1.5 第1课时角平分线的性质与判定（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 A知识分点练 夯基础 4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠C= 90°，DE⊥AB于点E,BD=DF求证：CF=EB. 知识点1角平分线的性质 1.(2024·青海)如图，OC平分∠AOB,点P在OC 上，PD⊥OB于点D,PD=2,那么点P到OA 的距离是 ( A.4 B.3 C.2 D.1 D D 第1题图 第2题图 [变式]在第1题中，若E是OA上一动点， 知识点2角平分线的判定 则PE的最小值为 5.在△ABC中，AB=BC,两个完全一样的三角 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分 尺按如图所示的方式摆放，较短的直角边分别 ∠BAC,过点D作DE⊥AB于点E.若BE= 在AB,BC上，较长的直角边的顶点重合于 3,△BDE的周长为11，则BC= 点P,连接BP并延长，交AC于点D,则下 3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,DE⊥AB 列结论不一定正确的是 () 于点E.若AC=2,DE=1,则SAACD A.BP平分∠ABC B.AD=CD C.BD垂直平分AC D.AB=AC B R 第3题图 变式1题图 [变式1]如图，在△ABC中，AD是∠BAC的 D 第5题图 第6题图 平分线，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, 6.如图，P是射线OC上一点，PE⊥OB于点E, S△ABc=96cm2,AB=20cm,AC=12cm,则DE PD⊥OA于点D,EO=4,OP=5,当PD= 的长为 时，射线OC是∠AOB的平分线. [变式2]如图，在△ABC中，AD平分 7.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，D为AC的中 ∠BAC,DE⊥AB,△ABC的面积为S,AB+ 点，DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F.若 AC=a.如果S=a,那么DB DE=DF=3,则线段BE的长为 24数学8年级下册BS版 8.如图，在△ABC中，D是边BC的中点，DE⊥ C拓展探究练 提素养、 AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.求 12.观察、猜想、探究：在△ABC中，∠ACB=2∠B. 证：AD是△ABC的角平分线. (1)如图1，当∠ACB=90°，AD为∠BAC的 平分线时，求证：AB=AC十CD (2)如图2，当∠ACB≠90°，AD为∠BAC的 平分线时，线段AB,AC,CD又有怎样的数量 关系？不需证明，直接写出你的猜想。 (3)如图3，当AD为△ABC的外角的平分线 时，线段AB,AC,CD又有怎样的数量关系？ B能力综合练 练思维 请写出你的猜想，并给予证明， 9.(2025·西安交大附中期未)如图，在△ABC中， AB=4,AC=7,E为BC的中点，AD为 △ABC的角平分线，△ABC的面积记为S1, △ADE的面积记为S,则 D 的值为 D ( 图1 图2 A.11 22 B 022 B B DE 第9题图 第10题图 图3 10.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD 平分∠BAC,交BC于点D,DE⊥AB,垂足 为E.若DE=1,则BC的长为 () A.2+√2B.√2+√5C.2+3D.3 11.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，且 DM平分∠ADC. (1)求证：AM平分∠DAB; (2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关 系，并证明你的结论。 第一章三角形的证明及其应用253.解：如图，△ABC即为所求 4.C5.B6.B7.10【变式】80°8.C9.50 10.解：(1)DE⊥DP.理由如下： PD=PA,.∠A=∠PDA. EF是BD的垂直平分线， ∴EB=ED,.∠B=∠EDB .∠C=90°，∴.∠A+∠B=90°，∴.∠PDA+∠EDB=90°， ∠PDE=180°-90°=90°，.DE⊥DP. (2)4.75 变式微专题2双垂直平分线模型 【例】40°【变式1】13【变式2】135°【变式3】20 5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 1.C【变式】22.83.1【变式1】6cm【变式2】5 4.证明：：AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB, ∴.DC=DE 在R△CDF和RAEDB中，DC=DE, (DF=DB, ∴.Rt△CDF≌Rt△EDB(HL),.CF=EB 5.D6.37.3 8.证明：D是边BC的中点，.BD=CD .'DE⊥AB,DF⊥AC,∴.∠BED=∠CFD=90 又BE=CF, .Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴.DE=DF, AD是△ABC的角平分线. 9.B10.A 11.解：(1)证明：如图，过，点M作ME⊥AD 于点E. :DM平分∠ADC,∠C=90°，ME⊥AD, ∴.MC=ME. :M为BC的中点，∴BM=MC=ME, 又：∠B=90°，AM平分∠DAB. (2)AM⊥DM.证明略 12.解：(1)证明：如图1，过点D作DE⊥AB于点E. :AD为∠BAC的平分线，∠C=90°，DE=DC. 在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD,DC=DE, ∴.Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴.AC=AE '∠ACB=2∠B,∠ACB=∠BED=90°， ∠B=∠EDB=45°，∴.BE=DE=DC, ∴.AB=AE+BE=AC+CD 图1 图2 (2)AB=AC+CD. (3)AB=CD-AC. 证明：如图2，在AF上截取AG=AC,连接GD. ·答 'AD为∠FAC的平分线，.∠GAD=∠CAD. 又AD=AD,∴△AGD≌△ACD(SAS), ∴.GD=CD,∠AGD=∠ACD, 即∠ACB=∠FGD. ,'∠ACB=2∠B,∴.∠FGD=2∠B 又：∠FGD=∠B+∠GDB,∴∠B=∠GDB, .BG=DG=DC,..AB=BG-AG=CD-AC 第2课时角平分线的应用 1.c2.10 3.解：(1)证明：如图，连接AD. AB=AC,D是BC的中点， ∴.AD平分∠BAC .DE⊥AB,DF⊥AC,∴.DE=DF.B (2)100° 4.c5.A6.2 7.解：如图，分别作三角形绿地两个内角的平分线，交点P 即为小亭的位置， 8.C9.D【变式】110.135 11.证明：如图，过，点P作PF⊥BC,交 BC于点F ,PB=PC,∠BPC=120°， D ∴∠PBC=∠PCB=30°. PD⊥AB,PE⊥AC,点P在∠A的 平分线上，PD=PE 在R△PDB和RAPEC中，PD=PE, (PB=PC, ∴.Rt△PDB≌Rt△PEC(HL),.∠PBD=∠PCE :∠A=60°，∠PBC=∠PCB=30, ∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴.∠PBD=∠PCE=30°，∴.∠PBD=∠PBF ∠PDB=∠PFB, 在△PDB和△PFB中， ∠PBD=∠PBF, BP=BP, ∴.△PDB≌△PFB(AAS),∴.BD=BF 同理可得，△PEC≌△PFC(AAS),∴.CE=CF .BC=BF+CF,.'.BC=BD+CE. 12.解：(1)角平分线上的，点到这个角的两边的距离相等 在一个角的内部，到角的两边距离相等的，点在这个角的平 分线上 (2)相等(3)2（a+b+e)r ☆问题解决策略：反思 【例1】解：AB=ACBE=CD 证明：，AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB ,BE和CD是△ABC的角平分线， ÷∠EBC=号∠ABC,∠BCD=号∠ACB, ∠EBC=∠DCB. 案4·