6.1-6.2 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.1-6.2 阶段综合 本 黑题 阶段强化 限时：45min 1.已知A,B,C,D是平面中四个不同的点，5.*(2025·四川绵阳南山中学高一月考)已 则“A=入AC-BD(A>1)”是“A,C,D三点共 线”的 知1m1==1,当x=经时，1m+a1(xeRy A.充分不必要条件 有最小值，则m在n上的投影向量为() B.必要不充分条件 A.③ B. 2 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C、3 D.、3 2 2.*如图所示，四边形ABCD,CEFG,CGHD是6.*（多选）(2025·江苏镇江高一月考)如 全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是 图，在平面四边形ABCD中，已知AD=3,BC= 4,E,F为AB,CD的中点，P,Q为对角线AC, BD的中点，下列选项中正确的是 A.IABI=IEFI B.AB与F共线 C.BD与EH共线 D.CD=FC A风-d 3.*(2025·江苏徐州高一期中)如图，在 △ABC中，D是BC的中点，E在边AB上， 取成脉- BE=2EA,AB=√3，AC=1,AD与CE交于点0， C.直线EF一定过PQ的中点 AB.A元=tAd.EC,则实数t的值为( D.PF2+FO2+0E2+EP2=PO2+EF 7.*(2025·湖北随州高一月考)两个半径分 别为r1,12的⊙M,⊙N,公共弦AB的长为3， 如图所示，则A·AB+A·A店= A.3 B.4 C.5 D.6 4.*(多选)(2025·浙江温州高一月考)已知 向量a,b,c都是单位向量，a-b-√2c=0,则 8.**(2025·山东泰安高一月考)已知平面向 ( 量a,ac均为非零向量，ab=ac=c, A.Ia-bl=√2 B.Ia+bl=√3 且Ia+c+2bI=kIa1,k∈R,则k的最小 C.Ia+b+cl=√3 D.a+b-c与b共线 值为 第六章黑白题011 9.整如图，△AB,C1,△B,B2C2,△B2B,C3是三11.#(2025·福建宁德高一期中)如图，设等 个边长为1的等边三角形，且有一条边在同一 边△ABC的边长为1，O为△ABC的中心， 直线上，边B,C?上有5个不同的点P1,P2, P1,P2为BC边上的三等分点，Q1,Q2为CA P3,P4,P,设m,=AC·AP(i=1,2,…,5), 边上的三等分点，L1,L2为AB边上的三等 则m1+m2+…+m= 分点。 (1)求10P+0P21. (2)设f(i,》=0C.CP+0d.C0(其中i= 1,2:j=1,2),求f(i,)的最大值， 10.**(2025·广东广州高一月考)如图，在梯 (3)设g(i,j,k)=0P:·0见+00·0L+ 形ABCD中，AB=2DC,A正=E店，1B元=3，P 0L·0P.(其中i=1,2:=1,2;k=1,2), 为梯形ABCD所在平面上一点，且满足 求g(i,j,k)的最大值. 4DP=PA+PB,DA.CB=1DA1·1DP1,Q为 边AD上的一个动点. (1)求证：2D示=P元； (2)求1P1的最小值. 压轴挑战 整(2025·山东潍坊高三月考)已知同一平 面内的单位向量e1,e2,e3,则(e1-e2)·e3的最 小值是 ;若e1+e2与e3不共线，le1+e2+ e31=1,x,y,zER,xe+ye2+ze3=0,x+ yt=2025,则2+y+x x+y x+z y+z 必修第二册·RJ黑白题012压轴挑战 D解析：设Bi=AB武，则1A店+AB武1mn=IAB+Bm=lAmn=2,即 当AH⊥BC时，AH=2. 又AB=AC=22,则BC=4,所以AB2+AC2=BC2,故△ABC为等腰直角 三角形. 由Ad=sin2a,A店+cos2a·A元=(1-cos2a).A+cos2a·A元，则Ad- A店=cos2a·(Ad-A),即B=cos2a.B元，所以P,B,C三点共线 又ae[g],则sae[片 子]若D,B为BC的两个四等分点，N 为BC中点，如图所示，则P在线段DE上B一 运动，且AN=2,BD=1,BE=3,若MP⊥ BC,则MP/AN,又=应，此时BP子BN=子e1,3,故上述 4 情况1=子AN=手，易知M证=VD+(E-BP √否由图可知：P与E重合时，耐妮综 上，耐的取值范假为[专，] 6.2.4向量的数量积 白题 基础过关 1.D解析：因为ml=4,a1=6,m与n的夹角为，则mn=46× （3)-12 2.CD解析：对于A,由向量的运算法则，得A正确；对于B,向量数量 积满足分配律，B正确；对于C,由a·b=a·c,得a·(b-c)=0,又 a≠0，则当a1(b-c)或b=c时，满足题设，C错误；对于D,(a· b)·c是与c共线的向量，a·(b·c)是与a共线的向量，等号不一 定成立，D错误 3.-8解析：b·(3a+b)=3a·b+b2=3×4x4×cos120°+42=-8. 4.D解标：因为1al=23b1,《a,b)=石，所以a在b上的投影向量 为a1mna,)合8ma,-25=誓b=-h 5.A解析：由题意可得向量b在a上的投影向量为“·=-2a, 所以2=-2，又向量a为单位向量，所以a·b=一2 6.子解折：设与6方向相同的单位向量为e,则e=总则a在6 4 方向上的投影商量为1aom能-（日）治费子点 7.B解析：12a+3b1=√(2a+3b)7=√4a2+9b2+12a·b= √449x16+12x2x4(2)-47. 8.√7解析：因为a,b为单位向量，则1a+b12=a2+b2+2a·b=2+2a· 1 b=1,所以a·b=-2,所以12a-b1=(2a-b= V4@-4a6*6-4-4）1=7 9.B解析：因为13a-5b1=7,所以(3a-5b)2=49,所以9a2-30a· +25=9又因为a,b为单位向量，所以ab=分所以m(a, )=子又因为0≤a,o)≤，所以(a,b)= 10.B解析：因为1a1=2,1b1=√3，且a·b=1,所以1b-a1= 必修第二册·RJ √(b-a)7=√62+a2-2a·b=√3+4-2=5， 设指量与的夹角为我划96-简 3-12√15 √/1515 1.2 解析：由lal=2,e为单位向量，且向量a在e上的投影向量 ie2·e=-2e,可得a·e=-2, 为-2e,可得4·e. 所以a与6的夹角余弦值为oaa6-i-号周为ae砂e [o,1,所以a,e)= 12.D解析：因为a与b是单位向量，且a⊥b,所以a·b=0,所以(a+ b)·b=a·b+b·b=0+1=1. 13.D解析：由已知可得a·b=Ia·1b1·cos60°=1×1× 11 2-2 A:因为(a+2b)·b=ab+2b2=1 2x1:0,所以本选项不符 合题意； :b=2a·b+b2=2×号+1=2≠0，成 合题意； Cc:因为a-20)bab-2冰号-2x1- 2≠0，所以本选项不 符合题意； D:因为(2a-b)·b=2a:0-62=2x号1=0，所以本选项符合题意 14.B解析：设a与b的夹角是a,:(a-2b)⊥a,.(a-2b)·a=0,即 1a12-2a·b=0①. 又，(b-2a)⊥b,.(b-2a)·b=0,即1b12-2a·b=0②. 由02知la1=1b1,ab=子1a12=子b13,csa .a·b 2 lallbl a2=2,所以a与b的夹角为3 15.子解折：因为a1b6,且616=子e=1e=1,所以a (2e1+e2)(Ae1-e2)=0,即2Ale112-2e1·e2+e1·e2-le2I2=0,所 以2-2xx1=0,解得A-子 4 16.A解析：由B.B武=A店.A心，得AB·(A花+B武)=0，取AB中点M, 因为威=子d+a动，则2a=0,即AB1c,所以△ABc是 等腰三角形. 17.D解析：如图，由题意可知△ABC为直角三角形，∠ACB= 90°，4C=25,根据向量数量积的几何意义可得A花.A正=A衣=12. D 78.8或-8解析：由题可知，LBAD=3或兮若LBMD=,则A. A市=1A11Ad1 cos LBAD=4×4×2 8：若∠D,则应· -a2B0=x(号）-& 19.(1)证明：因为A应+B成=0，所以A应=-B配，所以AE=EB,所以C成= c+应=-+2应 因为点F为边BC上靠近点B的三等分点，所以2BF=FC,所以 黑白题004 市-+成=成+(a心)=}花+子应 因为LBAC=90°，AB=AC=1,所以A店·A花=0，所以C应.A市= ()·(号花+子脑）号衣就.+ 子=0，所以d正1位，即CB⊥A (2)解：由题意可得成·成=（号花子）·（成-）： 号衣号戒.+号子 1号花+子=√兮号应 )+号+。花店=，c=aC=2,所 以cosLAFC= .戒3而 IFAIIBCI 5x2 10 3 重难聚焦 20.B解析：由单位向量a,b的夹角为号，可得ab=0,1a=1b1=1 若向量2a+b与向量3a-kb的夹角为锐角，则(2a+b)·(3a- kb)>0且向量2a+kb与向量3a-kb不共线. 由(2a+kb)·(3a-kb)=6a2-2ka·b+3ka·b-k2b2=6-k2>0, 得-√<k<√6； 由向量2a+b与向量3a-b不共线，得-2k≠3k,即k≠0.所以由向 量2a+kb与向量3a-b的夹角为锐角，得-√6<k<√6且k≠0.易知 当-√6<k<√6时，向量2a+kb与向量3a-kb的夹角大于等于0°且小 于90°. 综上可得“向量2a+b与向量3a-仙的夹角为锐角”是“-√6<k< √石”的充分不必要条件 21.(-20,-2w5)U(-2W5,-1)解析：若入e1+5e2和4e1+入e2的夹角 为纯角，则(Ae1+5e2)·(4e1+e2)<0,且不平行，所以(Ae1+ 5e2)·(4e1+e2)=16M+5入+(A2+20)e1·e2=21A+(A2+20)<0, 解得-20<入<-1， 若向量46+5：和4，+h,平行，则分三，得A=25综上可 知，A的取值范围为(-20，-2W5)U(-2W5,-1). 黑题应用提优 1.A解析：因为单位向量a,b满足1a+2b1=-25a·b,所以 {a12t41b12+4a·b=12(ab)2,即2(a:b)2-4a·h-5=0解 la·b<0, (a·b<0, 得a~b=-分，因此a4b1=√1@+10+2a6=v2*2a-6-l 2.B解析：因为B动=入B武，0<A<1,所以Di=B-B=B成-AB武，D元= B元-Bi=B元-ABC=(1-A)B元 又因为E为AG的中点，所以成=+证=成+花-成+号（心 i=(D心+i-+(1-2A)d 又因为△ABC是边长为4的等边三角形， 所以耐.成-1号=4x4x=8,醉=2=4x4 16,B衣=B2=4×4=16.则D·D成=(Bi-AB元)· 威+(1-2)B庇+(1-3A)B·Bd-A(1-2A)B恋_ 2 2 参考答案 16+8(1-3A)-16A(1-2λ=16A2-20A+12. 2 又因为.7店=6,0<A<1,所以1612-20M+12=6,解得A=之或 3 λ4 3.ACD解析：对于A,e1-e,l=V+吃-2e1e=√1+1-2x2 1,故A正确， 对于B,cos(e1,e1-e2)= 〉1分 lelle-e2I 1x1 (e1,e1-e》e[0,m,〈e1,62》=号，放B错误； 对于C,e,在e上的投影向量的模为1e1os(e1,e,)=e 子，故C正确： 对于D,a在上的提影向基为音2%故D正晚 4.D解析：因为点Q与点P关于点B对称，D 所以P=2P市，则P·P=2P.P戒如图， 取AB的中点0，连接P0,则P=P⑦+Oi, P成=Pi+0成=Pi-Oi,则Pi.P形=(P而+ 0i)·(Pi-0=P-0=P-4. 当点P与点C或点D重合时，1P⑦1取得最大值22，则P-4≤4， 从而P.P的最大值为8. 5.D解析：因为a与b均为单位向量，其夹角为0，由1a+bI>1,可得 （a4b31,所a2+2a:b+b1,所以a·b>号，所以om号 由1a-b1>1,可得(a-b)2>1,所以a2-2ab+b2>1,所以a·b<2, 所以mc所以m6c}又0≤9≤，所以写<c所 以0的取值范服是（行，2号）】 6.AB解析：对于A,IAi1=1A花+C1≤1A花1+ 1C⑦1=10，当且仅当A,C,D三点共线时取等 号，A正确； 对于B,过C作CE⊥AB于E,交⊙C于F,G,如 图，则E是AB中点，AE=3,CE=4,A花·AB= |A应A1=18,B正确； B G 对于C,当AB·A⑦=18时，1A11A1·cosLDAB=18,解得A⑦1· cos∠DAB=3,由选项B知，1A1cos∠DAB=A正，此时点D与F,G 之一重合， 当点D与F重合时，EP=9,A0=3V⑩，LDAB=300,当点D与 G重合时，EG=1,AD=而，sin DAB=0,C错误 对于D,A花.A市=A花.(A元+C)=A店.A花+.C=18+A店.C≤ 18+1A1C1=48,当且仅当C与A同向共线时取等号，D错误. 7.B解析：取BC的中点D,DC的中点E,连接 P PoD,AE,如图所示，则Po方·Po元=(Po方+ Di)·(P。i+D元)=(Poi+D)·(Pi-BD它C D)=P-D,同理P店.P元=P-D,因为P店.P元≥P店， P。元，所以P-D≥P。-D,即P≥P。,所以对于AB边上 黑白题005 任意-点P春有ò≥1，因此DLAB又-号应，D为 C中点.E为c中点，所以治器子所以ADA.审 ∠BAE=90°，所以∠BAC>90°，即△ABC为钝角三角形.又AB与AC 的大小无法确定，所以无法判断△ABC是否为等腰三角形. 8.A解析：设a,b的夹角为0(0<0<π).1a+(1-m)b1取得最小值 Ia|sin(可通过几何意义理解，la+(1-m)b1的最小值就是a在垂直 于b方向上的授影长度)，已知1a+(1-m)b1的最小值为5 ,所以 1an0=夏同理，nm*bl取得最小值b1血6，已知na+b的最小 值为5，所以1b1sin0=√3. 由向量数量积公式a·b=lallb1cos0=-1. 将1a1a血0=与b1s如0=写相案可得1a161smg-厅-号 2 、将1al山h1cos0=-1与1a11b1sim20=2相除可得cC0-2,即 1-c0s203 cos 0 2 设ce0=t,则=-3整理得22P=-36,即2P-3-2=0.因式分 解得(2+1)(：-2)=0，解得：=号或：=2（含去）. 因为cm0=子，且0<0cm,所以0=2 -解析：由题图知A应=A+成，A市=A应+B成，A市.A正+A花.A A店.(A成+B配)+A花.(A成+B=A+A店.B配+A花.A店+A花.B= 7,又(A花-A)2=A衣-2A元.A+A=B衣=9，且CM=3,AB=2, .A花.A=2,.A店·B+A花.B市=1，而AB.B成=A店.(-B),即 成.（成=成.成1，又F=2,cB=3, s成，d=分 10.5-2解析：1M1-1M1≤1M-M成1=D B=√5，当点M与点B重合时等号成立； 如图所示，取AB中点Q,连接PQ,取PQ的中 点为N,连接MN,则M壶.Md=(M+N)· (M+Nd)=1M12-1P12. 又因为点M为正方形ABCD内部（包括边界） Q 一动点，所以M.(M+M)=2M.M=2(1M2-1P12)= 2(1M12-1)≥-2， 当点M与点N重合时，取得最小值-2. 11.解：(1)1a-b1=1→(a-b)2=1→a2+b2-2a·b=1→a2+b2-2|al· b12-1→1a1241612-1a1b1=1,因为a12+1b12≥21a 1bl,所以1+|al·Ib1≥21al·Ib1→la·Ib1≤1， 而a:b=1a1,bl·分≤子，所以a:b的最大值为分 (2)(a-b)(a+2b)=a2+ab-2b2=a2+al;1b1-262, 2 设1al=m,1b1=n,由(1)可知1a12+1b12-|al·1b1=1,即m2+ n2-mn=1,显然m≠0，n≠0，因此(a-b)·(a+2b)=m2+-2n2= 2 \2m-2 m受2（只）+ m2+n2-mn 必修第二册·RJ o心 2+-2 -=1+ -2 n t2-t+1 1(t-2)2+3(t-2)+3 3 3 26 设-2=(k-2),则1+2+3+3 =1+ 2一，因此要想(a-b)· ++3 (a+2b)有最大值，一定有k>0, 因为9323=25+3（多且收台=2时取号子。 k 3 2≤1+ 3x1 即k=√3时取等号，所以1+33/ =-因 k+ 23+2 k 此(a-b)·(a+2b)的最大值为5-7 12解：(1)如图，由题意知，成--破办-应，成-+感 }d (2)若1G,则.成=-0，所以（兮市}应）·（兮动 宁)a国号号离部号 AB 2 AD3 (3)设LBAD=,6∈(0，T), 因为成，成}市}++兮动：号动所以3（成 E武)·B+1A花1=2A市.(Ai-A)+√（AB+A)2=2(A市-Ad, A)+√A2+2AB.A+A=2(1A市12-1A市11A店1c0s0)+ √B12+21AB11A1cos0+1Ad12=2(1-cos0)+V2+2cos0-2× 2r29+√2x2a2号=4(1-w2号）+2as号 令m号-，则3(+商，+d=-4+2+4,e(0.). 因为244(）》厂e(0.可箱-24。 (,￥] 所以3(E承+E武)·B励+1A花的取值范围是 (2.] 压轴挑战 1 22 解析：如图，取AI的中点O,连接E1,EO,由正九边形为轴对称 图形，得EI=EA,E0⊥AI, 因此证.=(4d+0)·=A0.i+0成.i=2×1+0=2. 正九边形每个内角的弧度数为写任意一个内角的外角为西，（应， 商-gd,-gd,-gd. 黑白题006 3π2π-π 999 因此2=A正.i=(A花+B武+C+D成)·=A店.i+B元.+C.+ Dx2cm222x2co 0 6.1-6.2阶段综合 黑题阶段强化 1,A解析：因为A成=AA花-B励，所以A成+B励=A=AA花.又>1，A,A心 有公共点，所以A,C,D三点共线，所以充分性成立；若A,C,D三点共 线，则存在实数k≠0使得A市=kA心，即A店=kA心-Bi,当k≤1时明显 不满足A>1,所以必要性不成立.即“A店=入A心-B(A>1)”是“A,C, D三点共线”的充分不必要条件 2.C解析：四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形，LDCG+ ∠GCE=180°，即D,C,E三点共线，AB=EF,CD=FG,AB∥DC∥ HF,即1A=1E,C=F元，A与F供线，ABD正确； 对于C,若Bi与E共线，则必有∠BDC=∠HED,即∠CCE= 2∠BDC=2∠HED,该条件不一定成立，如∠GCE=90°时，∠HED≠ 45°，故Bi与E共线不一定成立，故选C. 3D解析：由已知得市=号(+恋)=子(3应+花)=之应 }花设动-A动，所以证花，又C0,E三点共线，所 以品=1，解得A=2,所以市=子*花-子×}+ 成-成又成-威+花-衣-}应，AB=月，4c=1,所 以d.成=（任脑：4花）·（成）4衣+名应 花迹=名应.花名.花则感花=6动 E元，故t=6. 4.AC解析：对于A选项，向量a,b,c都是单位向量，a-b-√2c=0,则 a-b=√2c,所以1a-b1=21cl=√2，A对； 对于B选项，在等式1a-b1=√21c1两边平方可得a2-2a·b+b2= 2c2,即2-2a·b=2,则a·b=0,则a1b,所以1a+b12=a2+2a·b+ b2=2,故1a+b1=2,B错； 对FC选现图为ar=0则：-经。子所以a=(）小 ae+(）b.所以1ae=(受)a+(-经）b° (+)）ca…+(-2)6=()）+(-）°=3， 故1a+b+cl=3,C对； 对于D选项abe=ab-(停。空）-()+（经）b, 若a+6e与b共线，则存在AeR,使得a+b-c=Ab,即(1-受） 参考答案 a+(1号）b=b,可得a=[(2A-(3+221b,即a/B,这与 a⊥b矛盾，假设不成立，D错. 5.C解析：由题意得，1ml=1n1=1,Im+xn1=√(m+xn)了= /x2+2xm·n+1=√/(x+m·n)2+1-(m·n)2, 4m·ns 当=m·n时，有最小值，即-m·n=5 4,则m在n 上的投影向量为m:m. 4n. 6.ACD解析：如图，连接EP,FP,EQ,FQ,因为E,F,P,Q分别为AB, CD,AC,BD的中点，所以FP∥AD∥EQ,EP∥BC∥FQ,FP=EQ= AD,P=FQ=BC,则四边形POE是平行四边形，即直线BF 1 一定过PQ的中点，故C正确； 侧成-+成：之（市+=子（花+动+店-花）=之（店- D心)，则A选项正确： 成-成+成子（市-），则成，成（市+）·（市-） (动-)=子×(32-4)=子则B选项结误： D.P戒=P克+E或，E亦=E+E或，则P+E中=(P克+E或)2+(E+E)2= 2P记+2E=PF2+FQ2+QE2+EP2,故D正确. (第6题) (第7题) 7.9解析：如图，取AB的中点T,连接MT,NT,由圆的性质，得 MT⊥AB,NT⊥AB.AB为两个圆的公共弦，从而圆心M,N在弦AB上 的投影为AB的中点，进而AM,A在A店上的投影向量的模能够确定， 所以由向最的投影定义可得.店：·=之=号， 成子号成..9 8子解折：因为平面向最a,be均为事零向量，a6=ac=, 且la+c+2bl=klal,所以kIal2=la+c+2b1la|≥la·a+c·a+2b· a=子a2,即≥子，所以k的最小值为子 9.5解析：因为△AB,C1,△B1B,C2,△B,B,C是三个边长为1的等 边三角形，所以△AB1C2为等腰三角形，∠AB1C2=120°，∠AB,C3= 60°，所以∠C2AB3=30°，AC2=√3， 延长AC2,B3C3交于点D,如图所示，易知LD=90°， C B 所以AC2⊥BC,故AC2·BC=0,所以m:=AC·AP.=AC·(AB+ a)=G瓜+G·瓜=5x3xm刘+0=号，所以m+ 黑白题007