精品解析：陕西省榆林市第十中学2026届高三上学期第七次模拟考试（1月月考）数学试题

2026届高三第七次模拟考试数学试题 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集定义计算求解. 【详解】集合，， 则. 故选：D. 2. 已知是虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法和除法运算计算出复数，再利用复数的模的公式计算得出答案. 【详解】因为，所以 因此. 故选：C. 3. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 15 B. 16 C. 180 D. 240 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，令的指数为0求出，进而计算常数项. 【详解】对于，其展开式的通项为. 令，解得. 将代入通项，常数项为. 故选：D 4. 在四边形中，，，，则四边形的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量关系确定四边形的形状为梯形，再结合向量的坐标运算得梯形相关长度即可求得梯形的面积. 【详解】因为在四边形中，， 所以且，则四边形为梯形， 又，，所以， 则，且，则， 所以四边形的面积为. 故选：B. 5. 若，，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式“1”的妙用即可求解． 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 故选：A． 6. 设函数满足对任意成立，且当时，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据周期的定义即可求解． 【详解】因为函数满足对任意成立， 所以周期为4，又当时，， 所以， 故选：C． 7. 已知抛物线的焦点F，过的直线l与抛物线E在第一象限内交于A，B两点，若，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理、抛物线的定义及，联立即可求得直线的斜率． 【详解】设直线的方程为，， 由，消去得， 有①， 由得，，即， 由①②得， 所以， 故选：B． 8. 已知函数，若是唯一的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出当时，方程无解或解为，根据导数即可求解． 【详解】由题可知，，， 因为是唯一的极值点， 所以当时，无解或解为， 设，则， 令，解得， 所以当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 又，所以，所以， 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为递增的等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由等差数列的前项和公式与等差数列的性质可得，再结合等差数列的单调性可得的值，从而得公差，结合等差数列的通项公式、前项和公式、数列裂项求和法逐项计算即可得结论. 【详解】因为递增的等差数列的前项和为，设公差为， 所以，所以， 又，所以或（舍）， 所以，故， 所以，故A不正确； 则，故B正确； 又，所以， 则，故C正确； 因为， 所以，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数，则（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. 在区间单调递减 D. 在有3个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两角差的余弦公式，二倍角公式，降幂公式及辅助角公式化简，即可判断A；根据正弦函数的性质即可判断BCD． 【详解】 ， 对于A，，所以，故A正确； 对于B，，所以的图象关于点中心对称，故B错误； 对于C，当时，， 所以在区间单调递减，故C正确； 对于D，令， 当时，， 所以当，即时，， 所以在有3个零点，故D正确； 故选：ACD． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积是 C. 的最小值为 D. 不存在点使直线与直线夹角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，对A，证明；对B，由求解；对C，将表示为的函数求最值；对D，求两异面直线夹角的范围判断. 【详解】以为坐标原点，，，分别为，，轴， 建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，， 所以，，，设，，则. 对于A：因为，故，故A正确； 对于B：因为，平面，平面， 则平面，所以三棱锥的体积为，故B错误； 对于C：因为， 所以， ， 当时，取得最小值为，故C正确； 对于D：因为，， 所以，， 设与的夹角为，则， 故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 相互独立事件A、B满足，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由得，再根据独立事件的乘法公式计算即可求解 【详解】因为，而，所以， 又A、B相互独立，所以， 即. 故答案为： 13. 已知函数，（），若，则_________． 【答案】1 【解析】 【分析】设函数，得出为奇函数，利用奇函数的性质即可求解． 【详解】设函数，定义域为， 因为， 所以为上奇函数， 因为，所以， 所以， 故答案为：1． 14. 已知满足，，，，为直线上的动点，且，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形边角关系确定边上的高，由的面积可得的长度，不妨设点靠近点，得，设，则，从而根据平面向量基底运算结合数量积运算得关于的表达式，利用二次函数求解最值即可. 【详解】过作于， 因为满足，，， 所以， 则，所以， 不妨设点靠近点，则， 设，则， 所以， 因为， 则 因为，故当时，的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：（本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 某中学对学生钻研奥数课程的情况进行调查，将每周独立钻研奥数课程超过6小时的学生称为“奥数迷”，否则称为“非奥数迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示： 奥数迷 非奥数迷 合计 男 24 36 60 女 12 28 40 合计 36 64 100 a 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （1）对照列联表，根据小概率的独立性检验，是否认为“奥数迷”与性别有关？ （2）现从抽取的“奥数迷”中，按性别采用分层抽样的方法抽取3人参加奥数闯关比赛，已知其中男、女学生独立闯关成功的概率分别为、，在恰有两人闯关成功的条件下，求两人性别相同的概率． 参考数据与公式：，其中． 【答案】（1）是否为“奥数迷”与性别无关 （2） 【解析】 【分析】（1）计算并与临界值比较即可得出判断； （2）先按分层抽样确定男生与女生人数，再根据条件概率公式计算即可． 【小问1详解】 零假设：“奥数迷”与性别无关， ， 根据小概率的独立性检验，可以推断成立， 所以认为是否为“奥数迷”与性别无关． 【小问2详解】 根据分层抽样，抽取的男生人数为2人，女生人数为1人， 设“恰有2人闯关成功”为事件，“两人性别相同”为事件， 则， ， 由条件概率公式得，， 所以在恰有两人闯关成功的条件下，两人性别相同的概率为． 16. 记数列是等差数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，其前项和为，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由等差数列基本量的计算即可求解； （2）根据裂项相消即可证明． 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，，所以，解得， 所以数列的通项公式 【小问2详解】 证明：由（1）得，， 则 ，证毕． 17. 如图，在四棱锥中，平面为AD的中点． （1）证明：平面平面PAC； （2）求PB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，结合可得平面PAC，从而可得平面平面PAC； （2）以A为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，求出求PB的方向向量以及平面PCD的法向量，根据空间向量夹角公式即可求出PB与平面PCD所成角的正弦值 【小问1详解】 因为平面平面ABCD，所以， 连接EC，由， 故四边形ABCE是正方形，故， 因为，PA，平面PAC，所以平面PAC， 因为平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAC； 【小问2详解】 以A为原点，以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面PCD的法向量为， 则有，即， 可取，设PB与平面PCD所成角为， 则， 所以PB与平面PCD所成角的正弦值为． 18. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）讨论函数的零点的个数； （3）对于任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求定义域，求导，令，求可得单调区间； （2）参变分离，研究，的单调性，分类讨论进而可求解； （3）参变分离，构造函数，求其单调性，最终求出极值，最值，求得实数的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，.. 所以，的单调递增区间是，单调递减区间是. 【小问2详解】 定义域为，由分离参数，得. 令， 函数的零点的个数即为与直线的交点个数即为原函数零点个数. 求导得，，令，解得. 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 所以，. 又因为，所以，当时，；当时，， 又时，. 当时，与直线无交点，即函数无零点； 当或时，与直线有一个交点，则函数有一个零点； 当时，与直线有两个交点，则函数有两个零点. 综上所述：当时，函数无零点； 当或时，函数有一个零点； 当时，函数有两个零点. 【小问3详解】 设，则在上为增函数， 而，，故在有唯一解. 而由题设可得任意的恒成立. 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以，所以，当且仅当时取到等号， 所以当时，有， 当且仅当，也就是当时取等号. 所以，当且仅当时取等号. 所以，故的取值范围是. 19. 已知抛物线，是准线，平面内一动点到点的距离是到直线的距离的一半，记的轨迹为曲线. （1）求的方程，并说明是什么曲线； （2）已知，，过点的直线交于点，过点的直线交于点，直线过点，直线，交于点，直线，交于点，求线段的最小值. 【答案】（1），椭圆 （2）6 【解析】 【分析】（1）设到直线的距离为，由题意得，即，化简整理即可求解； （2）设直线方程为，，，与椭圆方程联立消元，由韦达定理得，进而得，再求直线的方程和直线的方程，解出，又，设直线方程为：，解出的坐标，进而得的坐标，进而得，最后利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 抛物线的准线， 设到直线的距离为， 由题意知，， 所以， 所以，， 所以， 所以是椭圆； 【小问2详解】 由题意直线的斜率不等于零，设方程为，，， 所以，恒成立， 所以，①， 又直线的方程为：②， 直线的方程为：③， 联立②③可得， 代入，可得， 将①代入可得，所以点的横坐标为4， 同理可得点的横坐标为4， 直线为定直线：， ，， ， 故设直线方程为：， 设直线方程为：， ，当且仅当时取等号. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三第七次模拟考试数学试题 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 5 3. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 15 B. 16 C. 180 D. 240 4. 在四边形中，，，，则四边形的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 6 5. 若，，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6. 设函数满足对任意成立，且当时，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 7. 已知抛物线的焦点F，过的直线l与抛物线E在第一象限内交于A，B两点，若，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若是唯一的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为递增的等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. 在区间单调递减 D. 在有3个零点 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积是 C. 的最小值为 D. 不存在点使直线与直线夹角的余弦值为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 相互独立事件A、B满足，则___________． 13. 已知函数，（），若，则_________． 14. 已知满足，，，，为直线上的动点，且，则的最小值为_____． 四、解答题：（本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 某中学对学生钻研奥数课程的情况进行调查，将每周独立钻研奥数课程超过6小时的学生称为“奥数迷”，否则称为“非奥数迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示： 奥数迷 非奥数迷 合计 男 24 36 60 女 12 28 40 合计 36 64 100 a 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （1）对照列联表，根据小概率的独立性检验，是否认为“奥数迷”与性别有关？ （2）现从抽取的“奥数迷”中，按性别采用分层抽样的方法抽取3人参加奥数闯关比赛，已知其中男、女学生独立闯关成功的概率分别为、，在恰有两人闯关成功的条件下，求两人性别相同的概率． 参考数据与公式：，其中． 16. 记数列是等差数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，其前项和为，证明：． 17. 如图，在四棱锥中，平面为AD的中点． （1）证明：平面平面PAC； （2）求PB与平面PCD所成角的正弦值． 18. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）讨论函数的零点的个数； （3）对于任意的恒成立，求的取值范围. 19. 已知抛物线，是准线，平面内一动点到点的距离是到直线的距离的一半，记的轨迹为曲线. （1）求的方程，并说明是什么曲线； （2）已知，，过点的直线交于点，过点的直线交于点，直线过点，直线，交于点，直线，交于点，求线段的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $