坐标为 （) 标为 A.(1,2) B.(2,1) 题组2向量的模的坐标运算 C.(1,-2) D.(2,-1) 4.·（2025·江苏徐州高一期末)已知a= 11.*(多选)(2025·安徽马鞍山高一期中) (5,-1),b=(3,1),则1a-b1= ( 在平面直角坐标系x0y中，A店=(2,1)，A元= A.2 B.22 (3,k),若三角形ABC是直角三角形，则k的 可能值是 () C.4 D.8 A.1 B.-1 C.3 D.-6 5.*(2025·福建三明高一期中)已知向量 12.*(2025·河北石家庄高一月考)已知 a=(1,3),b=(m,-1),若向量1a+b1=1a-bl, 则实数m的值为 ( 4(3,2),B(-山，-1)，若点P(,)在线 C._1 1 段AB的中垂线上，则x= A.-3 B.3 D.3 题组5投影向量的坐标运算 6.*(2025·江苏南通海门中学高一月考)若 13.·(2025·湖北武汉高一期末)已知a= 平面向量a与b=(1,-1)方向相同，且 (1,W3),b=(2,0),则a-b在b上的投影向 1a1=2,则a的坐标等于 量为( 题组3向量夹角的坐标运算 A.(1,0) B 7.·(2025·四川达州高一期末)已知向量 a=(1,0),b=(0,1),则向量a+b与a-b的夹 C.(-1,0) 角的余弦值为 ( 14.*已知向量a=(t,2),b=(3,0),向量a在 √2 B.③ 向量b方向上的投影向量的坐标为(2,0)， C. D.0 2 2 则实数t= 必修第二册·RJ黑白题018 黑题 应用提优 限时：45min 1.(2025·广东深圳高一月考)已知向量5.**(2025·黑龙江哈尔滨高一月考)若平面 a=(2.0),6=(ma7 向量a,b,c满足Icl=1,a·c=2,b·c=3,a· 若向量b在向量a b=4,则a,b夹角的余弦值的取值范围是 上的投影向量c=(分，0)，则a+1=( ( A(o,2] B.. A.7 B.3 C.23 D.7 2.*(2025·天津静海区高一期中)设x,y∈ c.o,4 n.(o,6J R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4)且 6.**(多选)(2025·河南开封高一期末)如图 a⊥c,b∥c,则a+c与b-c夹角的余弦值为 所示，分别以等边三角形ABC的顶点A,B,C B.25 c.-5D.25 为圆心，线段AB的长为半径画圆弧BC,AC, AB,三段圆弧围成一个曲边三角形.已知 3.**(多选)(2025·浙江温州高一期末)已知 AB=2,0为AB的中点，点P,Q分别在BC,AC 点O是平面直角坐标系的原点，点A的坐标 为(3,2)，点B的坐标为(-1,3)，若点C满足 上，若LPMB=∠CBQ+石，则 A元=2C,BD10A,垂足为D,则 A.1AB1=√17 B.∠AOB是锐角 C点c的华标为(？，) A.1P01的最小值是22-2 D.0i=（ 品合 B.1PQ1可以取到2√2 C.0P.00的最大值是22-1 4.*(2025·江苏盐城高一期中)如图①，“六 芒星”是由两个边长为6正三角形组成的，中 D.0P.00可以取到1 心重合于点0且三组对边分别平行，点A,B 7.*(2025·江苏常州高一期中)设平面向量 是“六芒星”（如图②）的两个顶点，动点P在 a=(1,0),b=(-1,3),若(a,c〉=(b,c〉，则 平面向量c的坐标是 .(写出其中一 “六芒星”上（内部以及边界），则0店·AP的取 个c的坐标) 值范围是 8.*(2025·陕西咸阳高一期中)如图所示，直角 梯形ABCD中，AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=6, BC=4,点E是线段BC上的动点，ED·EA=14, 则满足条件的点E的个数是 ② A.[-8,8] B.[-6,6] C.[-63,63] D.[-4,43] 第六章黑白题019 9.(2025·河北石家庄高一月考)已知平面12.（2025·浙江宁波高一期末)如图，在 直角坐标系中M,N两点关于x轴对称，且 △ABC中，∠ABC=90°，AB=2V3,BC=2, 10=3.若存在入，u∈R,使得入M+0M与 AM=x AB(0<x<1),AN=y AC(0<y<1), uM+ON垂直，且1（入M+O)-(uM+O)1= CM与BN交于点P,且CP=2PM: 3,则IMN1的最小值为 (1)求2xy-3y的值. 10.**(2025·广东揭阳高一期末)已知三个 (2)定义平面非零向量之间的一种运算 点A(0,0),B(1,2),D(4,-2) “①”：aeb=lalsin0， (其中0是两非零 (1)求证：AB⊥AD; 1b1 (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐 向量a和b的夹角) 标并求矩形ABCD两条对角线所成的锐 (i)若M为AB的中点，求PB©PC 角的正切值. 的值； (i)者©配=系，求y的值 11.接(2025·山东青岛高一期中)已知向 量m=(1,1),向量n与向量m的夹角为3π， 41 且m·n=-1. (1)求向量n的坐标； (2)设向量a=（1,0),向量b=(cosx, oaw(任2)月，其中e0,引若a 压轴挑战 a=0,试求|n+b1的取值范围. 热（多选）(2025·辽宁沈阳高一期中)在直 角梯形ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,AB= 2CD=2,AD=√3，动点P从顶点A出发，以每秒 1个单位的速度在梯形的边上沿着A→B→C→ D的路线运动到点D处则停止，当运动时间为 x秒时，令f(x)=P元.PD,则 A.f(x)的定义域为[0,5] B.f1)=2 C.f(x)的最大值为5 D.f(x)有5个单调区间 必修第二册·RJ黑白题0204(sg2）=(5+2√=·至)=？，当且仅当 [2x_2y y -即当=时，答号成立，放+2的最小值为} 4x 2y x>0,y>0, (3)因为MB=BG,BM=2MC,所以GM=4MC,即G成=4M元，即AM- 花4（花-，可得成花+花 因为成，所以产衣易萨因为P,GF三点共线，则 5y 存在4∈R,使得P市=uG成，即A市-A市=u(A市-AC),所以A=(1-u) A萨+uAG 为症，不共线，所以1=多4=品则品+号，解得 品 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示+ 6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示+ 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 白题基础过关 1.B解析：A店=(5+3，-2-7)=(8，-9). 2.C解析：因为A(2,3),B(4,2),所以AB=(2,-1),所以A=2i-j.故 选C. 3.(-1,3)解析：由∠x04=120可得∠04=30°，因为10i1=2,所 以A(-1,5),故0i=(-1,5). 4.D解析：由向量AB=(-2,1),Ad=(3,4),得B武=A心-A店=(5,3). 5.C解析：由题意可得3a+4b=(6,-9)+(-16,24)=(-10,15). 6.A解析：A(1,2),B(3,2),AB=(2,0).又a=(x+3,x2-3x- 0减20 解得x=-1. 7.c=3a+b解析：设c=xa+b,x,yeR,则(7,3)=(2x+y,-x+6y),即 巴c=a6 (-x+6y=3, 8 解析：A=A店+A元=(3+3入，1+5入)，则P点坐标为(5+3入，4+ 5入)，由于点P在第一、三象限的角平分线上，则5+3入=4+5入，解得 9.AC解折：由点44,6,8(3,2)，得=(7，号) 选项A-7x3-(号）×号=0，所以A选项正确达项R-7× 9 2 (?)x7=0,所以B选项正确选项C-7x(-3)-(号）× ()0,所以c选项正跪法项D-7x9-(号）x7≠0，所以 选项D不正确. 10.C解析：因为A,B,C三点共线，所以A店∥A花.又因为A=(2,6), A心=(3，m+3),所以2(m+3)=6x3,解得m=6, 11.2解析：由题意有b-4a=(2,x)-4(1,1)=(-2,x-4),因为b∥ (b-4a),所以-2x=2(x-4)→x=2. 重难聚焦 12.解：法一：由题意知P,B,0三点共线，又0=(4,4)，故可设0= 必修第二册·RJ t0成=(4,4)，….A=0币-0=(4t,4)-(4,0)=(4t-4,4),A花= 0元-0i=(2,6)-(4,0)=(-2,6). 又：A,C,P三点共线，应/A花，6(4-4)+8=0，解得=子， :.0币=(3,3)，即点P的坐标为(3,3). 法二：设点P(x,y),则0=(x,y).易知0i=(4,0),0元=(2,6)， 03=(4,4). P,B,0三点共线，.0/0,4x-4y=0. P,A,C三点共线，A∥A元 又A=0币-0i=(x,y)-(4,0)=(x-4,y),A元=0元-0i=(2,6)- (4,0)=(-2,6),∴.6(x-4)+2y=0. 南29y-0 。得=3点P的坐标为(3,3). 黑题应用提优 1.AC解析：对于A,由3×1≠-2×4，得m,n不平行，则向量m,n可以 作基底，A正确： 对于B,由(-2)×(-6)=3×4，得m,n平行，则向量m,n不可以作基 底，B不正确； 对于C,由2×3≠0×0，得m,n不平行，则向量m,n可以作基底， C正确； 对于D,由-1×6=3×(-2)，得m,n平行，则向量m,n不可以作基底， D不正确。 2.C解析：设点P的坐标为(x,y),A(-1,2),B(3,0),.A=(x+1, y-2),Pi=(3-x,y). 由1A币1=21P1且点P在直线AB上，得A=2P或=-2P 5 +1=23或+1=-23)解得 y-2=2(-y) {y-2=-2(-y）, '或=7，点P y=-2. 的坐标为(3，子)或(7，-2)。 1 3.D解析：对于A,,0)=x(1,)+y(-2,2),可得x=7,y=罗 4 xy<0; 对于B,(3,2)=x(1,1)+y(-2,2),可得= 1 2=40: 1 1 对于C,(-1,0)=x(1,1)+y(-2,2),可得x=-2y=4<0: 对于D,(1,i血0-3)=x(1,1)+y(-2,2),可得x=09-1<0,y 2 sim0-1<0,xy>0. 4 4.C解析：由p=(1,-1),9=(2,1),m=(-1,1),n=(1,2),可知 p=-m,q=n-m. 因为向量a在基底p=(1,-1),9=(2,1)下的坐标为(-2,2)，所以 a=-2p+2g=2m+2(n-m)=2n,所以a在基底m=(-1,1),n=(1,2) 下的坐标为(0,2). 5.B解析：以B为原点，小正方形的两边所在 直线分别为x轴、y轴，建立坐标系如图. 设小正方形的边长为1，则A(1,2),B(0,0), D(2,3),E(2,2),F(1,1), B品=(2,3)，A2=(1,0),A=(0,-1). B励=xA正+yA市！ (2=x×1+y×0, 3=xx0+(-1)xy, 解得x=2,y=-3,由此可 得x+y=-1. 6.(5,-3)解析：设c的坐标为(x,y),由向量坐标加法运算可得a+ 3b=(-7,5),-2b-2a=(2,-2). 黑白题010 因为向量a+3b,-2b-2a,c的有向线段首尾相接构成三角形，所以 a+3b+(-2b-2a)+c=0,代入得(-7,5)+(2，-2)+(x,y)=(0,0),解 得x=5,y=-3,所以c=(5,-3) 7.解：(1)由题意知点P为倾斜角为0的直线OP与单位圆在第一象限 的交点，所以P(es0,s血0)，0e(0,号）】 因为PA与y轴交于点N,PB与x轴交于点M,PM=mP克，P成=nPi, 且A(-1,0),B(0,-1), 所以yp=m(yp-yg)→sin6=m(sin6+1)→m= sin 6 +sim日：同理，p= cos 6 n(xp-x4)→c0s6=n(cos0+1)→n1+cos0' sin 0 cos 0 所以m-1+ngn-1+cos6 (2)因为P⑦=xPM+yP成=xPM+nPi, cos 0 由于A,0,M三点共线，所以x+n=l,即x+y1+0os日1①： 同理，P=xPM+yP成=xmP+yP成，由于B,O,N三点共线，所以 sin m+y=1,即x+n0y=1②， 将①x(1+cos0)+②x(1+sin0)得(1+cos0+sin0)x+(1+cos0+sin0)y= 1+cos 0+1+sin 0, 从而x+y= 2+cos 0+sin 0 1 1+co0+sm1+co0+sin =1+ 1in 当日=平时，+y取得最小值，瓦， 压轴挑战 B解析：每次跳跃的路径对应的向量为a1=(3,4),b1=(4,3),c1=(5, 0),d1=(0,5),a2=(-3,-4),b2=(-4,-3),c2=(-5,0),42=(0,-5), 因为求跳跃次数的最小值，所以只取a1=(3,4),b1=(4,3),c1=(5,0), d1=(0,5),设对应的跳跃次数分别为a,b,c,d,其中a,b,c,deN,可得 00=aa1+bb1+cc1+dd1=(3a+46+5c,4a+3b+5d)=(33,33),则 (3a+46+5c=33,两式相加可得7(a+b)+5(c+d)=6, l4a+3b+5d=33. 因为a+b,c+dEN,所以{C,或a+6,当at68,时，次数为 Ac+d=9. Ac+d=2 82=10,当g时次数为349=12 综上所述，次数的最小值为10. 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 白题 基础过关 1.A解析：：a+b=(-1,2),.(a+b)·c=(-1,2)·(1,1)=-1× 1+2×1=1. 2.C解析：由题意知，A店=(3,1)-(2,1)=(1,0)，B武=(1,5)- (3,1)=(-2,4),所以4店.B元=1×(-2)+0x×4=-2. 解析：设b=(x,y)（y≠0)，则依题意有 1 {可1解得{（含去）或 x=- 2 3x+y=3, (y=0 故=（仔） √3 y= 2 4.B解析：因为a=(5,-1),b=(3,1),所以a-b=(2,-2),所以 1a-b1=√/4+4=22. 5.B解析：因为向量a=(1,3),b=(m,-1),所以a+b=(1+m,2),a b=(1-m,4),由1a+b1=1a-b1得√(1+m)2+22=√(1-m)2+47 即m2+2m+5=m2-2m+17,解得m=3. 6.(√2，-√2)解析：向量a与b=（1,-1)方向相同，设a=Ab= 参考答案 (入，-A),(A>0),1a1=√2+(-A)7=2,解得X=√2，即a= (5,-√2). 7.D解析：由已知得a+b=(1,1),a-b=(1,-1),所以向量a+b与a-b 的夹角的余弦值为a+b）:(a-b)。0 =0 la+blla-bl 2x2 8.BC解析：A应=Oi-Oi=(1,2),A元=0元-Oi=(k,k+2),因为∠BAC 为锐角，所以A店·A花>0且A店与A花不是共线向量，即 每得e(号2)小u(2+).所以符合条作 的k的值为-1和1. 9.1解析：因为a=(m,0),b=(1,1),所以b-a=(1-m,1),所以 1-m+1 cos(b-a,bb-allb1√们-m41xwg), 巨，化简得(2-m)2= (1-m)2+1,解得m=1. 10.B解析：因为a=(1,0),b=(-1,1),所以a+2b=(1,0)+2(-1,1)= (-1,2),所以(1,2)·(-1,2)=1×(-1)+2×2=3，(2,1)· (-1,2)=2×(-1)+1×2=0,(1,-2)·(-1,2)=1×(-1)+ (-2)×2=-5,(2,-1)·(-1,2)=2×(-1)+(-1)×2=-4.故选B. 11.BD解析：若∠A=90°，则A店.A元=6+k=0,k=-6;若∠B=90°， 则A店.B元=A店.(A元-AB)=2+k-1=0,.k=-1:若∠C=90°，则 A元.C成=A元.(A成-A心)=-k2+k-3=0无解综上，k可能取-6，-1 两个值. 12.子解折：43,2)，8(-1，-)，设A3的中点为M则M(1,号)， 7 .M2=(x-1,-1),由题意可知AB=(-4,-3),M⊥AB,则M· 店=0，所以-4(x-1)+(-1)×(-3)=0,解得x=4 13.C解析：a=(1,5),b=(2,0),a-b=(-1,5),(a-b)· b三-2a-b在b上的投影向量为ab·b=多=2b们 1b12 4 (-1,0). 14.2解析：向量a=(t,2),b=(3,0),则a·b=3t,1b1=3,因此向量a 在向量6方向上的投影向量亭号 1b=(,0)=(2,0),所以=2 黑题 应用提优 A解析：因为向量b在向量a上的投影向量是c=g2·a= 3 sin &,2 ·(2,0) (2,0)=(sina,0)= (分，0），所以 sin a=2 故a+b=(（2+咖a,气）=(，)，于是1a+b1 √(() 2.D解析：由a⊥c,得a·c=2x-4=0,解得x=2,即a=(2,1).由b∥c 得b=Ac,可得A解得y=-2,即b=(1,-2).又a+c=(4,-3), b-c=（-1,2),则cs(a+c,b-c)=(a+c):(b-e la+cllb-cl -4-625 √16+9×√1+45 3.ABD解析：因为点A(3,2),点B(-1,3),则AB=(-4,1),故1AB1= √(-4)2+12=√17，故A正确； 因为0A=(3,2),02=(-1,3),则0·0=3×(-1)+2×3=3>0，若 黑白题011