6.3.2&6.3.3&6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

空 10.(1)证明：连接PA,PB,如图， B A花=成.Pi+P克=2P吃，.4D=Pi+P市=2P吃，即2D币=P成刻 (2)解：A店=2D元，4应=E克，.D元=E,则四边形DEBC为平行四边 形，DE∥CB,(DA,C)=∠ADE,DE=CB=3. 由2亦成得，耐1=号成1，即DP=号BC=1,由.成- 1Di·1D1,得cosLADE.DA1·1C1=1Di·1D1, .cos LADE=1 .IPQIin=DP.sin LADE=1x 2222 3 3 1.解：()10P,=10P,=号1AB1=子，〈0,0)=号 10P+0P21=√/(0p+0P)2=√ō+20p·0p2+0= a元a正5(9）-成成- () 所以》：若台，当=2=1时取到最大 } (3)0丽·00=(o元+cP)·(od+c0)=o心+o元.Cp+0元. 网.可号g6g.古。高 同理得网元号名。g。+片是 18 元成}装6g专德 =-6+618 所以g(ij,k)=2 1,3(+jtk)-(可+k+k) 18 令F(k)=-1,3-ik+3(》-变 2 18 当=1时，0s=P2=子3 当=1=2或者=2J=1时，F()=号 当i=2wj=2时，F(k)m=F(1)=2+1859 1.71 综上，g(j,k)的最大值为9 1 压轴挑战 -22解析：要使(e1-e2)·e3的值最小，需e1-e2模最大，且与e3夹 角为m,故当e2,e3同向，且e2,e1反向时，(e1-e2)·e3=le1-e21· Ie3 Icos T=-2,可取得最小值-2； 设e1+e2+e3=-e4,即e1+e2+e3+e4=0,又e1,e2,3均为单位向量， 若e1,e2共线，则e1,e2,e3,e4首尾相连成一条线段，则此时e1+e2与e3 共线，不符合题意，所以e1,e2不共线，则e1,e2,e3,e4首尾相连形成一 个菱形，即e1=-e3,e2=-e4, 必修第二册·RJ 因为xe1tye2+ze3=0,x+y+z=2025,所以ye2=-xe1-ze3=(z-x)e1,则 202 y=z-x=0→x=z= 5,所以++=2 2 x+y x+z y+z 6.3平面向量基本定理及坐标表示 6,3.1平面向量基本定理 白题 基础过关 1.AC解析：若A0,则61=片，从而向量61,6共线这与c, 不共线相矛盾，则入=0，同理可得4=0，故A正确； 由平面向量基本定理可知入，4唯一确定，故B不正确： 平面内的每个向量a可表示成Ae1+ue2的形式，反之也成立，故 C正确： 结合向量加法的平行四边形法则易知，当入e1和e2确定后，其和向 量Ae1+e2便唯一确定，故D不正确. 2.C解析：对于A,设存在唯一的实数入使e1-e2=入(e2-2e1)= Ae,-2e1,则1此方程无解，故e,-62,-2G,能作为平面 11=-2λ」 向量的基底，故A不符合题意； 对于B,设存在唯一的实数A使白6：=A(6,之4）=A0,- 1=入， 2e2,则 1入，此方程无解，故{e-e2,e122}能作为平 -1=-2 面向量的基底，故B不符合题意； 对于C,由6e1-4e2=-2(2e2-3e1),所以2e2-3e1与6e1-4e2共线 故2e2-3e1,6e1-4e2}不能作为平面向量的基底，故C符合题意； 对于D,设存在唯一的实数入使e1+3e2=(e1+e2)=Ae1+Ae2,则 =入，此方程无解，故e+e2,1+3e2能作为平面向量的基底，故D 3=入， 不符合题意. 3.B解析：由图可知：a=01,b=0i,所以a-b=0-0=B=e1-3e2 b e 4.BC解析：由已知可得BC=AC-AB=b-a,故D错误； 因为P,Q,R分别是△ABC的三边AB,BC,CA的四等分点，由Q币 励-成耐成-(0o)=之0，放A错误： 破-硫-=花+成-+(-a)=a+,放 4 B正确； 成=破-花}+6，故c正确 5.a-2b解析：设c=xa+yb,则xa+yb=x(3e1-2e2)+y(-2e1+e2)= (3x-2)e1+-2x)e2,则有32=7解得=1，因此c=4-2h y-2x=-4, ly=-2, 故答案为a-2b. 6.B解析：取第Ⅲ部分内一点画图易得a>0,b<0.故选B. 7.D解析：如图，因为A=mD心，所以D心= D 1破，所以衣=市+成=市+1破因为A花 入AB+μA⑦（入，u∈R),A店，A⑦不共线，所以 1 入= m'所以u=Am,故选D. u=1, 黑白题008 四方法总结 (1)A,B,C三点共线问题，利用A=入A元构造方程求参数. (2)已知向量ma+nb与ha+pb(a与b不共线)共线，求参数值的 步骤： ①设ma+nb=入(ka+pb); ②整理得(m-Ak)a=(p-n)b,故， ③解方程组得参数值 8日 解析：由题意可得，A应=A成+配=A成+2B成=A成+2A市=A店+ 子(+威)迹号应， 3 所以a=】, 2 1 2b=,所以a-b=-6 黑题■ 应用提优 1,B解析：①A,A不共线可以作为基底；②D∥B武不可以作为基 底：③C,D元不共线可以作为基底；④0i∥ō不可以作为基底，故可 作为表示口ABCD所在平面所有向量的基底的是①③. 2.AC解析：由题意可得衣-店+B武=店+}=+}（配+） 店+成+)成因为四边形BGH是平行四边形，所以衣-庄. 所花-兮成)，所以花-应成=迹+品动， 则A正确，B错误 因为励成耐-市}衣店+品市，所以成耐+成。 子衣子号店子市，则c正确，D错说 3 5 3.D解析：如图，作出O的相反向 B 量OB,再以射线OC,OA为邻边， 以OB为对角线作口ODB'E,由题 意知，∠DOB'=90°，∠E0B'= ∠0B'D=60°，10i1=510B1= √3,10E1=210B1=2, 所以0B=20i+30元，所以0成=-0B=-20i-30元，即λ+μ=-5. 4.D解析：根据网格图中的a,b,c的大小与方向，易得到c=2a+b,由 向量入a+b与c共线，可得入a+b=tc=t(2a+b),解得t=1,入=2t=2. 5.AC解析：对于选项A,因为d-=2,所以AD∥BC,且AD=子BC, 所以6D=8G=}BD,所以励励，故选暖A正确 对于选项B,若G凉=F元，则F为CG的中点，因为E为CD的中点，所 以EF∥DC,与EF,DC相交于点B矛盾，故选项B错误. 对于选项C,因为E为cD的中点，所以破（武+动=子(2+ b-a）之a+,放选项C正确 对于选项D,由题意可设萨=mA花，m∈(0,1)，所以B=A市-A店= mA花-A店=m(A店+B武)-A店=(m-1)A店+mBC=(m-1)a+2mb,又 B7=Aa+b,所以A=m-1,h=2m,所以2A-u=2(m-1)-2m=-2,故 选项D错误 6.D解析：由G是△ABC的重心，得C+G+C忒=0，则C元=-C-C, 由题中等式得-产，d.成，d,,均为非零向 IABI 量，所以Gd由，的表示是唯一的，则-B =-1, lAB s-1,且、AC IABI 参考答案 故1A1=IB武1=AC1,即△ABC为等边三角形. 7.45°解析：因为直线I上有不同的三点A,B,C,所以存在实数入，使 得BA=AB武，所以OA-0成=A(O元-0)，即OA=(1-λ)0成+A0元，所 以1-入=1-cos“,所以sina=cosa因为a是锐角，所以a=450.故 答案为45°. 。(答案不唯一，只要介于0和1即可)解析：如图所示，取点正 为的三等分点（套证B点），可得店：子应。 再取点D为BC的三等分点（靠近B,点），点F为AC的三等分点（靠 近A点)，分别连接DE,DF,则DE∥AF,DF∥AE,所以四边形AEDF 为平行因边形，由3成：2店+花，可得：号+音花，即： 应+子花， 设花=花，可得成=证+花，由平行四边 形法则，当点G在AC上运动时，可得点M在 直线DE上，要使得M在△ABC内部（不包含 边界)，则点G在线段AF上运动（不包括端A2 点)，所以0<宁<兮解得0<1，所以其中-个x的值可以是行 9.