第五单元 整理与提高（知识清单）数学沪教版四年级下册

第五单元 整理与提高 单元知识清单讲义 知识点一：解决问题（二） 1、“增加几倍”和“增加到几倍”： （1）增加n倍：表示原数的（n＋1）倍； （2）增加到n倍：表示原数的n倍。 2、“增加到几倍多几（少几）”和“增加了几倍多几（少几）”： 增加到几倍多几（少几），就是比原数的几倍多几（少几）； 增加了几倍多几（少几），就是比原数的（几＋1）倍多几（少几）。 3、可以通过画树状算图和列表法解决实际问题 知识点二：小数与近似数 1. 四舍五入法：看被省略尾数的最高位，小于5舍去，≥5向前一位进1； 2. 去尾法：无论尾数最高位数字是几，直接舍去所有尾数（适用于包装、裁剪等取整需求）； 3. 进一法：无论尾数最高位数字是几，舍去尾数并向前一位进1（适用于装油、运货等取整需求）； 4. 近似数注意点：小数部分末尾的0不能去掉（表示精确程度）；精确数位越低，近似数的精确程度越高，原数取值范围越小； 5. 实际应用：人民币兑换先计算精确值，再根据实际情况选取近似方法。 知识点三：垂直与平行 1. 前提：同一平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种； 2. 平行线：同一平面内不相交的两条直线，互相平行；符号：，记作，读作a平行于b； 3. 垂直：两条直线相交成直角，则互相垂直；其中一条是另一条的垂线，交点为垂足；符号：，记作，读作a垂直于b。 知识点四：数学广场：用多功能三角尺画垂线与平行线 1.多功能三角尺可以画直线、线段，量角度，按要求画角，画垂线，画平行线。三角尺的蓝线刻度表示长度，单位“mm”；黑线刻度表示长度，单位“cm”；红线刻度表示角度，单位“度”。 2.在多功能三角尺上可以找到多组互相垂直和互相平行的刻度线。 知识点五：数学广场：四舍五入 五舍六入法：区别于四舍五入，看被省略尾数的最高位，尾数≤5直接舍去，尾数≥6向前一位进1；是近似数的另一种常用取法，适用于部分商业、统计场景。 知识点六：数学广场：计算比赛场次 1. 比赛规则：单循环赛（每2个队之间只赛1场）； 2. 解题方法：连线法、列表法（核心：全面有序，不重复、不遗漏）； 3. 计算公式：n个队单循环比赛，总场次 = 或 总场次 = 。 知识点七：数学广场：位置的表示方法 1. 有序整数对：用有顺序的两个整数表示（如（列，行）），两个数的顺序不同，表示的位置不同； 2. 核心作用：有序整数对可以确定平面中一个唯一的位置，反之，平面中一个确定的位置能对应唯一的有序整数对； 3. 表示规则：通常先写列数，再写行数，中间用逗号隔开，外加小括号。 考点一：解决问题（二） 【典型例题】： 1. 果园原有苹果树20棵，今年种植的数量增加了3倍，今年有苹果树多少棵？ 解题思路 先明确“增加了3倍”的含义，即今年数量是原有数量的（3+1）倍，再用原有棵数乘倍数得到今年棵数。 •第一步：计算今年棵数是原有棵数的倍数，3+1=4 •第二步：计算今年苹果树的棵数，20×4=80 规范作答： 20×(3+1) = 20×4 = 80（棵） 答：今年有苹果树80棵。 2. 商店原有牛奶50箱，补货后数量增加到4倍少8箱，现在有牛奶多少箱？ 解题思路 先计算原有数量的4倍，再减去8箱，得到现在的牛奶箱数。 •第一步：计算原有牛奶的4倍，50×4=200 •第二步：用结果减去8箱，200−8=192 规范作答： 50×4 - 8 = 200 - 8 = 192（箱） 答：现在有牛奶192箱。 3. 小明原有漫画书15本，生日收到的礼物让漫画书数量增加了2倍多3本，小明现在有多少本漫画书？ 解题思路 先明确“增加了2倍”是原有数量的（2+1）倍，计算出该结果后再加上3本，得到现在的漫画书本数。 •第一步：计算原有数量的（2+1）倍，15×(2+1)=45 •第二步：用结果加上3本，45+3=48 规范作答： 15×(2+1) + 3 = 15×3 + 3 = 45 + 3 = 48（本） 答：小明现在有48本漫画书。 考点二：小数与近似数 【典型例题】： 1. 用四舍五入法求近似数：3.568保留一位小数是多少？9.924精确到百分位是多少？ 解题思路 四舍五入法求近似数，保留一位小数看百分位数字，精确到百分位看千分位数字，大于等于5进1，小于5舍去。 •第一步：求3.568保留一位小数，百分位是6，进1，3.5+0.1=3.6 •第二步：求9.924精确到百分位，千分位是4，舍去，结果为9.92 规范作答： 3.568保留一位小数：看百分位6≥5，向十分位进1，3.568≈3.6 9.924精确到百分位：看千分位4<5，舍去千分位，9.924≈9.92 答：3.568保留一位小数是3.6，9.924精确到百分位是9.92。 2. 每个礼盒需要包装纸1.2平方米，现有8平方米包装纸，最多能包装几个礼盒？（用去尾法） 解题思路 去尾法是不管计算结果的小数部分是多少，都直接舍去，只取整数部分。先计算8里包含几个1.2，再用去尾法取整。 •第一步：计算8÷1.2≈6.66…… •第二步：用去尾法舍去小数部分，结果取6 规范作答： 8÷1.2≈6.66…… 根据去尾法，舍去小数部分，取整数6 答：最多能包装6个礼盒。 3. 每个油桶能装油4.5千克，要装30千克油，至少需要多少个油桶？（用进一法） 解题思路 进一法是不管计算结果的小数部分是多少，都向整数部分进1。先计算30里包含几个4.5，再用进一法取整。 •第一步：计算30÷4.5≈6.66…… •第二步：用进一法向整数部分进1，结果取7 规范作答： 30÷4.5≈6.66…… 根据进一法，向整数部分进1，取整数7 答：至少需要7个油桶。 考点三：垂直与平行 【典型例题】： 1. 判断（对的打√，错的打×）： （1）不相交的两条直线一定互相平行（）； （2）同一平面内，两条直线不是平行就是垂直（）； （3）如果直线a垂直于直线b，那么它们的交点是垂足（）。 解题思路 根据平行和垂直的定义判断，平行需满足同一平面内不相交，同一平面内两条直线的位置关系是平行或相交，垂直是相交的特殊情况；互相垂直的两条直线的交点为垂足。 •第一步：判断（1），缺少“同一平面内”前提，错误； •第二步：判断（2），同一平面内两条直线还有普通相交情况，并非只有平行和垂直，错误； •第三步：判断（3），符合垂直的垂足定义，正确。 规范作答： （1）×，理由：缺少“同一平面内”的前提，不同平面内的不相交直线不一定平行； （2）×，理由：同一平面内，两条直线的位置关系是平行或相交，垂直只是相交的一种特殊情况； （3）√，理由：互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。 2. 写出图中直线的位置关系： （1）黑板的上下两条边：（）； （2）长方形的长和宽：（）； （3）十字路口的两条道路：（）。 解题思路 根据生活实物的特征，结合平行、垂直的定义判断：永不相交的两条直线互相平行，相交成直角的两条直线互相垂直。 •第一步：判断黑板上下边，永不相交，互相平行； •第二步：判断长方形长和宽，相交成直角，互相垂直； •第三步：判断十字路口道路，相交成直角，互相垂直。 规范作答： （1）互相平行 （2）互相垂直 （3）互相垂直 3. 用符号表示：直线m和直线n互相平行（）；直线x和直线y互相垂直（）。 解题思路 根据数学符号规定，平行用“∥”表示，垂直用“⊥”表示，直接按规定书写即可。 •第一步：平行的符号表示，m∥n； •第二步：垂直的符号表示，x⊥y。 规范作答： m∥n；x⊥y 考点四：数学广场：用多功能三角尺画垂线与平行线 【典型例题】： 过点A分别画已知直线的平行线和垂线。 解题思路 利用多功能三角尺的直角边和斜边，结合平移的方法画平行线，利用直角边画垂线，分步骤操作保证线条规范。 •第一步：画垂线：将三角尺的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边靠紧点A，沿该直角边过点A画直线，即为已知直线的垂线，标上直角符号； •第二步：画平行线：将三角尺的一条斜边与已知直线重合，用直尺靠紧三角尺的一条直角边，固定直尺，沿直尺平移三角尺，使三角尺的斜边经过点A，沿该斜边过点A画直线，即为已知直线的平行线。 规范作答： 考点五：数学广场：四舍五入 【典型例题】： 1. 用五舍六入法求近似数：4.756保留两位小数是多少？8.362精确到十分位是多少？ 解题思路 五舍六入法求近似数，看要保留位数的下一位，数字小于等于5舍去，大于等于6进1。保留两位小数看千分位，精确到十分位看百分位。 •第一步：4.756保留两位小数，看千分位6≥6，向百分位进1，5+1=6，结果为4.76； •第二步：8.362精确到十分位，看百分位6≥6，向十分位进1，3+1=4，结果为8.4。 规范作答： 4.756保留两位小数：看千分位6≥6，向百分位进1，4.756≈4.76 8.362精确到十分位：看百分位6≥6，向十分位进1，8.362≈8.4 答：4.756保留两位小数是4.76，8.362精确到十分位是8.4。 2. 某超市计价用四舍五入法保留一位小数，一个商品总价是12.54元，实际收款多少元？总价12.56元，实际收款多少元？ 解题思路 用四舍五入法保留一位小数，看百分位数字，小于4舍去，大于5进1，分别判断两个总价的百分位数字，再取近似数。 •第一步：12.54元保留一位小数，百分位4≤5，舍去，结果为12.5元； •第二步：12.56元保留一位小数，百分位6≥6，向十分位进1，结果为12.6元。 规范作答： 12.54元保留一位小数：百分位4≤5，舍去百分位，12.54≈12.5（元） 12.56元保留一位小数：百分位6≥6，向十分位进1，12.56≈12.6（元） 答：总价12.54元实际收款12.5元，总价12.56元实际收款12.6元。 考点六：数学广场：计算比赛场次 【典型例题】： 1. 四年级5个班进行拔河单循环比赛，每个班都要和其他班赛一场，一共要比赛多少场？ 解题思路 单循环比赛场次计算公式：场次= n×(n-1)÷2（n为参赛数量），也可依次累加每个班的比赛场次（避免重复），此处n=5，代入公式计算即可。 •第一步：确定参赛数n=5，代入公式5×(5-1)÷2； •第二步：计算5×4=20，再计算20÷2=10。 规范作答： 方法：单循环比赛场次=参赛数×(参赛数-1)÷2 5×(5-1)÷2 = 5×4÷2 = 20÷2 = 10（场） 答：一共要比赛10场。 2. 6支球队参加足球赛，采用单循环赛制，一共要进行多少场比赛？用连线法表示出来。 解题思路 先按单循环场次公式计算比赛场数，公式为场次= n×(n-1)÷2（n=6）；连线法将6支球队标为①②③④⑤⑥，依次将每支球队与其他球队连线，数出连线总数即为场次。 •第一步：代入公式计算，6×(6-1)÷2=15； •第二步：用连线法验证，①连②③④⑤⑥（5条），②连③④⑤⑥（4条），③连④⑤⑥（3条），④连⑤⑥（2条），⑤连⑥（1条），5+4+3+2+1=15。 规范作答： 1.计算场次： 单循环比赛场次=参赛数×(参赛数-1)÷2 6×(6-1)÷2 = 6×5÷2 = 30÷2 = 15（场） 2.连线法表示： 将6支球队依次标记为①、②、③、④、⑤、⑥ ①与②、③、④、⑤、⑥分别连线（5条）； ②与③、④、⑤、⑥分别连线（4条）； ③与④、⑤、⑥分别连线（3条）； ④与⑤、⑥分别连线（2条）； ⑤与⑥连线（1条）； 所有连线总数为15条，对应15场比赛。 答：一共要进行15场比赛。 3. 甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单打比赛，每两人赛一场，甲已经赛了3场，乙赛了2场，丙赛了1场，丁赛了几场？ 解题思路 4人单循环比赛，每人最多赛3场，先根据甲赛3场确定甲与乙、丙、丁各赛1场，再结合丙只赛1场（仅与甲赛），分析乙的2场比赛对手，最后确定丁的比赛场次。 •第一步：甲赛3场，说明甲和乙、丙、丁各赛了1场； •第二步：丙赛1场，说明丙只和甲赛了，未与乙、丁比赛； •第三步：乙赛2场，其中1场与甲赛，另1场只能与丁赛； •第四步：丁与甲、乙各赛1场，总计2场。 规范作答： 1.4人单循环比赛，每人最多赛3场，甲赛了3场，说明甲和乙、丙、丁各赛了1场； 2.丙只赛了1场，说明这场比赛只能是和甲赛的，丙未与乙、丁比赛； 3.乙赛了2场，其中1场是和甲赛的，另1场只能是和丁赛的； 4.综上，丁和甲、乙各赛1场，共赛2场。 答：丁赛了2场。 考点七：数学广场：位置的表示方法 【典型例题】： 1. 教室座位中，小明坐在第3列第4行，用有序整数对表示为（ ）；小红的位置是（5，2），表示她坐在第（ ）列第（ ）行。 解题思路 位置的有序整数对表示规则为**（列数，行数）**，即第一个数表示列，第二个数表示行，按该规则书写和解读即可。 •第一步：小明第3列第4行，按规则表示为（3，4）； •第二步：小红位置（5，2），第一个数5是列数，第二个数2是行数。 规范作答： 小明的位置：（3，4） 小红的位置：第5列第2行 答案依次为：3，4；5；2。 2. 判断：（3，5）和（5，3）表示的是同一个位置（ ）。 解题思路 根据有序整数对（列，行）的规则，分别解读两个数对的列和行，判断位置是否相同。 •第一步：（3，5）表示第3列第5行； •第二步：（5，3）表示第5列第3行； •第三步：列数和行数均不同，位置不同。 规范作答： × 理由：有序整数对（列数，行数）中，第一个数字表示列，第二个数字表示行。（3，5）表示第3列第5行，（5，3）表示第5列第3行，列数和行数都不相同，因此不是同一个位置。 一、选择题 1．有大、中、小三筐梨，中筐的梨是小筐的2倍，而比大筐少装8千克，大筐装的是小筐的4倍，中筐装梨（　　）千克。 A．6 B．8 C．12 【答案】B 【分析】中筐的梨是小筐的2倍，大筐装的是小筐的4倍，则大筐装梨的质量是中筐装梨质量的（4÷2）倍，中筐比大筐少装8千克，中筐梨的质量＝中筐比大筐少装的质量÷（倍数－1），据此解答。 【详解】4÷2＝2 8÷（2－1） ＝8÷1 ＝8（千克） 所以，中筐装梨8千克。 故答案为：B 【点睛】灵活运用差倍公式“差÷（倍数－1）＝较小数”求出中筐装梨的质量是解答题目的关键。 2．在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于14.4，差是减数的2倍，差等于（　　）。 A．5 B．4.8 C．2.4 【答案】B 【分析】被减数－减数＝差，则差＋减数＝被减数，根据被减数、减数与差的和等于14.4求出被减数，已知减数与差的和且差与减数的倍数关系利用“和÷（倍数＋1）＝较小数”求出减数，据此解答。 【详解】被减数：14.4÷2＝7.2 减数：7.2÷（2＋1） ＝7.2÷3 ＝2.4 差：2.4×2＝4.8 故答案为：B 【点睛】掌握被减数、减数、差之间的关系以及和倍公式的应用是解答题目的关键。 3．鸡和兔共20个头，56只脚，兔鸡有多少只？用假设法来解：求鸡的列式（    ）；求兔的列式（    ）。 ①（56－20×2）÷2＝8  ②（4×20－56）÷2＝12  ③（56－20）÷2＝18 A．①② B．②① C．②③ 【答案】B 【分析】求鸡：假设全是兔，依此计算出全是兔时脚的总数量，1只鸡与1只兔的脚的数量差，全是兔时脚的总数量与实际脚的数量差，然后用全是兔时脚的总数量与实际脚的数量差除以1只鸡与1只兔的脚的数量差就得到鸡的数量，再根据混合运算的计算顺序列式即可。 求兔：假设全是鸡，依此计算出全是鸡时脚的总数量，1只鸡与1只兔的脚的数量差，全是鸡时脚的总数量与实际脚的数量差，然后用全是鸡时脚的总数量与实际脚的数量差除以1只鸡与1只兔的脚的数量差就得到兔的数量，再根据混合运算的计算顺序列式即可。 【详解】20×4＝80（只） 80－56＝24（只） 4－2＝2（只） 24÷2＝12（只） 即求鸡的列式为：（4×20－56）÷2＝12 20×2＝40（只） 56－40＝16（只） 4－2＝2（只） 16÷2＝8（只） 即求兔的列式为：（56－20×2）÷2＝8； 故答案为：B 【点睛】此题考查的是鸡兔同笼问题的计算，熟练掌握混合运算的计算顺序是解答此题的关键。 4．按照“四舍五入”法，近似数为5.20的最大的三位小数是（    ）。 A．5.201 B．5.199 C．5.204 【答案】C 【分析】考虑到5.20是一个三位小数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的5.20最大是5.204，“五入”得到的5.20最小是5.195，由此解答问题即可。 【详解】“四舍”得到的5.20最大是5.204，因此这个数还要小于5.204； “五入”得到的5.20最小是5.195，因此这个数还要大于或等于5.195。 5.199＜5.201＜5.204 故答案为：C 【点睛】取一个数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大，根据题目的要求灵活掌握解答方法。 5．木星离太阳的距离是778330000km ，改写成用“亿”作单位，并且保留一位小数所得结果为（    ）亿千米。 A．77.8 B．7.8 C．7.7 D．778.3 【答案】B 【分析】整数改写成以“亿”作单位的数，也就是在亿位的右下角点上小数点，去掉末尾的0，再在数的后面写上单位“亿”；保留一位小数，也就是去掉十分位后的尾数，对百分位上的数进行四舍五入。 【详解】778330000＝7.7833亿≈7.8亿 故答案为：B。 【点睛】熟练掌握整数的改写和小数近似数求法是解答本题的关键。 6．小区用户间，电信、移动网络架线，会出现下面三种情况，不是相交关系的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。不互相平行的两条直线就相交。 【详解】A．，相交。 B．，互相平行，不是相交。 C．，互相垂直，垂直是相交的特殊情况。 故答案为：B 【点睛】此题考查了相交的特征和性质，要熟练掌握。 7．如图，从A点处修建一条通往李家村的公路，距离最短的是（    ）号路线。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据从直线外一点到已知直线的连线中，垂线段最短，从A点向这条公路作垂线段，这样修路最近；据此即可解答。 【详解】从A点向这条公路作垂线段，这样修路最近，距离最短的是②号路线； 故答案为：B 【点睛】本题主要考查了学生垂线段最短的知识点。 8．下面是几位同学过P点作的∠A两条边的平行线，正确的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】互相平行的两条直线没有交点，分析选项中所画直线与∠A两条边的延长线是否有交点，如果有交点两条直线就不是平行线，据此解答。 【详解】A． B． C． 故答案为：C 【点睛】掌握互相平行的两条直线的特征是解答题目的关键。 9．一个两位小数四舍五入保留一位小数是2.9，这个两位小数不可能是（    ）。 A．2.94 B．2.84 C．2.85 【答案】B 【分析】考虑到2.9是一个两位小数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的2.9最大是2.94；“五入” 得到的2.9最小是2.85，由此解答问题即可。 【详解】“四舍”得到的2.9最大是2.94，“五入”得到的2.9最小是2.85，所以这个两位小数大于等于2.85小于等于2.94，选项中的三个数只有2.84＜2.85＜2.94。 故答案为：B 【点睛】取一个数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大，根据题目的要求灵活掌握解答方法。 10．0.998精确到十分位是（    ）。 A．1 B．1.0 C．0.l 【答案】B 【分析】小数精确到十分位，要看百分位上的数字。根据四舍五入法的原则，若百分位上的数字大于等于5，就向十分位进1；若百分位上的数字小于5，就舍去百分位及其后面数位上的数。由此解答即可。 【详解】0.998精确到十分位是1.0。 故答案为：B 【点睛】本题考查小数的近似数，根据四舍五入法解答。 11．用1、2、3这三个数字组成的两位小数中，最大的小数是（    ）。 A．3.21 B．1.23 C．2.31 【答案】A 【分析】小数大小的比较，先看小数的整数部分，整数部分大的这个数就大，整数部分相同的就看十分位，十分位大的这个数就大，十分位相同的，再看百分位，分位大的这个数就大，直到比较出大小为止。 【详解】根据小数大小的比较方法，要使1、2、3、这三个数字组成的两位小数最大，个位、十分位、分位上的数分别是3、2、1，这个小数是3.21。 故答案为：A 【点睛】本题考查了对小数的数位顺序的认识，要使三个数字组成的两位小数最大，较大数字应放在较高位，反之放在较低位。 12．甲、乙、丙、丁四名警察轮流值四班岗，丁值第三班，其余的3个任意安排。可以有（    ）种不同的排班法。 A．10种 B．4种 C．6种 D．12种 【答案】C 【分析】根据题意，完成一件事要分几步走，把每一步的几种情况乘起来，特殊位置要先排列，据此解答。 【详解】1×3×2×1＝6（种） 所以可以有6种不同的排法。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查排列组合的相关知识点，应熟练掌握并灵活运用。 13．用数对确定某个物体的位置时，一般需用（    ）数据。 A．一个 B．两个 C．三个 【答案】B 【详解】数对确定某个物体的位置时，第1个数表示列，第2个数表示行，一般需要用两个数据。 故答案为：B。 14．如图，如果点A用数对表示为（5，4），则点B可以表示为（    ）。 A．（3，6） B．（8，6） C．（6，3） 【答案】B 【分析】点A用数对表示为（5，4），说明A在第5列，第4行，点B在点A右数第3列，说明点B在第8列，点B在点A上数两行，说明点B在第6行，故点B可以表示为（8，6 ）。 【详解】由分析可得， 如果点A用数对表示为（5，4），则点B可以表示为（ 8，6 ）。 故选：B 【点睛】本题考查的是用数对表示位置，应注意第一个数字表示列，第二个数字表示行。 二、填空题 15．四支球队比赛，每两支球队赛一场，一共要进行( )场比赛。 【答案】6 【分析】假设这四支球队分别是甲队、乙队、丙队和丁队。两支球队比赛一场，有以下几种可能：甲队和乙队，甲队和丙队，甲队和丁队，乙队和丙队，乙队和丁队，丙队和丁队，所以一共要进行6场比赛，据此解答即可。 【详解】根据分析可知，每两支球队比赛一场，一共要进行6场比赛。 16．将下列小数按要求保留两位小数。 进一法：1.996≈( )      去尾法：64.725≈( ) 【答案】 2.00 64.72 【分析】（1）1.996按照进一法保留两位小数时，千分位上向百分位进一，9＋1＝10，百分位再向十分位进一，百分位上是0。9＋1＝10，十分位再向个位进一，十分位上是0。1＋1＝2，即个位上是2，所以1.996≈2.00。 （2）64.725按照去尾法保留两位小数时，直接把千分位上的5去掉，所以64.725≈64.72。 【详解】进一法：1.996≈2.00；去尾法：64.725≈64.72 17．一个两位小数用“四舍五入”法求得的近似数是3.4，那么这个小数最大是( )，最小是( )。 【答案】 3.44 3.35 【分析】根据题意，求得的近似数是3.4，说明原来是两位小数。需要看它的百分位。有两种情况：“四舍”得到的近似数比原数小，那么最大是由四舍得到的。百分位上是4，其他数位上的数字不变。“五入”得到的近似数比原数大，那么最小是五入得到的。百分位上是5，十分位上是3，个位的数字不变。由此解答问题即可。 【详解】根据分析，一个两位小数用“四舍五入”法求得的近似数是3.4，那么这个小数最大是3.44，最小是3.35。 18．一次篮球比赛，有6支队伍报名参赛，每个队都要与其他各队比赛一场，实际进行了( )场比赛。 【答案】15 【分析】每一个队都有和其他5个队比赛，一共6个队，一共要比赛6×5＝30场，但是这样算就将比赛都重复计算了一遍，再除以2，即可求出一共要比赛的场次。 【详解】6×（6－1）÷2 ＝6×5÷2 ＝30÷2 ＝15（场） 一次篮球比赛，有6支队报名参赛，每个队都要与其他各队比赛一场，实际进行了15场比赛。 19．小明在学校体操比赛中的位置是第19列，第18行。记作（19，18），则（17，25）表示的位置是_______。 【答案】第17列，第25行 【分析】根据题意可知数对中前面的数表示的是列，后面的数表示的是行，据此解答即可。 【详解】小明在学校体操比赛中的位置是第19列，第18行。记作（19，18），则（17，25）表示的位置是第17列，第25行。 【点睛】本题考查用数对表示位置，解答本题的关键是掌握用数对表示位置的概念。 20．36位同学去划船，一共租了7条船；每条大船坐6人，每条小船坐4人，大船租了( )条，小船租了( )条。 【答案】 4 3 【分析】假设租的全部是大船，则可做6×7＝42（人），比实际多42－36＝6（人），已知一条大船比一条小船多坐6－4＝2（人）。则小船有6÷2＝3条。大船有7－3＝4条。 【详解】（7×6－36）÷（6－4） ＝6÷2 ＝3（条） 7－3＝4（条） 则大船租了4条，小船租了3条。 【点睛】此题属于典型的鸡兔同笼问题，一般用假设法解答较为简单，假设全是其中的一种量，进而先求出另一种量。也可通过列方程或枚举法来解答。 21．小胖与6个小伙伴一起去公园游玩，他们每两人拍一张照片，一共拍了( )张照片。 【答案】21 【分析】小胖与6个小伙伴一共有7人，第1个人可以与另外6人分别拍照，要拍6张，第1个人不再参与拍照，第2个人可以与剩下的5人分别拍照，要拍5张，第2个人也不再参与拍照，第3个人可以与剩下的4人分别拍照，要拍4张，……，第6人与第7人要拍照1张，总共要拍照6＋5＋4＋3＋2＋1＝21张。 【详解】6＋5＋4＋3＋2＋1 ＝11＋7＋3 ＝21（张） 【点睛】本题主要考查学生对搭配问题知识的掌握和灵活运用。 三、解答题 22．工地上有4辆相同的卡车每天运黄沙240吨，照这样计算，再增加3倍的卡车，两天一共可以运黄沙多少吨？ 【答案】 1920吨 【分析】增加3倍的卡车，那么卡车变为原来的（3＋1）倍，用现在每天运黄沙的重量乘（3＋1）求出增加卡车辆数后每天运黄沙的重量，再乘2即可求出两天可以运黄沙的重量。 【详解】如图所示： 240×（3＋1）×2 ＝240×4×2 ＝960×2 ＝1920（吨） 答：两天一共可以运黄沙1920吨。 23．下图是存放快递的某智能快递柜。22号柜在（4，3）的位置。 （1）张阿姨到了两个快递，分别放在了9号柜和28号柜，请你用数对表示出9号柜和28号柜的位置。 （2）李叔叔的快递被放在了（6，2）的位置，是（    ）号柜。 【答案】（1）（2，4）；（5，3）；（2）35 【分析】（1）用数对表示位置时，前一个数表示第几列，后一个数表示第几行；据此表示出9号柜和28号柜的位置。 （2）根据用数对表示位置的方法，可知（6，2）是第6列第2行，也就是35号柜。 【详解】（1）9号柜：（2，4）； 28号柜：（5，3）。 （2）李叔叔的快递被放在了（6，2）的位置，是35号柜。 24．小胖的妈妈今年41岁，比小胖年龄的4倍还大5岁，小胖今年几岁？ 【答案】9岁 【分析】根据题意，小胖的妈妈今年41岁，比小胖年龄的4倍还大5岁，即小胖妈妈的年龄减去5岁后是小胖年龄的4倍，那么再除以4就是小胖的年龄。 【详解】（41－5）÷4 ＝36÷4 ＝9（岁） 答：小胖今年9岁。 【点睛】“还大5岁”是本题的一个小弯，41减去5就是小胖的年龄的4倍了。能拐过这个小弯就不难解答。 25．学校图书馆买来科技书372本，比文艺书的本数的3倍少90本。买来文艺书多少本？ 【答案】154本 【分析】由题意可得：（科技书的本数＋90）÷3即可求出文艺书的本书。 【详解】（372＋90）÷3 ＝462÷3 ＝154（本） 答：买来文艺书154本。 【点睛】解答此题的关键是：分析题意，弄清楚数量间的倍数关系，问题即可得解。 26．画平行线． 【答案】 【详解】把三角板的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边与直尺重合，然后把直角三角板向已知点平移，再过已知点作直线即可． 27．A、B、C、D四个球队进行比赛，每两队比一场，一共要比多少场？ 【答案】一共要比6场 【详解】4×（4﹣1）÷2 =4×3÷2， =6（场）． 答：一共要比6场． 28．早餐店有馄饨，大饼，包子，烧麦四种早点供选择，最少吃一种，最多吃四种，有多少种不同的选择方法？ 【答案】有15种不同的选择方法 【详解】（1）选择1种早点，可以是： 混沌，大饼，包子，烧麦四种中的一种，有4种不同的方法； （2）选择2种早点，可以是： 混沌，大饼；混沌，包子；混沌，烧麦； 大饼，包子；大饼，烧麦； 包子，烧麦； 一共有6种选择方法； （3）选择3种早点，可以是： 混沌，大饼，包子； 混沌，大饼，烧麦； 混沌，包子，烧麦； 大饼，包子，烧麦； 一共有4种选择的方法； （4）选择4种早点，只能是馄饨，大饼，包子，烧麦，1种选择的方法． 4+6+4+1=15（种） 答：有15种不同的选择方法． 29．如图 （1）用数对表示点A、B、C的位置． A________ B________ C________ （2）在图中标出点D(8，3)，并顺次连接A、B、D、A．围成的是什么图形？ 【答案】（1）(3，4) ；(1，2) ；(6，2) （2）如图 围成的是三角形. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 整理与提高 单元知识清单讲义 知识点一：解决问题（二） 1、“增加几倍”和“增加到几倍”： （1）增加n倍：表示原数的（n＋1）倍； （2）增加到n倍：表示原数的n倍。 2、“增加到几倍多几（少几）”和“增加了几倍多几（少几）”： 增加到几倍多几（少几），就是比原数的几倍多几（少几）； 增加了几倍多几（少几），就是比原数的（几＋1）倍多几（少几）。 3、可以通过画树状算图和列表法解决实际问题 知识点二：小数与近似数 1. 四舍五入法：看被省略尾数的最高位，小于5舍去，≥5向前一位进1； 2. 去尾法：无论尾数最高位数字是几，直接舍去所有尾数（适用于包装、裁剪等取整需求）； 3. 进一法：无论尾数最高位数字是几，舍去尾数并向前一位进1（适用于装油、运货等取整需求）； 4. 近似数注意点：小数部分末尾的0不能去掉（表示精确程度）；精确数位越低，近似数的精确程度越高，原数取值范围越小； 5. 实际应用：人民币兑换先计算精确值，再根据实际情况选取近似方法。 知识点三：垂直与平行 1. 前提：同一平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种； 2. 平行线：同一平面内不相交的两条直线，互相平行；符号：，记作，读作a平行于b； 3. 垂直：两条直线相交成直角，则互相垂直；其中一条是另一条的垂线，交点为垂足；符号：，记作，读作a垂直于b。 知识点四：数学广场：用多功能三角尺画垂线与平行线 1.多功能三角尺可以画直线、线段，量角度，按要求画角，画垂线，画平行线。三角尺的蓝线刻度表示长度，单位“mm”；黑线刻度表示长度，单位“cm”；红线刻度表示角度，单位“度”。 2.在多功能三角尺上可以找到多组互相垂直和互相平行的刻度线。 知识点五：数学广场：四舍五入 五舍六入法：区别于四舍五入，看被省略尾数的最高位，尾数≤5直接舍去，尾数≥6向前一位进1；是近似数的另一种常用取法，适用于部分商业、统计场景。 知识点六：数学广场：计算比赛场次 1. 比赛规则：单循环赛（每2个队之间只赛1场）； 2. 解题方法：连线法、列表法（核心：全面有序，不重复、不遗漏）； 3. 计算公式：n个队单循环比赛，总场次 = 或 总场次 = 。 知识点七：数学广场：位置的表示方法 1. 有序整数对：用有顺序的两个整数表示（如（列，行）），两个数的顺序不同，表示的位置不同； 2. 核心作用：有序整数对可以确定平面中一个唯一的位置，反之，平面中一个确定的位置能对应唯一的有序整数对； 3. 表示规则：通常先写列数，再写行数，中间用逗号隔开，外加小括号。 考点一：解决问题（二） 【典型例题】： 1. 果园原有苹果树20棵，今年种植的数量增加了3倍，今年有苹果树多少棵？ 2. 商店原有牛奶50箱，补货后数量增加到4倍少8箱，现在有牛奶多少箱？ 3. 小明原有漫画书15本，生日收到的礼物让漫画书数量增加了2倍多3本，小明现在有多少本漫画书？ 考点二：小数与近似数 【典型例题】： 1. 用四舍五入法求近似数：3.568保留一位小数是多少？9.924精确到百分位是多少？ 2. 每个礼盒需要包装纸1.2平方米，现有8平方米包装纸，最多能包装几个礼盒？（用去尾法） 3. 每个油桶能装油4.5千克，要装30千克油，至少需要多少个油桶？（用进一法） 考点三：垂直与平行 【典型例题】： 1. 判断（对的打√，错的打×）： （1）不相交的两条直线一定互相平行（）； （2）同一平面内，两条直线不是平行就是垂直（）； （3）如果直线a垂直于直线b，那么它们的交点是垂足（）。 2. 写出图中直线的位置关系： （1）黑板的上下两条边：（）； （2）长方形的长和宽：（）； （3）十字路口的两条道路：（）。 3. 用符号表示：直线m和直线n互相平行（）；直线x和直线y互相垂直（）。 考点四：数学广场：用多功能三角尺画垂线与平行线 【典型例题】： 过点A分别画已知直线的平行线和垂线。 考点五：数学广场：四舍五入 【典型例题】： 1. 用五舍六入法求近似数：4.756保留两位小数是多少？8.362精确到十分位是多少？ 2. 某超市计价用五舍六入法保留一位小数，一个商品总价是12.54元，实际收款多少元？总价12.56元，实际收款多少元？ 考点六：数学广场：计算比赛场次 【典型例题】： 1. 四年级5个班进行拔河单循环比赛，每个班都要和其他班赛一场，一共要比赛多少场？ 2. 6支球队参加足球赛，采用单循环赛制，一共要进行多少场比赛？用连线法表示出来。 3. 甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单打比赛，每两人赛一场，甲已经赛了3场，乙赛了2场，丙赛了1场，丁赛了几场？ 考点七：数学广场：位置的表示方法 【典型例题】： 1. 教室座位中，小明坐在第3列第4行，用有序整数对表示为（ ）；小红的位置是（5，2），表示她坐在第（ ）列第（ ）行。 2.判断：（3，5）和（5，3）表示的是同一个位置（ ）。 一、选择题 1．有大、中、小三筐梨，中筐的梨是小筐的2倍，而比大筐少装8千克，大筐装的是小筐的4倍，中筐装梨（　　）千克。 A．6 B．8 C．12 2．在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于14.4，差是减数的2倍，差等于（　　）。 A．5 B．4.8 C．2.4 3．鸡和兔共20个头，56只脚，兔鸡有多少只？用假设法来解：求鸡的列式（    ）；求兔的列式（    ）。 ①（56－20×2）÷2＝8  ②（4×20－56）÷2＝12  ③（56－20）÷2＝18 A．①② B．②① C．②③ 4．按照“四舍五入”法，近似数为5.20的最大的三位小数是（    ）。 A．5.201 B．5.199 C．5.204 5．木星离太阳的距离是778330000km ，改写成用“亿”作单位，并且保留一位小数所得结果为（    ）亿千米。 A．77.8 B．7.8 C．7.7 D．778.3 6．小区用户间，电信、移动网络架线，会出现下面三种情况，不是相交关系的是（    ）。 A． B． C． 7．如图，从A点处修建一条通往李家村的公路，距离最短的是（    ）号路线。 A．① B．② C．③ D．④ 8．下面是几位同学过P点作的∠A两条边的平行线，正确的是（    ）。 A． B． C． 9．一个两位小数四舍五入保留一位小数是2.9，这个两位小数不可能是（    ）。 A．2.94 B．2.84 C．2.85 10．0.998精确到十分位是（    ）。 A．1 B．1.0 C．0.l 11．用1、2、3这三个数字组成的两位小数中，最大的小数是（    ）。 A．3.21 B．1.23 C．2.31 12．甲、乙、丙、丁四名警察轮流值四班岗，丁值第三班，其余的3个任意安排。可以有（    ）种不同的排班法。 A．10种 B．4种 C．6种 D．12种 13．用数对确定某个物体的位置时，一般需用（    ）数据。 A．一个 B．两个 C．三个 14．如图，如果点A用数对表示为（5，4），则点B可以表示为（    ）。 A．（3，6） B．（8，6） C．（6，3） 二、填空题 15．四支球队比赛，每两支球队赛一场，一共要进行( )场比赛。 16．将下列小数按要求保留两位小数。 进一法：1.996≈( )      去尾法：64.725≈( ) 17．一个两位小数用“四舍五入”法求得的近似数是3.4，那么这个小数最大是( )，最小是( )。 18．一次篮球比赛，有6支队伍报名参赛，每个队都要与其他各队比赛一场，实际进行了( )场比赛。 19．小明在学校体操比赛中的位置是第19列，第18行。记作（19，18），则（17，25）表示的位置是_______。 20．36位同学去划船，一共租了7条船；每条大船坐6人，每条小船坐4人，大船租了( )条，小船租了( )条。 21．小胖与6个小伙伴一起去公园游玩，他们每两人拍一张照片，一共拍了( )张照片。 三、解答题 22．工地上有4辆相同的卡车每天运黄沙240吨，照这样计算，再增加3倍的卡车，两天一共可以运黄沙多少吨？ 23．下图是存放快递的某智能快递柜。22号柜在（4，3）的位置。 （1）张阿姨到了两个快递，分别放在了9号柜和28号柜，请你用数对表示出9号柜和28号柜的位置。 （2）李叔叔的快递被放在了（6，2）的位置，是（    ）号柜。 24．小胖的妈妈今年41岁，比小胖年龄的4倍还大5岁，小胖今年几岁？ 25．学校图书馆买来科技书372本，比文艺书的本数的3倍少90本。买来文艺书多少本？ 26．画平行线． 27．A、B、C、D四个球队进行比赛，每两队比一场，一共要比多少场？ 28．早餐店有馄饨，大饼，包子，烧麦四种早点供选择，最少吃一种，最多吃四种，有多少种不同的选择方法？ 29．如图 （1）用数对表示点A、B、C的位置． A________ B________ C________ （2）在图中标出点D(8，3)，并顺次连接A、B、D、A．围成的是什么图形？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $