6.2.1 向量的加法运算&6.2.2 向量的减法运算-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.2平面向量的运算 6.2.1 向量的加法运算④6.2.2向量的减法运算 白题 基础过关 限时：25min 题组1向量的加法运算 6.*(2025·河南郑州高一月考)在边长为1 1.·(多选)(2025·江苏徐州高一月考)对于 的正三角形ABC中，IAB-BCI的值为（) 任意一个四边形ABCD,下列式子能化简为BC A.1 B.2 的是 ( A.BA+AD+DC B.BD+DA+AC C D.3 2 C.AB+BD+DC D.DC+BA+AD 题组3向量的三角不等式 2.*(2025·四川眉山高一月考)如图，在正六 7.*(多选)(2025·广东佛山高一月考)已知 边形ABCDEF中，若AB=1,则IAB+F2+CD1= a,b为非零向量，则下列命题中正确的是 A.若Ia+1b1=Ia+b1,则a与b方向相同 B.若1a|+Ib|=Ia-b1,则a与b方向相反 C.若Ia|+Ib1=Ia-b1,则a与b有相等的模 D.若1Ial-Ib11=Ia-b1,则a与b方向相同 题组2向量的减法运算 8.*(2025·河南周口高一期中)若10A1=8, 3.·若0，E,F是不共线的任意三点，则以下 1OB1=5,则1AB1的取值范围是 各式中成立的是 ( 题组4向量加减运算的实际应用 A.E家=0示+0尼 B.E示=0示-0尼 9.*设a表示“向东走6km”,b表示“向南走 C.E=-0+0龙 D.E家=-0京-0E 6km”,则b-a所表示的意义为 () 4.*(多选)(2025·山东菏泽高一月考)下列 A.向东南走6√2kmB.向东南走3√6km 结论恒为零向量的是 ( A.AB-(BC+CA) B.AB-AC+BD-CD C.向西南走62kmD.向西南走3√6km C.OA-OD+AD D.NO+OP+MN-MP 10.*已知平面内作用于点0的三个力f1,f2, 5.*(2025·江西南昌高一期中)如图，向量 f3,且它们的合力为0，则三个力的分布图可 AB=4,AC=b,CD=c,则向量BD可以表示为 能是 A.a+b-c B.a-b+c C.b-a+c D.b-a-c 第六章黑白题003 黑题 应用提优 限时：30min 1.*下列等式错误的是 )7.籍(2024·陕西西安高一月考)已知非零向 A.a+0=0+a=a 量a,b满足Ia1=1b1=Ia-b1,则 B.AB+BC+AC=0 la-bl C.AB+BA=0 |a+b1 D.C+A元=M+NP+Pd 8.**在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点 2.*(2025·安徽六安高一月考)在四边 0,且1AB1=1AD1=1,0A+0元=0B+0D=0, 形ABCD中，已知AB=-CD,1AD-AB1=1AD1, ca∠DMB=求1Dc+BC1和1C而+BCL ∠ABD=60°，则四边形ABCD一定是（ A.等腰梯形 B.正方形 C.矩形 D.菱形 3.*(多选)设a=(AB+CD)+(BC+DA),b是 一个非零向量，则下列结论正确的有( A.a∥b B.a+b=a C.a+b=b D.la+bl<lal+lbl 4.如图，中心为0的正八边形A1A2…AAg 中，a=A41(i=1,2,…,7),b=04j=1,2,…, 压轴挑战川 8),则a2+a3+b2+b5+b,= 禁(1)如图，0为△ABC的外心，H为△ABC A.as 内一点，且0i=0A+0B+0元.求证：H是 B.b3+b6 C.bo △ABC的垂心.（提示：O4+O店=0i-O元=C D.bo-b3 (2)若H为△ABC所在平面内任一点，其余条 5.**(2025·江苏南通高一月考)设向量a,b 件不变，（1)中的结论还成立吗？ 满足1a+b1=1a-b1=2,则以1al,Ib1,Ia-b1 为边长的三角形面积最大值为 A.1 B.2 C.3 D.4 6.**人A教材变式（2025·黑龙江齐齐哈尔高 一月考)某人在静水中游泳，速度为43km/h. 若此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的 流速为4km/h,则此人实际沿与水流方向成 (填孤度数)的方向前进，速度为 km/h. 必修第二册·RJ黑白题004正文参 第六章 平面 6.1平面向量的概念 6.1.1向量的实际背景与概念+ 6.1.2向量的几何表示+ 6.1.3相等向量与共线向量 白题 基础过关 1.C解析：由题意可知，时间、体积、密度都是数量，而重力是向量 四易错提醒 向量由大小与方向两个要素组成，向量的大小是代数特征，方向是 几何特征 2.C解析：对于A项，因为C⑦=-D心，所以1C1=1D心1，故A项正确； 对于B项，由单位向量的定义知，1e1l=le21=1,故B项正确； 对于C项，由于向量不能比较大小，故C项错误： 对于D项，因为非零向量可以自由平行移动，故D项正确 3.圆解析：因为1OA1=2,所以点A在以点0为圆心、2为半径的圆 上，故A点构成的图形是圆 4.8解析：马在A处有两条路可走，在B处有八条路可走.如图，以点B 为起点作向量，共有8个。 5.C解析：对A,由Ial=Ib1,不能得到a,b方向相同，所以a=b未必 成立，故A错误； 对B:零向量的方向是任意的，故B错误； 对C:根据相等向量的概念，C正确； 对D:共线向量是指方向相同或相反的向量，故D错误 6.B解析：E,F,D分别是边AC,AB,BC的中点，EF=2BC,BD= DC=之BC,又AB,BC,AC的长度均不相等，与向量成相等的向量 有D成，C,共2个 7.6解析：根据题意，可得所有共线非零向量有A,A心，B,B武，C, C,共有6个. 8.解：(1)如图，A店，B武，C即为所求 (2)如图，作向量DA,由题意可知，四边形ABCD是平行四边形， 1D1=1B武=10013m NB 210)1 黑题应用提优 1.A解析：对于A,摩擦力和重力都既有大小，也有方向，所以摩擦力 重力都是向量，A正确； 对于B,x轴、y轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 参考答案 考答案 向量及其应用 对于C,温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误： 对于D,身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误 2.BD解析：A选项，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等 但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，所以A错误； B选项，因为AB与B武共线，且有公共点B,所以A,B,C三点在同一条 直线上，所以B正确； C选项，当a∥b且方向相反时，即使Ia|=1bl,也不能得到a=b,所 以|a|=Ib1且a∥b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件，所 以C错误； D选项，A,B,C,D是不共线的四点，A=D心，即模相等且方向相同， 即四边形ABCD对边平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形， 反之也成立，所以D正确 四易错提醒 两个向量共线或平行，是指表示这两个向量的有向线段所在的直线 重合或平行. 3.B解析：由题意可知，AB与AC不共线，A错：因为D,E分别是AB,AC 的中点，所以DE∥BC,故D与CB共线，B对；因为CD与AE不平行， 所以C与A花不相等，C错；因为A市=D店=-B励，所以D错。 4.A解析：因为1O1=1O1=10元1，即点0到A,B,C三点的距离相 等，所以点0是△ABC的外心 5.D解析：由Ad=0元，B=0i,1A心1=1B1,知四边形ABCD的对角 线相互平分且相等，所以四边形ABCD为矩形故选D 6.A解析：如图，连接AC,由1OC1=1OB1,得∠ABC=∠0CB=30°.因 为C为半圆上的点，所以LACB=90°，所以衣=子=1 30 0 7.①②③解析：与A成相等的向量需要方向相同，模相等，只有D心，故 ①正确： 根据菱形的性质结合∠DAB=120°，可知对角线AC与菱形的边长相 等，故与A的模相等的向量有B,A,D,D心，C,B武，C成，A亡，C,共 9个向量，故②正确； 易得B0=3C0,BD=3AC=3AD.B的模恰为Di模的3倍 故③正确： 向量B动与0成的方向是相反的，是平行向量，故④不正确 8.证明：因为A=D元，所以1A1=1D心1且AB∥CD,所以四边形ABCD 是平行四边形.所以IDAI=ICB1且DA∥CB.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形，所以1Ci1=Ni1,所以1M正1=ID1,DN∥MB,即D 与M的模相等且方向相同，所以D成=M成. 6.2平面向量的运算 6.2.1向量的加法运算+6.2.2向量的减法运算 白题 基础过关 1.ABD解析：对于A,B+Ai+D元=B+D元=B武：对于B,B励+DA+A元= BA+A元=B武；对于C,A成+Bi+D元=A+D元=A亡；对于D,D元+B+Ai= Bi+Ad+Dt=B励+D元=B 2.2解析：如图，AB+F配+C=A店+B元+C=A,因为正六边形 黑白题001 ABCDEF是由6个全等的等边三角形构成，所以A1=2,所以AB+ FE+CDI=IADI=2. 3.B解析：E亦=Ed+O市=Ed-Fi=0市-0成 4.BCD解析：对于A,A店-(B元+C)=A店-B=2A店，A错； 对于B,A成-A花+B励-C=C成+B励+D元=C+B武=0，B正确； 对于C,O-0i+心=Di+Ad=0,C正确； 对于D,Nd+0币+M-M=+P或=0，D正确. 5.C解析：由题图可知，Bd=B元+Ci=A元-A成+Ci=b-a+c.故选C. 6.D解析：如图，以AB,BC为邻边作菱形 D ABCD,则A成-B武=-(BA+B武)=-Bd=D成，由 图形可知，IDBI的长度等于等边△ABC的 边AC上的高的2倍，即1D成1= 22(仔因此威 7.ABD解析：根据平面向量的平行四边形或三角形法则，当a与b不 共线时，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 有1Ial-1b1I<|a±b1<lal+1bl. 当a与b同向时有1al+Ibl=Ia+b1,Ilal-|b11=1a-b1,反之也成 立；当a与b反向时有lal+lb1=a-b1,反之也成立. 四方法总结 向量的三角不等式：川al-1b11≤Ia±b1≤Ial+1b1,当且仅当向量共 线时取等号， 8.[3,13]解析：A店=0i-0i,当0i,0同向共线时，1A1=1Oi1- 01=3:当0A,0反向共线时，1AB1=10A1+101=13;当0A,0不 共线时，由110A1-101<10成-O1<10i1+101,可得3<1AB1<13. 综上可得3≤1AB1≤13. 9.C解析：如图，分别作出0i=a,0成=b,则利用向 0 a 量的减法可得b-a=A点易知△OAB为等腰直角三b 角形，故L0AB=45°，且1A1=62,于是b-a所表 b-a 示的意义为向西南走62km, 10.D解析：由题意易知f1+圹2=-f3,所以方1与2的 合力与3方向相反，长度相等，则由平行四边形法则可知，只有 D项满足. 四方法总结 利用向量加、减法解决实际应用问题的主要步骤： (1)由题意作出相对应的几何图形，构造有关向量； (2)利用三角形法则和平行四边形法则对向量的加、减法进行运算； (3)构造三角形（一般是直角三角形），利用三角形的边、角关系解题. 黑题 应用提优 1.B解析：对于选项A,由向量加法的运算律可知选项A正确； 对于选项B,因为AB+B武+A元=A元+A元=2A元，所以选项B错误； 对于选项C,因为A+B=A店-A店=0，所以选项C正确； 对于选项D,因为Ci+A心=-A元+A花=0，M+N+PM=M+PM=0,所 以C+A元=M++Pi,故选项D正确. 2.D解析：因为A店=-C⑦，即A店=D元，所以四边形ABCD是平行四 边形. 因为1A⑦-AB1=1B1=1Ad1,LABD=60°，所以△ABD是等边三角 必修第二册·RJ 形，则IAB1=|A⑦1，所以四边形ABCD是菱形. 3.AC解析：由题意，向量a=(A店+C)+(BC+Di)=Ai+Di=0,且b 是一个非零向量，所以a∥b成立，所以A正确；由a+b=b,所以B 不正确，C正确：由1a+b1=1b1,1a|+1b1=1b1,所以|a+b1=Ial+ 1b1,所以D不正确 4.C解析：由题图可知，a2+a5+b2+b+b,=A2A)+A5A6+0A,+0A+ 0M,=(0A2+A2A3)+(0A+A46)+0A =0A3+0A+0A,=0A+0A。-0A=0A。=b6故选C. 5.A解析：根据平行四边形法则可知，Ia+b1,1a-b1是平行四边形的 对角线长，依题意，la+b1=la-b1=2,则平行四边形为矩形，所以以 1al,Ibl,1a-b1为边长的三角形为直角三角形，且斜边长为1a- b1=2,设两直角边长为m,n,则m2+n2=4,则三角形面积S= 2mns xn=1,当且仅当m=n=2时等号成立，则以Ial,b1,a-b1 2 为边长的三角形面积最大值为1. 6.于8解析：如图，将此人的游泳速度与水的流速 平移至共同起点，作出其和速度”，由此人的游泳速度 为4w3km/h,水的流速为4km/h,可得此人实际速度为 V(43+4=8(kmM),且与水流方向成号 .解析：如图，当1a1=1b1=1a-61时， 3 △ABC为等边三角形，则Ia+b1为线段AD的 长度所8m0 放指案为 3 8.解：因为0+0元=0+0i=0,所以0i=-0元， O=-O品，即四边形ABCD为平行四边形.又因 为1AB1=1A1=1,所以四边形ABCD为菱形， 如图所示，因为cas∠DAB=子，0<∠DAB<m, 所以∠DAB=号，所以△MBD为等边三角形，所以11= 2,所以 IDC+BCI=IAD+DCI=IACI=21A01=3.ICD+BCI=ICD-CBI= 1BD1=1. 压轴挑战 (1)证明：因为0为△ABC的外心，H为△ABC内一点，且Oi=Oi+Oi+ 0元，所以0A+0B=0i-0元=Ci. 作平行四边形OADB,则Oi+O=Oi,又1OA1=1OB1,则平行四边形 OADB是菱形，所以OD⊥AB. 因为C=O,所以CH∥0D,故CH⊥AB, 同理可得BH⊥AC,AH⊥BC,所以H是三条高的交点，即H是△ABC的 垂心. (2)解：成立.因为向量的运算法则不会因为H在△ABC外侧而发生改 变，所以只要满足题干中的条件，仍然能按照(1)中的推导证明Ⅱ是 △ABC的垂心. 6.2.3向量的数乘运算 白题 基础过关 1.C解析：由于入≠0，所以入2>0，因此a与入2a的方向相同.故选C. 2.AB解析：对于A,根据数乘向量的原则可得m(a-b)=ma-mb, 故A正确；对于B,根据数乘向量的原则可得(m-n)a=ma-na,故 B正确；对于C,由ma=mb可得m(a-b)=0,当m=0时也成立，所以 不能推出a=b,故C错误；对于D,由ma=na可得(m-n)a=0,当a= 0时命题也成立，所以不能推出m=n,故D错误故选AB. 3.AB解析：由题图可得P,Q两点把线段B三等分，故市-}应。 黑白题002