(1)证明：假设a,b共线，所以存在实数入，使得a=b,即e1+2e2= A(e1-e2),整理得(1-入)e1=-(+2)e2,则e1,e2共线，这与e1,e2 是不共线的非零向量矛盾，所以假设不成立，即α与b不共线，所以 {a,b}可以作为一个基底 (2)解：设c=e1+3e2=xa+yb=x(e1+2e2)+y(e1-e2)=(x+y)e1+(2x )62,因为e1,e2是不共线的非零向量，所以+y=L,解得 (2x-y=3, 4 1 y3 10.证明：设A花=xA市，B戒=yB成，则A+B武=x(A花+B励)，所以B武=(1- +之成，又因为成=y成=之成+之成，由平面向量基本定 理得 解得=y=子成.+成-0+子（分 2d)d-号本，所以c,cP三点共线，且1a1- 子6内则省8e8号 AD BE CF 3 11.解：(1)因为M是线段BC上一点，且满足BM=2MC,则BM=2M元， 所以成-市=2〔花-动，可得：号号花子+子因为 亦成质以亦（行子）子宁 (2)因为A应=xA店，A市=yA花，其中x,y∈(0,1)，所以由(1)可知 因为E,P,F三点共线，则存在A∈R,使得E=AE,所以A-A正= λ(A市-A应)，可得A产=(1-入)A应+入A京 又因为正，不关线所名1A分期结分1。 所以+y=(+(*安）+3)（仕+号） 黑白题009 4(sg2）=(5+2√=·至)=？，当且仅当 [2x_2y y -即当=时，答号成立，放+2的最小值为} 4x 2y x>0,y>0, (3)因为MB=BG,BM=2MC,所以GM=4MC,即G成=4M元，即AM- 花4（花-，可得成花+花 因为成，所以产衣易萨因为P,GF三点共线，则 5y 存在4∈R,使得P市=uG成，即A市-A市=u(A市-AC),所以A=(1-u) A萨+uAG 为症，不共线，所以1=多4=品则品+号，解得 品 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示+ 6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示+ 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 白题基础过关 1.B解析：A店=(5+3，-2-7)=(8，-9). 2.C解析：因为A(2,3),B(4,2),所以AB=(2,-1),所以A=2i-j.故 选C. 3.(-1,3)解析：由∠x04=120可得∠04=30°，因为10i1=2,所 以A(-1,5),故0i=(-1,5). 4.D解析：由向量AB=(-2,1),Ad=(3,4),得B武=A心-A店=(5,3). 5.C解析：由题意可得3a+4b=(6,-9)+(-16,24)=(-10,15). 6.A解析：A(1,2),B(3,2),AB=(2,0).又a=(x+3,x2-3x- 0减20 解得x=-1. 7.c=3a+b解析：设c=xa+b,x,yeR,则(7,3)=(2x+y,-x+6y),即 巴c=a6 (-x+6y=3, 8 解析：A=A店+A元=(3+3入，1+5入)，则P点坐标为(5+3入，4+ 5入)，由于点P在第一、三象限的角平分线上，则5+3入=4+5入，解得 9.AC解折：由点44,6,8(3,2)，得=(7，号) 选项A-7x3-(号）×号=0，所以A选项正确达项R-7× 9 2 (?)x7=0,所以B选项正确选项C-7x(-3)-(号）× ()0,所以c选项正跪法项D-7x9-(号）x7≠0，所以 选项D不正确. 10.C解析：因为A,B,C三点共线，所以A店∥A花.又因为A=(2,6), A心=(3，m+3),所以2(m+3)=6x3,解得m=6, 11.2解析：由题意有b-4a=(2,x)-4(1,1)=(-2,x-4),因为b∥ (b-4a),所以-2x=2(x-4)→x=2. 重难聚焦 12.解：法一：由题意知P,B,0三点共线，又0=(4,4)，故可设0= 必修第二册·RJ t0成=(4,4)，….A=0币-0=(4t,4)-(4,0)=(4t-4,4),A花= 0元-0i=(2,6)-(4,0)=(-2,6). 又：A,C,P三点共线，应/A花，6(4-4)+8=0，解得=子， :.0币=(3,3)，即点P的坐标为(3,3). 法二：设点P(x,y),则0=(x,y).易知0i=(4,0),0元=(2,6)， 03=(4,4). P,B,0三点共线，.0/0,4x-4y=0. P,A,C三点共线，A∥A元 又A=0币-0i=(x,y)-(4,0)=(x-4,y),A元=0元-0i=(2,6)- (4,0)=(-2,6),∴.6(x-4)+2y=0. 南29y-0 。得=3点P的坐标为(3,3). 黑题应用提优 1.AC解析：对于A,由3×1≠-2×4，得m,n不平行，则向量m,n可以 作基底，A正确： 对于B,由(-2)×(-6)=3×4，得m,n平行，则向量m,n不可以作基 底，B不正确； 对于C,由2×3≠0×0，得m,n不平行，则向量m,n可以作基底， C正确； 对于D,由-1×6=3×(-2)，得m,n平行，则向量m,n不可以作基底， D不正确。 2.C解析：设点P的坐标为(x,y),A(-1,2),B(3,0),.A=(x+1, y-2),Pi=(3-x,y). 由1A币1=21P1且点P在直线AB上，得A=2P或=-2P 5 +1=23或+1=-23)解得 y-2=2(-y) {y-2=-2(-y）, '或=7，点P y=-2. 的坐标为(3，子)或(7，-2)。 1 3.D解析：对于A,,0)=x(1,)+y(-2,2),可得x=7,y=罗 4 xy<0; 对于B,(3,2)=x(1,1)+y(-2,2),可得= 1 2=40: 1 1 对于C,(-1,0)=x(1,1)+y(-2,2),可得x=-2y=4<0: 对于D,(1,i血0-3)=x(1,1)+y(-2,2),可得x=09-1<0,y 2 sim0-1<0,xy>0. 4 4.C解析：由p=(1,-1),9=(2,1),m=(-1,1),n=(1,2),可知 p=-m,q=n-m. 因为向量a在基底p=(1,-1),9=(2,1)下的坐标为(-2,2)，所以 a=-2p+2g=2m+2(n-m)=2n,所以a在基底m=(-1,1),n=(1,2) 下的坐标为(0,2). 5.B解析：以B为原点，小正方形的两边所在 直线分别为x轴、y轴，建立坐标系如图. 设小正方形的边长为1，则A(1,2),B(0,0), D(2,3),E(2,2),F(1,1), B品=(2,3)，A2=(1,0),A=(0,-1). B励=xA正+yA市！ (2=x×1+y×0, 3=xx0+(-1)xy, 解得x=2,y=-3,由此可 得x+y=-1. 6.(5,-3)解析：设c的坐标为(x,y),由向量坐标加法运算可得a+ 3b=(-7,5),-2b-2a=(2,-2). 黑白题0106.3.2平面向量的正交分解及坐标表示④63.3平面向量加、减运算的坐标表示甲 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 白题 基础过关 限时：25min 题组1平面向量的正交分解及坐标表示 题组3向量共线的坐标运算 1.·(2025·江西上饶高一期中)已知点 9.*(多选)(2025·湖南长沙长郡中学高 A(-3,7),B(5,-2),则AB= ( 一月考)已知点A(4,6),B(-3,),与向量 A.(-8,9) B.(8,-9) C.(8,9) D.(-8,-9) AB平行的向量的坐标可以是 2.*(2024·广东梅州高一月考)如果用ij分 A 别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且 B.(7,2 A(2,3),B(4,2),则AB可以表示为 C. 33 1 D.(7,9) A.2i+3j B.4i+2j C.2i-j D.-2itj 10.（2025·河北邢台高一月考)若三点 3.已知0为坐标原点，点A在第二象限， A(2,-3),B(4,3),C(5,m)在同一条直线 10A1=2,∠x0A=120°，则向量0A的坐标 上，则m的值为 () 为 A.4 B.5 C.6 D.8 题组2平面向量线性运算的坐标表示 11.*(2025·山东威海高一期末)已知向量 4.·(2025·湖南长沙高一期中)已知向量 a=(1,1),b=(2,x),若b∥(b-4a),则 AB=(-2,1),AC=(3,4),则BC= ( x= A.（1,5) B.(-1,-5） 重难聚焦 C.(-5,-3) D.(5,3) 题组4平面向量坐标表示的应用 5.(2025·河南驻马店高一期中)已知向量 12.*如图所示，已知点A(4,0),B(4,4), a=(2,-3),b=(-4,6),则3a+4b= ( C(2,6),0(0,0),求AC与0B的交点P A.(6,-3) B.(-10,-5) 的坐标 C.(-10,15) D.(-1,5) 6.*已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与AB相等，其 中A(1,2),B(3,2),则x的值为 ( A.-1 B.-1或4 C.4 D.1或-4 7.*已知向量a=(2,-1),b=（1,6),c=(7, 3),则c可用a与b表示为 8.*(2025·广东东莞高一月考)已知点A(2, 3),B(5,4),AC=(3入，5入)（入≠0），且AP=AB+ A元，若点P在第一、三象限的角平分线上，则入 的值为 必修第二册·RJ黑白题016 黑题 应用提优 限时：30min 1.*(多选)(2025·河北保定高一月考)下列6.**已知向量a=(2,-1),b=(-3,2),且表示 各组向量中，可以作基底的是 ( 向量a+3b,-2b-2a,c的有向线段首尾相接构 A.m=(3,-2),n=(4,1)》 成三角形，则向量c的坐标为 B.m=(-2,3),n=(4,-6) 7.整如图，已知点A(-1,0),B(0,-1),P为 C.m=(2,0),n=(0,3) 0(0<0<7)的终边与单位圆的交点，PA与y D.m=(-1,3),n=(-2,6) 轴交于点N,PB与x轴交于点M, 2.*（2025·江西上饶高一月考)已知 (1)设PN=nPA,PM=mP店，试用6表示m A(-1,2),B(3,0),点P在直线AB上，且 与n; 1AP1=21PB1,则点P的坐标为 A停号 (2)设PO=xPM+yP(x,yeR),试用0表示 B.(7,2) x+y,并求x+y的最小值. c(月号减7.-2) D.(2,1)或(7，-2) 3.*(2025·广东广州高一月考)已知向量 e1=(1,1),e2=(-2,2),若向量a=xe1+ye2,则 使xy>0成立的a可能是 ( A.（1,0) B.(3,2) C.(-1,0)》 D.(1,sin0-3) 4.(2025·四川成都高一期中)若a:,B是一 组基底，向量Y=x+yB(x,y∈R),则称(x,y) 为向量y在基底，B下的坐标.现已知向量a 在基底p=(1,-1),9=(2,1)下的坐标为 (-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n= (1,2)下的坐标为 ( A.(2,0) B.(0,-2) 压轴挑战 C.(0,2) D.(-2,0) 5.*如图，A,B,D,E,F为各正方形的顶点.若 “在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点 向量BD=xAE+yA,则x+y= 称为整点.点P从原点出发，在坐标平面内跳跃 行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处.则 点P到达点Q(33,33)所跳跃次数的最小值是 A.9 B.10 D.12 A.-2 B.-1 C.1 D.2 C.11 第六章黑白题017