第8章 实数重难点专题 2025-2026学年人教版数学七年级下册

实数的重难点专题（解析版） 一、求一个数的平方根、立方根 1．的平方根是___，的平方根是___，的平方根是____． 【答案】 2．的算术平方根是 ___，3﹣2的平方根是 ___． 【答案】 3．的算术平方根是______，的值是______． 【答案】 / 4．若，则的算术平方根为__________. 【答案】4 二、算术平方根的非负性 5．若，则______． 【答案】 6．a与b均为实数，且与互为相反数，则____；____． 【答案】 1 3 7．若实数，满足，则的算术平方根是________． 【答案】 8．若x，y都是实数，且，则的立方根为_______． 【答案】3 9．若，则的算术平方根为_____________． 【答案】5 【详解】解：由题意可得， 解得：， ∴， ∴， ∴的算术平方根是5． 故答案为：5． 10．已知，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴； 故选C． 11．已知非零实数a，b满足，则______． 【答案】2 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，， 解得，，， 则， 故答案为：2． 12．若、为实数，且满足，则的算术平方根为______． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴且， ∴，解得， 将代入中，得， ∴， ∴的算术平方根为． 故答案为：． 13．若满足等式，，则当取最大值时，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴，解得：， ∵，， ∴， ∴， ∴的最大值为， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 三、实数的相关概念 14．下列说法中正确的有（   ） A．4的平方根是 B．的算术平方根是 C．负数没有立方根 D．带根号的数都是无理数 【答案】A 15．下列说法正确的是（　　） A．有理数与数轴上的点一一对应 B．平方根是它本身的数只有0 C．两个无理数的和一定是无理数 D．负数没有立方根 【答案】B 16．下列说法中，正确的是（   ） A．不带根号的数一定是有理数 B．实数和数轴上的点一一对应 C．无限小数都是无理数 D．算术平方根等于它本身的数是0和 【答案】B 17．下列说法中，正确的是（    ） A．数轴上的点都表示有理数 B．用根号表示的数不一定都是无理数 C．的平方根是 D．任何实数的平方根都有两个，它们互为相反数 【答案】B 18．下列语句中，正确的是 （    ） A．无限小数都是无理数 B．无理数分为正无理数、0和负无理数 C．实数与数轴上的点是一一对应的 D．无理数的平方一定是有理数 【答案】C 19．有下列说法：①实数和数轴上的点一一对应；②不含根号的数一定是有理数；③负数没有平方根；④是17的平方根．其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 20．下列计算或命题： ①有理数和无理数统称为实数；②=a；③的算术平方根是2；④实数和数轴上的点是一一对应的，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 21．有下列表述：①49的算术平方根是7；②任何数都有平方根；③的平方根是；④算术平方根等于它本身的数是0和1．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 22．下列说法中，正确的个数有（   ） （1）带根号的数是无理数（2）实数和数轴上的点一一对应（3）无限小数都是无理数（4）2是4的平方根（5）算术平方根等于它本身的数是0和（6）的平方根是 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 23．下列说法：①＝﹣10；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③一个数的算术平方根仍是它本身，这样的数有三个；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，正确的个数有（　　） A．2个 B． 3个 C．4个 D．5个 【答案】B 24．下列说法：平方根等于本身的数是和；两个无理数的和一定是无理数；无理数都是带根号的数；实数和数轴上的点是一一对应的；正数的算术平方根一定比它本身小．其中正确的说法有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】D 四、实数与数轴 25．如图，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1．以点A为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点记作E，则点E所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 26．如图，面积为6的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为2．以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点E（点E在点A的左侧），则点E所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 27．如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为____． 【答案】/ 28．如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点C是线段的中点， ∴， ∴点A表示的数是：， 故选：D． 29．已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据数轴可推出，据此化简绝对值和计算算术平方根，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：A． 30．实数，，在数轴上的对应点如图所示，已知，化简_________． 【答案】0 【分析】利用实数，，在数轴上的对应点的位置确定，，的符号，利用已知条件得到，再利用算术平方根的性质化简运算即可． 【详解】解：由题意得：， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∴原式 ． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，算术平方根，绝对值的意义，利用实数，，在数轴上的对应点的位置确定，，的符号是解题的关键． 31．数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为__________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质，算术平方根以及立方根的性质；根据有理数、、在数轴上的位置，得到它们之间的大小关系，再利用绝对值及算术平方根和立方根的性质去化简原式求出结果． 【详解】解：根据有理数、、在数轴上的位置，得到，且， ∴， ∴ ． 故答案是：． 32．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简：____________． 【答案】 【分析】根据数轴可得： ，从而得到，再根据算术平方根和立方根的性质求解即可． 【详解】解：根据题意得： ， ∴ ， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴、算术平方根、立方根的性质等知识点，掌握根据数轴判定代数式的正负是解题的关键． 33．已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则______． 【答案】 【分析】此题考查利用数轴判断式子的符号，根据数轴得到，故,化简计算即可 【详解】解：由数轴可知，, ∴, ∴原式 故答案为： 34．如图，在数轴上的两个点表示为实数，，化简：________． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值，算术平方根，立方根的含义，整式的加减运算的应用，熟练的化简绝对值是解本题的关键．由数轴可得出a ，b ，c的大小关系，可得，，再化简即可． 【详解】解：根据数轴上点的位置得：，， ∴，， ∴ ． 35．已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：________． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根和立方根，整式的加减，数轴和绝对值的性质，根据数轴上点的位置判断各项的符号并化简是解题的关键． 根据在数轴上的位置可得，，，进而得到，，然后对原式进行化简即可． 【详解】根据在数轴上的位置可得，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 36．实数，，在数轴上的对应点如图所示，其中是原点，且； 化简： 【答案】 【分析】先根据数轴判断出，，，再逐项化简，然后合并同类项即可． 【详解】解：根据点在数轴上的位置，知：，， ，，， 原式 ． 【点睛】本题考查了利用数轴判断代数式的正负，算术平方根、立方根、绝对值的意义，以及整式的加减，综合运用各知识点是解答本题的关键． 五、无理数的整数部分与小数部分 37．已知a是的整数部分，b是的小数部分，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查算术平方根的整数部分和小数部分，代数式求值，找出离19最近的两个平方数，求出的取值范围，进而求出a，b，代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 的整数部分，小数部分， ， 故答案为：． 38．的小数部分为a，的整数部分为b，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了对无理数大小的估算能力，能准确理解并运用算术平方根是解题的关键． 运用算术平方根的知识进行估算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分a为，的整数部分b为2， ∴ 故答案为：． 39．我们知道是无理数，所以的小数部分不能全部写出来，但我们可以用来表示的小数部分．已知的小数部分是，的小数部分是，则的值为 _____． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，通过估算的范围，确定和的整数部分和小数部分，进而计算的值，掌握无理数大小估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵，即， ∴的整数部分为，小数部分；的整数部分为，小数部分， ∴， ∴ ， 故答案为：． 40．已知的整数部分，的小数部分，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，以及估算无理数的大小，求出x、y的值是解决问题的关键．由，可得，再根据x为的整数部分，y为的小数部分，确定x、y的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． ∵，x为的整数部分，y为的小数部分， ∴，． ∴． 故答案为：． 41．已知是4的平方根，是的小数部分，是的整数部分，则代数式_________． 【答案】21或5 【分析】本题考查了平方根，估算无理数的大小以及代数式求值，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．根据平方根的定义求出的值，估算出的范围，求出、的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵是4的平方根， ∴， ∵，即， ∴， ∵是的小数部分， ∴， 同理， ∵是的整数部分， ∴， ∴或， 综上所述，代数式的值为或． 故答案为：或． 42．设表示最接近的整数，则________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根规律探究问题，解答本题的关键是具有一般规律推导特殊性质的能力．先写出前几个数的值，然后可得出2个数、4个数、6个数……，依次相等，从而可得出答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∴原式． 故答案为：． 六、无理数的估值 43．估算的值（    ） A．8到9之间 B．9到10之间 C．10到11之间 D．11到12之间 【答案】C 【详解】解：， ， ， 故选：C． 44．估计的值为（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】D 【详解】解： ，即 在4和5之间． 故选：D． 45．估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【详解】解：， ∴， ∴的值在4和5之间， 故选：C． 46．已知整数m满足，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴整数m的值为5． 故选：D． 47．已知，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 即． 故选：A． 48．估计的值在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】A 【详解】解：∵， ∴介于4和5之间． ∴的值在1到2之间． 故选：A． 49．估算的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 即， 故选：C． 50．已知与为两个连续的自然数，且满足，则的值为（    ）． A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【详解】解：， ， ， ，， ， 故选：A． 51．估计的值在（   ） A．4到5之间 B．3到4之间 C．2到3之间 D．1到2之间 【答案】B 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 即：的值在3到4之间； 故选B． 七、平方根、算术平方根、立方根的性质综合运用 52．已知是的算术平方根，是的立方根，求：的值的平方根． 【答案】． 【详解】∵是的算术平方根， ∴， ∴， 则：， ∵是的立方根， ∴， 解得：， ∴， ∴， 即的值的平方根为． 【点睛】此题考查了立方根、平方根及算术平方根的定义，求出、的值是解答本题的关键． 53．已知一个正数的两个平方根分别是和，且的立方根为． (1)求的值． (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，； (2)的算术平方根为． 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根，立方根，解题的关键是根据定义列出方程． （1）根据平方根的定义、立方根的定义列出方程进行解答即可； （2）把（1）中，，代入，求出值后根据算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 解得，， 的立方根为， ， 解得，， （2）解：，， ， ． 54．已知，． (1)已知x的算术平方根为3，求a的值； (2)如果x，y都是同一个正数的两个平方根，求这个数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据算术平方根的定义求出，即得关于的方程，求解即可； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出，再求即可． 【详解】（1）解：∵x的算术平方根为3， ∴， 即 ； （2）解：∵x，y都是同一个正数的两个平方根， 解得， ∴． 答：这个数是． 55．（1）若x，y满足等式，求的平方根； （2）已知的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根． 【答案】（1）；（2）10 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根、平方根的定义以及解二元一次方程组，熟练掌握立方根、算术平方根、平方根的定义以及解二元一次方程组是解决本题的关键． （1）先根据被开方数为非负数求出x，y的值，代入求平方根即可； （2）根据平方根和立方根求出x，y的值，代入求算术平方根即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为； （2）∵的平方根是，的立方根是3， ∴，， 解得， ∴，， ∴的算术平方根为． 56．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分； (1)直接写出的值； (2)若是的小数部分，求的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据平方根的意义，立方根的意义，无理数的估算计算． (2)根据无理数的估算，确定整数部分和小数部分，后计算． 【详解】（1）解：的平方根是， ， 解得， 又的立方根是， ； 又是的整数部分， 而， ； ． （2）∵，x是的小数部分， ， ， 的算术平方根为． 【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的小数部分，平方根，立方根，算术平方根的计算，熟练掌握估算思想，会求一个数的算术平方根是解题的关键． 57．已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分，是的小数部分． (1)求，，，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，无理数的估算等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据立方根，算术平方根，无理数的估算即可求解； （2）根据平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵的立方根是3， ∴ ， 解得：， ∵的算术平方根是4， ∴， ∴， 解得：， ∵，是的整数部分，是的小数部分， ∴； （2）解：当，，时， ， ∴的平方根为． 58．请分别解答下列各小题： (1)已知，求的值； (2)已知的算术平方根是3，的立方根是1，c是的整数部分，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性，平方的非负性，可知，，，解得、、后，代入求值即可； （2）根据题意，可知，，，求得、、后，代入求值即可． 【详解】（1）解：， ，，， ，，， ； （2）解：的算术平方根是3，的立方根是1，c是的整数部分， ，，， ，， ． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，平方的非负性，算术平方根，立方根，无理数的估算，代数式求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 59．已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)的平方根为． 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根概念，无理数的估算，熟练掌握相关概念及运算法则是解题的关键． （）根据立方根，算术平方根的定义，无理数估算求出的，，的值即可； （）把，，的值先代入求解，然后根据平方根的概念即可得出结果． 【详解】（1）解：∵的立方根是，算术平方根是， ∴，， ∴，， ∵，即， ∴整数部分， ∴，，； （2）解：由（）得，，，， ∴， ∴的平方根为． 60．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中为有理数．为无理数，那么，运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中为有理数，求和的值； (2)如果，其中为有理数，求的立方根； (3)若均为有理数，且，求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)的立方根为2 (3)的算术平方根为或 【分析】（1）根据题干提供的方法列出m和n的方程求解即可； （2）先根据题干提供的方法列出m和n的方程组求解，然后代入计算即可； （3）先整理成，其中为有理数．为无理数，再按题干提供的方法求解． 【详解】（1）∵，其中为有理数， ∴，； ∴，． （2）∵， ∴， ∵m、n为有理数， ∴ 解得 ∴， ∴的立方根为2． （3）∵， ， ∵m、n为有理数， ∴，， ∴，， ∴当，时，，的算术平方根为； 当，时，，的算术平方根为； 综上所述，的算术平方根为或． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次方程的解法，算术平方根的意义等知识，掌握题目介绍的解题方法是解答本题的关键． 八、实数的大小比较 61．比较大小：______（填“”或“”或“”）．比较大小：______．（填写“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了比较实数的大小，根据具体情况适当转化形式再比较．当一个是带根号形式另一个是分数形式时，可同时平方，比较平方后的大小，它们的大小关系一致；当一个是立方根形式另一个是平方根形式时，可以找一个中间的整数作为桥梁，再比较大小即可． 【详解】解：①，， ， ②，， ， 故答案为：①，②． 62．比较大小______ 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握“分母相同的分数，分子大的分数值大”以及二次根式的估值方法是解题的关键． 两个分数分母相同，只需比较分子的大小，即可确定分数的大小关系． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即． ∴． 63．比较大小：_______（填“＞”或“＜”）． 【答案】＞ 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握分母相同的分数，比较分子大小即可，结合无理数的估算判断分子的大小是解题的关键． 因为分母相同，故可通过比较分子的大小来比较两个分数的大小． 【详解】解：∵分母相同， ∴比较分子和． ， ∴， ． 故答案为：＞． 64．比较大小：______填“>，<或=” 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握几种常见的比较实数大小的方法． 先把两个数通分，然后把根号外的系数变成它的平方，移到根号内，通过比较被开方数的大小比较分子的大小，进而比较这两个数的大小即可． 【详解】解：， ， ， ，即， 故答案为： 65．估计大小关系： _____（填或）． 【答案】 【分析】本题考查了利用求差法比较实数的大小．任意两个实数和比较大小，可以求这两个实数的差，当的差大于时，；当的差小于时，；当的差等于时，． 【详解】解： ， ． 故答案为： ． 66．比较下列各组数的大小： （1）________4； （2）________1． 【答案】 【分析】本题考查实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法，是解题的关键． （1）先将化成，然后比较即可； （2）利用作差法比较即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ 故答案为：． （2）∵ ∴ 故答案为：． 67．_________，_________，_________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数大小比较，二次根式的大小比较．先作差，再利用二次根式的估算，从而可得结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； 故答案为：；；； 68．数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法：因为，所以　　　　，所以　　　(填“”或“”)； 小英的方法：，因为，所以 0，所以　　　　0，所以 　　　　 (填“”或“”)． (1)将上述材料补充完整； (2)请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据算术平方根的定义以及实数的大小比较方法解答即可； （2）采取（1）中相同的方法解答即可． 【详解】（1）解：小华的方法：因为，所以，所以； 小英的方法：，因为，所以，所以，所以； （2）解：小华的方法：因为，所以，所以； 小英的方法：，因为，所以，所以，所以． 九、新定义运算 69．对于任意两个正实数，，定义运算“☆”：．如：．根据定义可得______． 【答案】5 【分析】将8和9替换定义中的a和b即可计算． 【详解】解：由题意得： 8☆9=+=2+3=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，将数据代入新定义的式子中即可． 70．设，都是有理数，规定 ，则=__________． 【答案】1 【分析】本题考查平方根与立方根，正确理解规定，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键． 根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为：1 71．定义变换．例如．则的变换结果是________． 【答案】 【分析】本题是数学新定义问题，主要考查了求立方根和算术平方根， 先计算内层变换 ，得到结果后再计算外层变换 ，根据变换定义求平方根和立方根． 【详解】解：∵定义变换 。 ∴ 故答案为 ． 72．对于任意正数a，b，定义运算“”如下： ，计算结果为_________． 【答案】0 【分析】本题考查了实数的运算，理解题目已知的定义运算是解题的关键．根据运算定义，分别计算和，再对结果进行运算． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 即结果为0． 故答案为：0． 73．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”．若是“完美实数”，则________；若与都是“完美实数”，则的平方根为_______． 【答案】 或 0或 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其计算方法是关键． 根据算术平方根，立方根的计算方法求解即可． 【详解】解：一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”， ∵的算术平方根是，的立方根是， ∴这个实数可以是， ∴当时，， 当时，， ∴或； 若与都是“完美实数”， ∴或或或， 解得，或或或， ∴对应的或或或， ∴对应的平方根为或或或， 综上所述，的平方根为或； 故答案为：①或；② 或． 十、实数的规律问题 74．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位，小数点的移动方向保持一致． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键． 75．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根的估算，被开立方的数的小数点向右每移动3位，则开立方的结果的小数点向右移动1位，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 76．已知，，，，若，则___________，____________． 【答案】 214000 -0.1289 【分析】根据，，结果是原来的100倍，被开方数是原来的10000倍，即可求出x，根据，．代入即可求解． 【详解】∵， ∴ ∵， ∴-0.1289 故答案为：214000，-0.1289． 【点睛】此题考查了平方根和立方根的计算，解题的关键知道平方根和立方根的性质． 77．根据以下表格里的数据： 则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，被开方数的小数点向右每移动两位，开方的结果的小数点向右移动一位，被开方数的小数点向左每移动两位，开方的结果的小数点向左移动一位，据此求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 故选：A． 78．用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，能够读懂题意，理解图表是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此求解即可． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∵， ∴， 故选：A． 79．如图，将一组数按下面的方法进行排列，如第1排第4个是，第2排第3个是，求第8排第3个是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意找到规律，然后进行排列后写出数据即可解题． 【详解】解：由可得规律为：第n个数为， ∵排列时每行有个， ∴第a排第b 个数据为第个数，即， 第8排第3个应是第个数， ∴第8排第3个应是， 故选C． 【点睛】本题考查实数的规律问题，通过所给数据找到规律是解题的关键． 80．如图所示为一个按某种规律排列的数阵． 根据数阵规律，第八行第十三个数是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据数字的变化找出规律求值是解本题的关键．找出规律，计算求值即可． 【详解】解：第一行有个数， 第二行有个数， 第三行有个数， ， 第行有个数， 前行包含第行数的总个数为：， 第八行数的个数为：， 前八行包含第八行数的总个数为：， 根据规律，可知第八行的最后一个数为：， ，， 第八行第十三个数是 故选：D． 81．下图是按某种规律排列的数阵： 第一行                 1      第二行                      第三行                 第四行 …… 根据数阵规律，第8行第11个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化，算术平方根，根据题意找到规律，即可求解，找到规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：第行的元素个数为：（个），第行的末尾数为：， ∴第8行共有个数，末尾数为， ∴第8行11个数也为倒数第6个数，即． 故选：B． 82．【发现】 ① ② ③ ④…… （1）根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：______． 【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题： 对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： （2）若与的值互为相反数，则______； （3）若与的值互为相反数，且，求a的值． 【答案】（1）（答案不唯一），互为相反数；（2）6；（3） 【分析】（1）根据题目给出的规律解答即可； （2）根据题意可得，解方程求出x的值，再根据算术平方根的定义求解即可； （3）先根据题意得到，求出，再由，得到，即可求出． 【详解】解：（1），符合上述规律； 由题意得等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：对于任意两个有理数a，b，若互为相反数，则；反之也成立． 故答案为：（答案不唯一），互为相反数； （2）∵与的值互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6； （3）∵与的值互为相反数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质，求一个数的算术平方根，利用求平方根的方法解方程等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． 83．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； … 【规律发现】 （1）计算： ； ； （2）用字母表示出第个等式： ． 【规律应用】 （3）根据上述等式规律，化简：． 【答案】（1）6，17；（2）；（3）110 【分析】本题考查了算术平方根、数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）先计算乘法与加法，再计算算术平方根即可得； （2）根据第①④个等式归纳类推出一般规律即可得； （3）根据上述规律化简，再计算加法即可得． 【详解】解：（1）；， 故答案为：6；17． （2）第①个等式：，即； 第②个等式：，即； 第③个等式：，即； 第④个等式：，即； 归纳类推得：第个等式：， 故答案为：． （3） ． 十一、计算 1．解方程：(1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 2．解下列方程(1) (2) 【答案】(1) (2) 3．解方程：(1)； (2) ． 【答案】(1)或 (2) 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 5．计算： (1) (2) 【答案】(1)2 (2) 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 7．计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 8．计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 9．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 10．计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2)5 11．计算： (1)； (2) ． 【答案】(1)4 (2) 12．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 13．计算： (1) (2) 【答案】(1)6 (2) 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 15．计算 (1) (2) 【答案】(1)9 (2) 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4； (2)． 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 十二、阅读理解型问题 18．对于任意实数x，可以用表示不超过x的最大整数，例如，若将x变换成称为对x进行一次操作．例如，现对38进行如下操作： 这样对38进行三次操作后变为1，现对一个正整数进行类似操作，下列说法正确的个数是（   ） ①对130进行两次操作后的结果为3； ②对一个正整数一直进行操作，最终结果都不小于1； ③若正整数x进行四次操作后结果不再发生变化，则x的最大值为65536 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】此题考查了新定义，无理数的估算大小的应用，主要考查学生理解能力与计算能力．先整理，结合新定义，再估算出，则，据此可判断①；结合正整数的概念以及新定义的运算法则，得出对一个正整数一直进行操作，最终得到的结果是1，据此可判断②；设经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为m，经过第三次操作后的数为s，因为，故，同理得到的范围，进而得到的范围，据此可判断③． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； 设n为一个正整数，则，即， ∴对一个正整数一直进行操作，最终得到的结果是1，故②正确； 设经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为m，经过第三次操作后的数为s， ∵正整数x进行四次操作后结果不再发生变化， ∴正整数进行4次操作后变为1， ∴， ∴． ∴， ∴ ∴． ∴， 同理可得， ∴ ∵是正整数． ∴的最大值为65535．故③不正确； 故选：B。 19．对任意实数，可用表示不超过的最大整数，例如，，若将变换成称为对进行一次操作，例如：现对54进行如下操作，这样对54进行3次操作后变为1，对一个正整数进行类似操作，下列说法正确的个数是（   ） ①对37进行一次操作后的结果是6； ②对138进行两次操作后的结果是3； ③对一个正整数一直进行操作，最终得到的结果是0； ④若正整数进行3次操作后变为1，则的最大值是225． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】此题考查了新定义，无理数的估算大小的应用，主要考查学生理解能力与计算能力．先整理，结合新定义；先对138进行一次操作后的结果是，同理得对138进行两次操作后的结果是3；结合正整数的概念以及新定义的运算法则，得出对一个正整数一直进行操作，最终得到的结果是1；设经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为m，因为，故．即，得．结合是正整数．得的最大值为255．即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， 则， 故①符合题意； ∵， ∴， 则， ∵， ∴， 则， ∴对138进行两次操作后的结果是3； 故②符合题意； 设正整数n， 则， 即， ∴， 则， 故对一个正整数一直进行操作，最终得到的结果是1； ③不符合题意； 设经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为m， ∵正整数进行3次操作后变为1， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵要经过3次操作，故． ∴． ∵是正整数． ∴的最大值为255． 故④不正确； 故选：C． 20．我们已经学习了利用“夹逼法”估算的值，现在用． 表示距离（为正整数）最近的正整数例如：表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，利用这些发现得到以下结论： ； 时，的值有个； ； ； 当时，的值为． 以上结论中正确的结论有个（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义通过估算无理数的值，找到数字变化的规律，再用规律去解答题． 【详解】解：表示距离最近的正整数， ，所以正确； 当时，为，，，，，一共有个， 所以错误； ，，，，，，，，，，，， ， 所以正确； 由，，，，，，，，，，，；可得个，个，个，个， 所以； 故正确； ， ， 所以正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的知识和发现规律并运用规律解题的方法，难度较大． 21．我们在初中已经学会了估算的值，现在用表示距离最近的正整数．（n为正整数）比如：表示距离最近的正整数，∴；表示距离最近的正整数，∴；表示距离最近的正整数，∴……利用这些发现得到以下结论： ①；②时，n的值有3个；③；④；⑤当时，n的值为2550． 五个结论中正确的结论有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】①根据表示距离最近的正整数，进行判断；②根据，确定n的值；③分别求出，进行求解即可；④根据③中的数据，得到相应的数字规律，再进行计算即可；⑤根据规律进行倒推，即可得解． 【详解】解：①表示距离最近的正整数， ∴；故①正确； ②时，，4，5，6， ∴n的值有4个；故②错误； ③∵， ∴；故③正确； ④∵，…， ∴2个1，4个2，6个3，8个4，…， ∴；故④错误； ⑤， ∴；故⑤正确； 综上：正确的是①③⑤，共3个； 故选B． 【点睛】本题考查无理数的估算，以及数字规律探究．根据所给的定义，通过无理数的估算，找到数字规律是解题的关键． 22．对代数式定义新运算：．在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，，在数轴上的位置如图所示．例如：，，．下列说法正确的个数是（    ） ①； ②； ③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0； ④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据数轴上的位置可得即可判断①；分别求出和的结果即可判断②；根据即可判断③；推出不论怎么操作，都不可能出现这种情况即可判断④． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ①，故①正确； ②，， ∴，故②正确； ③∵原代数式为， ∴要想新操作的结果与原代数式之和为0，那么新操作的结果为， ∵， ∴至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0，故③正确； ④∵，， ∴不论怎么操作，都不可能出现这种情况，故④错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，新定义，正确理解题意是解题的关键． 23．数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：≈1.414…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用﹣1来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： (1)的小数部分是a，的整数部分是b，求a+2b﹣的值． (2)已知6+＝x+y，其中x是一个整数，0＜y＜1，求的值． 【答案】(1)12 (2)13 【分析】（1）根据估算无理数的方法得出a,b的值进而得出答案； （2）直接利用已知得出x,y的值，进而代入求出答案． 【详解】（1）∵， ∴的小数部分a为：﹣2， 又∵， ∴的整数部分b为：7， ∴ a+2b﹣ ＝﹣2+14﹣ ＝12； （2）∵6+＝x+y，其中x是一个整数，0＜y＜1， ∴x＝7，y＝6+﹣7＝﹣1， ∴ ＝ ＝14﹣1 ＝13． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出各无理数最接近的有理数是解题关键． 24．小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为的正方形的边长是且， ∴可设，其中，画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积，又∵，∴． 由，可忽略，得，得到，即． (1)写出的整数部分为________，的整数部分为________； (2)仿照上述方法，探究解答的近似值．（要求：画出图形，标明数据，结果保留两位小数） 【答案】(1)，； (2)画图见解析，． 【分析】本题主要考查了无理数的估算，掌握无理数估算方法是解题的关键． （）估算出，即可得到答案； （）仿照题意画出示意图进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分为， ∵， ∴的整数部分为， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴可设，其中，画出示意图，如图所示， 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又∵， ∴， 由，可忽略， ∴，得到，即． 25．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗? 下面是小超的探究过程，请补充完整： (1)求； ①由，，可以确定是___________位数； ②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是___________； ③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是___________；由此求得____________． (2)已知185193也是一个整数的立方，用类似的方法可以求得___________． 【答案】(1)两；9；2、29 (2)57 【分析】（1）①由知，；②对数字0-9逐个求立方，可知只有数字9的立方的个位数是9；③由知，十位上的数字是2． （2）仿照（1）中步骤，先确定是两位数，再根据末位数字3求出个位数字，最后根据前三位数字185求出十位数字． 【详解】（1）解：①， ， 是两位数； ② 24389的个位上的数字是9，数字0-9中只有数字9的立方的个位数是9， 个位上的数字是9； ③，，， 十位上的数字是2， ． （2）， ， 是两位数； 185193的个位上的数字是3，数字0-9中只有数字7的立方的个位数是3， 个位上的数字是7； 划去185193后面的三位193得到数185， ，，， 十位上的数字是5， ， 故答案为：57． 【点睛】本题考查求一个数的立方根，根据已知内容进行类比探究是解答问题的关键． 26．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答： (1)的整数部分是__________，小数部分是____________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数部分，y是小数部分，求的相反数． 【答案】(1)4， (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了无理数整数部分和小数部分的计算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法． （1）先用夹逼法估算，即可解答； （2）先用夹逼法估算和，得出a和b的值，即可解答； （3）先得出的取值范围，再得出的取值范围，进而得出x和y的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分是4，小数部分是； 故答案为：4，； （2）解：∵，， ∴，， ∴，， ∵的小数部分为a，的整数部分为b， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴，即， ∴， ∵x是整数部分，y是小数部分， ∴，， ∴， ∴的相反数为． 27．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知：，其中x是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查无理数的估算，结合已知条件估算无理数是解题的关键； （1）仿照材料求出，，再代入计算即可； （2）求出，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； ； 的值是； （2）解：， ， ， ，， ， 的值为． 28．【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 结合以上材料，回答下列问题： (1)的小数部分是______，的整数部分是____； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解此题的关键． （1）先估算出的范围，即可得其的小数部分；估算出的范围，进而估算出的范围，即可得其整数部分； （2）先估算出、的范围，求出、的值，再代入所求式子计算即可； （3）先估算出的范围，进而估算出的范围，求出、的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是， 的小数部分是； ， ， ， ， 的整数部分是； 故答案为：，； （2）， ， 的小数部分为，即， ， ， 的整数部分为，即， ； （3）， ， ， ，其中是整数，且， ，， ， 的平方根为． 29．阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：2.4 的整数部分为2，小数部分为 的整数部分为1，小数部分可用 表示；再如，的整数部分为，小数部分为． 由此我们得到：如果 其中x是整数， 且， 那么 (1)如果， 其中a是整数， 且， 那么 ， ； (2)如果 其中C是整数，且，那么 ， (3)已知 其中m是整数，且，求的平方根． 【答案】(1)2， (2)， (3) 【分析】此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是确定无理数的整数部分． （1）估算出，即可确定，的值； （2）估算出，可得，即可确定，的值； （3）根据题意确定出、的值，代入求值并求出其平方根即可． 【详解】（1），其中是整数，且，， ，， 故答案为：2，； （2），其中是整数，且， 又， ，， 故答案为：，； （3），其中是整数，且， ，， ， 的平方根是． 30．数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一． 请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ，b都是有理数，，也是有理数， 是无理数，，， ，， 解决问题：设m，n都是有理数，且满足，求的平方根． 【答案】或 【分析】本题考查求一个数的平方根，实数的运算，仿照题干的解题思路，得到，进而求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得： ∵m，n都是有理数， ∴为有理数， ∵为无理数， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴的平方根为或． 31．阅读材料： 材料一：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是明明用来表示的小数部分，你同意明明的表示方法吗？事实上，明明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是2，用减去其整数部分，差就是小数部分． 由此可得：如果，其中是整数，且，那么，， 其中就是的整数部分，就是的小数部分． 材料二：已知是有理数，且满足等式，则可求出的值． 求解过程如下： ∵， ∴ ∵m，n是有理数， ∴，， 解得：，． 根据以上材料，解答下列问题： (1)如果，其中是整数，且，那么______， ______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是有理数，且满足等式，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法即可得到答案； （2）根据无理数的估算方法求出，，代入计算即可； （3）根据题意得到，，求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：； （2）解：的小数部分为，的整数部分为，， ，， ； （3）解：是有理数，且满足等式， ，， ， ， 或， 当时，； 当，时，， 综上所述，的值为或． 32．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试： ①，，又， ，能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3．因此59319的立方根是39． (1)现在换一个数13824，按这种方法求立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是 位数； ②它的立方根的个位数是 ； ③它的立方根的十位数是 ； ④13824的立方根是 ． (2)根据计算步骤，请计算，并书写详细过程． 【答案】(1)①两，②4，③2，④24 (2)58，解答过程见解析 【分析】本题考查了立方根： （1）仿照例题，进行推理得结论； （2）先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论． 【详解】（1）解：①∵，， 又∵， ∴， ∴能确定13824的立方根是个两位数． ②∵13824的个位数是4， 又∵， ∴能确定13824的立方根的个位数是4． ③如果划去13824后面的三位824得到数13， 而，则，可得， 由此能确定13824的立方根的十位数是2 因此13824的立方根是24． 故答案为：①两，②4，③2，④24； （2）解：∵，， 又∵， ∴， ∴能确定195112的立方根是个两位数． ∵195112的个位数是2， 又∵， ∴能确定195112的立方根的个位数是8． 如果划去195112后面的三位112得到数195， 而，则，可得， 由此能确定195112的立方根的十位数是5， 因此195112的立方根是58． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实数的重难点专题 目 录 一、求一个数的平方根、立方根 1 二、算术平方根的非负性 1 三、实数的相关概念 2 四、实数与数轴 4 五、无理数的整数部分与小数部分 5 六、无理数的估值 6 七、平方根、算术平方根、立方根的性质综合运用 7 八、实数的大小比较 10 九、新定义运算 11 十、实数的规律问题 11 十一、实数运算 14 十二、阅读理解型问题 18 一、求一个数的平方根、立方根 1．的平方根是___，的平方根是___，的平方根是____． 2．的算术平方根是 ___，3﹣2的平方根是 ___ ． 3．的算术平方根是______，的值是______． 4．若，则的算术平方根为__________. 二、算术平方根的非负性 5．若，则______． 6．a与b均为实数，且与互为相反数，则____；____． 7．若实数，满足，则的算术平方根是________． 8．若x，y都是实数，且，则的立方根为_______． 9．若，则的算术平方根为_____________． 10．已知，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 11．已知非零实数a，b满足，则______． 12．若、为实数，且满足，则的算术平方根为______． 13．若满足等式，，则当取最大值时，则的值为（   ） A． B． C． D． 三、实数的相关概念 14．下列说法中正确的有（   ） A．4的平方根是 B．的算术平方根是 C．负数没有立方根 D．带根号的数都是无理数 15．下列说法正确的是（　　） A．有理数与数轴上的点一一对应 B．平方根是它本身的数只有0 C．两个无理数的和一定是无理数 D．负数没有立方根 16．下列说法中，正确的是（   ） A．不带根号的数一定是有理数 B．实数和数轴上的点一一对应 C．无限小数都是无理数 D．算术平方根等于它本身的数是0和 17．下列说法中，正确的是（    ） A．数轴上的点都表示有理数 B．用根号表示的数不一定都是无理数 C．的平方根是 D．任何实数的平方根都有两个，它们互为相反数 18．下列语句中，正确的是 （    ） A．无限小数都是无理数 B．无理数分为正无理数、0和负无理数 C．实数与数轴上的点是一一对应的 D．无理数的平方一定是有理数 19．有下列说法：①实数和数轴上的点一一对应；②不含根号的数一定是有理数；③负数没有平方根； ④是17的平方根．其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 20． 下列计算或命题：①有理数和无理数统称为实数；②=a；③的算术平方根是2； ④实数和数轴上的点是一一对应的，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21． 有下列表述：①49的算术平方根是7；②任何数都有平方根；③的平方根是；④算术平方根等于它本身的数是0和1．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．下列说法中，正确的个数有（   ） （1）带根号的数是无理数 （2）实数和数轴上的点一一对应 （3）无限小数都是无理数 （4）2是4的平方根 （5）算术平方根等于它本身的数是0和 （6）的平方根是 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 22． 下列说法： ①＝﹣10；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③一个数的算术平方根仍是它本身，这样的数有三个；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，正确的个数有（　　） A．2个 B． 3个 C．4个 D．5个 23． 下列说法：平方根等于本身的数是和；两个无理数的和一定是无理数； 无理数都是带根号的数；实数和数轴上的点是一一对应的；正数的算术平方根一定比它本身小． 其中正确的说法有（   ）个 A． B． C． D． 四、实数与数轴 25．如图，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1．以点A为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点记作E，则点E所表示的数为（    ） A． B． C． D． 26．如图，面积为6的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为2．以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点E（点E在点A的左侧），则点E所表示的数为（   ） A． B． C． D． 27．如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为____． 28．如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（    ） A． B． C． D． 29．已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简（   ） A． B． C． D． 30．实数，，在数轴上的对应点如图所示，已知，化简_________． 31．数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为__________． 32．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简：____________． 33．已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则______． 34．如图，在数轴上的两个点表示为实数，，化简：________． 35．已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：________． 36．实数，，在数轴上的对应点如图所示，其中是原点，且；化简： 五、无理数的整数部分与小数部分 37．已知a是的整数部分，b是的小数部分，则________． 38．的小数部分为a，的整数部分为b，则_______． 39．我们知道是无理数，所以的小数部分不能全部写出来，但我们可以用来表示的小数部分．已知的小数部分是，的小数部分是，则的值为 _____． 40．已知的整数部分，的小数部分，则的值为___________． 41．已知是4的平方根，是的小数部分，是的整数部分，则代数式_________． 42．设表示最接近的整数，则________． 六、无理数的估值 43．估算的值（    ） A．8到9之间 B．9到10之间 C．10到11之间 D．11到12之间 44．估计的值为（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 45．估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 46．已知整数m满足，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 47．已知，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 48．估计的值在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 49．估算的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 50．已知与为两个连续的自然数，且满足，则的值为（    ）． A．1 B．3 C．5 D．7 51．估计的值在（   ） A．4到5之间 B．3到4之间 C．2到3之间 D．1到2之间 七、平方根、算术平方根、立方根的性质综合运用 52．已知是的算术平方根，是的立方根，求：的值的平方根． 53．已知一个正数的两个平方根分别是和，且的立方根为． (1)求的值． (2)求的算术平方根． 54．已知，． (1)已知x的算术平方根为3，求a的值； (2)如果x，y都是同一个正数的两个平方根，求这个数． 55．（1）若x，y满足等式，求的平方根； （2）已知的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根． 56．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分； (1)直接写出的值； (2)若是的小数部分，求的算术平方根． 57．已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分，是的小数部分． (1)求，，，的值． (2)求的平方根． 58．请分别解答下列各小题： (1)已知，求的值； (2)已知的算术平方根是3，的立方根是1，c是的整数部分，求的值． 59．已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 60．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中为有理数．为无理数，那么，运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中为有理数，求和的值； (2)如果，其中为有理数，求的立方根； (3)若均为有理数，且，求的算术平方根． 八、实数的大小比较 61．比较大小：______（填“”或“”或“”）．比较大小：______．（填写“”，“”或“”） 62．比较大小______ 63．比较大小：_______（填“＞”或“＜”）． 64．比较大小：______填“>，<或=” 65．估计大小关系： _____（填或）． 66．比较下列各组数的大小：（1）________4； （2）________1． 67．_________，_________，_________．（填“”“”或“”） 68．数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法：因为，所以　　　　，所以　　　(填“”或“”)； 小英的方法：，因为，所以 0，所以　　　　0，所以 　　　　 (填“”或“”)． (1)将上述材料补充完整； (2)请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 九、新定义运算 69．对于任意两个正实数，，定义运算“☆”：．如：．根据定义可得______． 70．设，都是有理数，规定 ，则=__________． 71．定义变换．例如．则的变换结果是________． 72．对于任意正数a，b，定义运算“”如下：，计算结果为_________． 73．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”．若是“完美实数”，则________；若与都是“完美实数”，则的平方根为_______． 十、实数的规律问题 74．已知，，则（    ） A． B． C． D． 75．已知，则（   ） A． B． C． D． 76．已知，，，，若，则___________，_________． 77．根据以下表格里的数据： 则（   ） A． B． C． D． 78．用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 79．如图，将一组数按下面的方法进行排列，如第1排第4个是，第2排第3个是，求第8排第3个是（    ） A． B． C． D． 80．如图所示为一个按某种规律排列的数阵． 根据数阵规律，第八行第十三个数是( ) A． B． C． D． 81．下图是按某种规律排列的数阵： 第一行                 1      第二行                      第三行                 第四行 …… 根据数阵规律，第8行第11个数为（   ） A． B． C． D． 82．【发现】 ① ② ③ ④…… （1）根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：______． 【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题： 对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： （2）若与的值互为相反数，则______； （3）若与的值互为相反数，且，求a的值． 83．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：… 【规律发现】 （1）计算： ； ； （2）用字母表示出第个等式： ． 【规律应用】 （3）根据上述等式规律，化简：． 十一、实数运算 1．解方程：(1)； (2)． 2．解下列方程：(1) (2) 3．解方程：(1)； (2) ． 4．计算：(1)； (2)． 5．计算：(1) (2) 6．计算： (1)； (2)． 7．计算．(1) (2) 8．计算．(1)； (2)． 9．计算：(1)； (2)． 10．计算(1)； (2) 11．计算：(1)； (2) ． 12．计算：(1) (2) 13．计算：(1) (2) 14．计算：(1)； (2)． 15．计算(1) (2) 16．计算：(1)； (2)． 17．计算：(1) (2) 十二、阅读理解型问题 18．对于任意实数x，可以用表示不超过x的最大整数，例如，若将x变换成称为对x进行一次操作．例如，现对38进行如下操作： 这样对38进行三次操作后变为1，现对一个正整数进行类似操作，下列说法正确的个数是（   ） ①对130进行两次操作后的结果为3； ②对一个正整数一直进行操作，最终结果都不小于1； ③若正整数x进行四次操作后结果不再发生变化，则x的最大值为65536 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 19．对任意实数，可用表示不超过的最大整数，例如，，若将变换成称为对进行一次操作，例如：现对54进行如下操作，这样对54进行3次操作后变为1，对一个正整数进行类似操作，下列说法正确的个数是（   ） ①对37进行一次操作后的结果是6； ②对138进行两次操作后的结果是3； ③对一个正整数一直进行操作，最终得到的结果是0； ④若正整数进行3次操作后变为1，则的最大值是225． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 20．我们已经学习了利用“夹逼法”估算的值，现在用． 表示距离（为正整数）最近的正整数例如：表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，利用这些发现得到以下结论： ； 时，的值有个； ； ； 当时，的值为． 以上结论中正确的结论有个（    ） A． B． C． D． 21．我们在初中已经学会了估算的值，现在用表示距离最近的正整数．（n为正整数）比如：表示距离最近的正整数，∴；表示距离最近的正整数，∴；表示距离最近的正整数，∴……利用这些发现得到以下结论： ①；②时，n的值有3个；③；④；⑤当时，n的值为2550． 五个结论中正确的结论有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 22．对代数式定义新运算：．在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，，在数轴上的位置如图所示．例如：，，．下列说法正确的个数是（    ） ①； ②； ③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0； ④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为． A．4 B．3 C．2 D．1 23．数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：≈1.414…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用﹣1来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： (1)的小数部分是a，的整数部分是b，求a+2b﹣的值． (2)已知6+＝x+y，其中x是一个整数，0＜y＜1，求的值． 24．小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为的正方形的边长是且， ∴可设，其中，画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积，又∵，∴． 由，可忽略，得，得到，即． (1)写出的整数部分为________，的整数部分为________； (2)仿照上述方法，探究解答的近似值．（要求：画出图形，标明数据，结果保留两位小数） 25．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗? 下面是小超的探究过程，请补充完整： (1)求； ①由，，可以确定是___________位数； ②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是___________； ③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是___________；由此求得____________． (2)已知185193也是一个整数的立方，用类似的方法可以求得___________． 26．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答： (1)的整数部分是__________，小数部分是____________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数部分，y是小数部分，求的相反数． 27．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知：，其中x是整数，且，求的值． 28．【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 结合以上材料，回答下列问题： (1)的小数部分是______，的整数部分是____； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根． 29．阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：2.4 的整数部分为2，小数部分为 的整数部分为1，小数部分可用 表示；再如，的整数部分为，小数部分为． 由此我们得到：如果 其中x是整数， 且， 那么 (1)如果， 其中a是整数， 且， 那么 ， ； (2)如果 其中C是整数，且，那么 ， (3)已知 其中m是整数，且，求的平方根． 30．数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一． 请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ，b都是有理数，，也是有理数， 是无理数，，， ，， 解决问题：设m，n都是有理数，且满足，求的平方根． 31．阅读材料： 材料一：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是明明用来表示的小数部分，你同意明明的表示方法吗？事实上，明明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是2，用减去其整数部分，差就是小数部分． 由此可得：如果，其中是整数，且，那么，， 其中就是的整数部分，就是的小数部分． 材料二：已知是有理数，且满足等式，则可求出的值． 求解过程如下： ∵， ∴ ∵m，n是有理数， ∴，， 解得：，． 根据以上材料，解答下列问题： (1)如果，其中是整数，且，那么______， ______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是有理数，且满足等式，求的值． 32．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试： ①，，又， ，能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3．因此59319的立方根是39． (1)现在换一个数13824，按这种方法求立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是 位数； ②它的立方根的个位数是 ； ③它的立方根的十位数是 ； ④13824的立方根是 ． (2)根据计算步骤，请计算，并书写详细过程． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $