7.2.3 第二课时 平行线的性质与判定综合应用 专项突破（10大题型全归纳）2025-2026学年 人教版数学七年级下册

7.2.3平行线的性质与判定综合应用专项突破 （10大题型全归纳） 【新人教版】 【题型1 直接用平行线性质求角度（基础）】............................................................................1 【题型2 直接用平行线判定证平行（基础）】............................................................................3 【题型3 平行线的性质与判定综合推理（中档必考）】............................................................6 【题型4 平行线与角平分线综合（高频）】................................................................................8 【题型5 平行线与垂直综合】.....................................................................................................14 【题型6 拐点/折线模型（M型、铅笔头型、Z型）】..............................................................17 【题型7 平行线中的折叠问题】.................................................................................................28 【题型8 方程思想在平行线中的应用】.....................................................................................32 【题型9 平行线的规范证明题（填空/书写）】..........................................................................39 【题型10 平行线的实际应用（拐弯、光线反射、方位角）】.................................................43 【题型1 直接用平行线性质求角度（基础）】 【例1】 如图，，．若，求，，的度数． 【答案】，， 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质，可分别求得和的度数，再根据邻补角的定义，即可得的度数． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 【变式1-1】 如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是_____________． 【答案】/20度 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），先根据题意可得，，再根据平行线的性质可得，然后根据平角的定义求解即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】 如图，已知，若，，则_____． 【答案】/度 【分析】此题考查了平行线的性质．根据平行线的性质得到，，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 【变式1-3】 如图， 已知，，，试求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等． 根据得出，再根据，即可得出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型2 直接用平行线判定证平行（基础）】 【例2】 已知：如图，直线与直线分别交于点E、F，直线与直线交于点A，且，，试说明：，． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定，理解并掌握平行线的判定定理是解题关键．先证，可得，再证，可证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】 如图，有下列条件：①；②；③；④．其中能得到的是__________．（请填写序号） 【答案】②③/③② 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可． 【详解】解：①， ； ②， ； ③， ； ④， ， 能够得到的条件是②③， 故答案为：②③． 【变式2-2】 如图，直线被直线所截，其中，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行线的判定、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据平行线的判定可得，再证出，根据平行线的判定可得，然后根据平行公理推论即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式2-3】 如图，直线和直线被直线所截，，，那么与平行吗？请说明理由． 【答案】平行，理由见解析． 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 由已知结合等式的性质，可得，根据同位角相等，两直线平行可得． 【详解】解：， 理由如下： （已知）， ， 即， （同位角相等，两直线平行）． 【题型3 平行线的性质与判定综合推理（中档必考）】 【例3】 如图，已知，，则与平行吗？请说明理由． 【答案】平行，理由见解析 【分析】本题考查了根据平行线的判定与性质证明，熟练掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键． 结合已知条件，根据同位角相等两直线平行，可证得，再根据两直线平行内错角相等可得，结合已知条件，可得，再根据同位角相等两直线平行即可得出结论． 【详解】解：平行，理由如下： ， ， ， 又， ， ， 答：与平行． 【变式3-1】 如图，分别是上的点，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质定理和判定定理，综合运用定理是解答此题的关键．证明得，等量代换得，证明可证结论成立． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 又因为， 所以， 所以， 所以． 【变式3-2】 如图，已知，，求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出是解此的题关鍵．直接利用平行线的判定得出，进而得出，即可得出答案． 【详解】证明：， ， ， ， ， ． 【变式3-3】 如图，已知，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟记平行线的判定和性质定理，以及角度的等量代换是解题关键．根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出即可． 【详解】证明：， ， ， ， ， 即， ， ． 【题型4 平行线与角平分线综合（高频）】 【例4】 已知：如图，是直线上两点，，平分，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由，，可得，即可证明； （）由平行线的性质可得，又由平分，得，再根据平行线的性质可得到的度数； 本题考查了平行线的判定和性质，补角性质，角平分线的定义，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴ ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式4-1】 已知：如图所示，和的平分线交于，交于点，． (1)求证：； (2)试探究与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． （1）已知、平分、，且，可得，根据同旁内角互补，可得两直线平行． （2）先根据平行线的性质得到，再由平分，得到，则，将等角代换，即可得出与的数量关系． 【详解】（1）证明：、平分、， ，； ， ； 同旁内角互补，两直线平行 （2）解： ， ， 平分， ， ． ． 【变式4-2】 如图，，点E在线段上，且． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据两直线平行，同旁内角互补，得，因为，故，即可作答． （2）先由，得，再结合平分，故，因为，所以，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式4-3】 如图，已知，． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若点在线段上，且满足平分，平分，，求的度数： (3)①如图2，在（2）中，若，其他条件不变，求的度数（直接写出答案，用含的代数式表示）； ②如图3，在（3）①的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当平分时，若，求的度数（直接写出答案，用含的代数式表示）； ③如图3，在（3）①的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当时，若，求的度数（直接写出答案，用含的代数式表示）； 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查了两直线平行的判定和性质，以及角的运算，解题的关键是弄清角与角之间的关系． （1）利用两直线平行的判断和性质进行证明； （2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，，根据求出结果即可； （3）①根据解析（2）的方法求出结果即可； ②根据角平分线定义证明，求出，根据平行线的性质得出； ③根据平行线的性质证明，求出，根据平行线的性质得出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分   ∴， ∴ ． （3）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分   ∴， ∴ ． ②∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型5 平行线与垂直综合】 【例5】如图，，，垂足分别是，，． (1)判断与的位置关系；（不需要证明） (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，即可得出结论； （2）根据可得，则，即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）证明：，， （等式的性质）， 即 ， （同位角相等，两直线平行）． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线互相平行，同位角相等，两直线平行． 【变式5-1】 如图，已知：于D，于G，．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，根据垂直于同一条直线的两直线平行得到，进而得到，等量代换，得到，即可得证． 【详解】证明：∵于D，于G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分． 【变式5-2】 如图，中，点E在边上，，垂足分别是D，F，． (1)与平行吗？请写出证明过程； (2)若，求的度数． 【答案】(1)与平行，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）先判断出，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得； （2）过点C作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质即可得． 【详解】（1）解：与平行，理由如下： ∵，， ， ， ∵， ， ∴． （2）如图，过点C作， ∵， ， ， ， 由（1）已证：， ， ． 【变式5-3】 如图，已知． (1)请你判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)若平分，试求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （1）根据证得，已知，等量代换得出，证得； （2）根据证得，，根据平分得出，求出的度数，再根据垂直的定义求出即可． 【详解】（1），理由： ， ， ， 又， ， ． （2）， ， 又平分， ， ， 又， 【题型6 拐点/折线模型（M型、铅笔头型、Z型）】 【例6】 如图，已知平面内有两条直线，且，P为平面内一动点． (1)当点P移动到之间时，如图①，这时与，有怎样的数量关系？证明你的结论； (2)当点P移动到图②、图③的位置时，，，又有怎样的数量关系？请分别写出你的结论． 【答案】(1)，见解析 (2)图②时，图③时 【分析】（1）过点P作，得到，利用平行线的性质即可得出结论； （2）图②过点P作，得到，利用平行线的性质即可得出结论； 图③过点P作，得到，利用平行线的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：．证明如下： 如图①，过点P作． ∵， ∴， ∴，， ∴． （2）如图②，． 过点P作． ∵， ∴， ∴，， ∴． 如图③，． 过点P作． ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质．解题的关键是过添加辅助线，构造平行线． 【变式6-1】 如图，直线，，为直角，则_________．    【答案】 【分析】过点作，根据平行线的性质，求解即可． 【详解】解：过点作，如下图：    则， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质并运用数学结合思想． 【变式6-2】 近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为________． 【答案】/144度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点C作，先由垂线的定义得到，再证明，由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】 如图，已知，，求的度数． 【答案】72° 【分析】如图所示，过点C作，则，根据平行线的性质求出，进而求出，再由，即可得到． 【详解】解：如图所示，过点C作． ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式6-4】 如图，，则___________． 【答案】/540度 【分析】本题考查了平行线的性质，注意此类题要常作的辅助线，充分运用平行线的性质探求角之间的关系． 分别过作或的平行线，运用平行线的性质求解． 【详解】解：作， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式6-5】 如图，已知，、是、之间的两点，且，若，，则的度数为____． 【答案】 【分析】过点作，过点作，再根据猪脚模型进行列式计算，即可解答． 本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作，过点作， ∵， ∴， 设， ∵， ， ∵， ∴， ∵， ， ∵， ∴， 解得：， ， ， 故答案为：． 【变式6-6】 如图，，平分，平分． (1)若，则的度数为________． (2)试探究与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点F作，则，由平行线的性质得到，则可证明，同理可得，再由角平分线的定义得到，据此可得答案． （2）仿照（1）中方法把的度数看做位置求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点F作， ∵，， ∴， ∴， ∴； 同理可得， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图所示，过点F作， ∵，， ∴， ∴， ∴； 同理可得， ∵平分，平分， ∴， ∴． 【变式6-7】 【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）100°；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，构造辅助线掌握“猪蹄模型”是解本题的关键． （1）过点M作，证明，则，进而得，由此可得∠B+∠D的度数； （2）过点M作，则，证明，由（1）得，则，进而得，再根据，即可得出和之间的数量关系； （3）过点G作，依题意得，证明，由（1）得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）过点M作，如图①所示： ， ， ， ， ， ； （2）和之间的数量关系是：，理由如下： 过点M作，如图②所示， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， 又， ， ； （3），理由如下： 过点G作，如图③所示： ， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． 【变式6-8】 （1）【问题解决】如图1，已知，，，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解； （2）过点作，则，根据平行线的性质可得，即可得，结合可求解； （3）过点作．由平行线的性质可得，，结合角平分线的定义，利用角的和差可求解． 【详解】解：（1）如图1，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴． ，而， ∴， ， （2）， 理由：如图2，过点作， ∵，， ∴， ， ， ， ∵， ， ； （3）如图3，过点作． ∵，， ∴， ，， 又的平分线和的平分线交于点， ，， 由（2）得，， ∵， ， ． 【点睛】本题主要考查平行公理的推论，平行线的性质，角平分线的定义，角的和差运算灵活运用平行线的性质是解题的关键． 【题型7 平行线中的折叠问题】 【例7】 如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则 ______ ． 【答案】/80度 【分析】根据长方形性质得出平行线，根据平行线的性质求出，根据折叠求出，即可求出答案． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， 沿折叠到， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，注意：平行线的性质有两直线平行，内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补． 【变式7-1】 如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠，已知∠1=50°，则_______． 【答案】100° 【分析】先根据图形折叠的性质求出∠3的度数，再根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵将一个宽度相等的纸条按如图所示沿AB折叠， ∴，． 故答案为100°． 【点睛】本题考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等；翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 【变式7-2】 用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为________．    【答案】/度 【分析】如图，先标注点与角，由对折可得：，求解，利用，从而可得答案． 【详解】解：如图，先标注点与角，    由对折可得：， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是折叠的性质，平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解本题的关键． 【变式7-3】 将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质、角的和差，解答本题的关键掌握平行线的性质． 方法一：根据平行线的性质，可以得到，再根据折叠的性质，即可得到，最后根据平角的性质即可得解； 方法二：根据折叠可得，求出，再根据平行线的性质即可得解． 【详解】解：方法一：∵四边形是长方形纸片， ，， ， 由题意知， ， ； 方法二：由题意知， ，， ， ， ， ． 故选：D． 【变式7-4】 方形纸带中∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（    ） A．105° B．120° C．130° D．145° 【答案】A 【分析】由矩形的性质可知，由此可得出∠BFE=∠DEF=25°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数． 【详解】解：∵四边形ABCD为长方形， ∴， ∴∠BFE＝∠DEF＝25°． 由翻折的性质可知：图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°， ∴图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°． 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出∠CFE=180°-3∠BFE．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键． 【题型8 方程思想在平行线中的应用】 【例8】 如图，，． (1)试说明：； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定（内错角相等、同位角相等判定两直线平行）与性质（两直线平行，内错角相等、同旁内角互补）．解题思想与方法：转化思想，将角的相等关系转化为直线的平行关系，再将平行关系转化为角的数量关系；方程思想，通过设未知数，利用角的数量关系列方程求解．解题关键：熟练运用平行线的判定定理和性质定理，准确找到角之间的关联，建立方程求解角度．易错点：在运用平行线的判定和性质时，容易混淆角的位置关系（如内错角、同位角、同旁内角的识别），导致推理错误；设未知数时，角的比例关系对应错误，影响方程的建立． （1）要证明，先看已知角的关系．由，根据“内错角相等，两直线平行”，得出．再由，利用“两直线平行，内错角相等”，得到．又因为，通过等量代换得到，最后根据“同位角相等，两直线平行”，证明． （2）已知，可设，则．由（1）知，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可知．又因为，所以列方程，求解得，进而得出． 【详解】（1）证明：， ， ． ， ， ． （2）解：设． ， ． ， ， ， 解得， ∴． 【变式8-1】 已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A； (1)求证：DE∥BA． (2)若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数． 【答案】(1)见解析 (2)36° 【分析】(1)根据平行线的性质与判定方法证明即可； (2)设∠EDC=x°，由∠BFD=∠BDF = 2∠EDC可得∠BFD=∠BDF = 2x°，根据平行线的性质可得∠DFB= ∠FDE= 2x°，再根据平角的定义列方程可得x的值，进而得出∠B的度数． 【详解】（1）证明：∵DF∥CA， ∴∠DFB=∠A， 又 ∵∠FDE=∠A， ∴∠DFB=∠FDE， ∴DE∥AB； （2）解：设∠EDC=xº， ∵∠BFD=∠BDF=2∠EDC， ∴∠BFD=∠BDF=2xº， 由（1）可知∠DFB=∠FDE=2xº， ∴∠BDF+∠EDF+∠EDC=2xº+2xº+xº=180º， ∴x=36， 又∵DE∥AB， ∴∠B=∠EDC=36 º． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 【变式8-2】 已知，平分交的延长线于点，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定，角平分线的定义是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，即可证明； （2）设，先由平行线的性质得到，则由角平分线的定义得到，再根据平行线的性质得到，则，求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解；∵， ∴可设， ∵， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 【变式8-3】 【问题提出】 （1）如图1，直线，被直线所截，平分交于点，，判断与是否平行，并说明理由． 【问题解决】 （2）如图2，，，是三条主路，，超市的入口在主路上，三角形区域是一个大型购物中心，且平分，小路，为一条特色小吃街，，已知，求特色小吃街与主路的夹角的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的判定定理即可得到结论； （2）由得，结合垂直的定义求出，由平分得出，然后根据求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： 平分， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ，即， 平分，， ， ， ， ， ， 特色小吃街与主路的夹角的度数为． 【变式8-4】 如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯A转动的速度是每秒，灯B转动的速度是每秒．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空： (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且，则在灯B射线到达之前，转动的时间为______秒． 【答案】(1)60 (2)A灯旋转30秒或110秒时，两灯的光束互相平行 (3)140或100 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据，，即可得到的度数； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论∶当时，根据，可得；当时，根据，可得； （3）分两种情形，根据平行线的性质，构建方程解决问题即可． 【详解】（1）解：，， ． 故答案为：． （2）设A灯转动t秒．两灯的光束互相平行， ①当时，如图1 ， ， ， ， ， ， 解得：； ②当时，如图2， ， ， ， ， 解得：， 综上所述，A灯旋转30秒或110秒时．两灯的光束互相平行． （3）设灯A射线转动时间为t秒， ， ， 又， ， 解得：（舍去） 或， 解得， 如图4中，当时 ， ， 综上所述：满足条件的值为60或140或100秒． 故答案为：140或100． 【题型9 平行线的规范证明题（填空/书写）】 【例9】 如图，，平分，与相交于点，，．求的度数．请你在横线上补充其推理过程或理由． 解：因为（已知） 所以（理由：_______________________________________） 因为平分（已知） 所以__________________（角平分线的定义） 又因为___________（已知） 所以（等式的性质） 所以____________________________．（内错角相等，两直线平行） 所以________（理由：___________________________________________） 因为（已知） 所以_______________ 所以________________（等式的性质） 【答案】两直线平行，同位角相等；；；（或）；；两直线平行，同旁内角互补；59； 【分析】根据平行线的判定与性质以及角平分线的定义即可得出答案． 【详解】因为（已知） 所以（理由：两直线平行，同位角相等） 因为平分（已知） 所以（角平分线的定义） 又因为（已知） 所以（等式的性质） 所以（内错角相等，两直线平行） 所以（理由：两直线平行，同旁内角互补） 因为（已知） 所以59 所以（等式的性质）． 【点睛】本题考查的是平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握相关性质和定义是解决本题的关键． 【变式9-1】 如图，已知，，，试说明直线AD与BC垂直（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由）． 理由：C，（已知） ，（ ） ．（ ） 又，（已知） =180°．（等量代换） ，（ ） ．（ ） ，（已知） ， ． 【答案】GD；AC；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；AD；EF；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；AD；BC 【分析】结合图形，根据平行线的判定和性质逐一进行填空即可． 【详解】解：，已知 ，同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 又，（已知） （等量代换） ，同旁内角互补，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） ，（已知） ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用． 【变式9-2】 已知：如图，，分别平分与并交对边于点、．当时，求证：．请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明条件或理由． 证明：，分别平分与（_________） ________，．（_________） ，（已知） ，（等量代换） ．（___________） ，（____________） ，（____________） ______，（等量代换） ．（                 ） 【答案】已知；；角平分线的定义；已知； 同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，根据平行线的性质与判定条件，角平分线的定义结合已给推理过程证明即可． 【详解】证明：，分别平分与，（已知） ， ．（角平分线的定义） ，（已知） ，（等量代换） ，（已知） ，（同旁内角互补，两直线平行 ） ，（两直线平行，内错角相等） ，（等量代换） ．（同位角相等，两直线平行） 故答案为：已知；；角平分线的定义；已知；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行 【变式9-3】 填空完成推理过程： 如图，直线，交于点，，，．求证：． 证明：∵（已知）， ∴（____________）． ∵（已知）， ∴______（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即， ∴______（等量代换）， ∴（____________）． 【答案】两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的性质与判定完成填空即可求解． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等；）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行） 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 【题型10 平行线的实际应用（拐弯、光线反射、方位角）】 【例10】 （1）如图1，在A、B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东，如果A、B两地同时开工，直接写出为多少度时，才能使公路准确接通？ （2）如图2，经测量，B处在A处的南偏西的方向，C处在A处的南偏东的方向，C处在B处的北偏东的方向，求的度数．    【答案】（1）为时，才能使公路准确接通；（2） 【分析】（1）根据平行线的性质，可求出答案； （2）利用方向角以及平行线的性质进行计算即可． 【详解】解：（1）如图1， ， ， ， 答：当时，才能使公路准确接通； （2）如图2，由题意得，，，， ， ，， ， 即：．    【点睛】本题考查方向角，平行线的性质，理解方向角的意义，掌握平行线的性质是正确解答的前提． 【变式10-1】 如图，一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯的角度分别为和，量得，要保持两次拐弯前后的路线平行，的度数应为多少？为什么？ 【答案】117°，理由：同旁内角互补，两直线平行 【分析】根据两直线平行同旁内角互补即可得出∠BCD的度数． 【详解】解：根据题意得，ABCD，∠ABC=63° ∴∠BCD=180°-∠ABC=117°， ∴要保持两次拐弯前后的路线平行，∠BCD为117°，理由是同旁内角互补，两直线平行． 【点睛】题目主要考查平行线的性质，理解题意是解题的关键． 【变式10-2】 如图，一条公路修在湖边，需拐弯绕道而过，如果第一次向右拐75°，第二次拐弯形成的拐角∠B＝135°，第三次拐弯后道路恰好和第一次拐弯前的道路平行，那么第三次是如何拐弯的？ 【答案】向左拐30° 【分析】过点B作，延长BC到点P．可得．从而得到∠ABM＝∠A＝105°．再由∠ABC＝135°，可得∠MBC＝30°即可求解． 【详解】解：过点B作，延长BC到点P． ∵，， ∴． ∵第一次向右拐75°，即∠A＝105°， ∴∠ABM＝∠A＝105°． ∵∠ABC＝135°， ∴∠MBC＝30° 又∵， ∴∠NCP＝∠MBC＝30°． 答：第三次应向左拐30°． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【变式10-3】 某地规划由西向东修建一条公路．如图，从地修到地后，为了绕开古建筑物，改为沿南偏东方向修建段，然后从地改变方向修建段，测得，到处后仍按正东方向继续施工． (1)在图中画出继续施工的路线，并求的大小； (2)在的延长线上由西向东依次修建两个公交站和（均在右侧），连接，，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，作出正确的辅助线以及得到是解题的关键． （1）补全即可，设的延长线交于点F，过点C，D分别作直线l，m垂直于直线，垂足分别为G，H，则，由平行线性质可得到，又，从而可得的度数； （2）设，由于，可得，即可解答． 【详解】（1）解：补全施工路线如图所示．设的延长线交于点F，过点C，D分别作直线l，m垂直于直线，垂足分别为G，H，则， 根据平行线的性质得：， 又， ∴． （2）解：如图，设， 根据题意得， ∴， 又， ∴°，即． 【变式10-4】 潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，如图1，光线经过镜子反射时，，，那么和有什么关系？为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？先画几何图形，如图2，再写已知未知． 如图，， （1）猜想和有什么关系，并进行证明； （2）求证：． 【答案】（1），证明见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据两面镜子是互相平行放置的可知，再根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）即可直接证明． （2）结合题意可证明，再由，，即可证明，最后由平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行），即可证明． 【详解】解：（1）根据题意可知， ∴ （两直线平行，内错角相等）. （2）∵， ∴； ∵，， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质在生活中的应用．掌握平行线的性质与判定是解答本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.3平行线的性质与判定综合应用专项突破 （10大题型全归纳） 【新人教版】 【题型1 直接用平行线性质求角度（基础）】............................................................................1 【题型2 直接用平行线判定证平行（基础）】............................................................................2 【题型3 平行线的性质与判定综合推理（中档必考）】............................................................3 【题型4 平行线与角平分线综合（高频）】................................................................................4 【题型5 平行线与垂直综合】......................................................................................................5 【题型6 拐点/折线模型（M型、铅笔头型、Z型）】...............................................................6 【题型7 平行线中的折叠问题】..................................................................................................9 【题型8 方程思想在平行线中的应用】.....................................................................................10 【题型9 平行线的规范证明题（填空/书写）】..........................................................................12 【题型10 平行线的实际应用（拐弯、光线反射、方位角）】.................................................14 【题型1 直接用平行线性质求角度（基础）】 【例1】 如图，，．若，求，，的度数． 【变式1-1】 如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是_____________． 【变式1-2】 如图，已知，若，，则_____． 【变式1-3】 如图， 已知，，，试求的度数．    【题型2 直接用平行线判定证平行（基础）】 【例2】 已知：如图，直线与直线分别交于点E、F，直线与直线交于点A，且，，试说明：，． 【变式2-1】 如图，有下列条件：①；②；③；④．其中能得到的是__________．（请填写序号） 【变式2-2】 如图，直线被直线所截，其中，，求证：． 【变式2-3】 如图，直线和直线被直线所截，，，那么与平行吗？请说明理由． 【题型3 平行线的性质与判定综合推理（中档必考）】 【例3】 如图，已知，，则与平行吗？请说明理由． 【变式3-1】 如图，分别是上的点，．试说明：． 【变式3-2】 如图，已知，，求证：． 【变式3-3】 如图，已知，，求证：． 【题型4 平行线与角平分线综合（高频）】 【例4】 已知：如图，是直线上两点，，平分，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式4-1】 已知：如图所示，和的平分线交于，交于点，． (1)求证：； (2)试探究与的数量关系． 【变式4-2】 如图，，点E在线段上，且． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【变式4-3】 如图，已知，． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若点在线段上，且满足平分，平分，，求的度数： (3)①如图2，在（2）中，若，其他条件不变，求的度数（直接写出答案，用含的代数式表示）； ②如图3，在（3）①的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当平分时，若，求的度数（直接写出答案，用含的代数式表示）； ③如图3，在（3）①的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当时，若，求的度数（直接写出答案，用含的代数式表示）； 【题型5 平行线与垂直综合】 【例5】如图，，，垂足分别是，，． (1)判断与的位置关系；（不需要证明） (2)求证：． 【变式5-1】 如图，已知：于D，于G，．求证：平分． 【变式5-2】 如图，中，点E在边上，，垂足分别是D，F，． (1)与平行吗？请写出证明过程； (2)若，求的度数． 【变式5-3】 如图，已知． (1)请你判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)若平分，试求的度数． 【题型6 拐点/折线模型（M型、铅笔头型、Z型）】 【例6】 如图，已知平面内有两条直线，且，P为平面内一动点． (1)当点P移动到之间时，如图①，这时与，有怎样的数量关系？证明你的结论； (2)当点P移动到图②、图③的位置时，，，又有怎样的数量关系？请分别写出你的结论． 【变式6-1】 如图，直线，，为直角，则_________．    【变式6-2】 近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为________． 【变式6-3】 如图，已知，，求的度数． 【变式6-4】 如图，，则___________． 【变式6-5】 如图，已知，、是、之间的两点，且，若，，则的度数为____． 【变式6-6】 如图，，平分，平分． (1)若，则的度数为________． (2)试探究与之间的数量关系，并证明． 【变式6-7】 【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【变式6-8】 （1）【问题解决】如图1，已知，，，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含的式子表示）． 【题型7 平行线中的折叠问题】 【例7】 如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则 ______ ． 【变式7-1】 如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠，已知∠1=50°，则_______． 【变式7-2】 用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为________．    【变式7-3】 将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【变式7-4】 方形纸带中∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（    ） A．105° B．120° C．130° D．145° 【题型8 方程思想在平行线中的应用】 【例8】 如图，，． (1)试说明：； (2)已知，求的度数． 【变式8-1】 已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A； (1)求证：DE∥BA． (2)若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数． 【变式8-2】 已知，平分交的延长线于点，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的数． 【变式8-3】 【问题提出】 （1）如图1，直线，被直线所截，平分交于点，，判断与是否平行，并说明理由． 【问题解决】 （2）如图2，，，是三条主路，，超市的入口在主路上，三角形区域是一个大型购物中心，且平分，小路，为一条特色小吃街，，已知，求特色小吃街与主路的夹角的度数． 【变式8-4】 如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯A转动的速度是每秒，灯B转动的速度是每秒．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空： (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且，则在灯B射线到达之前，转动的时间为______秒． 【题型9 平行线的规范证明题（填空/书写）】 【例9】 如图，，平分，与相交于点，，．求的度数．请你在横线上补充其推理过程或理由． 解：因为（已知） 所以（理由：_______________________________________） 因为平分（已知） 所以__________________（角平分线的定义） 又因为___________（已知） 所以（等式的性质） 所以____________________________．（内错角相等，两直线平行） 所以________（理由：___________________________________________） 因为（已知） 所以_______________ 所以________________（等式的性质） 【变式9-1】 如图，已知，，，试说明直线AD与BC垂直（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由）． 理由：C，（已知） ，（ ） ．（ ） 又，（已知） =180°．（等量代换） ，（ ） ．（ ） ，（已知） ， ． 【变式9-2】 已知：如图，，分别平分与并交对边于点、．当时，求证：．请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明条件或理由． 证明：，分别平分与（_________） ________，．（_________） ，（已知） ，（等量代换） ．（___________） ，（____________） ，（____________） ______，（等量代换） ．（                 ） 【变式9-3】 填空完成推理过程： 如图，直线，交于点，，，．求证：． 证明：∵（已知）， ∴（____________）． ∵（已知）， ∴______（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即， ∴______（等量代换）， ∴（____________）． 【题型10 平行线的实际应用（拐弯、光线反射、方位角）】 【例10】 （1）如图1，在A、B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东，如果A、B两地同时开工，直接写出为多少度时，才能使公路准确接通？ （2）如图2，经测量，B处在A处的南偏西的方向，C处在A处的南偏东的方向，C处在B处的北偏东的方向，求的度数．    【变式10-1】 如图，一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯的角度分别为和，量得，要保持两次拐弯前后的路线平行，的度数应为多少？为什么？ 【变式10-2】 如图，一条公路修在湖边，需拐弯绕道而过，如果第一次向右拐75°，第二次拐弯形成的拐角∠B＝135°，第三次拐弯后道路恰好和第一次拐弯前的道路平行，那么第三次是如何拐弯的？ 【变式10-3】 某地规划由西向东修建一条公路．如图，从地修到地后，为了绕开古建筑物，改为沿南偏东方向修建段，然后从地改变方向修建段，测得，到处后仍按正东方向继续施工． (1)在图中画出继续施工的路线，并求的大小； (2)在的延长线上由西向东依次修建两个公交站和（均在右侧），连接，，直接写出与的数量关系． 【变式10-4】 潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，如图1，光线经过镜子反射时，，，那么和有什么关系？为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？先画几何图形，如图2，再写已知未知． 如图，， （1）猜想和有什么关系，并进行证明； （2）求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $