1.5角平分线（第2课时 三角形的三条内角平分线）（导学案）数学新教材北师大版八年级下册

1.5 角平分线 导学案 第2课时 三角形的三条内角平分线 1.能熟练运用角平分线的性质定理、判定定理及三角形角平分线性质，进行几何证明和计算。 2.掌握三角形三条角平分线的核心性质：相交于一点，且该点到三角形三边的距离相等。 学习重点：角平分线性质、判定及其在直角、等腰三角形中的计算与证明。 学习难点：利用“到两边距离相等”判定角平分线；证明三角形三条角平分线相交于一点且等距三边。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 角平分线的性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的 相等. 几何语言： ∵OP 是∠AOB的平分线，PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ . 角平分线的判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在 . 几何语言： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴ . 2.情景引入 在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等，请在三角形居住区内标出学校P的位置，P在何处？ 新知自研：自研课本第42--43页的内容． 【学法指导】 自研课本P42-43页例题上面的内容，思考： ●探究一：角平分线性质的综合应用 ◆1.概念引入 例1：如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E. (1)已知CD=4cm，求AC的长; (2)求证:AB=AC+CD. 【分析】(1)根据角平分线的性质可知CD= =4cm,由于∠C=90°,故∠B= =45°,△BDE是等腰直角三角形,由勾股定理得可得BD，AC的值. (2)由(1)可知:△CD≌△AED,AC= ，BE =CD，故AB=AE+ =AC+CD. 【解答】 ◆2.知识回顾 角平分线在三角形中的应用： 关键：利用“角平分线到角两边距离相等”，结合直角三角形、等腰三角形性质，分步转化线段关系，精准求解. 1.利用角平分线性质：遇角平分线+垂直条件，转化垂线段长度；无垂线段则作出垂线段，构造全等三角形转化线段； 2.结合三角形特征：借助等腰直角三角形的直角边相等，关联已知线段搭建等式； 3.计算求解：用勾股定理或建立方程求解. ◆3.练一练 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=6，则AE+DE等于____. ●探究二： 三角形的内角平分线 ◆1.操作思考 （1）分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ （2）分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ ◆2.新知探究 例 已知:如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P. 求证:∠A的平分线经过点P.， 【分析】要证∠A的平分线经过点P，需要什么条件？已知的两条角平分线相交于点P，由此你能得到哪些结论？ 思考：试试看，你会写出证明过程吗？ 【证明】 ◆3.知识归纳 三角形三条角平分线的性质： 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到 的距离相等. 几何语言： ∵点P是△ABC角平分线的交点， PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC. ∴PD= ，PE= ∴PD=PE=PF. ◆4.练一练 如图，AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，ID⊥BC，△ABC的周长为18，ID=3，则△ABC的面积为( ) A.18 B.30 C.24 D.27 【例题导析】 自研下面例1和例2的内容，回答问题： 典例分析 例1 如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF. 求证：CF=EB. 【分析】由∠C=90°,得DC AC,由AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,得DC ,∠AED=∠BED=90°,而DF=DB,可根据“ ”证明Rt△CDF≌Rt△ ,则可证得CF=EB. 例2如图，在直角△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4，求点O到△ABC三边的距离和. 【分析】先分别作出点O到三角形三边的垂线段，然后根据角平分线的性质定理可得OM= ,OE= , 从而可以求出点O到三角形三边的距离，即可解答. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨角平分线性质的实际应用和三角形角平分的性质； B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，强调易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.如图，△ABC中，BD是AC边的高线，CE平分∠ACB，DE=1cm，BC=4cm，则△BEC的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2. 如图，△ABC中，CD是角平分线，DE⊥AC垂足为E，DF⊥BC垂足为F，EF与CD交于G，下列说法不一定正确的是（　　） A．CD也是△ABC中线 B．CD平分∠EDF C．CD⊥EF D．EG=GF 3.如图，AD是△BAC的平分线，DE⊥AB于点E，=32，DE=4，AB=9，则AC的长是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4.如图，△ABC的角平分线BD，CE交于点P，∠A=60°，△ABC的面积为16，四边形AEPD的面积为5，则△BPC的面积为（　　） A．5 B．5.5 C．6 D．7 5.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为______. 6.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的三条内角平分线交于点O，OM ⊥AB于M，OM=4，S△ABC=180，则△ABC的周长是__________ . 7.已知：如图，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线. 求证：BD=2CD. 8.如图, 直线、、表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置. 9.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F. (1)试说明BE=CF; (2)如果AB=5，AC=3，求AE，BE的长. 题型一：角平分线性质和判定的实际应用 1．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条笔直公路围成的内修建一个度假村．要使这个度假村到这三条公路的距离都相等，应在（    ）处修建这个度假村． A．三条中线的交点 B．三条高线的交点 C．三个内角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线交点 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，则正确的作图是（    ） 问题：如图，某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在道路边上建一个休息点M，使它到边的距离相等，在图中确定休息点M的位置 A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江西宜春·月考）如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·江苏南通·月考）如图，三角形地块中，边，，其中绿化带是该三角形地块的角平分线．若三角形地块的面积为，则三角形地块的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，车站O位于两条公路的交汇处，在公路上还有一个车站C，现要在两条公路之间修一个中转站P，使它到两条公路的距离相等，且到两个车站的距离也相等．请你在图中作出点P的位置． 6．（25-26八年级上·河北衡水·期中）为发展经济，某地区加大交通运输建设，新修三条相互交叉的公路，我们把交叉处看作一个点，则形成了一块三角形区域．为了方便过往车辆、行人休息，打算在三角形区域内修建一个服务站P，且使服务站到三条公路的距离相等． (1)请你用尺规作图选定位置；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若已知三角形区域周长是米，面积是平方米，请你计算这个服务站到三条公路的距离． 题型二：三角形的内角平分线的应用 7．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，三边的长分别为，与的平分线交于点，若点到的距离为，则有下列结论：①垂直平分；②；③点到点的距离为；④．其中一定正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 8.如图，在中，，，，分别是和的角平分线，，交于点O，分别过点O作于点M，作于点N．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）      A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．如图，在中，和的平分线相交于点G，过点G作交于E，交于F，过点G作于D，下列五个结论：其中一定正确的结论有（     ）个． ①；②；③；④点G到各边的距离相等；⑤设，，则． A．1 B．2 C．3 D．4 10（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，的三边，，的长分别是，，，是内一点，且，则等于（    ） A． B． C． D．不能确定 11．（22-23八年级上·河北沧州·期末）如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（    ） A．18 B．30 C．36 D．72 12．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，和的平分线相交于点，交于点，交于点，，若的面积为，则的面积为_________． 13．（25-26九年级上·四川巴中·开学考试）如图，是的角平分线，是的垂直平分线．求证： (1)； (2)． 14．（25-26八年级上·湖南常德·期末）某班数学活动课上，老师提出以下问题：如图1，在锐角中，，是的平分线，，分别是，的高，E是边上一点，且，F是边上一动点（不包括两端点），连接，，老师安排了两个不同的任务． 【问题提出】 （1）填空： ；（填“”“”或“”） 【问题探究】 （2）任务一：如图2，若．求证：； （3）任务二：如图3，，，，若，试说明；此时，点E关于的对称点落在边上，连接，求的面积． ▲三角形三条角平分线的性质： 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到 的距离相等. 几何语言： ∵点P是△ABC角平分线的交点， PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC. ∴PD= ，PE= ∴PD=PE=PF. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5 角平分线 导学案 第2课时 三角形的三条内角平分线 1.能熟练运用角平分线的性质定理、判定定理及三角形角平分线性质，进行几何证明和计算。 2.掌握三角形三条角平分线的核心性质：相交于一点，且该点到三角形三边的距离相等。 学习重点：角平分线性质、判定及其在直角、等腰三角形中的计算与证明。 学习难点：利用“到两边距离相等”判定角平分线；证明三角形三条角平分线相交于一点且等距三边。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 角平分线的性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 几何语言： ∵OP 是∠AOB的平分线，PD⊥OA,PE⊥OB， ∴PD = PE. 角平分线的判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 几何语言： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 2.情景引入 在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等，请在三角形居住区内标出学校P的位置，P在何处？ 新知自研：自研课本第42--43页的内容． 【学法指导】 自研课本P42-43页例题上面的内容，思考： ●探究一：角平分线性质的综合应用 ◆1.概念引入 例1：如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E. (1)已知CD=4cm，求AC的长; (2)求证:AB=AC+CD. 【分析】(1)根据角平分线的性质可知CD=DE=4cm,由于∠C=90°,故∠B=∠BDE=45°,△BDE是等腰直角三角形,由勾股定理得可得BD，AC的值. (2)由(1)可知:△CD≌△AED,AC=AE，BE=DE=CD，故AB=AE+BE=AC+CD. 【解答】(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). ∵AC=BC, ∴∠B=∠BAC(等边对等角). ∵∠C=90°, ∴∠B=×90°=45°. ∴∠BDE=90-°-45°=45°. ∴BE=DE(等角对等边). 在等腰直角三角形BDE中， BD==4cm(勾股定理) ∴AC=BC=CD+BD=(4+4)cm. （2）证明：由（1）的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL). ∴AC=AE(全等三角形的对应边相等). ∵BE=DE=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD. ◆2.知识回顾 角平分线在三角形中的应用： 关键：利用“角平分线到角两边距离相等”，结合直角三角形、等腰三角形性质，分步转化线段关系，精准求解. 1.利用角平分线性质：遇角平分线+垂直条件，转化垂线段长度；无垂线段则作出垂线段，构造全等三角形转化线段； 2.结合三角形特征：借助等腰直角三角形的直角边相等，关联已知线段搭建等式； 3.计算求解：用勾股定理或建立方程求解. ◆3.练一练 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=6，则AE+DE等于____. 解：6 ●探究二： 三角形的内角平分线 ◆1.操作思考 （1）分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于一点. （2）分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等. ◆2.新知探究 例 已知:如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P. 求证:∠A的平分线经过点P.， 【分析】要证∠A的平分线经过点P，需要什么条件？已知的两条角平分线相交于点P，由此你能得到哪些结论？ 思考：试试看，你会写出证明过程吗？ 【证明】如图所示，过点P分别作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线， ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 同理，PE=PF. ∴PD= PE= PF. ∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)， 即∠A的平分线经过点P. ◆3.知识归纳 三角形三条角平分线的性质： 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 几何语言： ∵点P是△ABC角平分线的交点， PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC. ∴PD=PE，PE=PF ∴PD=PE=PF. ◆4.练一练 如图，AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，ID⊥BC，△ABC的周长为18，ID=3，则△ABC的面积为( ) A.18 B.30 C.24 D.27 解：D 【例题导析】 自研下面例1和例2的内容，回答问题： 典例分析 例1 如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF. 求证：CF=EB. 【分析】由∠C=90°,得DC⊥AC,由AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,得DC=DE,∠AED=∠BED=90°,而DF=DB,可根据“HL”证明Rt△CDF≌Rt△EDB,则可证得CF=EB. 【证明】∵AD平分∠CAB, DE⊥AB，∠C＝90°（已知）, ∴CD＝DE (角平分线的性质). 在Rt△CDF和Rt△EDB中, CD=ED（已证）, DF=DB （已知）, ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL). ∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）. 例2如图，在直角△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4，求点O到△ABC三边的距离和. 【分析】先分别作出点O到三角形三边的垂线段，然后根据角平分线的性质定理可得OM=OE,OE=ON, 从而可以求出点O到三角形三边的距离，即可解答. 【解答】解：过点O作ON⊥BC，OE⊥AB, ∵点O在∠BAC，∠ABC的角平分线上， OM⊥AC ，ON⊥BC，OE⊥AB, ∴OM=OE,OE=ON, ∴OM=OE=ON=4, ∴OM+OE+ON=12. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨角平分线性质的实际应用和三角形角平分的性质； B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，强调易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.如图，△ABC中，BD是AC边的高线，CE平分∠ACB，DE=1cm，BC=4cm，则△BEC的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解：B 2. 如图，△ABC中，CD是角平分线，DE⊥AC垂足为E，DF⊥BC垂足为F，EF与CD交于G，下列说法不一定正确的是（　　） A．CD也是△ABC中线 B．CD平分∠EDF C．CD⊥EF D．EG=GF 解：A 3.如图，AD是△BAC的平分线，DE⊥AB于点E，=32，DE=4，AB=9，则AC的长是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 解：C． 4.如图，△ABC的角平分线BD，CE交于点P，∠A=60°，△ABC的面积为16，四边形AEPD的面积为5，则△BPC的面积为（　　） A．5 B．5.5 C．6 D．7 解：B． 5.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为______. 解：15 6.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的三条内角平分线交于点O，OM ⊥AB于M，OM=4，S△ABC=180，则△ABC的周长是__________ . 解：90 7.已知：如图，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线. 求证：BD=2CD. 证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°， ∴DE=DC， ∵在直角三角形BED中，∠B=30°， ∴BD=2DE， ∴BD=2CD. 8.如图, 直线、、表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置. 解：有4处，如图所示. 9.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F. (1)试说明BE=CF; (2)如果AB=5，AC=3，求AE，BE的长. 解:(1)如图,连接BD,CD. ∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°. ∵DG⊥BC且平分BC, ∴BD=CD. 在Rt△BED与Rt△CFD中, ∵BD=CD,DE=DF, ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL), ∴BE=CF. (2)在△AED和△AFD中,∵∠AED=∠AFD=90°,∠EAD=∠FAD,AD=AD, ∴△AED≌△AFD(AAS), ∴AE=AF. 设BE=x,则CF=x. ∵AB=5,AC=3,AE=AB-BE,AF=AC+CF, ∴5-x=3+x,解得x=1, ∴BE=1, ∴AE=AB-BE=5-1=4. 题型一：角平分线性质和判定的实际应用 1．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条笔直公路围成的内修建一个度假村．要使这个度假村到这三条公路的距离都相等，应在（    ）处修建这个度假村． A．三条中线的交点 B．三条高线的交点 C．三个内角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线交点 【答案】C 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出答案． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点处． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，则正确的作图是（    ） 问题：如图，某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在道路边上建一个休息点M，使它到边的距离相等，在图中确定休息点M的位置 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图，作角平分线以及垂直平分线，熟练掌握角平分线的判定是解本题的关键． 根据点到和两边的距离相等，可得点在的角平分线上，据此判断即可． 【详解】解：∵点到和两边的距离相等， ∴点在的角平分线上， ∵点在上， ∴C选项符合题意， 故选：C． 3．（25-26八年级上·江西宜春·月考）如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 4．（23-24九年级上·江苏南通·月考）如图，三角形地块中，边，，其中绿化带是该三角形地块的角平分线．若三角形地块的面积为，则三角形地块的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过分别作于，于，由平分线的性质证得，由三角形的面积公式求出，再由三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：过分别作于，于， 是的平分线， ， ，的面积为， ， 的面积， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，根据角平分线的性质证得是解决问题的关键． 5．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，车站O位于两条公路的交汇处，在公路上还有一个车站C，现要在两条公路之间修一个中转站P，使它到两条公路的距离相等，且到两个车站的距离也相等．请你在图中作出点P的位置． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的实际应用，点P到两条公路的距离相等，则点P在的角平分线，点P到两个车站的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，据此作图即可． 【详解】解：如图所示，分别作线段的垂直平分线和的角平分线，二者的交点P即为所求． 6．（25-26八年级上·河北衡水·期中）为发展经济，某地区加大交通运输建设，新修三条相互交叉的公路，我们把交叉处看作一个点，则形成了一块三角形区域．为了方便过往车辆、行人休息，打算在三角形区域内修建一个服务站P，且使服务站到三条公路的距离相等． (1)请你用尺规作图选定位置；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若已知三角形区域周长是米，面积是平方米，请你计算这个服务站到三条公路的距离． 【答案】(1)见解析； (2)这个服务站到三条公路的距离均为米． 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，角平分线性质的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）分别作和平分线即可； （）连接，设点到三边的距离均为，则有，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：作和平分线，交于点，则点即为所求，如图所示， （2）解：连接，设点到三边的距离均为， ∴，解得， 即这个服务站P到三条公路的距离均为米． 题型二：三角形的内角平分线的应用 7．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，三边的长分别为，与的平分线交于点，若点到的距离为，则有下列结论：①垂直平分；②；③点到点的距离为；④．其中一定正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和定义，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形面积计算，熟练掌握相应知识是解题的关键．利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行判断即可求解． 【详解】解：由平分，与不一定相等，因此不一定垂直平分，故不正确； ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴，故正确； ∵平分， ∴点到的距离等于点到的距离， 如图，过点作于，则，连接， ∴点到的距离大于，故不正确； 如图，连接，过点作于，过点作于，过点作于， ∵、分别平分、， ∴， ∴，故正确； 综上所述，正确． 故选：C． 8.如图，在中，，，，分别是和的角平分线，，交于点O，分别过点O作于点M，作于点N．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）      A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据，分别是和的角平分线，求出，再根据三角形的内角和定理，即可求出，即可判断①；连接，则平分，推出，则，，进而得出，即可判断②④；通过证明，即可判断③． 【详解】解：①∵，，，分别是和的角平分线， ∴， 在中，， 故①正确，符合题意； ②④连接， ∵，分别是和的角平分线， ∴平分， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． 故②④正确，符合题意； ③在和中， ， ∴， ∴， 故③正确，符合题意． 综上：正确的有①②③④，共4个． 故选：A．    【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，解题的关键是掌握三角形的三条角平分线交于一点，角平分线上的点到两边距离相等． 9．如图，在中，和的平分线相交于点G，过点G作交于E，交于F，过点G作于D，下列五个结论：其中一定正确的结论有（     ）个． ①；②；③；④点G到各边的距离相等；⑤设，，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，①根据角平分线定义及可得出，，由此可得出结论；②由于与不一定相等，则与不一定相等，进而得到与不一定相等；③先根据角平分线的性质得出，再由三角形内角和定理即可得出结论；④根据角平分线的性质即可得出结论；⑤连接，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：和的平分线相交于点G， ， ， ， ， ， 同理可得， ，故①正确； ∵与不一定相等，， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等，故②错误； 和的平分线相交于点G， ， ，故③错误； 和的平分线相交于点G， 点G到的距离相等，到的距离相等， 点G到各边的距离相等，故④正确； 如图所示，连接， 点G到各边的距离相等，，， ，故⑤错误． 故选：B． 10（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，的三边，，的长分别是，，，是内一点，且，则等于（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】此题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点O作于点D，过点O作于点E，过点O作于点F，根据得到，求出，，，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点O作于点D，过点O作于点E，过点O作于点F， ∵的三边，，的长分别是，，，且， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴． 故选：B． 11．（22-23八年级上·河北沧州·期末）如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（    ） A．18 B．30 C．36 D．72 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，过I点作于E，于F，利用角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式得到 ，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过I点作于E，于F， 、、分别平分、、， ， ． 故选：C． 12．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，和的平分线相交于点，交于点，交于点，，若的面积为，则的面积为_________． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可知，，根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，作，，垂足分别为， ∵的面积为，， ∴， ∴， ∴； ∵，平分， ∴，， ∵和的平分线分别为相交于点O，且，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·四川巴中·开学考试）如图，是的角平分线，是的垂直平分线．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质证明，进而得到，再利用角平分线的性质可得到，利用等量代换可得，再根据平行线的判定即可得到； （2）根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端的距离相等可得到，再根据三角形全等得到；根据三角形内角与外角的关系可得到结论． 本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，中垂线的性质，证明时如只利用线段垂直平分线或角平分线的性质定理证不出结论时，常结合全等三角形证明等量关系． 【详解】（1）∵是的垂直平分线， ∴， 在和中，， ∴， ∴ 是的角平分线， ∴ ， ； （2）∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ， ， ． 14．（25-26八年级上·湖南常德·期末）某班数学活动课上，老师提出以下问题：如图1，在锐角中，，是的平分线，，分别是，的高，E是边上一点，且，F是边上一动点（不包括两端点），连接，，老师安排了两个不同的任务． 【问题提出】 （1）填空： ；（填“”“”或“”） 【问题探究】 （2）任务一：如图2，若．求证：； （3）任务二：如图3，，，，若，试说明；此时，点E关于的对称点落在边上，连接，求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）证明见解析，的面积为12 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得； （2）作于点H，可证明，再证明得到； （3）延长交的延长线于点Q，证明，得，从而得，再由角平分线的判定可得；在线段上取点，使得，求出和，可得的面积． 【详解】（1）解：∵是的平分线，，分别是，的高， ∴． 故答案为：； （2）证明：如图2，于点H， 在和中， ， ∴， ∴． 又由（1）知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图3，∵， ∴， 延长交的延长线于点Q， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴； 如图4，在线段上取点，使得， ∵， ∴点是点E关于的对称点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 则， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的性质和判定以及三角形全等的判定和性质，关键是熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的性质解决线段或角的相等关系． ▲三角形三条角平分线的性质： 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 几何语言： ∵点P是△ABC角平分线的交点， PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC. ∴PD=PE，PE=PF ∴PD=PE=PF. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $