6.3 平面向量基本定理及坐标表示 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

因为向量a+3b,-2b-2a,c的有向线段首尾相接构成三角形，所以 a+3b+(-2b-2a)+c=0,代入得(-7,5)+(2，-2)+(x,y)=(0,0),解 得x=5,y=-3,所以c=(5,-3) 7.解：(1)由题意知点P为倾斜角为0的直线OP与单位圆在第一象限 的交点，所以P(es0,s血0)，0e(0,号）】 因为PA与y轴交于点N,PB与x轴交于点M,PM=mP克，P成=nPi, 且A(-1,0),B(0,-1), 所以yp=m(yp-yg)→sin6=m(sin6+1)→m= sin 6 +sim日：同理，p= cos 6 n(xp-x4)→c0s6=n(cos0+1)→n1+cos0' sin 0 cos 0 所以m-1+ngn-1+cos6 (2)因为P⑦=xPM+yP成=xPM+nPi, cos 0 由于A,0,M三点共线，所以x+n=l,即x+y1+0os日1①： 同理，P=xPM+yP成=xmP+yP成，由于B,O,N三点共线，所以 sin m+y=1,即x+n0y=1②， 将①x(1+cos0)+②x(1+sin0)得(1+cos0+sin0)x+(1+cos0+sin0)y= 1+cos 0+1+sin 0, 从而x+y= 2+cos 0+sin 0 1 1+co0+sm1+co0+sin =1+ 1in 当日=平时，+y取得最小值，瓦， 压轴挑战 B解析：每次跳跃的路径对应的向量为a1=(3,4),b1=(4,3),c1=(5, 0),d1=(0,5),a2=(-3,-4),b2=(-4,-3),c2=(-5,0),42=(0,-5), 因为求跳跃次数的最小值，所以只取a1=(3,4),b1=(4,3),c1=(5,0), d1=(0,5),设对应的跳跃次数分别为a,b,c,d,其中a,b,c,deN,可得 00=aa1+bb1+cc1+dd1=(3a+46+5c,4a+3b+5d)=(33,33),则 (3a+46+5c=33,两式相加可得7(a+b)+5(c+d)=6, l4a+3b+5d=33. 因为a+b,c+dEN,所以{C,或a+6,当at68,时，次数为 Ac+d=9. Ac+d=2 82=10,当g时次数为349=12 综上所述，次数的最小值为10. 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 白题 基础过关 1.A解析：：a+b=(-1,2),.(a+b)·c=(-1,2)·(1,1)=-1× 1+2×1=1. 2.C解析：由题意知，A店=(3,1)-(2,1)=(1,0)，B武=(1,5)- (3,1)=(-2,4),所以4店.B元=1×(-2)+0x×4=-2. 解析：设b=(x,y)（y≠0)，则依题意有 1 {可1解得{（含去）或 x=- 2 3x+y=3, (y=0 故=（仔） √3 y= 2 4.B解析：因为a=(5,-1),b=(3,1),所以a-b=(2,-2),所以 1a-b1=√/4+4=22. 5.B解析：因为向量a=(1,3),b=(m,-1),所以a+b=(1+m,2),a b=(1-m,4),由1a+b1=1a-b1得√(1+m)2+22=√(1-m)2+47 即m2+2m+5=m2-2m+17,解得m=3. 6.(√2，-√2)解析：向量a与b=（1,-1)方向相同，设a=Ab= 参考答案 (入，-A),(A>0),1a1=√2+(-A)7=2,解得X=√2，即a= (5,-√2). 7.D解析：由已知得a+b=(1,1),a-b=(1,-1),所以向量a+b与a-b 的夹角的余弦值为a+b）:(a-b)。0 =0 la+blla-bl 2x2 8.BC解析：A应=Oi-Oi=(1,2),A元=0元-Oi=(k,k+2),因为∠BAC 为锐角，所以A店·A花>0且A店与A花不是共线向量，即 每得e(号2)小u(2+).所以符合条作 的k的值为-1和1. 9.1解析：因为a=(m,0),b=(1,1),所以b-a=(1-m,1),所以 1-m+1 cos(b-a,bb-allb1√们-m41xwg), 巨，化简得(2-m)2= (1-m)2+1,解得m=1. 10.B解析：因为a=(1,0),b=(-1,1),所以a+2b=(1,0)+2(-1,1)= (-1,2),所以(1,2)·(-1,2)=1×(-1)+2×2=3，(2,1)· (-1,2)=2×(-1)+1×2=0,(1,-2)·(-1,2)=1×(-1)+ (-2)×2=-5,(2,-1)·(-1,2)=2×(-1)+(-1)×2=-4.故选B. 11.BD解析：若∠A=90°，则A店.A元=6+k=0,k=-6;若∠B=90°， 则A店.B元=A店.(A元-AB)=2+k-1=0,.k=-1:若∠C=90°，则 A元.C成=A元.(A成-A心)=-k2+k-3=0无解综上，k可能取-6，-1 两个值. 12.子解折：43,2)，8(-1，-)，设A3的中点为M则M(1,号)， 7 .M2=(x-1,-1),由题意可知AB=(-4,-3),M⊥AB,则M· 店=0，所以-4(x-1)+(-1)×(-3)=0,解得x=4 13.C解析：a=(1,5),b=(2,0),a-b=(-1,5),(a-b)· b三-2a-b在b上的投影向量为ab·b=多=2b们 1b12 4 (-1,0). 14.2解析：向量a=(t,2),b=(3,0),则a·b=3t,1b1=3,因此向量a 在向量6方向上的投影向量亭号 1b=(,0)=(2,0),所以=2 黑题 应用提优 A解析：因为向量b在向量a上的投影向量是c=g2·a= 3 sin &,2 ·(2,0) (2,0)=(sina,0)= (分，0），所以 sin a=2 故a+b=(（2+咖a,气）=(，)，于是1a+b1 √(() 2.D解析：由a⊥c,得a·c=2x-4=0,解得x=2,即a=(2,1).由b∥c 得b=Ac,可得A解得y=-2,即b=(1,-2).又a+c=(4,-3), b-c=（-1,2),则cs(a+c,b-c)=(a+c):(b-e la+cllb-cl -4-625 √16+9×√1+45 3.ABD解析：因为点A(3,2),点B(-1,3),则AB=(-4,1),故1AB1= √(-4)2+12=√17，故A正确； 因为0A=(3,2),02=(-1,3),则0·0=3×(-1)+2×3=3>0，若 黑白题011 0=k成，即(3,2)=k(-1,3),可得{3此方程无解，所以O与 3k=2, O不共线，所以∠AOB是锐角，故B正确； 设点C的坐标为(x,y),则A元=(x-3,y-2),C=(-1-x,3-y).因为 1 衣=2应所以3=21)解得 =1 3 y-2=2(3-y), 8 所以c(兮)，故 y=3’ C错误； 因为0i=(3,2),设0品=0i=(3,2),则B=0币-0i= (3入+1,2A-3),由于BD⊥0A,所以B品.0A=0,即3(3A+1)+2(2A- 3列=0解得A=名所以亦=（品，合），放D正确 4.B解析：如图，以0为原点，OB,OA所 在直线分别为x轴、y轴建立平面直角 坐标系，因为“六芒星”是由两个边长为 6正三角形组成的，中心重合于点0且 三组对边分别平行，所以六边形 BCDEFG为边长为2的正六边形，OA= 23,所以0B=2,所以A(0,-2W3), B(2,0),设P(x,y),则A2=(x,y+23), 0成=(2,0)，所以0成.A=2x. 因为动点P在“六芒星”上（内部以及边界），所以-3≤x≤3，所以 -6≤2x≤6，所以-6≤0成·A≤6，即0成.A的取值范围是[-6,6]. 5.A解析：设c=（1,0),则由a·c=2,b·c=3,可设a=（2,x),b= （3,）,则a·b=6+y=4,即y=-2,则y=2 x 4 4 圆s(a,bai·1b4好，N9+749z436 4 4 -2)2+9x2+472+36V40+9x2+47 ≤ 1√40+9x2416 x2 4 4 10。—640+2422,即x2-4附 x2 等号成立又ma,6=a产ab>0,放os(a,b)e 4 (o] 6.AC解析：建立平面直角坐标系如图，所以A(0,0),B(2,0), 根据等边三角形的性质，得C(1,√3)，y1 0 0为AB的中点，故0(1,0). 圆弧C以点A为圆心，半径为2，设 ∠PAB=a,点P在BC上，则点P坐标为 (2asa,2如a),ae[g写引设 0 ∠cB0=a因为a=B+所以Be[0,] 因为点Q在AC上，以点B(2,0)为圆心，半径为2，所以成= (2=(5e,2am(5e）所以02-2ma,2ms. 由P=(x0-,0-yp)得1P71=2V3-2(ina+csa- 23-2am(e*好)，又ae[后号引，所以当a=时 1P1m=2√3-2w2=22-2,故A正确.1P1的最大值在&=T或 6 牙处取得，P1=2V2-万<22，故B错误 必修第二册·R刷 p.00=(2cos a-1)(1-2sin a)+4sin acos a=2(sin a+cos a)-1= 2am(a+）1, 当a=子时，(0.0动)m=2-1,放C正确： 当a=名或号时，(0耐.0动)=万>1，故D错误 7.(1,3)(答案不唯一)解析：设c=(x,y),由(a,c)=(b,c),得 。故子震化商可得款=，取1则 a·c c·b y=3,故c=(1,5),答案不唯一 8.1解析：以点B为坐标原点，AB,BC所在直线分别为x轴、y轴建立 如下图所示的平面直角坐标系， 则A(-6,0),D(-3,4),设点E(0,t),其中0≤t≤4，则E=(-6,-t), ED=(-3,4-),则ED.E=18-(4-t)=14,整理可得2-4+4=0， 解得t=2,所以满足条件的点E只有1个. D B 9.35解析：设点M(a,b),则N(a,-b),0i=(a,b),M=(0,-2b), 可知1M1=21b1,由10M1=3,可得a2+b2=9,则AM+0M=(a, b-2Ab),uM+0i=(a,-b-24b) 因为M成+0i与uMi+0垂直，所以(a,b-2Ab)·(a,-b-2b)=0, 化简得a2+(b-2Ab)(-b-2b)=0,将a2=9-b2代入得9+(-2- 2μ+2A+4uM)62=0,由题意知1(aM+Oi)-(uM+0)1= 1(0,2b-2Ab+2b)1=3, 即126-2b+24b1=3,化简得1-Aw=216 3 3 令k=1-A+4,则k=±26，代人得9+(-2-24+2A+4)2=9+ [-2k+4A(A-1+k)]b2=0,整理得462A2+(4b2-462)A+9-2b2=0, 将其看作关于入的一元二次方程，则4=(462-462)2-4×4b2· (9-2b2)=16b4+16k2b4-144b2, 由=±品得品，代人得4=16+16×品·-145 .9 462(462-27)， 当4≥0时方程有解，即4(46：-27)≥0，解得公≥，解得6≤ 该 2 由1-26可得1≥2x2年玩1≥36，博当1a1- 2 1al=子时，取得最小值为3v5 10.(1)证明：由A(0,0),B(1,2),D(4,-2),得AB=(1,2),A⑦= (4,-2).又A店.Ad=1×4+2x(-2)=0,即A店1Ad,则AB1AD. (2)解：A店⊥A,四边形ABCD为矩形，.D元=A应 设C点坐标为(x,),则=(1,2)，Dd=(x-4,y+2)心y+2=2, x-4=1, 解得=5故点C坐标为(5,0)， (y=0, AC=(5,0),B=(3,-4),故A元.B励=15+0=15. 又1d=5,励1=5，设花与动的夹角为0，则as0=花前 IACIIBDI 黑白题012 若-号血9：个o0:专m9品8号矩形m 的两条对角线所成的锐角的正切值为？ 4 (x+y=-1, 11.解：(1)令n=(x,y),则 cs平-1 即 {-:故=或=0，=(-1,0)或n=(0,-1). x2+y2=1, (y=0 y=-1, 2=(me(任)）(m出） a=(1,0)aa=0=0,-1046=(as,） n+1=a亚-32西 4 e[0,】0≤m1,令4血，则y=-3r-2+5,对称 轴为直线：=了，又抛物线开口向下，当=0时，取到最大值5， 当=1时，取到最小值0,0≤1m+b1≤ 2 12.解：(1)因为C市=2Pi,Ai=xA应，A=yA花， 所以亦亦+}成-成兮（成-动=花+号成： 3 不号应又B,几，N三点共线所以号=1，即2y-3y:-1 3 3y3 (2)(1)因为M为B的中点，所以x=2,由(1)知，23=-1， 则y=子，即P为△ABC的重心，建立如图所示的平面直角坐标系， 则a00.c2.0A02同.所P(号29)月 所u（子2）元（2） 4 9 所以cos∠BPC= P成.P元。 7 1PB1PCi4,2w万 14’M 33 所以血Lc,所以is元 IPsin BPC IPBI 2万147 3 （i)建立与(1)相同的平面直角坐标系，所以A元=(2，-2w3), A店=(0，-25)，B武=(2,0)，所以AM=xA店=(0，-25x),所以A币= 号号（子25(12）).成号，成1=2所 以市®成：萨 AP.BC A.B武 2 1(2.BC)21 √4=4·42-（命.2 iu 即-)，所以号号1+2)2-引，即=或=-因为 0K1,所以x=又因为2-3-1，所以y号，则7号 13 参考答案 压轴挑战 AC解析：由题意可得BC=2,所以点P所走的总路程为2+2+1=5，所 以xe[0,5],故A正确； 以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴、y轴，建立如图①所示的 平面直角坐标系，其中LABC=60°， 则A(0,0),B(2,0),C(1,3),D(0,3),设P(m,n),则P元=(1-m, 3-n),Pi=(-m,5-n), 所以p元.Pi=-(1-m)m+(3-n)(3-n)=m2+n2-m-25n+3. 如图②所示： ①当xe[0,2]时，m=,n=0,所以)=-+3e[片，5]，即 f1)=3,故B错误； ②当e2,时，m=2-(分-13-子a=夏(-2》，所以 ()2✉29-(）小-4-8e0s: ③当x∈(4,5]时，m=5-x,n=3,所以f(x)=(5-x)2-(5-x)=x2- 920e 综上.可知)e【，5]故c正确，且)在区间[，]上单 调递减，在区间（分，2]上单调递增，在区问2，】 、9 上单调递减，在 区问(？，5]小上单调递增，共4个单调区间，故D错误 6.3 阶段综合 黑题 阶段强 1.B解析：由题意得A(2,-1),B(1,4),c(-1,之)，所以应= (-1,5),A错误； 因为0d=(1, ）,0=(2,-1),所以0=-20元，所以0，A,C三 点共线，B正确 又破-(-15)，花-（-3，），而-1x子-5x(-3)0,所以破花 不共线，从而A,B,C三点不共线，C错误； 0i0成=(3,3)≠3成=（3，号）D误 2.C解析：设与向量a=(1,-√3)垂直的单位向量是e=(x,y),由题意 可得a1e,1e1=1,所以ae=-3y=0,解得 x= 2’或 (lel=/2ty=1, y-2 x=- 放e=(停3)成=(5,3】 1 y-2 黑白题0136.3 阶段综合 黑题 阶段强化 限时：45min 1.(2025·河北保定高一月考)已知A(2,-1),5.*(多选)(2025·淅江金华高一月考)已知 81,4,c(m经m行).0为坐标原点， a=(1,0),b=(-1,1),函数f代)=kx+2,此函 则下列说法正确的是 ( 数图象上任意一点P(x,y),均满足(OP·a)· A.AB=(1,-5) (0P·b)为定值.过点P作y轴的平行线，交 B.A,O,C三点共线 直线y=x于点B,过点P作y=x的平行线，交 C.A,B,C三点共线 y轴于点C.则下列说法正确的是() D.0A+0B=30C 2.(2025·湖北武汉高一期末)与向量a= (1,-√3)垂直的单位向量是 /W31 A.22 .( A.k=1 B.k=2 C.平行四边形OBPC四条边长度之积为定 值8 和) D.平行四边形OBPC面积为定值2 3.*(2025·海南海口高一月考)定义：若不 6.(多选)(2025·山东济宁高一月考)已知 相等的两个向量a=(x1,y1),b=(x2,2)满足 0为坐标原点，点P,(-sina,-cosa), 条件：a=b1且x1,y1,x2,y2均为整数，则称 P2(sin B,cos B),P3(sin (a+B),cos (a+B)), 向量a,b互为“等模整向量”，则与向量a= A(0,2),则 () (1,0)互为“等模整向量”的向量有（ A.10P1=1OP2I=I0P3I=1 A.2个 B.3个 B.IPP2I的最大值为√2 C.4个 D.5个 C.IAP3I的范围是[1,3] 4.*(2025·江苏连云港高一月考)在平面直 角坐标系x0y中，A(3,1),B(1,√5)，若 D.∠P,AP,的范围是0,3 点P(x,y)是线段AB上的动点，设∠BOP=O, 7.*(2025·四川眉山高一期末)定义：向量 则+3y sin0的最大值为 axb叫向量a与b的外积，且a×b的模为Ia× √x2+y2 b1=|allblsin(a,b〉（其中(a,b〉表示向量a A.√3 B.5 与b的夹角).已知点A(0,1),B(2,0), C.23 D.2W5 C(3,2),则1AC×BC1= 第六章黑白题021 8.装(2025·河北邯郸高一月考)已知△ABC 压轴挑战 是边长为1的等边三角形，D为BC的中点， 熱(2025·福建三明高一期末)在平面直角 A正=入AC(0<<1),则 A正.ED 坐标系中，将横、纵坐标都是整数的点称为整 的最 E.BC+BE.BA 点.对于任意相邻三点都不共线的有序整点 大值为 列A(n):A1,A2,…,An与B(n):B1,B2,…,Bn, 9.装(2025·湖北武汉高一期中)如图，点P, 其中n≥3，若同时满足：①两个点列的起点和 Q分别是矩形ABCD的边DC,BC上的两 终点分别相同；②A41B,B1,其中i=1, 点，AB=3,AD=2. 2,…,n-1.则称A(n)与B(n)互为“正交点列”. (1)设DP=DC,C0=CB,0≤入≤1，求AP. (1)判断A(3):A1(0,0),A2(1,2),A(3,0)与 AQ的范围， B(3):B1(0,0),B2(2,-1),B3(3,0)是否互 (2)若∠P10=牙，求示.A的最小值 为“正交点列”，并说明理由。 (2)已知P(4):P1(0,0),P2(2,2),P3(4,0), (3)若D=2P元，连接AP交BC的延长线于 P4(6,2)与Q(4):Q1,Q2,Q3,Q4互为“正交 点T,Q为BC的中点，试探究线段AB上 点列”。 是否存在一点H,使得∠THQ最大.若存 （i)求Q2Q3: 在，求BH的长；若不存在，说明理由. (ⅱ)若Q2的横、纵坐标都取自集合M= {-2,-1,0,1,2},写出所有符合条件的有序 整点列Q(4). 必修第二册·RJ黑白题022