6.3 平面向量基本定理及坐标表示 综合测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 6.3 综合测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： (时间：50分钟　满分：100分) 一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1.已知a＝(4，6)，a＋b＝(6，2)，则b＝(　　) A.(2，－4) B.(－2，4) C. D. 2.已知向量a＝(3，t)，b＝(t＋4，－6)，若a⊥b，则t＝(　　) A.4 B.－4 C.－ D. 3.已知向量a＝(1，2)，b＝(m，3)，若a⊥(2a－b)，则a与b夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 4.如图，已知＝a，＝b，＝4，＝3，则＝(　　) A.b－a B.b－a C.a－b D.a－b 5.在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，建立如图所示的平面直角坐标系，且A(0，3)，C(3，0)，B(0，0)，＝，＝，则·＝(　　) A.3 B.1 C.2 D.4 6.已知平面向量a，b，a＝(2cos α，2sin α)，b＝(cos β，sin β)，若对任意的正实数λ，|a－λb|的最小值为，则此时|a－b|＝(　　) A.1 B.2 C. D. 二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分) 7.在下列各组向量中，e1，e2不能构成基底的是(　　) A.e1＝(－1，0)，e2＝(0，－1) B.|e1|＝1，e2＝－2e1 C.e1＝(2，－1)，e2＝(－6，3) D.e1·e2≠0，e1·e2＝|e1||e2| 8.若a＝(2，0)，b＝(，1)，则(　　) A.a·b＝2 B.|a＋b|＝|a－b| C.a与b的夹角为 D.b在a上的投影向量的长度为1 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 9.若A(m，5)，B(n，1)，C(n＋1，3)三点共线，则m，n满足的关系式为________. 10.如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝DC，AE＝2EC，若＝x＋y，则x＋y＝__________. 11.定义运算“∧”满足：|a∧b|＝|a||b||sin θ|，θ为从向量a按逆时针方向到向量b的夹角(θ∈(0，2π))，向量(a∧b)垂直于a，b所确定的平面，当sin θ>0时，其垂直平面的方向向上；当sin θ<0时，其垂直平面的方向向下，下列说法一定正确的有________.(填序号) ①a∧b＝b∧a；②a∧b＝－b∧a；③(a∧b)2＝a2∧b2；④(a∧b)2＝|a2∧b2|；⑤当a∥b时，a∧b＝0；⑥a∧a＝a2. 四、解答题(本题共3小题，共43分) 12.(13分)已知向量a＝(－1，2)，b＝. (1)求|a＋4b|； (2)若向量c满足2a－3c＝8b，求向量c； (3)在(2)的条件下，若a－mc＝2nb，求实数m，n的值. 13.(15分)已知a＝(1，0)，b＝(2，1). (1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线； (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值以及||. 14.(15分)已知A(2，3)，B(4，－3)，＝，＝＋t，且·＝0. (1)求点P的坐标； (2)求实数t的值； (3)求cos ∠AOB的值. 第六章 6.3 综合测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： (时间：50分钟　满分：100分) 一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1.已知a＝(4，6)，a＋b＝(6，2)，则b＝(　　) A.(2，－4) B.(－2，4) C. D. 解析：A　由a＝(4，6)，a＋b＝(6，2)，得b＝a＋b－a＝(6－4，2－6)＝(2，－4). 2.已知向量a＝(3，t)，b＝(t＋4，－6)，若a⊥b，则t＝(　　) A.4 B.－4 C.－ D. 解析：A　因为a⊥b，所以3(t＋4)－6t＝0，解得t＝4. 3.已知向量a＝(1，2)，b＝(m，3)，若a⊥(2a－b)，则a与b夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 解析：A　因为a＝(1，2)，b＝(m，3)，所以2a－b＝(2－m，1)，因为a⊥(2a－b)，所以a·(2a－b)＝1×(2－m)＋2×1＝0，解得m＝4，所以b＝(4，3)，设a与b夹角为θ，则cos θ＝＝＝，即a与b夹角的余弦值为. 4.如图，已知＝a，＝b，＝4，＝3，则＝(　　) A.b－a B.b－a C.a－b D.a－b 解析：B　由＝4，得＝＝(－)，而＝3，所以＝＋＝(－)＋＝－＝b－a. 5.在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，建立如图所示的平面直角坐标系，且A(0，3)，C(3，0)，B(0，0)，＝，＝，则·＝(　　) A.3 B.1 C.2 D.4 解析：C　由题可设M(x，y)，因为＝，所以(x，y－3)＝(3－x，－y)，解得所以M(1，2)，又＝＝(1，2)，所以D(2，4)，所以＝(1，－4)，＝(－2，－1)，所以·＝(－2)×1＋(－1)×(－4)＝2. 6.已知平面向量a，b，a＝(2cos α，2sin α)，b＝(cos β，sin β)，若对任意的正实数λ，|a－λb|的最小值为，则此时|a－b|＝(　　) A.1 B.2 C. D. 解析：D　a－λb＝(2cos α－λcos β，2sin α－λsin β)，∴|a－λb|＝＝＝≥，若cos(α－β)≤0，则当λ＝0时|a－λb|有最大值，而λ≠0，故不成立.∴cos (α－β)>0，∴当λ＝2cos (α－β)时|a－λb|有最小值，∴＝，∴4－4cos2(α－β)＝3，∴cos(α－β)＝，∴λ＝2cos (α－β)＝1，∴|a－b|＝|a－λb|＝. 二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分) 7.在下列各组向量中，e1，e2不能构成基底的是(　　) A.e1＝(－1，0)，e2＝(0，－1) B.|e1|＝1，e2＝－2e1 C.e1＝(2，－1)，e2＝(－6，3) D.e1·e2≠0，e1·e2＝|e1||e2| 解析：BCD　对于A，e1，e2不共线，可以构成基底；对于B，e1，e2方向相反，共线，不能构成基底；对于C，e2＝－3e1，e1，e2共线，不能构成基底；对于D，e1·e2≠0，e1·e2＝|e1||e2|，则e1，e2方向相同，共线，不能构成基底. 8.若a＝(2，0)，b＝(，1)，则(　　) A.a·b＝2 B.|a＋b|＝|a－b| C.a与b的夹角为 D.b在a上的投影向量的长度为1 解析：AC　根据题意，a·b＝2×＋0×1＝2，A正确；a＋b＝(2＋，1)，a－b＝(2－，－1)，所以|a＋b|＝＝2，|a－b|＝＝2，所以B错误；cos 〈a，b〉＝＝＝，又向量夹角在[0，π]内，所以a与b的夹角为，C正确；b在a上的投影向量的长度为|b|cos 〈a，b〉＝×＝，D错误. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 9.若A(m，5)，B(n，1)，C(n＋1，3)三点共线，则m，n满足的关系式为________. 答案：m－n＝2 解析：由题意，＝(n－m，－4)，＝(1，2)，因为三点A，B，C三点共线，所以∥，所以2(n－m)－1×(－4)＝0，即m－n＝2. 10.如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝DC，AE＝2EC，若＝x＋y，则x＋y＝__________. 答案：－ 解析：因为BD＝DC，AE＝2EC，所以＝＋＝－＝(－)－＝－＋，所以x＝－，y＝，则x＋y＝－. 11.定义运算“∧”满足：|a∧b|＝|a||b||sin θ|，θ为从向量a按逆时针方向到向量b的夹角(θ∈(0，2π))，向量(a∧b)垂直于a，b所确定的平面，当sin θ>0时，其垂直平面的方向向上；当sin θ<0时，其垂直平面的方向向下，下列说法一定正确的有________.(填序号) ①a∧b＝b∧a；②a∧b＝－b∧a；③(a∧b)2＝a2∧b2；④(a∧b)2＝|a2∧b2|；⑤当a∥b时，a∧b＝0；⑥a∧a＝a2. 答案：② 解析：根据定义有|a∧b|＝|a||b||sin θ|，θ为从向量a按逆时针方向到向量b的夹角，|b∧a|＝|b||a||sin φ|，φ为向量b按逆时针顺序到向量a的夹角，且θ＋φ＝2π，即两者大小相等方向相反，a∧b＝－b∧a，故①不正确、②正确；(a∧b)2表示向量a∧b与a∧b的数量积，结果为一个实数，而a2，b2均表示实数，a2∧b2在本题目条件下无定义，故③和④都不正确；⑤当a∥b时，a∧b＝0，故⑤不正确；⑥a∧a＝0，右边a2＝|a|2，故⑥不正确. 四、解答题(本题共3小题，共43分) 12.(13分)已知向量a＝(－1，2)，b＝. (1)求|a＋4b|； (2)若向量c满足2a－3c＝8b，求向量c； (3)在(2)的条件下，若a－mc＝2nb，求实数m，n的值. 解：(1)因为向量a＝(－1，2)，b＝，所以a＋4b＝(－1，2)＋4＝(1，1). 所以|a＋4b|＝. (2)因为2a－3c＝8b，所以3c＝2a－8b＝2(－1，2)－8＝(－6，6). 所以c＝(－2，2). (3)因为a－mc＝2nb，由(2)知，c＝(－2，2). 所以(－1，2)－m(－2，2)＝2n，所以即 13.(15分)已知a＝(1，0)，b＝(2，1). (1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线； (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值以及||. 解：(1)易知ka－b＝(k－2，－1)，a＋2b＝(5，2)，所以2(k－2)＝5×(－1)⇒k＝－， 即k＝－时，ka－b与a＋2b共线. (2)易知＝(8，3)，＝(2m＋1，m)，由A，B，C三点共线得8m＝3(2m＋1)⇒m＝， ＝⇒||＝＝. 14.(15分)已知A(2，3)，B(4，－3)，＝，＝＋t，且·＝0. (1)求点P的坐标； (2)求实数t的值； (3)求cos ∠AOB的值. 解：(1)依题意，设P(x，y)，因为A(2，3)，B(4，－3)，＝， 所以＝(x－2，y－3)，＝(4－x，－3－y)，则 解得 所以点P的坐标为. (2)因为A(2，3)，B(4，－3)，所以＝(4－2，－3－3)＝(2，－6)， ＝＋t＝(2，3)＋(2t，－6t)＝(2＋2t，3－6t)， 又·＝0，所以2×(2＋2t)＋(－6)×(3－6t)＝0，解得t＝. (3)因为A(2，3)，B(4，－3)，所以＝(2，3)，＝(4，－3)， 则·＝2×4＋3×(－3)＝－1，||＝＝，||＝＝5， 所以cos ∠AOB＝＝＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $