6.2.3 向量的数乘运算-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

ABCDEF是由6个全等的等边三角形构成，所以A1=2,所以AB+ FE+CDI=IADI=2. 3.B解析：E亦=Ed+O市=Ed-Fi=0市-0成 4.BCD解析：对于A,A店-(B元+C)=A店-B=2A店，A错； 对于B,A成-A花+B励-C=C成+B励+D元=C+B武=0，B正确； 对于C,O-0i+心=Di+Ad=0,C正确； 对于D,Nd+0币+M-M=+P或=0，D正确. 5.C解析：由题图可知，Bd=B元+Ci=A元-A成+Ci=b-a+c.故选C. 6.D解析：如图，以AB,BC为邻边作菱形 D ABCD,则A成-B武=-(BA+B武)=-Bd=D成，由 图形可知，IDBI的长度等于等边△ABC的 边AC上的高的2倍，即1D成1= 22(仔因此威 7.ABD解析：根据平面向量的平行四边形或三角形法则，当a与b不 共线时，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 有1Ial-1b1I<|a±b1<lal+1bl. 当a与b同向时有1al+Ibl=Ia+b1,Ilal-|b11=1a-b1,反之也成 立；当a与b反向时有lal+lb1=a-b1,反之也成立. 四方法总结 向量的三角不等式：川al-1b11≤Ia±b1≤Ial+1b1,当且仅当向量共 线时取等号， 8.[3,13]解析：A店=0i-0i,当0i,0同向共线时，1A1=1Oi1- 01=3:当0A,0反向共线时，1AB1=10A1+101=13;当0A,0不 共线时，由110A1-101<10成-O1<10i1+101,可得3<1AB1<13. 综上可得3≤1AB1≤13. 9.C解析：如图，分别作出0i=a,0成=b,则利用向 0 a 量的减法可得b-a=A点易知△OAB为等腰直角三b 角形，故L0AB=45°，且1A1=62,于是b-a所表 b-a 示的意义为向西南走62km, 10.D解析：由题意易知f1+圹2=-f3,所以方1与2的 合力与3方向相反，长度相等，则由平行四边形法则可知，只有 D项满足. 四方法总结 利用向量加、减法解决实际应用问题的主要步骤： (1)由题意作出相对应的几何图形，构造有关向量； (2)利用三角形法则和平行四边形法则对向量的加、减法进行运算； (3)构造三角形（一般是直角三角形），利用三角形的边、角关系解题. 黑题 应用提优 1.B解析：对于选项A,由向量加法的运算律可知选项A正确； 对于选项B,因为AB+B武+A元=A元+A元=2A元，所以选项B错误； 对于选项C,因为A+B=A店-A店=0，所以选项C正确； 对于选项D,因为Ci+A心=-A元+A花=0，M+N+PM=M+PM=0,所 以C+A元=M++Pi,故选项D正确. 2.D解析：因为A店=-C⑦，即A店=D元，所以四边形ABCD是平行四 边形. 因为1A⑦-AB1=1B1=1Ad1,LABD=60°，所以△ABD是等边三角 必修第二册·RJ 形，则IAB1=|A⑦1，所以四边形ABCD是菱形. 3.AC解析：由题意，向量a=(A店+C)+(BC+Di)=Ai+Di=0,且b 是一个非零向量，所以a∥b成立，所以A正确；由a+b=b,所以B 不正确，C正确：由1a+b1=1b1,1a|+1b1=1b1,所以|a+b1=Ial+ 1b1,所以D不正确 4.C解析：由题图可知，a2+a5+b2+b+b,=A2A)+A5A6+0A,+0A+ 0M,=(0A2+A2A3)+(0A+A46)+0A =0A3+0A+0A,=0A+0A。-0A=0A。=b6故选C. 5.A解析：根据平行四边形法则可知，Ia+b1,1a-b1是平行四边形的 对角线长，依题意，la+b1=la-b1=2,则平行四边形为矩形，所以以 1al,Ibl,1a-b1为边长的三角形为直角三角形，且斜边长为1a- b1=2,设两直角边长为m,n,则m2+n2=4,则三角形面积S= 2mns xn=1,当且仅当m=n=2时等号成立，则以Ial,b1,a-b1 2 为边长的三角形面积最大值为1. 6.于8解析：如图，将此人的游泳速度与水的流速 平移至共同起点，作出其和速度”，由此人的游泳速度 为4w3km/h,水的流速为4km/h,可得此人实际速度为 V(43+4=8(kmM),且与水流方向成号 .解析：如图，当1a1=1b1=1a-61时， 3 △ABC为等边三角形，则Ia+b1为线段AD的 长度所8m0 放指案为 3 8.解：因为0+0元=0+0i=0,所以0i=-0元， O=-O品，即四边形ABCD为平行四边形.又因 为1AB1=1A1=1,所以四边形ABCD为菱形， 如图所示，因为cas∠DAB=子，0<∠DAB<m, 所以∠DAB=号，所以△MBD为等边三角形，所以11= 2,所以 IDC+BCI=IAD+DCI=IACI=21A01=3.ICD+BCI=ICD-CBI= 1BD1=1. 压轴挑战 (1)证明：因为0为△ABC的外心，H为△ABC内一点，且Oi=Oi+Oi+ 0元，所以0A+0B=0i-0元=Ci. 作平行四边形OADB,则Oi+O=Oi,又1OA1=1OB1,则平行四边形 OADB是菱形，所以OD⊥AB. 因为C=O,所以CH∥0D,故CH⊥AB, 同理可得BH⊥AC,AH⊥BC,所以H是三条高的交点，即H是△ABC的 垂心. (2)解：成立.因为向量的运算法则不会因为H在△ABC外侧而发生改 变，所以只要满足题干中的条件，仍然能按照(1)中的推导证明Ⅱ是 △ABC的垂心. 6.2.3向量的数乘运算 白题 基础过关 1.C解析：由于入≠0，所以入2>0，因此a与入2a的方向相同.故选C. 2.AB解析：对于A,根据数乘向量的原则可得m(a-b)=ma-mb, 故A正确；对于B,根据数乘向量的原则可得(m-n)a=ma-na,故 B正确；对于C,由ma=mb可得m(a-b)=0,当m=0时也成立，所以 不能推出a=b,故C错误；对于D,由ma=na可得(m-n)a=0,当a= 0时命题也成立，所以不能推出m=n,故D错误故选AB. 3.AB解析：由题图可得P,Q两点把线段B三等分，故市-}应。 黑白题002 A动=子应，A,B正确；B币=-子应，=-励，故C,D错误，故选AB, 4.D解析：成-武=店-市-（成+成）=店-本-(+动) }应-2动 5.子舞析：在△48c中，成-3励，店-2武店a,花-b, 成-成+成成+（号衣）子（成-号吕成 6.2-2a解折：子[宁（2x+0)-(a-b]子(a+20)-(e b]=号(36-3a)=2h-2a 7.4b-3a解析：因为3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=x+3a-4b=0,所 以x=4b-3a. 8.B解析：当b=0,a≠0时，满足a与b共线，但是不存在实数入使得 a=入b,故充分性不成立； 存在唯一实数入使得a=入b,则a与b共线成立，即必要性成立. 故“a与b共线”是“存在唯一实数入使得a=入b”的必要不充分条件. 9.A解析：对于A选项，B励=B武+Ci=(-2a+8b)+(3a-3b)=a+5b= AB,故A,B,D三点共线，A对； 对于B选项，因为A店=a+5b,B元=-2a+8b,所以A店，B元不共线，即A, B,C三点不共线，B错； 对于C选项，因为A元=A2+B武=(a+5b)+(-2a+8b)=-a+13b,Ci= 3a-3b,所以A亡，Ci不共线，即A,C,D三点不共线，C错； 对于D选项，因为B武=-2a+8b,Ci=3a-3b,所以B元，Ci不共线，即 B,C,D三点不共线，D错. 10.A解析：由e1,e2不共线，易知向量e1+e2为非零向量.由a∥b, 可知存在实数入，使得2e1-e2=入(ke1+e2),即(2-Ak)e1=(A+1)e2 由e1,e2不共线，必有2-Ak=入+1=0.否则，不妨设2-Ak≠0，则e1= 2一2由两个向量共线的充要条件知©1,2共线，与已知矛盾.由 入+1 2-Ak=0,解得k=-2 A+1=0, 11.C解析：O币=Oi-A,.0市-Oi=B成，=Bi,点P在线 段AB的反向延长线上 黑题应用提优 1.C解析：因为a∥b,所以a=-2b或a=2b,故|3a+2b1=|2a|= 21a|=4或13a+2b1=|4al=41al=8. 2.ACD解析：由相反向量的定义可知A正确；与BC共线的单位向量 -,故B错误；由向量共线定理可知，A店，B武共线，又A,B元有 IB元 公共点B,则A,B,C共线，则C正确；由A店=2B武=2A花-2A成可得 本元际需导晚 3.AD解析：对于A,C+T市=P+T市=T=D,A正确； 对于B,E感-R戒=R心-Rd=Q元=-Pi,B错误； 对干c市店动感励d成成c结误 对于D,本=花=弦-感5+1店，D正确，故选AD S71 2 4.D解析：因为a=入b,入≠0，所以Ia+入b1=I(入+A)b|=I2入IIb1, Ia+入Ib1=Ab+AIb1=(1A|+入)1b1,当A>0时，|a+Ab|=Ial+ AIb1,当A<0时，la+Ab1=-2入1b1,Ia|+入Ib1=0,此时1a+Ab1≠ 参考答案 |a|+入Ib1,故“a=入b”不是“|a+Ab|=Ia|+入Ib|”的充分条件 因为1a+Ab1≤Ia|+|Ab1,若1a+Ab1=|a|+AIbl,则Ia+Ib|≤ |a|+IAb1=Ia|+1入I1b1,当且仅当a,Ab方向相同时取到等号，则 入≤1入I恒成立，故a∥b,但两个向量间的系数不确定，不能推出“a= Ab”. 综上可知，A≠0，那么“a=Ab”是“1a+Ab1=Ia|+入|b1”的既不充分 也不必要条件 5.B解析：若D为BC中点，由题设A=O币-Oi=A(A+A元)=2AAd, 如图所示，易知直线AP是△ABC的一条中线所在的直线，所以直 线AP一定通过△ABC的重心 (第5题) (第6题) 6.D解析：由20+3成-m0成得号0+号成=-号0成，设 o成-励，则励号oi成，即0-a-i动- 应A,B,D三点共线，如图所示：心与成反向共线m心 m .10i1m,10i15。m.Sa4oB_10i1_m-4 10流i5动1m*55e1动*7 0, 5 →m20 3 四方法总结 若A,B,C三点共线，0是平面内不在A,B,C所在直线上的任意 点，则有0d=mOi+nO,其中m+n=1. 7.=u+5解析：因为0A=Aa+b,0店=3a-2b,0元=2a-3b,所以A店= O成-Oi=(3-A)a-(2+u)b,B武=0元-0成=-a-b.若A,B,C三点共线， 则A∥B武，即3-A=-(2+),化简可得A=u+5. )解标：因为店+2+7店+元+ 8Pi=0,所以P-Pi+2Pi+7Pi+P元+ 8Pi=0,所以Pi+8Pi+P元+8Pi=0,所B 以Pi+P元+8Pi+8Pi=0. 取E,F分别为BD,AC的中点，如图，则2P市+16P立=0，即P市= -8成，所以成4成-8成，所以店。。成 因为Q为AB的中点，所以QE∥AD,QF∥BC.又B武=2Ai,则AD∥ BC,所以QE∥AD,QF∥AD,所以Q,E,F三点共线，所以E= 2动，亦：c=市，所以成--成-市动：子动，所以 店成，所以成=店动号动，所以11= 多布，所以点 IADI 9 9.10解析：连接AB,如图所示，因为AC1 BC,则AB为圆O的一条直径，故O为AB 的中点，所以Mi+M店=(Md+Oi)+(Mò+ O)=2Md,所以1M+M店+2成1= 12Md+2(Md+0元)1=14Md+20元1≤ 41M01+210C1=4×2+2×1=10,当且仅当M,0,C共线且M0,0C同 向时，等号成立 黑白题003 压轴挑战 D解析：设Bi=AB武，则1A店+AB武1mn=IAB+Bm=lAmn=2,即 当AH⊥BC时，AH=2. 又AB=AC=22,则BC=4,所以AB2+AC2=BC2,故△ABC为等腰直角 三角形. 由Ad=sin2a,A店+cos2a·A元=(1-cos2a).A+cos2a·A元，则Ad- A店=cos2a·(Ad-A),即B=cos2a.B元，所以P,B,C三点共线 又ae[g],则sae[片 子]若D,B为BC的两个四等分点，N 为BC中点，如图所示，则P在线段DE上B一 运动，且AN=2,BD=1,BE=3,若MP⊥ BC,则MP/AN,又=应，此时BP子BN=子e1,3,故上述 4 情况1=子AN=手，易知M证=VD+(E-BP √否由图可知：P与E重合时，耐妮综 上，耐的取值范假为[专，] 6.2.4向量的数量积 白题 基础过关 1.D解析：因为ml=4,a1=6,m与n的夹角为，则mn=46× （3)-12 2.CD解析：对于A,由向量的运算法则，得A正确；对于B,向量数量 积满足分配律，B正确；对于C,由a·b=a·c,得a·(b-c)=0,又 a≠0，则当a1(b-c)或b=c时，满足题设，C错误；对于D,(a· b)·c是与c共线的向量，a·(b·c)是与a共线的向量，等号不一 定成立，D错误 3.-8解析：b·(3a+b)=3a·b+b2=3×4x4×cos120°+42=-8. 4.D解标：因为1al=23b1,《a,b)=石，所以a在b上的投影向量 为a1mna,)合8ma,-25=誓b=-h 5.A解析：由题意可得向量b在a上的投影向量为“·=-2a, 所以2=-2，又向量a为单位向量，所以a·b=一2 6.子解折：设与6方向相同的单位向量为e,则e=总则a在6 4 方向上的投影商量为1aom能-（日）治费子点 7.B解析：12a+3b1=√(2a+3b)7=√4a2+9b2+12a·b= √449x16+12x2x4(2)-47. 8.√7解析：因为a,b为单位向量，则1a+b12=a2+b2+2a·b=2+2a· 1 b=1,所以a·b=-2,所以12a-b1=(2a-b= V4@-4a6*6-4-4）1=7 9.B解析：因为13a-5b1=7,所以(3a-5b)2=49,所以9a2-30a· +25=9又因为a,b为单位向量，所以ab=分所以m(a, )=子又因为0≤a,o)≤，所以(a,b)= 10.B解析：因为1a1=2,1b1=√3，且a·b=1,所以1b-a1= 必修第二册·RJ √(b-a)7=√62+a2-2a·b=√3+4-2=5， 设指量与的夹角为我划96-简 3-12√15 √/1515 1.2 解析：由lal=2,e为单位向量，且向量a在e上的投影向量 ie2·e=-2e,可得a·e=-2, 为-2e,可得4·e. 所以a与6的夹角余弦值为oaa6-i-号周为ae砂e [o,1,所以a,e)= 12.D解析：因为a与b是单位向量，且a⊥b,所以a·b=0,所以(a+ b)·b=a·b+b·b=0+1=1. 13.D解析：由已知可得a·b=Ia·1b1·cos60°=1×1× 11 2-2 A:因为(a+2b)·b=ab+2b2=1 2x1:0,所以本选项不符 合题意； :b=2a·b+b2=2×号+1=2≠0，成 合题意； Cc:因为a-20)bab-2冰号-2x1- 2≠0，所以本选项不 符合题意； D:因为(2a-b)·b=2a:0-62=2x号1=0，所以本选项符合题意 14.B解析：设a与b的夹角是a,:(a-2b)⊥a,.(a-2b)·a=0,即 1a12-2a·b=0①. 又，(b-2a)⊥b,.(b-2a)·b=0,即1b12-2a·b=0②. 由02知la1=1b1,ab=子1a12=子b13,csa .a·b 2 lallbl a2=2,所以a与b的夹角为3 15.子解折：因为a1b6,且616=子e=1e=1,所以a (2e1+e2)(Ae1-e2)=0,即2Ale112-2e1·e2+e1·e2-le2I2=0,所 以2-2xx1=0,解得A-子 4 16.A解析：由B.B武=A店.A心，得AB·(A花+B武)=0，取AB中点M, 因为威=子d+a动，则2a=0,即AB1c,所以△ABc是 等腰三角形. 17.D解析：如图，由题意可知△ABC为直角三角形，∠ACB= 90°，4C=25,根据向量数量积的几何意义可得A花.A正=A衣=12. D 78.8或-8解析：由题可知，LBAD=3或兮若LBMD=,则A. A市=1A11Ad1 cos LBAD=4×4×2 8：若∠D,则应· -a2B0=x(号）-& 19.(1)证明：因为A应+B成=0，所以A应=-B配，所以AE=EB,所以C成= c+应=-+2应 因为点F为边BC上靠近点B的三等分点，所以2BF=FC,所以 黑白题0046.2.3向量的数乘运算 白题 基础过关 限时：25min 题组1向量数乘的定义与运算律 6.·(2025·广东东莞高一月考)化简 1.*设a是非零向量，入是非零实数，下列结 论正确的是 ( A.a与-Aa的方向相反B.I-入a|≥Ial 7. *l北师教材变式若3(x+a)+2(x-2a) C.a与入2a的方向相同D.I-入al=1入Ia 4(x-a+b)=0,则向量x= 2.★（多选）(2025·山东潍坊高一月考)已 题组3向量共线的判定 知m,n是实数，a,b是向量，则下列命题中正 8.·(2025·山东青岛高一月考)已知向量a, 确的为 A.m(a-b)=ma-mb b,则“a与b共线”是“存在唯一实数入使得 B.(m-n)a=ma-na a=入b”的 () C.若ma=mb,则a=b A.充分不必要条件 D.若ma=na,则m=n B.必要不充分条件 3.*(多选)如图，设P,Q两点把线段AB三 C.充要条件 等分，则下列向量表达式正确的是 ( D.既不充分也不必要条件 A P Q B 9.*(2025·江西抚州临川一中高一期中)已 A号访 及0-子 知AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3a-3b,则 c丽-而 () D.AQ=BP A.A,B,D三点共线 题组2向量的线性运算 B.A,B,C三点共线 4.*(2025·广东汕头高一期中)如图，在矩 C.A,C,D三点共线 形ABCD中，E为线段AB的中点，则D店-EC= D.B,C,D三点共线 题组4共线（平行）向量基本定理的简单应用 A.AB-2AD &孤访 10.·(2025·江西上饶高一期中)已知e1,e2 是两个不共线的向量，向量a=2e1-e2,b= c而 D.2成-2而 ke1+e2.若a∥b,则k= () A.-2 B司 C.2 11.点P满足向量0P=0A-AB,则点P 与AB的位置关系是 (第4题) (第5题) A.点P在线段AB上 5.·(2025·山东淄博高一期中)如图，在 B.点P在线段AB的延长线上 △ABC中，AB=a,AC=b,DC=3BD,A正= C.点P在线段AB的反向延长线上 2EC,则DE= D.点P在直线AB外 第六章|黑白题005 黑题 应用提优 限时：35min 1.已知向量a,b满足Ial=2,1b1=1,a∥b, 5.*(2025·重庆南岸区高一期中)0是平面 则13a+2b1= ( 上一定点，P是△ABC中一动点且满足：OP= A.1 B.1或7 OA+入(AB+AC),A>0,则直线AP一定通过 C.4或8 D.4 △ABC的 2.*(多选)(2025·陕西咸阳高一期中)已 A.外心B.重心C.内心 D.垂心 知A,B,C是不重合的三点，则下列结论正确 6.(2025·江西景德镇一中高一期中)已知 的是 ( 0是△ABC内一点，20A+30B+m0C=0,若 A.AB=-BA △A0B与△ABC的面积之比为号，则实数m B.与BC共线的单位向量是 BC 的值为 BCI 10 A.3 B. C.、20 C.若AB=2B元，则A,B,C共线 3 D.若店-=2B元，则A_2 7.*已知a-b是不共线的向量，OA=入a+b, 1AC13 0B=3a-2b,0C=2a-3b.若A,B,C三点共线， 3.*（多选)(2025·山东省实验中学高一月考) 则实数入，山满足的关系式是 正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形， 8.整(2025·河南驻马店高一期中)在四边 形ABCD中，BC=2AD,点P是四边形ABCD所 且与黄金分割有着密切的联系在如图所示 在平面上一点，满足A+2P+7P+P元+8P心= 的正五角星中，以A,B,C,D,E为顶，点的多边 POI 0,点Q为线段AB的中点，则 形是正玉道8，肥--68则( IADI 9.(2025·江苏无锡高一期中)A,B,C三点 A.CO+TP=DS 在半径为1的圆0上运动，且AC⊥BC,M是 B.ES-RO=PA 圆0外一点，OM=2,则1MA+MB+2MC1的最 C.AT+R5-5-RQ 大值是 压轴挑战 D丽-店- 热已知△ABC中，AB=AC=2√2 IAB+入BCl= 2(A∈R),Ai 4.*(2025·江西上饶高一月考)已知a,b是 TT 平面内两个非零向量，入≠0，那么“a=入b”是 ，-a+csa·花，a 63 “|a+入b1=|al+入IbI”的 则1MP1的取值范围为 ( A.充分不必要条件 4245 445 A. B.必要不充分条件 3’3 3’3 C.充要条件 √/17√41 ↓41 D.既不充分也不必要条件 3’3 3 必修第二册·RJ黑白题006